Лекции по дисциплине прогнозирование и моделирование транспортных потоков - файл n1.doc

Лекции по дисциплине прогнозирование и моделирование транспортных потоков
скачать (398 kb.)
Доступные файлы (1):

n1.doc

398kb.

01.06.2012 15:08

скачать

---

Смотрите также:
• Швецов В.И. Математическое моделирование транспортных потоков (Документ)
• Семенов В.В. Математическое моделирование транспортного потока на нерегулируемом пересечении (Документ)
• Хейт Ф. Математическая теория транспортных потоков (Документ)
• Выполнение курсового проекта по дисциплине «Имитационное моделирование» преследует (Документ)
• Живоглядов В.Г. Теория движения транспортных и пешеходных потоков (Документ)
• Продченко И.А. Теоретические основы финансового менеджмента. Глава 8. Денежные потоки организации и управление ими (Документ)
• Горение низкомолекулярных углеводородов при авариях в транспортных тоннелях (Документ)
• Курсовая работа - Анализ и прогнозирование денежных потоков в процессе оценки бизнеса (Курсовая)
• Реферат - Прогнозирование взаимодействия транспортных систем (Реферат)
• Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования (Документ)
• Тема Прогнозирование в системе управления: его возможности и ограничения (Документ)
• Галченкова И.С. Прогнозирование, проектирование и моделирование в социальной работе (Документ)

n1.doc

Конспект лекций по курсу «Прогнозирование и моделирование транспортных потоков»
Основная литература:

1. 
   Васильков Ю.В. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании / Ю.В. Васильков, Н.Н. Василькова. – М., 1999.
   
2. 
   Глухов В.В. Математические методы и модели для менеджмента. 2-е изд., испр. и доп. / В.В. Глухов, М.Д. Медников, С.Б. Коробко. – СПб.: Изд. «Лань», 2005. – 528 с.
   
3. 
   Математика для экономистов: В 6 т./ Под. ред. А.Ф. Тарасюка. – М.: ИНФРА – М, 2000. – (Серия «Высшее образование»). Т.6: Чернов В.П., Ивановский В.Б. Теория массового обслуживания.
   
4. 
   Резниченко С.С. Математические методы и моделирование в горной промышленности: Учеб. пособие / С.С. Резниченко, А.А. Ашихмин. – 2-е изд., стер. – М.: Издательство МГГУ, 2001. – 404 с.
   
5. 
   Фомин Г.Ф. Системы и модели массового обслуживания в коммерческой деятельности: Учеб. Пособие / Г.Ф. Фомин. – М.: Финансы и статистика, 2000.
   
6. 
   Экономико-математическое моделирование: учебник / под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. – 2-е изд., стереотипное. – М: Издательство «Экзамен», 2006. – 798 с.
   

Дополнительная литература:

1. 
   Матюнин И.Е. Применение математических методов на про­мышленном транспорте / И.Е. Матюнин, Ю.А. Катькало. – Мн.: Высшая школа,1979. – 192 с.
   
2. 
   Королюк B.C. Справочник по теории вероятностей и математической ста­тистике / В.С. Королюк. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литерату­ры, 1985. – 640 с.
   

1 ОСНОВЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

1.1 Цели, задачи и виды прогнозов
Особую роль в современном менеджменте играет стратегическое управление, включающее:

• выработку главной цели бизнеса;

• прогнозирование как предвидение результатов развития, происхо­дящего под воздействием существующих факторов;

• перспективное планирование в качестве системы мер, необходимых для преодоления отклонения прогнозируемых итогов от установленных параметров.

Органической частью планирования является составление прогнозов, показывающих возможные направления будущего развития хозяйственной структуры, рассматриваемой в тесном взаимодействии с окружающей сре­дой. Вся как плановая, так и практическая работа в организации связана с необходимостью прогнозирования. Каждый менеджер и специалист по планированию должен владеть основными навыками и технологией при­кладного прогнозирования.

Прогнозирование- это способ научного предвидения, в котором ис­пользуется как накопленный в прошлом опыт, так и текущие допущения насчет будущего с целью его определения. Результатом является прогноз, т.е. научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в бу­дущем, об альтернативных путях и сроках его существования.

Прогнозирование определяет реальность и благоприятность для хо­зяйственной структуры поставленных перед ней целей. Разумеется, что не­которые приемы и средства прогнозирования применяются и в процессе определения целей, особенно долгосрочных, но при выборе целей и опре­делении степени их достижения главную роль играют субъективные фак­торы, в то время когда прогноз опирается на объективные процессы и яв­ления.

Прогнозирование - это система количественных и качественных предплановых изысканий, направленных на выяснение возможного буду­щего состояния и результатов деятельности предприятия в перспективе.

Обычно в прогнозах указывается вероятная степень отклонения от тех или иных целей в зависимости от способа будущих действий и влияния различных объективных факторов (научно-технических, природно-климатических, социально-экономических и политических).

При проведении предплановой работы прогнозы учитывают требо­вания плана, но при этом являются самостоятельной формой предвидения объективного процесса и возможного конечного результата реализации поставленной цели .

В предвидении будущего хозяйственной системы прогнозирование, с одной стороны, предшествует планированию, а с другой- является его со­ставной частью, используется на разных стадиях осуществления деятель­ности по планированию:

• применяется на этапе анализа среды и определения предпосылок для формирования стратегии системы;

• осуществляется на стадии реализации планов для оценки возмож­ных результатов и их отклонений от плановых показателей с целью орга­низации дополнительных управляющих воздействий на систему для лик­видации отклонений.

Виды прогнозов можно классифицировать по нескольким призна­кам:

1) По периоду упреждения (временному охвату):

- оперативные, со сроком до 3-6 месяцев от начала прогноза;

- краткосрочные прогнозы - до 1 года;

- среднесрочные прогнозы - до 5 лет;

- долгосрочные прогнозы - более 5 лет.

Как правило, чем длительней период, на который составляется про­гноз, тем значительней может быть отклонение фактических данных от прогнозируемых.

В современных условиях, характеризирующихся неустойчивостью внешней среды, использование фиксированного календарного периода для разработки прогнозов часто затрудняет практическое их использование в менеджменте.

2) В сфере управления народным хозяйством в зависимости от ха­рактерных особенностей объекта прогнозирования прогнозы условно делят на социальные; научно-технические; экономические.

Задачами экономического прогнозирования являются: предвидение возможного распределения ресурсов по различным направлениям; опреде­ление нижних и верхних границ получаемых результатов; оценка макси­мально возможного количества ресурсов, необходимого для решения хо­зяйственных и научно-технических проблем и др.

В отличие от экономического научно-технический прогноз опреде­ляет вероятное натурально- вещественное состояние прогнозируемого объ­екта (системы).

Первоначально разрабатываются технические прогнозы, непосредст­венно связанные с объектом экономического прогнозирования, выявляют­ся и конкретизируются потребности рынка в нововведениях, являющиеся составной частью рыночной конъюнктуры. Далее, исходя из потребностей, содержащихся в социально-экономическом заказе и механизме рынка, разрабатываются прогнозы относительно области возможных путей произ­водства и развития самого объекта прогнозирования.

3) По типам прогнозирования различают:

-творческое видение, основанное на использование субъективного мнения прогнозиста, его интуиции;

-поисковое прогнозирование, базирующееся на изучении тенденций развития хозяйственной системы и продлении их в будущее.

Этот вид прогноза дает ответ на вопрос, .что вероятнее всего про­изойдет при условии сохранения существующих тенденций. Он может быть основой для стратегического планирования.

Поисковое прогнозирование в свою очередь может быть двух видов:

- традиционным, или экстраполятивным;

- новаторским — альтернативным.

Экстраполятивный прогноз предполагает, что разви­тие происходит гладко и непрерывно, поэтому прогноз, может быть про­стой проекцией (экстраполяцией) прошлого в будущее.

Альтернативный подход исходит из того, что внешняя и внутренняя среда подвержены постоянным изменениям, и вследствие этого:

- процесс развития происходит не только гладко и непрерывно, но и скачкообразно и прерывисто;

-существует определенное число вариантов будущего развития хо­зяйственной системы.

Таким образом, при альтернативном прогнозировании создаются прогнозы, включающие сочетание различных вариантов развития выбран­ных показателей и явлений. Данный вид прогнозирования может объеди­нить два способа развития — гладкий и скачкообразный, создавая синтети­ческую картину будущего.

Нормативное прогнозирование исходит из общих целей и стратеги­ческих ориентиров на будущий период. При данном подходе рассматри­ваются только рациональные варианты прогноза, т.е. варианты поискового прогноза, которые обеспечивают попадание в требуемое конечное состоя­ние из текущего исходного с учетом существующих ограничений на ре­сурсы (в том числе, время).

Сопоставление и согласование прогноза на базе указанных двух под­ходов способствует получению наиболее полного материала для определе­ния политики хозяйственной системы.

4) По возможности воздействия на будущие прогнозы:

- пассивный прогноз - при отсутствии воздействий на среду;

- активный прогноз предполагает активные действия на прогнозиро­вание будущего, реальное воздействие на внешнюю среду.

5) По степени вероятности:

- вариантные, когда имеются несколько вариантов развития системы;

- инвариантные, когда прогноз предполагает только один вариант развития. Такие прогнозы часто основываются на экстраполятивном под­ходе, простом продолжении сложившейся тенденции.

6) По способу представления:

- точечный прогноз предполагает, что данный вариант имеет единст­венное значение прогнозируемого показателя;

-интервальный прогноз - это предсказание будущего, в котором предполагается некоторый интервал, диапазон значений прогнозируемого показателя.

Социально-экономические прогнозы традиционно разрабатываются поэтапно:

1 этап. Подготовка материалов (сбор, анализ и корректировка) по прогнозируемой проблеме.

2 этап. Разработка (и корректировка) отдельных долгосрочных, среднесрочных и текущих научно-технических и социально-экономических прогнозов:

2.1 .анализ тенденций и проблем;

2.2.разработка прогнозов в составе предполагаемой комплексной программы.

Особой сложностью обладают макроэкономические прогнозы, раз­рабатываемые на уровне народного хозяйства и отдельных отраслей (рис.1.5.).

Процесс прогнозирования можно разбить на несколько стадий:

• формулирование задания на разработку прогноза (предпрогнозная ориентация);

• собственно прогнозирование объекта;

• верификация (оценка достоверности прогноза).

Проиллюстрировать последовательность разработки прогноза можно на примере отраслевого подхода, который включает:

• описание и анализ развития отрасли за ретроспективный и настоя­щий периоды, включая оценку результатов;

• прогноз основных направлений развития отрасли на основе поиско­вого подхода;

• постановку целей и основных задач развития отрасли, прогноз ос­новных тенденций развития на основе нормативного метода;

• выявление «разрывов» между показателями нормативного и поис­кового методов, разработка путей решения проблем на основе вариантов развития отрасли с, учетом ограничений внешнего и внутреннего характе­ра;

• выбор варианта развития и подготовка исходной информации для межотраслевого баланса.

Таким образом, технология построения прогнозов представляет собой сложный многошаговый процесс, который невозможно реализовать без выработки научной теоретико-методологической основы прогностических расчетов.

yt


Интервальный прогноз




Линия тренда

(тенденция)








Точечный прогноз








Период наблюдения Период упреждения прогноза t

Рисунок – Точечный и интервальный прогнозы

Условные обозначения:

e - точность прогноза, абсолютная погрешность;

Уt - прогнозируемый показатель
2 МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ
При решении задач следует учитывать сложность конкретной производственной ситуации. Это наилучшим образом обеспечивает­ся экспериментированием в реальных условиях. Однако задачи пла­нирования, организации и управления производством решаются в системах, не допускающих экспериментов, так как неудача будет равноценна катастрофе. Например, нельзя выбрать рациональную расстановку экскаваторов или схему вскрытия, пробуя возможные варианты на карьере. Поэтому при исследовании операций широко используют модели задач (прежде всего математические).

Модель - это система, находящаяся в объективном соот­ветствии с исследуемым объектом, отражающая наиболее суще­ственные его свойства и дающая в процессе изучения информацию о самом объекте. Процесс построения и изучения модели называется моделированием.

Математические модели описывают закономерности, прису­щие изучаемому объекту, с помощью математических выражений, обычно систем уравнений и неравенств.

Математические модели подразделяются по назначению, виду моделируемого объекта, методу построения или решения модели. В зависимости от назначения модели укрупненно делятся на оптими­зационные и информационные.

Оптимизационные модели занимают ведущее место, так как на их основе непосредственно вырабатываются решения задач. В оптимизационных моделях отражается цель функционирования системы.

Информационные модели предназначены для получения ин­формации, используемой при принятии решения, в том числе при построении оптимизационных моделей. К информационным отно­сятся модели имитации технологических процессов, корреляционные модели технико-экономических показателей, прогнозные модели, а также математические модели месторождений.

По виду объекта различают модели технологических процес­сов, комплексов работ, предприятий, объединений и отраслей.

В зависимости от метода получения или решения различают корреляционные модели, модели линейного (нелинейного) програм­мирования, сетевые модели, модели массового обслуживания, игро­вые модели и др.

Процессы принятия решений при всем их многообразии имеют две характерные черты, определяющие структуру математи­ческих моделей:

1. 
   Условия задачи допускают большое количество возможных вариантов, из которых надо выбрать оптимальный. С уве­личением числа рассматриваемых вариантов увеличивается объем информации, необходимой для решения задачи, и ее описание ста­новится более громоздким.
   
2. 
   Принятие решения осуществляется для определенной цели, т. е. выбранное решение должно наилучшим образом обеспечивать достижение поставленной цели.
   

Для сравнения возможных вариантов и оценки их соответ­ствия поставленной цели используются количественные критерии эффективности.

Таким образом, процесс принятия решений можно описать функцией, аргументами которой являются допустимые решения, а значениями - числа, характеризующие меру достижения поставлен­ной цели при различных аргументах. Эта функция называется целе­вой. Она связывает допустимые решения с показателем эффектив­ности. Задача выбора решения сводится к нахождению экстремаль­ного значения функции (показателя эффективности) и аргумента, при котором оно достигается. Решение, максимизирующее (минимизирующее) функцию, называется оптимальным.

На рисунке 1 приведена классификация видов моделирования систем.

Любая модель не может отображать все свойства исследуемо­го процесса, быть всеобъемлющей. Она всегда направлена на изу­чение, решение вполне определенной проблемы и должна обеспе­чивать получение решения к заданному моменту времени с задан­ной точностью и отображать исследуемый процесс с заданной сте­пенью адекватности.



Рисунок 1 - Классификация видов моделирования систем

3 ПОРЯДОК ПОСТРОЕНИЯ И РЕШЕНИЯ МОДЕЛЕЙ
Процесс математического моделирования включает семь эта­пов:

уяснение и постановка задачи;

выбор целевой функции и критерия эффективности;

сбор исходных материалов, выявление управляемых и не­управляемых переменных;

построение математической модели операции;

решение модели, т. е. отыскание оптимума целевой функции;

логическая или экспериментальная проверка модели и полу­ченного решения;

выбор рекомендаций по внедрению полученных результатов.

Данная схема не является универсальной, так как построение и решение модели требуют изобретательности. Это принципиальная схема, которая показывает порядок работ и в каждом конкретном случае в зависимости от задачи исследования может быть модифи­цирована.

На первом этапе определяют характер задачи и цель работы, предварительно оценивают возможные результаты и формулируют условия задачи, при которых они могут быть достигнуты.

На втором этапе устанавливают целевую функцию и критерий эффективности, затем приступают к выявлению управляемых и не­управляемых переменных, сбору материалов для установления зави­симости между ними.

На третьем этапе выявляют возможно большее число пере­менных, влияющих на решение, и после тщательного их анализа отбирают наиболее важные показатели. Критерий эффективности и значимость управляемых переменных устанавливают совместно с руководством предприятия. Затем производят сбор информации, т. е. определяют числовые значения постоянных коэффициентов (неуправляемых переменных). Причем надо не просто получить чис­ловые значения отдельных величин, но и установить количествен­ную взаимосвязь между ними. Следует отметить, что на сбор* ин­формации иногда приходится до трех четвертей всего времени моде­лирования. Наличие и достоверность информации во многом опре­деляют не только продолжительность, но и успех исследования. При внедрении методов математического моделирования на предприятии улучшается система учета и сбора информации, что не только со­кращает время дальнейших исследований, но и упрощает работу руководства.

На третьем этапе некоторые важные факторы могут выпасть из поля зрения и это повлияет на решение задачи. Такое положение может быть исправлено на тестом этапе работы, когда производят проверку модели и полученных результатов и вносят необходимые поправки.

В заключение разрабатывают рекомендации по внедрению ре­зультатов моделирования. В рекомендациях указывают производ­ственные ситуации, для которых разработаны модели, эффектив­ность возможных решений и непосредственно даны указания для практического действия.

Рекомендации должны быть написаны языком, понятным для тех, кто будет ими пользоваться. В них следует обстоятельно указы­вать функции каждого работника, внедряющего результаты моде­лирования, и порядок их выполнения. Однако на практике могут возникнуть такие обстоятельства, которые заранее трудно предви­деть. Поэтому специалисты, разрабатывающие математические мо­дели, должны принимать непосредственное участие в реализации своих выводов и рекомендаций.

Использование полученных рекомендаций должно позволить руководителю лучше обосновать принимаемое решение. Причем использование методов математического моделирования не снимает с руководителя обязанности принимать решения и отвечать за них.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

1. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Большое количество производственных задач и ситуаций мо­жет быть описано системами массового обслуживания. Работа си­стемы массового обслуживания заключается в обслуживании боль­шого количества требований. Под требованием понимается запрос на удовлетворение какой-либо потребности, а обслуживание заклю­чается в ее удовлетворении.

Средство, осуществляющее обслуживание потока требований, называют обслуживающим аппаратом, а их совокупность - обслу­живающей системой.

Схематическое изображение системы массового обслуживания показано на рис. Х.1, а примеры систем массового обслуживания даны в табл. X. 1.



Совокупность требований на обслуживание представляет вхо­дящий поток, а обслуженные требования - выходящий. Требования на обслуживание образуют очередь, а порядок, в котором они по­ступают на обслуживание и покидают очередь, называется дисци­плиной очереди. Очередь является упорядоченной, если требования на обслуживание попадают в порядке поступления, и неупорядоченной - если требования обслуживания в случайном порядке. Кроме того, если обслуживанию определенных требований отдается пред­почтение перед остальными, то наблюдается обслуживание с при­оритетом (например, машины большой грузоподъемности ремонти­руются раньше машин малой грузоподъемности).

Требование	Вид обслуживания	Обслуживающий аппарат
Телефонный разговор Автосамосвал То же То же Машина, требующая ремонта	Соединение с абонентом Погрузка Выгрузка Разгрузка Ремонт	Канал связи Экскаватор Отвальный тупик Бункер Бригада слесарей ремонта

Рассмотрим последовательно основные составные части си­стемы массового обслуживания.

Анализ работы систем массового обслуживания обычно начинают с входящего потока требований. Различают регулярный и случайный потоки требований (событий). Поток событий называется регуляр­ным, если требования поступают на обслуживание в строго опреде­ленные промежутки времени (по графику). Из-за влияния на ход производственного процесса случайных факторов (природных, тех­нических, социально - психологических) регулярный поток практи­чески никогда не наблюдается.

Главной характеристикой потока требований является его ин­тенсивность ? - количество требований, поступающих на обслужи­вание в единицу времени.

