Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике - файл n1.doc

приобрести
Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике
скачать (55517 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc55517kb.11.06.2012 06:27скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   30

2.2. Собственные векторы и собственные значения матриц. Оценка однородности суждений



Собственные векторы и значения матриц
Ранжирование элементов, анализируемых с использованием матрицы парных сравнений [E], осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработ­ки матриц.

Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы [E] проводится на основании равенства

EW=?maxW, (2.1)

где ?max — максимальное собственное значение матрицы [Е].

Для положительной квадратной матрицы [Е] правый собствен­ный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению ?max, с точностью до постоянного сомножителя С мож­но вычислить по формуле



где е={1,1,1, ....l}Т – единичный вектор;

k = 1, 2, 3, ... — показатель степени;

С— константа;

Т — знак транспонирования.

Вычисления собственного вектора W по выражению (2.2) про­изводятся до достижения заданной точности:



где l — номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k = 1; l = 2, k = 2;

l = 3, k = 4 и т. д.;

? допустимая погрешность.

С достаточной для практики точностью можно принять  = 0,01 независимо от порядка матрицы.

Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:

?max=eT[E]W

Динамические предпочтения и приоритеты
Задача прогнозирования экспертных предпочтений связана с получением оценок приоритетности альтернатив в форме зависи­мостей от времени. Для этого исходные экспертные оценки долж­ны содержать информацию об изменении предпочтительности одной альтернативы перед другой на некотором временном отрез­ке. Следовательно, оценка предпочтительности может быть зада­на не константой, а функцией. Подбор таких функций можно осу­ществить, либо предоставив в распоряжение эксперта некоторую функциональную шкалу [2], либо путем аппроксимации эксперт­ных оценок, полученных в различные моменты времени. Пример функциональной шкалы показан в табл. 2.2, где функции пред­почтительности содержат параметры, подбор которых позволяет более или менее точно описать изменяющиеся суждения и уста­новить область допустимых значений функций в пределах девяти­балльной шкалы (см. табл. 2.1).

Таблица 2.2

Динамические суждения


Вид функции


Описание функции


Примечание


const


Для всех t l  const  9


Постоянство предпочтений


a1(t)+a2

Линейная функция от t на некотором отрезке, обрат­ная функция - гипербола


Линейное возрастание пред­почтения одной альтернативы перед другой во времени


b1ln(t+1)+b2

Логарифмический рост


Быстрое возрастание предпоч­тения одной альтернативы пе­ред другой до некоторого t, после которого следует мед­ленное возрастание





Экспоненциальный рост или убывание (с2<0), в последнем случае обратная величина – S-образная логистическая кривая


Медленное увеличение или уменьшение предпочтения во времени, за которым следует быстрое увеличение (уменьше­ние)


d1t2+d2t+d3


Парабола с максимумом или минимумом в зависи­мости оттого, отрицатель­но или положительно d1.


Возрастание до максимума, а затем убывание (или наоборот)


f1tnsin(t+f2)+f3


Колебательная функция


Колебания предпочтений во времени с возрастающей (п>0) или убывающей (n?0) ампли­тудой


Катастрофы

Функции, имеющие раз­рывы, которые следует указать

Крайне резкие изменения ин­тенсивности предпочтений


Эти функции отражают интуитивные чувства лица, принимаю­щего решения об изменении в тренде: постоянном, линейном, логарифмическом и экспоненциальном, возрастающем до макси­мума и убывающем или опускающемся до минимума и возраста­ющем, колебательном и, наконец, допускающем катастрофичес­кие изменения.

Для динамических задач матрица парных сравнений содержит функции времени в качестве элементов, поэтому максимальное собственное число ?max, также собственный вектор W также бу­дут зависеть от времени, т. е.



Здесь A(t) — матрица парных сравнений объектов, содержащая информацию об изменении предпочтительности одной альтерна­тивы перед другой на некотором промежутке времени, которая задана функцией из табл. 2.2.

Если порядок матрицы парных сравнений не превышает четы­рех, для уравнения (2.4) можно получить аналитическое решение [2]. Альтернативным способом является получение A(t) и W(t) численными методами. Для этого необходимо иметь в распоряже­нии информацию о предпочтениях экспертов за определенный период времени. При накапливании такой информации в компью­терной системе становятся возможными прогнозирование предпоч­тений и оценка ближайших последствий принимаемых решений.
Оценка однородности суждений
В практических задачах количественная (кардинальная) и тран­зитивная (порядковая) однородность (согласованность) нарушает­ся, поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой. Для улучшения однородности в числовых суждениях, какая бы величина aij ни была взята для сравнения i-го элемента с j-м, aij приписывается значение обратной величины, т. е. аij = 1/aij. Отсюда следует, что если один элемент в а раз предпоч­тительнее другого, то последний только в 1/а раз предпочтитель­нее первого.

При нарушении однородности ранг матрицы отличен от еди­ницы и она будет иметь несколько собственных значений. Однако при небольших отклонениях суждений от однородности одно из собственных значений будет существенно больше остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Таким образом, для оцен­ки однородности суждений эксперта необходимо использовать отклонение величины максимального собственного значения ?max от порядка матрицы п.

Однородность суждений оценивается индексом однородности (ИО) или отношением однородности (OO) в соответствии со сле­дующими выражениями:



где М(ИО) — среднее значение (математическое ожидание) индекса однородно­сти случайным образом составленной матрицы парных сравнений [E], которое основано на экспериментальных данных (табл. 2.3), полученных в работе [2].

Таблица 2.3

Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы

Порядок матрицы (п)


М(ИО)


Порядок матрицы (и)


М(ИО)


Порядок матрицы (п)


М(ИО)




1


0,00


6


1,24


11


1,51


2


0,00


7


1,32


12


1,48


3


0,58


8


1,41


13


1,56


4


0,90


9


1,45


14


1,57


5


1,12


10


1.49


15


1,59



В качестве допустимого используется значение OO ? 0,10. Если для матрицы парных сравнений отношение однородности OO > 0,10, то это свидетельствует о существенном нарушении логичности суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, по­этому эксперту предлагается пересмотреть данные, использован­ные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   30


2.2. Собственные векторы и собственные значения матриц. Оценка однородности суждений
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации