Конспект урока-Алгебра 8-9 класу.Функції та графіки - файл n1.docx

приобрести
Конспект урока-Алгебра 8-9 класу.Функції та графіки
скачать (669.9 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.docx670kb.01.06.2012 15:00скачать

n1.docx

Функції та графіки

Функції

Функціональною відповідністю, або функцією, називають таку відповідність між двома змінними, коли кожному значенню однієї змінної відповідає одне значення другої змінної.
Першу змінну називають незалежною, або аргументом функції, а другу — залежною, або функцією від першої змінної. Усі значення, які приймає незалежна змінна, утворюють область визначення функції.
Записують: d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1172_fmt2.jpeg, де x — аргумент, y — функція. Область визначення позначають d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1173_fmt2.jpegабо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1174_fmt2.jpeg.
Приклади
1) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1175_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1176_fmt2.jpeg— множина всіх дійсних чисел, крім 3.
2) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1177_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1178_fmt2.jpeg— множина всіх дійсних чисел, що не перевищують 2, тому що підкореневий вираз має бути невід’ємний.
Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції.

Приклади функцій і їх графіків

Лінійна функція

Лінійною називається функція, яку можна задати формулою d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1179_fmt2.jpeg, де х — аргумент, а k і b — дані числа.
Графік лінійної функції — пряма. k називається кутовим коефіцієнтом прямої, яка є графіком лінійної функції. Кожна пряма на координатній площині, яка не є перпендикулярною до осі абсцис,— графік деякої лінійної функції.
Через дві точки можна провести одну й тільки одну пряму, тому для побудови графіка лінійної функції досить знати координати двох його точок (дуже добре, якщо це будуть точки перетину графіка з осями). Точка перетину графіка з віссю абсцис має ординату 0, а точка перетину графіка з віссю ординат має абсцису 0.
Приклад
Побудуйте графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1180_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1181_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1182_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1183_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1184_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1185_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1186_fmt2.jpeg.

x

0

1,5

y

-3

0


Побудуємо графік (див. рисунок).
d:\вдш\01_math\images\image8756image_67_fmt2.jpeg
Якщо в лінійній функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1187_fmt2.jpeg, то графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1188_fmt2.jpegперетинає вісь абсцис;
якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1189_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1190_fmt2.jpeg, то графік функції — пряма, паралельна осі абсцис;
якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1191_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1192_fmt2.jpeg, графік функції збігається з віссю абсцис.
Графіки двох лінійних функцій перетинаються, якщо їх кутові коефіцієнти різні, і паралельні, якщо їх кутові коефіцієнти однакові.
Можна знайти координати точки перетину прямих, не виконуючи побудови графіків функцій. Так, якщо прямі задані рівняннями d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1193_fmt2.jpegі d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1194_fmt2.jpeg, то досить розв’язати систему рівнянь:
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1195_fmt2.jpeg
Лінійну функцію, що задається формулою d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1196_fmt2.jpeg, де d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1197_fmt2.jpeg, називають прямою пропорційністю.
Графік прямої пропорційності — пряма, що проходить через початок координат. Якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1198_fmt2.jpeg, графік лежить у I і III координатних чвертях, а якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1199_fmt2.jpeg— то у II і IV координатних чвертях.
Приклади
1) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1200_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1201_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1202_fmt2.jpeg.
2) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1203_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1204_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1205_fmt2.jpeg.
Побудуємо в одній системі координат графіки функцій d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1206_fmt2.jpegі d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1207_fmt2.jpeg(див. рисунок).
d:\вдш\01_math\images\image8756image_18_fmt2.jpeg

Обернена пропорційність

Функцію, задану формулою d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1208_fmt2.jpeg, де х — незалежна змінна, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1209_fmt2.jpeg— дане число, називають оберненою пропорційністю.
Область визначення функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1210_fmt2.jpeg— множина всіх чисел, крім 0.
Графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1211_fmt2.jpegd:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1212_fmt2.jpeg— гіпербола, симетрична відносно початку координат. Коли d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1213_fmt2.jpeg, вітки такої гіперболи розміщені в I і III координатних кутах, коли d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1214_fmt2.jpeg— у II і IV.
Як приклад побудуємо графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1215_fmt2.jpeg. Заповнимо таблицю (значення x задаємо, y — обчислюємо за формулою d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1216_fmt2.jpeg:

x

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1217_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1218_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1219_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1220_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1221_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1222_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1223_fmt.jpeg

y

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1224_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1225_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1226_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1227_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1228_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1229_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1230_fmt.jpeg


Нанесемо отримані точки на координатну площину. Сполучивши ці точки плавною лінією, отримаємо графік (див. рисунок):
d:\вдш\01_math\images\image8756image_51_fmt2.jpeg
Зверніть увагу на поводження графіка поблизу осей координат. Графік до них нескінченно наближається, але не перетинає. Дійсно, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1231_fmt2.jpegне входить до області визначення, отже точки перетину з віссю Oy немає. d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1232_fmt2.jpegні при якому значенні х, значить, якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1233_fmt2.jpeg, точки перетину з віссю Ox немає.