Наиболее просто задачи массового обслуживания решаются для простейшего случайного потока требований, основные свойства которого - стационарность, ординарность и отсутствие последей­ствия.

Поток является стационарным, если его интенсивность посто­янна (?=const) в любые промежутки времени. Например, количество автосамосвалов, прибывающих на погрузку каждый час, одно и то же. Реальные производственные процессы стационарны на неболь­шом отрезке времени, исключая обычно время начала и конца сме­ны. Однако при расчете систем массового обслуживания в целях упрощения процесс принимают стационарным в течение всего ис­следуемого промежутка времени.

Ординарность потока означает поступление требований по­одиночке.

Если рассматривать достаточно малый промежуток времени (∆t), условие ординарности потока обычно соблюдается. Например, под погрузку к экскаватору машины прибывают поодиночке.

Поток без последействия наблюдается в тех случаях, когда по­ступление требований не зависит от того, сколько их обслуживалось в системе ранее. Например, выход из строя определенного оборудо­вания не зависит от того, какой его вид ломался ранее.

Для простейшего потока требований количество заявок, по­ступающих в единицу времени, подчинено пуассоновскому закону, при котором вероятность наличия в системе k требований за время t выражается формулой



Дифференцируя это выражение, получаем плотность распре­деления вероятностей интервалов времени между двумя заявками



которая подчиняется показательному закону.

Помимо простейшего пуассоновского в теории массового об­служивания рассматриваются и более сложные потоки (пуассоновский с переменной интенсивностью, Эрланга, Пальма и др.).

Кроме характера потока требований, работа системы массо­вого обслуживания зависит от качества функционирования обслу­живающих аппаратов, основной характеристикой которых является время обслуживания одного требования или величина, обратная времени обслуживания - интенсивность обслуживания V. Эта вели­чина показывает количество требований, обслуживаемых в единицу времени. Интенсивность обслуживания - обычно случайная величи­на.




Решение задач массового обслуживания упрощается, если предположить, что время обслуживания распределено по показа­тельному закону, а плотность распределения определена зависи­мостью

На практике далеко не всегда входящий поток требований и время обслуживания можно удовлетворительно интерпретировать соответственно простейшим пуассоновским и показательным зако­нами распределения . Однако такое допущение, существенно облег­чая решение задачи, незначительно сказывается на расчетных вели­чинах основных показателей систем массового обслуживания.

Системы массового обслуживания подразделяются на системы с потерями и ожиданием.

В системах с потерями (отказами) требование, поступившее в момент, когда все обслуживающие аппараты заняты, получает отказ и покидает систему. Такие требования считаются для данной си­стемы потерянными.

В системах с ожиданиями требование, поступившее в момент, когда все обслуживающие аппараты заняты, становится в очередь и ожидает обслуживания. Время ожидания в очереди в общем случае может быть как ограниченным, так и неограниченным.

Классический пример системы массового обслуживания с по­терями - работа автоматической телефонной станции (АТС). Если линия связи или вызываемый абонент занят, то абонент, обратив­шийся в АТС, кладет трубку, т.е. требование покидает систему необслуженным.

В системах с неограниченной длиной очереди поступившее требование при отсутствии свободных каналов простаивает в ожи­дании своего обслуживания, причем оно обязательно будет обслу­жено.

В системах с ограниченным ожиданием накладывается огра­ничение либо на длину очереди, при которой требование ждет об­служивания, либо на время его пребывания в очереди.
2. ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Задачи массового обслуживания обычно решаются в три эта­па.

На первом этапе уточняют задачу и выясняют, относится ли она к задачам массового обслуживания. Далее задачу формулируют в терминах массового обслуживания, уточняют систему массового обслуживания и конкретное содержание потока требований и об­служивающих аппаратов. Для решения задачи необходимо знать характеристики входящего потока и обслуживающей системы. На­чинается наиболее трудоемкий этап: сбор и обработка статистиче­ских сведений. С этой целью организуются хрономегражные наблю­дения или обрабатываются отчетные (исполнительные) документы. При обработке результатов обычно исключают время начала и кон­ца смены, когда режим работы меняется (неустановившийся), т.е. считают, что работа происходит в стационарном режиме.

Вопросы сбора и обработки информации изучаются матема­тической статистикой. После проведения хрономегражных наблю­дений и получения фактических функций распределения устанавли­вают, каким законам они подчиняются.

Прежде всего проверяют соответствие входящего потока тре­бований пуассоновскому закону, а времени обслуживания - показа­тельному, так как в этих случаях решение задачи осуществляется наиболее просто.

Проверку соответствия фактического распределения теорети­ческому (пуассоновскому, показательному, гамма - распределению, нормальному и др.) осуществляют с помощью специальных крите­риев, называемых критериями согласия. Наиболее распространен критерий согласия Пирсона ?2 (хи-квадрат). При проверке по это­му критерию сначала определяют меру расхождения ?2 фактическо­го распределения от предполагаемого теоретического



где k - количество разрядов, в которые сведены результаты опытов; N - общее количество наблюдений; mi - количество наблюдений в i-м разряде; Рi - теоретическая вероятность (по предполагаемому закону распределения) i-го разряда.

Далее определяется число степеней свободы




где с - число параметров распределения. Для пуассоновского и пока­зательного закона с = 1.

По найденным ?2 и г с помощью специальной таблицы определяют вероятность совпадения предполагаемого закона распределения с теоретическим.

Если эта вероятность весьма мала, гипотеза отвергается.

После установления законов распределения входящего потока требований и времени обслуживания на втором этапе с помощью теории массового обслуживания в зависимости от способа органи­зации обслуживающей системы и входящего потока требований (числа обслуживающих каналов, максимального количества требо­ваний в системе и др.), а также параметров законов распределения входящего потока требований и времени обслуживания определяют основные характеристики системы.

Для оценки функционирования системы массового обслужи­вания используют следующие основные ее характеристики:

Абсолютную пропускную способность системы (количество требований, обслуживаемых системой в единицу времени);

относительную пропускную способность системы (отношение количества обслуживаемых требований к их общему количеству, поступившему в систему);

средний процент необслуженных требований;

среднее время простоя системы из-за отсутствия требований;

среднюю длину очереди;

среднее время ожидания.

Последние два показателя используют для расчета систем мас­сового обслуживания с ожиданием.

На третьем этапе, используя полученные характеристики си­стем массового обслуживания и зная необходимые стоимостные данные, находят оптимум решаемой задачи.

При этом, так как обычно вариантов немного, используется метод их перебора. В более сложных случаях решается задача цело­численного программирования.

Помимо оценки по экономическим показателям выбор вари­анта организации системы массового обслуживания может осущест­вляться по требуемому значению одной из ее характеристик.

Введем в рассмотрение параметр ? — коэффициент за­грузки системы или среднее число каналов, которое необ­ходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требования:



где ? — среднее число требований, поступающих в едини­цу времени; ? — среднее число требований, удовлетворяе­мых в единицу времени; То6 — среднее время обслужива­ния одним каналом одного требования.

Заметим, что если, а меньше количества каналов обслу­живания, то очередь не может расти безгранично, т. е. число обслуживающих каналов должно быть больше сред­него числа каналов, необходимых для того, чтобы за еди­ницу времени обслужить все поступившие требования.
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ

Первоначально рассмотрим простейшую систему массового обслуживания - работу одноканальной системы массового обслужи­вания с потерями. На примере этой системы покажем основные принципы получения формул для расчета систем массового обслу­живания.

На вход системы поступает пуассоновский поток требований с интенсивностью ?, а время обслуживания Тоб распределяется по показательному закону, интенсивность которого v = 1/Tоб. Требова­ние, поступающее в систему в тот момент, когда обслуживающий канал занят, покидает систему.

Необходимо определить основные характеристики системы: абсолютную пропускную способность А, т.е. ее производительность, и относительную пропускную способность q, эквивалентную коэф­фициенту полезного действия системы.

Формулы дои анализа и расчета систем массового обслужива­ния получают следующим образом:

строят граф состояний системы S;

описывают вероятности состояний системы;

определяют вероятности переходов из одного состояния в дру­гое;

строят дифференциальные уравнения поведения системы;

решают систему дифференциальных уравнений;

на основе решения системы получают зависимости для расчета характеристик системы массового обслуживания.

Одноканальная система массового обслуживания S может на­ходиться в двух состояниях:

S0 когда в системе нет требований и обслуживающий канал свободен;

S1 когда в системе имеется требование и канал занят его об­служиванием.

Из состояния So система может перейти в состояние Si и, на­оборот. Из состояния So в Si система переходит при поступлении требования, а из состояния Si в So - по окончании обслуживания требования. Иначе говоря, из состояния So в состояние Si систему переводят входящий поток с интенсивностью ?, а из Si в So - поток обслуживании с интенсивностью v.

Граф состояний системы приведен на рис. Х.2. Обозначим ве­роятности состояний So и Si соответственно Ро и Pi . Очевидно, что Po+Pi = l.



Определим вероятность пребывания системы в состоянии So(Po) и изменения этого состояния за малый отрезок времени ∆t, т.е. вероятность того, что в момент (t + ∆t) система будет в состоя­нии So. Это событие может произойти двумя способами:

в момент t система находилась в состоянии So и за время ∆t не изменила состояния (So ? ∆t ? So);

в момент t система была в состоянии S1 и за время ∆t пере­шла в состояние So (S1? ∆t ? So).

Вероятность первого варианта обозначим РA а второго РB. Вероятность первого варианта найдем по теореме умножения веро­ятностей. Она равна произведению вероятности пребывания си­стемы в состоянии So на условную вероятность того, что система из состояния So не перейдет в S1





Так как поток пуассоновский, по формуле (Х.7) получим




Тогда вероятность того, что состояние системы не изменится, будет равна



Раскроем скобки в правой части, перенесем Ро в левую часть и разделим обе части равенства на ∆t, в результате этого получим



При ∆t, стремящемся к нулю, перейдем к пределам и получим



Так как выражение в правой части представляет первую про­изводную, получаем дифференциальное уравнение для состояния So



Аналогичным образом можно получить дифференциальное уравнение состояния S1



Таким образом, дифференциальные уравнения для вероятно­стей состояний системы имеют вид



Решая полученное уравнение для начальных условий Ро(0)=0 и Р1(f) = 1 (т.е. в начальный момент времени канал свободен), получа­ем



Каждый из n каналов может одновременно обслужи­вать только одно требование и все каналы функционируют независимо.

В систему поступает простейший (пуассоновский) по­ток требований с параметром ?. Время обслуживания каж­дого требования является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром ?.

Состояние такой системы описывается системой диф­ференциальных уравнений:



где Pi(t) — вероятность того, что в системе в момент време­ни t занято k каналов обслуживания.

1. 
   Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:
   

2. 
   Вероятность того, что в системе находится k требований:
   

3. 
   Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:
   

4. 
   Среднее число свободных от обслуживания каналов:
   

5. Коэффициент простоя каналов:



6. Среднее число занятых обслуживанием каналов:



7. Коэффициент загрузки каналов:



Для данного класса систем массового обслуживания ре­шаются задачи выбора оптимального количества аппара­тов, подбора параметров обслуживающего комплекса, рас­чета пропускной способности системы и др.

Экономическая оценка вариантов системы имеет вид:



где а — норма амортизации; с1 — цена канала обслужива­ния; с2 и с3 — текущие затраты на обслуживание работаю­щего и простаивающего канала; с4 — потери производства от невыполнения одной работы (потери одного отказа), Т — годовой фонд рабочего времени системы.

Пример 1. Фирма имеет n=4 телефонных диспетче­ров. Среднее число вызовов в течение часа составляет ?=96. Среднее время телефонного разговора То6 = 2 минуты. Оп­ределить степень загрузки диспетчеров и вероятность отка­за в обслуживании.

Решение. Определим параметр системы

1. 
   Вероятность того, что все диспетчеры свободны:
   

2. 
   Вероятность того, что все диспетчеры заняты (веро­ятность отказа):
   

т. е. клиент не сможет дозвониться с первого раза в 30 слу­чаях из 100.

3.Среднее число занятых диспетчеров:



4.Коэффициент загрузки каналов:



Следовательно, каждый диспетчер будет занят в сред­нем 0,62 рабочего дня.
4. СИСТЕМА С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНОЙ ОЧЕРЕДИ
Системы массового обслуживания с неограниченной дли­ной очереди предполагают ограниченное число каналов об­служивания в системе и неограниченную возможность для образования очереди требований, поступающих на обслу­живание. Каждый канал может выполнять только одну работу. Если в момент поступления очередного требования все каналы заняты, то оно становится в очередь и ожидает начала обслуживания.

В систему поступает простейший (пуассоновский) по­ток требований с параметром ?. Время обслуживания каж­дого требования является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром ?.

Состояние такой системы описывается системой диф­ференциальных уравнений:




где n — число каналов обслуживания в системе; Pk(t) — вероятность того, что в системе в момент времени t занято k каналов обслуживания.