Функція

Заповнимо таблицю (значення x задаємо, y — обчислюємо за формулою y = x2).

x

0

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1235_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1236_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1237_fmt.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1238_fmt.jpeg

y

0

1

4

9

0,25


Нанесемо знайдені точки на координатну площину. Сполучивши ці точки, отримаємо графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1239_fmt2.jpeg(див. рисунок нижче).
Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1240_fmt2.jpeg. Графік проходить через початок координат d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1241_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1242_fmt2.jpegпри всіх значеннях х. Усі точки графіка розташовані не нижче осі Оx.
Протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції, тобто графік симетричний відносно осі ординат.
d:\вдш\01_math\images\image8756image_19_fmt2.jpeg

Функція

Область визначення — множина всіх невід’ємних дійсних чисел.
Графік — одна вітка параболи, яка розташована в I координатному куті (див. рисунок).
d:\вдш\01_math\images\image8756image_76_fmt2.jpeg

Розв’язування рівнянь графічним способом

За допомогою графіків функцій можна розв’язувати рівняння графічним способом. Для цього треба побудувати в одній системі координат графіки обох частин рівняння й знайти абсциси точок їх перетину.
Приклад. Розв’яжіть рівняння d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1245_fmt2.jpeg.
Побудуємо графіки функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1246_fmt2.jpegі d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1247_fmt2.jpegв одній координатної системі (див. рисунок) і знайдемо абсиси точок їх перетину.
d:\вдш\01_math\images\image8756image_20_fmt2.jpeg
Відповідь: d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1248_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1249_fmt2.jpeg.
Функція може задаватися описом, таблицею, графіком, формулою тощо.
Область визначення функції зручно записувати за допомогою числових проміжків.
Приклади
1) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1366_fmt2.jpeg;
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1367_fmt2.jpeg;
2) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1368_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1369_fmt2.jpeg;
3) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1370_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1371_fmt2.jpeg;
4) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1372_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1373_fmt2.jpeg.
Пояснимо, як ми знайшли область визначення в останньому прикладі. Функція визначена для тих і тільки тих значень x, які є розв’язками системи умов:
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1374_fmt2.jpeg
d:\вдш\01_math\images\image8756image_30_fmt2.jpeg
Отже, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1375_fmt2.jpeg.

Властивості функцій

Функція називається зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше значення функції.
Функція називається спадною на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає менше значення функції.
Якщо функція зростає (спадає) на всій області визначення, її називають зростаючою (спадною).
Приклади
1. Лінійна функція d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1376_fmt2.jpeg.
При d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1377_fmt2.jpegфункція зростаюча (рисунок зліва), при d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1378_fmt2.jpeg— спадна (рисунок справа).
d:\вдш\01_math\images\image8756image_57_fmt2.jpeg
Щоб краще це зрозуміти, візьміть d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1379_fmt2.jpegі простежте, які значення у відповідають d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1380_fmt2.jpegі d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1381_fmt2.jpeg.
2. Функція d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1382_fmt2.jpeg.d:\вдш\01_math\images\image8756image_31_fmt2.jpeg

При d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1383_fmt2.jpegфункція зростаюча (див. рисунок).
При d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1384_fmt2.jpegфункція спадна.