1.Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:

2. 
   Вероятность того, что в системе находится k требова­ний, в случае, когда их число не превосходит числа обслу­живающих аппаратов:
   

2. 
   Вероятность того, что в системе находится k требований, в случае, когда их число больше числа обслуживаю­щих каналов:
   

2. 
   Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:
   

2. 
   Среднее число требований в системе:
   

6. Среднее время пребывания в системе:



7. Средняя длина очереди:



8. Среднее время пребывания в очереди:



9. Среднее число свободных от обслуживания каналов:



Для данного класса систем массового обслуживания ре­шаются задачи выбора оптимального числа аппаратов, оп­ределения размеров очереди и соответствующих складских площадей, расчета пропускной способности системы и др.

Экономическая оценка вариантов системы имеет вид:



где а — норма амортизации; с1 — цена канала обслужива­ния; с2 и с3 — текущие затраты на обслуживание работаю­щего и простаивающего канала; с4 — затраты на содержа­ние ожидающих требований в единицу времени; Т — годо­вой фонд рабочего времени системы.
5. СИСТЕМА С ПОСТОЯННЫМ ВРЕМЕНЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ
Пример. Грузовики ожидают разгрузки на складе 15 мин. Простой грузовика в очереди обходится в 60 руб./ч. Покупка нового автопогрузчика позволит сократить про­цесс разгрузки до 5 мин (? = 12 автомобилей в час). В сред­нем на складе пребывает ? = 8 автомобилей в час. Затраты на амортизацию нового погрузчика составляют 3 руб. на разгрузку. Оценить параметры системы.

Решение.

1. Средняя длина очереди:



2. Среднее время пребывания в очереди:



3. Среднее число требований в системе:



4. Среднее время пребывания в системе:



Без автопогрузчика затраты ожидания 0,25 ч • 60 руб./ч = 15 руб./рейс. С автопогрузчиком суммарные затраты (за­траты ожидания и амортизация) 0,083 ч • 60 руб./ч + 3 руб./рейс = 8 руб./рейс. Следовательно, выгоднее по­ставить автопогрузчик.
6. СИСТЕМА С ОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНОЙ ОЧЕРЕДИ
Система состоит из n обслуживающих каналов. Каждый из них может одновременно обслуживать только одно требо­вание. В систему поступает простейший (пуассоновский) по­ток требований с параметром ?. Если в момент поступления очередного требования все n каналов заняты, то это требова­ние ставится на очередь, при условии, что в ней стоит мень­ше т требований, иначе — покидает систему. Другими сло­вами, требование получает отказ, если в системе находится s = n + m требований. Время обслуживания каждого требо­вания является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром ?.

Состояние такой системы описывается системой диф­ференциальных уравнений:



где n — число каналов обслуживания в системе; Pk(t) — вероятность того, что в системе в момент времени t нахо­дится k требований.

1. 
   Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:
   

2. Вероятность того, что в системе находится k требова­ний, в случае, когда их число не превосходит числа обслу­живающих аппаратов:



3. Вероятность того, что в системе находится k требований, в случае, когда их число больше числа обслуживаю­щих каналов:



4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:



5. Вероятность отказа:



6. Средняя длина очереди:



7. Среднее число свободных от обслуживания каналов:



Экономическая оценка вариантов системы имеет вид:



где а — норма амортизации; с1 — цена канала обслужива­ния; с2 и с3 — текущие затраты на обслуживание работаю­щего и простаивающего канала; с4 — потери производства от невыполнения одной работы (потери одного заказа); с5—затраты на содержание ожидающих требований в единицу времени; Т — годовой фонд рабочего времени системы.
7. СИСТЕМА С ОГРАНИЧЕННЫМ ПОТОКОМ ТРЕБОВАНИЙ
Система состоит из n обслуживающих каналов. Каж­дый из них может одновременно обслуживать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром ?. Если в момент поступления очередного требования в системе на обслу­живании уже находится не меньше n требований (все каналы заняты), то это требование ставится на очередь и ждет начала обслуживания. Требования на обслуживание поступают от m обслуживаемых объектов, т. е. поток по­ступающих требований ограничен. Время обслуживания каждого требования является случайной величиной, ко­торая подчиняется экспоненциальному закону распреде­ления с параметром ?.

Состояние такой системы описывается системой диф­ференциальных уравнений:



где n — число каналов обслуживания в системе; Pk(t) — вероятность того, что в системе в момент времени t нахо­дится k требований.

1.Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:

2. 
   Вероятность того, что в системе находится k требова­ний, в случае, когда их число не превосходит числа обслу­живающих аппаратов:
   

2. 
   Вероятность того, что в системе находится k требова­ний, в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов:
   

4. 
   Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:
   

4. 
   Средняя длина очереди:
   

6. Среднее число требований, находящихся в системе:



7. Среднее число свободных от обслуживания каналов:



Экономическая оценка вариантов системы имеет вид:



где а — норма амортизации; с1 — цена канала обслужива­ния; с2 и с3 — текущие затраты на обслуживание работаю­щего и простаивающего канала; с4 — затраты на содержа­ние требований, находящихся в системе, в единицу време­ни; Т — годовой фонд рабочего времени системы.
8. ДВУХФАЗНАЯ СИСТЕМА
Двухфазная система массового обслуживания с неогра­ниченным потоком требований состоит из двух аппаратов разной производительности. В этой системе возможно об­разование очереди требований перед первой и второй фаза­ми. Поступившее в систему требование сначала обслужива­ется на первом аппарате. Если он занят, то требование ставится в очередь. После первого аппарата требование пе­реходит на второй аппарат, перед которым также может образовываться очередь.

Простейшие системы данного класса имеют показатель­ный закон распределения времени обслуживания на аппа­ратах с параметрами ?1 и ?2 и пуассоновский поток посту­пающих требований с параметром ?.

Вероятностные оценки состояния системы следующие.

1.Вероятность того, что оба канала обслуживания сво­бодны:



2.Вероятность того, что на первой фазе системы нахо­дится n требований, а вторая фаза свободна:



3. Вероятность того, что на второй фазе системы нахо­дится n требований, а первая фаза свободна:



4. Вероятность того, что на первой фазе системы нахо­дится n требований, а на второй — m требований:



5. Среднее число требований, находящихся в системе:



Для данного класса систем массового обслуживания ре­шаются задачи выбора оптимального числа аппаратов в фа­зах определения размеров очередей и соответствующих раз­меров складов, расчета пропускной способности системы и др.

Экономическая оценка вариантов системы имеет вид:



где а — норма амортизации; с1(i) — цена i-ro канала обслу­живания; c2(i) и с3(i) — текущие затраты на обслуживание работающего и простаивающего i-ro канала; c4(i)> — затраты на содержание ожидающих требований перед i-м каналом в единицу времени; Т — годовой фонд рабочего времени системы.

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Взаимодействие как процесс обслуживания (взаимодействие массового обслуживания) имеет широкое распространение на предприятиях, использующих цикличный транспорт. При этом осуществляется массовое обслуживание однородного потока требо­ваний. Например, при использовании на карьере железнодорожного и автомобильного транспорта выемочно-погрузочные работы, от­вальные работы, работа карьерного транспорта могут интерпрети­роваться как процесс массового обслуживания, а работу всего ка­рьера в целом можно моделировать как многофазную систему мас­сового обслуживания (рис.1), состоящую из подсистем: 1 - забой, 2 - транспорт, 3 - отвалы и 4 - ремонт.



Рисунок 1 - Многофазная система массового обслуживания

В подсистеме "забой", имитирующей выемочно-погрузочные работы, требованиями (входящим потоком) являются порожние автомобили, поступающие из подсистемы "транспорт"; обслуживание заключается в их погрузке, а выходящим потоком являются груже­ные составы. В подсистеме "транспорт" требованиями на обслужи­вание являются составы (порожние и груженые), поступающие соот­ветственно из подсистем "отвалы" и "забои". Обслуживание заклю­чается в пропуске составов; в качестве обслуживающих аппаратов выступают железнодорожные пути и, различные транспортные со­оружения. Выходящим потоком требований являются порожние и груженые автомобили, которые поступают соответственно на вход подсистем "забои" и "отвалы". В целом подсистема "транспорт" может быть подразделена на две части, одна из которых обслуживает по­рожние, а другая - груженые составы.

В подсистеме 3, имитирующей разгрузку автомобилей на отвале, входящий поток требований - груженые автомобили. Обслуживание заключается в их разгрузке, обслуживающие аппараты - отвальные тупики с оборудованием. Выходящий поток требований из данной подсистемы - порожние автомобили - поступает на один из входов под­системы "транспорт".

Механизмы (требования или обслуживающие аппараты в лю­бой подсистеме) могут выходить из строя и требовать ремонта. По­добные механизмы составляют входящий поток требований под­системы "ремонт". Обслуживающими аппаратами здесь выступают бригады ремонтников с необходимым оборудованием (обслуживание заключается в ремонте механизмов), а выходящим потоком требований - исправные механизмы, которые вновь воз­вращаются в те подсистемы, откуда они поступили в ремонт.

Таким образом, в целом работа карьера представляет замкну­тую систему: выходящий из одной системы поток является входящим для другой и т.д., что наглядно иллюстрируется рисунок 1. Модели­рование взаимодействия массового обслуживания может осущест­вляться аналитически или с помощью метода статистических испы­таний.

Применение аналитических методов теории массового обслу­живания для математического описания транспортных процессов всегда связано с принятием тех или иных допущений, например о пуассоновском характере потока требований, необходимых для применения определенных моделей.

Допустимость использования аналитических методов теории массового обслуживания в каждом конкретном случае требует осо­бых доказательств. Более надежные результаты получаются при статистическом моделировании взаимодействия массового обслужи­вания.

Рассмотрим применение статистического моделирования для определения характеристик открытой многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием, включающей забойные экс­каваторы (обслуживающие аппараты) и автомобили (поток требований).

В обслуживающую систему, включающую и экскаваторов, в случайные моменты времени ti поступают автомобили (требования на погрузку). Если в этот момент есть свободные об­служивающие аппараты, то состав становится под погрузку и зани­мает экскаватор на время

- соответственно время погрузки и движения от распределительного устройства до экскаватора (/п и tдe - случайные величины, закон распределения которых устанавливается статисти­ческими наблюдениями с последующей обработкой).

Если свободных экскаваторов нет, то состав становится в оче­редь. Экскаваторы периодически могут выходить из строя. Момен­ты выхода из строя экскаваторов и время их последующего ремонта являются случайными величинами, закон распределения которых известен.

Укрупненная блок-схема моделирующего алгоритма приведе­на на рисунке 2. В начале моделирования все текущие параметры схемы равны нулю. Каждый оператор представляет собой подалгоритм, реализующий в процессе моделирования определенную опера­цию.



Рисунок 2 - Укрупненная блок-схема алгоритма, моделирующего работу транспорта

Приведем операторную запись моделирующего алгоритма

Здесь и на блок-схеме (см. рисунок 2) приняты следующие обо­значения: А1 - определение момента t; поступления очередного тре­бования в систему; Р2 - проверка принадлежности очередного соста­ва к рассматриваемой смене (неравенство tiАз, если нет - оператору А22; А3 - счетчик общего числа соста­вов, поступивших за смену; А4 - определение времени занятости экс­каватора tзан, обслуживающего предыдущие составы. Время заня­тости (как и моменты поступления составов, время ремонта и т.д.) является случайной величиной с известным законом распределения А(х). Поэтому оператор А4 преобразует случайные числа, имеющие равномерное распределение в интервале (0,1) с целью получения случайных чисел, подчиняющихся закону распределения А(х). Для этого используются датчики или специальные методы получения псевдослучайных чисел; A5 - определение времени освобождения экскаватора tосв, для чего ко времени начала обслуживания состава прибавляется полученное оператором А4 значение tзан, значение фиксируется в специальных блоках программы ЭВМ; Р6 - проверка наличия свободных экскаваторов (псв >0). Значение момента по­ступления состава ti сравнивается с toce для всех экскаваторов. Если свободных экскаваторов нет, состав должен встать в очередь и управление в этом случае передается оператору А18; P7 - проверка числа свободных экскаваторов. Если имеется только один свобод­ный экскаватор, управление передается оператору А9, А8 - составле­ние перечня свободных экскаваторов и выработка условий для реа­лизации правил распределения и очередности погрузки свободных экскаваторов; А9 - выбор одного из свободных экскаваторов в соот­ветствии с правилами приоритетов. Приоритет может даваться либо по мере освобождения экскаваторов, либо планом горных работ (когда диктуется первоочередная отгрузка из ряда забоев); Р10 - проверка условий исправной работы экскаватора. Вероятностный закон выхода экскаватора из строя известен. Если t* - момент выхо­да экскаватора из строя, то зная момент окончания обслуживания tk =tOCB +t3АH, можно определить, произойдет ли срыв в обслужи­вании t* <tk. Если экскаватор исправен и может обслуживать со­ставы, то осуществляется переход к оператору Ф17; А11 - определение времени ремонта tрем экскаватора, вышедшего из строя; A12 - счет­чик числа и времени ремонтов; Р13 - определение дальнейшего поло­жения состава в случае выхода экскаватора из строя. Для этого вре­мя ремонта сравнивается с определенной величиной t0, если tРЕМ>t0, то состав уходит от экскаватора не полностью обслуженным, и управление передается оператору A16, если t0>tРЕjM, то состав ждет конца ремонта и погружается; А14 - определение времени ремонта и последующего дообслуживания состава; Р15 - проверка возможности погрузки состава после окончания ремонта до конца смены (tОСВ+tЗАН+tРЕМ); если состав будет загружен до конца смены, управление передается оператору Ф17; А16 - счетчик не полностью обслуженных составов; Ф17 - оператор подготовки алгоритма к мо­делированию процесса обслуживания следующего состава; А18 - определение времени ожидания состава в очереди tож = toce – t; А19 - счетчик общего времени простоя составов в очереди ожидания по­грузки; Р20- проверка возможности обслуживания стоящего в очере­ди состава до конца смены; если состав может быть обслужен, то управление передается оператору A8; А21 - счетчик числа необслуженных составов; А22 - статистическая обработка результатов моде­лирования; П23 - выдача результатов; Я24 - окончание процесса мо­делирования.