3. Обернена пропорційність d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1385_fmt2.jpeg.
Якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1386_fmt2.jpeg, функція спадна при d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1387_fmt2.jpegі при d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1388_fmt2.jpeg(рисунок 1); якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1389_fmt2.jpeg— функція зростаюча при d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1390_fmt2.jpegі при d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1391_fmt2.jpeg(рисунок 2).
d:\вдш\01_math\images\image8756image_83_fmt2.jpeg
d:\вдш\01_math\images\image8756image_32_fmt2.jpeg
Зверніть увагу, що не можна говорити про ці функції, що вони зростають або спадають на всій області визначення.
Дійсно, розглянемо функцію d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1392_fmt2.jpeg.
Нехай d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1393_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1394_fmt2.jpeg;
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1395_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1396_fmt2.jpeg;
Отже, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1397_fmt2.jpeg, а d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1398_fmt2.jpeg, хоча за означенням спадної функції повинна виконуватись умова d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1399_fmt2.jpeg.
Функція називається парною, якщо:
1) область її визначення симетрична відносно 0, тобто d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1400_fmt2.jpeg;
2) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1401_fmt2.jpeg.
Протилежним значенням аргументу відповідає одне й те саме значення функції.
Графік парної функції є симетричним відносно осі y.
Приклади парних функцій
1. d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1402_fmt2.jpeg;
1) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1403_fmt2.jpeg— симетрична відносно 0.
2) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1404_fmt2.jpeg. Функція парна.
2. d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1405_fmt2.jpeg;
1) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1406_fmt2.jpeg— симетрична відносно 0.
2) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1407_fmt2.jpeg.
Функція парна.
Функція називається непарною, якщо:
1) область її визначення симетрична відносно 0;
2) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1408_fmt2.jpeg.
Протилежним значенням аргументу відповідають протилежні значення функції.
Графік непарної функції є симетричним відносно початку координат.
Приклади непарних функцій
1. d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1409_fmt2.jpeg;
1) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1410_fmt2.jpeg— симетрична відносно 0.
2) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1411_fmt2.jpeg. Функція непарна.
2. d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1412_fmt2.jpeg.
Щоб знайти d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1413_fmt2.jpeg, розв’яжемо рівняння
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1414_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1415_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1416_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1417_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1418_fmt2.jpeg.
Отже, в d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1419_fmt2.jpegвходять усі дійсні числа, крім чисел 0; 2; –2.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1420_fmt4.jpegd:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1420_fmt5.jpeg— симетрична відносно 0.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1421_fmt2.jpeg. Функція непарна.
Зверніть увагу: функція може бути ні парною, ні непарною.

Перетворення графіків функцій

1. Графіки функцій d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1422_fmt2.jpegі d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1423_fmt2.jpegє симетричними відносно осі Ox.
2. Щоб побудувати графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1424_fmt2.jpegd:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1425_fmt2.jpeg, треба графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1426_fmt2.jpegрозтягнути від осі Ox в k разів, якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1427_fmt2.jpeg, або стиснути його в k разів до осі Ox, якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1428_fmt2.jpeg.
3. Щоб побудувати графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1429_fmt2.jpeg, треба графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1430_fmt2.jpegперенести на n одиниць в напрямі осі Oy, якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1431_fmt2.jpeg, або в протилежному напрямі, якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1432_fmt2.jpeg.
4. Щоб побудувати графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1433_fmt2.jpeg, треба графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1434_fmt2.jpegперенести на m одиниць у напрямі осі Ox, якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1435_fmt2.jpeg, або в протилежному напрямі, якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1436_fmt2.jpeg.
На рисунках, поданих нижче, наведені приклади перетворення графіків.
d:\вдш\01_math\images\image8756image_58_fmt2.jpeg
d:\вдш\01_math\images\image8756image_33_fmt2.jpeg
d:\вдш\01_math\images\image8756image_71_fmt2.jpeg
5. Щоб побудувати графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1444_fmt2.jpeg,
треба з’ясувати, що d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1445_fmt2.jpeg, коли d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1446_fmt2.jpeg, а d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1447_fmt2.jpeg, коли d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1448_fmt2.jpeg.
Тобто ту частину графіка функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1449_fmt2.jpeg(рисунок нижче зліва), де d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1450_fmt2.jpeg, треба залишити без змін, а ту частину, де d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1451_fmt2.jpeg,— замінити на симетричну відносно осі Ox (рисунок справа).
d:\вдш\01_math\images\image8756image_34_fmt2.jpeg
6. Щоб побудувати графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1454_fmt2.jpeg, треба ту частину графіка функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1455_fmt2.jpeg(рисунок 1), де d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1456_fmt2.jpeg, залишити без змін і відобразити її симетрично відносно осі Oy. Ту частину графіка d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1457_fmt2.jpeg, де d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1458_fmt2.jpeg, треба відкинути (рисунок 2).
d:\вдш\01_math\images\image8756image_59_fmt2.jpeg
Рис. 1
d:\вдш\01_math\images\image8756image_35_fmt2.jpeg
Рис. 2