В результате реализации алгоритма выдаются на печать сле­дующие характеристики процесса:

среднее значение и распределение числа составов в любой мо­мент времени;

среднее значение и распределение продолжительности загруз­ки экскаваторов;

количество составов, поступивших на погрузку за смену;

количество и время ремонтов экскаваторов;

количество не полностью обслуженных составов;

количество полностью не обслуженных составов;

количество составов, загруженных каждым экскаватором.

Получив эти характеристики и зная экономические показате­ли, можно найти оптимальное число составов, распределение экска­ваторов и автомобилей по участкам работ, оптимальное размещение обменных пунктов и т.д.

Метод статистических испытаний позволяет моделировать и более сложные системы массового обслуживания (работу в переход­ном режиме, многофазовый процесс обслуживания, системы с неод­нородным потоком требований и т.д.).
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
При решении многих задач планирования и управления транспортным производством, проблема принятия решений резко усложняется из-за различного вида случайных фак­торов, к которым чаще всего относятся условия проведения опера­ции (климат, надежность оборудования, опыт и квалификация персонала и т.д.). Кроме того, операции часто являются многоцелевыми, при этом возникает вопрос: какому из критериев отдать предпочтение (обычно для разных критериев различно и решение). Во всех этих случаях приходится принимать решение в условиях неопределен­ности, возникающей из-за недостатка (отсутствия) информации (либо об условиях проведения операции, либо ее целях). Естественно, в этих случаях принятие решения более сложно, и точные математи­ческие методы не всегда дают однозначный результат. Однако и в этих условиях использование методов экономико-математического моделирования позволяет глубже разобраться в задаче, свести к минимуму элементы риска и волюнтаризма.

Задачи обоснования решений в условиях неопределенности изучаются теорией игр и статистических решений. Причем теория игр используется для анализа конфликтных ситуаций, в которых противодействуют (обычно активно) различные стороны, а теория статистических решений применяется в ситуациях, когда неопреде­ленность рождена условиями задачи. В этих задачах нет активного противника, противодействующего нашим планам. Его роль выпол­няет природа, являющаяся условным противником, поведение кото­рого неизвестно, хотя элемент противодействия отсутствует. Подоб­ные ситуации называются "играми с природой".

Выбор решения начинают с сопоставления стратегий. При этом проверяется, не имеется ли стратегий лучших при любых со­стояниях природы (доминирующих).

Возможны случаи, когда одна стратегия доминирует над все­ми, тогда принятие решения тривиально. Если доминирующие стра­тегии отсутствуют, то в зависимости от состояния природы (которое нам не известно) эффективны и различные варианты реше­ний. Например, при первом состоянии природы эффективен второй вариант, при втором состоянии - пятый и т.д.

В подобных случаях для принятия решения используют раз­личные критерии оптимальности.

Наиболее просто решается задача, если имеется информация о вероятностях состояния объекта. В этом случае в качестве критерия используется математическое ожидание выигрыша (или риска), т.е. выбирается решение, при котором



В такой постановке задача принятия решения в условиях не­определенности сводится к задаче принятия решений в условиях риска. Принятое решение оптимально при многократном повторе­нии операции, т.е. "на круг", в среднем.

В последнее время для решения динамических задач планирования и управления все более часто используется байессовский подход (критерий Байесса), основанный на последовательном пересчете вероятностей со­стояния природы (апостериорных вероятностей) в зависимости от прошлых (или принятых ранее) состояний (априорных вероятно­стей).

Во всех случаях оценки вероятностей состояния природы ре­шение является оптимальным только относительно принятого рас­пределения вероятностей состояний.

Существуют и другие подходы, и критерии к принятию реше­ний в условиях неопределенности, используемые, когда нельзя полу­чить распределение вероятностей состояний природы.

Наиболее широко распространены критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

При использовании максиминного критерия Вальда для каж­дой стратегии находят минимальное значение выигрыша, соответ­ствующее наихудшему для нас в данном случае состоянию природы, т.е. min аj. Далее из всех возможных стратегий выбираем ту, для ко­торой минимальный выигрыш максимален



Критерий Вальда является пессимистическим, при его исполь­зовании ориентируются на наихудшее для нас состояние природы, т.е. по существу природа рассматривается как активно противобор­ствующий противник.

Другая разновидность пессимистического подхода - использо­вание критерия Сэвиджа. В этом случае находят минимальное значе­ние риска при самом неблагоприятном состоянии природы



С этой целью для каждой стратегии (построчно) по матрице рисков находят максимальные значения риска, а затем выбирают из них минимальное.

Критерий Гурвица является комбинированным, учитывающим как оптимистический, так и пессимистический подходы. При ис­пользовании этого критерия состояние природы берется не самым худшим и не самым лучшим, а некоторое промежуточное. При этом за оптимальную принимается стратегия, при которой



где к - коэффициент, характеризующий долю пессимизма и оптимизма (изменяется от 0 до 1).

Коэффициент к выбирается по субъективным соображениям: чем более сложнее ситуация и необходимо застраховаться, тем к ближе к единице. При к=1 критерий Гурвица преобразуется в крите­рий Вальда.

Критерии Вальда и Сэвиджа используют при принятии разо­вых и ответственных решений, а Гурвица, Лапласа и Байесса - при менее ответственных, когда ситуация (задача) повторяется много­кратно (например, при оперативном планировании).

---

Конспект лекций по курсу «Прогнозирование и моделирование транспортных потоков»