Квадратична функція

Квадратним тричленом називається многочлен виду d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1461_fmt2.jpeg, де x — змінна, a, b і c — деякі числа, причому d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1462_fmt2.jpeg.
Коренем квадратного тричлена називається таке значення змінної, яке перетворює квадратний тричлен на 0. Щоб знайти корені квадратного тричлена, треба розв’язати квадратне рівняння d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1463_fmt2.jpeg.
Теорема. Якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1464_fmt2.jpegі d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1465_fmt2.jpeg— корені квадратного тричлена d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1466_fmt2.jpeg, то
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1467_fmt2.jpeg.
Приклади
1) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1468_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1469_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1470_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1471_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1472_fmt2.jpegабо
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1473_fmt2.jpeg.
2) Скоротити дріб.
а) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1474_fmt2.jpeg;
б) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1475_fmt2.jpegd:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1476_fmt2.jpeg;
в) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1477_fmt2.jpeg
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1478_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1479_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1480_fmt2.jpeg.
Квадратичною функцією називається функція, яку можна задати формулою виду d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1481_fmt2.jpeg, де x — незалежна змінна, a, b, c — довільні числа, причому d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1482_fmt2.jpeg.
Графіки функцій d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1483_fmt2.jpegі d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1484_fmt2.jpeg— рівні параболи, які можна сумістити паралельним перенесенням.
Будь-яку функцію d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1485_fmt2.jpegможна представити у вигляді d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1486_fmt4.jpeg, де m і d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1486_fmt5.jpeg, n — деякі дійсні числа. А це означає, що графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1487_fmt2.jpegможна дістати за допомогою двох паралельних перенесень графіка функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1488_fmt2.jpeg.
Приклад
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1489_fmt2.jpeg;
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1490_fmt2.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1491_fmt2.jpeg

d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1492_fmt2.jpeg.
Отже, щоб дістати графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1493_fmt2.jpeg, треба зробити з графіком функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1494_fmt2.jpegтакі перетворення:
1) відобразити симетрично осі Ox;
2) зробити паралельне перенесення на три одиничних відрізка в напрямі осі Ox;
3) зробити паралельне перенесення на один одиничний відрізок униз.
Зробимо всі ці перетворення й отримаємо графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1495_fmt2.jpeg:
d:\вдш\01_math\images\image8756image_78_fmt2.jpeg
При побудові параболи користуються такими загальними формулами та властивостями квадратичної функції.
1. Координати вершини параболи d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1496_fmt2.jpeg:
xв= d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1497_fmt2.jpeg; yв= d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1498_fmt2.jpegабо yв= y(xв).
Зручніше знаходити ординату вершини як значення функції, що відповідає значенню аргументу x = xв.
2. Точки перетину параболи з осями координат є такими:
Абсциса точки перетину параболи з віссю Oy дорівнює 0, тоді d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1501_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1502_fmt2.jpeg.
Ордината точок перетину параболи з віссю Ox дорівнює 0, тоді, щоб знайти абсциси цих точок, треба розв’язати квадратне рівняння d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1504_fmt2.jpeg.
Якщо це рівняння має два різних корені d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1505_fmt2.jpegі d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1506_fmt2.jpeg, графік перетинає вісь Ox у точках d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1507_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1508_fmt2.jpeg.
Якщо це рівняння має один корінь (тобто d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1509_fmt2.jpeg), то цей корінь d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1510_fmt2.jpeg.
Це означає, що вершина параболи лежить на осі Ox і має координати d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1510a_fmt2.jpeg.
Якщо це рівняння не має коренів d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1511_fmt2.jpeg, парабола не перетинає вісь Ox.
3. Напрям віток параболи залежить від знака коефіцієнта a.
Якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1512_fmt2.jpeg, вітки параболи напрямлені вгору.
Якщо d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1513_fmt2.jpeg, вітки параболи напрямлені вниз.
4. Парабола є симетричною відносно прямої d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1514_fmt2.jpeg.
На рисунках, поданих нижче, наведені ескізи розміщення параболи на координатній площині в деяких випадках.
1) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1515_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1516_fmt2.jpeg;
d:\вдш\01_math\images\image8756image_36_fmt2.jpeg
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1517_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1518_fmt2.jpeg;
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1519_fmt2.jpeg; xвd:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1520_fmt2.jpeg.
2) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1524_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1525_fmt2.jpeg;
x1 = x2 = xв=
= d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1526_fmt6.jpeg;
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1527_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\image8756image_60_fmt2.jpeg
3) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1529_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1530_fmt2.jpeg;
xв> 0; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1532_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\image8756image_37_fmt2.jpeg
4) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1534_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1535_fmt2.jpeg;
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1536_fmt2.jpeg;
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1537_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1538_fmt2.jpeg;
xв= d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1526_fmt7.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\image8756image_72_fmt2.jpeg
5) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1543_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1544_fmt2.jpeg;
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1545_fmt2.jpeg;
x1= x2= xв= d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1526_fmt8.jpeg<0.
d:\вдш\01_math\images\image8756image_38_fmt2.jpeg
6) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1548_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1549_fmt2.jpeg;
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1550_fmt2.jpeg;
xв= d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1551_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\image8756image_61_fmt2.jpeg
Приклад
Побудувати графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1553_fmt4.jpegd:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1553_fmt5.jpeg. d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1554_fmt2.jpeg— вітки параболи напрямлені вниз.
xв= d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1555_fmt2.jpeg; xв= d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1556_fmt2.jpeg;
yв= d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1557_fmt2.jpeg, yв= d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1558_fmt2.jpeg.
Вершина: (3; 1).
Точка перетину з віссю :
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1559_fmt2.jpeg; (0; –8).
Точки перетину з віссю Ox:
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1560_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1561_fmt2.jpeg;
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1562_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1563_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1564_fmt2.jpeg.
(2; 0); (4; 0).
На прикладі цієї функції покажемо, як аналізувати її властивості.
1. d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1565_fmt2.jpeg.
2. d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1566_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1567_fmt2.jpeg— множина значень функції, тобто множина всіх значень y.
3. d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1568_fmt2.jpegпри d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1569_fmt2.jpegі при d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1570_fmt2.jpeg.
4. Точки перетину графіка з осями координат.
(0; -8); (2; 0); (4; 0).
5. d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1571_fmt2.jpegпри d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1572_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1573_fmt2.jpegпри d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1574_fmt2.jpeg.
6. Функція зростає при d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1575_fmt2.jpeg, функція спадає при d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1576_fmt2.jpeg.
7. Найбільше значення функції — d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1577_fmt2.jpeg, найменшого значення функції немає.
8. Графік функції — парабола (див. рисунок нижче), що дорівнює параболі d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1578_fmt2.jpeg, вітки якої напрямлені вниз, яка має вершину в точці (3; 1) і симетрична відносно прямої d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1579_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\image8756image_39_fmt2.jpeg
Зверніть увагу: будь-яка парабола має один проміжок зростання й один проміжок спадання, причому вісь Ox розбивається на ці проміжки точкою, яка відповідає точці xв.

Розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків

Якщо лівою частиною нерівності є вираз виду d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1581_fmt2.jpeg, де d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1582_fmt2.jpeg, b, c — дані числа, а правою — нуль, то таку нерівність називають квадратною нерівністю.
Квадратні нерівності зручно розв’язувати за допомогою графіків квадратичних функцій.
Для цього треба:
1) знайти корені тричлена d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1583_fmt2.jpegабо з’ясувати, що їх немає;
2) зобразити схематично графік функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1584_fmt2.jpeg, звертаючи увагу тільки на точки перетину з віссю Ox і напрям віток параболи залежно від знака коефіцієнта а;
3) знайти на осі Ox проміжки, для яких виконується дана нерівність.

Приклади
1) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1585_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1586_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1587_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1588_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1589_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\image8756image_81_fmt2.jpeg
На ескізі графіка функції d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1590_fmt2.jpeg(див. рисунок) знайдемо проміжки, на яких d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1591_fmt2.jpeg.
Відповідь: d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1592_fmt2.jpeg.

2) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1593_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1594_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1595_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1596_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\image8756image_40_fmt2.jpeg

Вітки параболи графіка напрямлені вниз (див. рисунок).
Відповідь: (0; 0,9).
3) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1597_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\image8756image_62_fmt2.jpeg
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1598_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1599_fmt2.jpeg— коренів немає.
Графік функції не перетинає вісь абсцис (див. рисунок).
Відповідь: d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1600_fmt2.jpeg.
4) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1601_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1602_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1603_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\image8756image_41_fmt2.jpeg
Графік перетинає вісь абсцис в одній точці (див. рисунок).
Відповідь: d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1604_fmt2.jpeg.

5) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1605_fmt2.jpeg.
Відповідь: d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1606_fmt2.jpeg.
6) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1607_fmt2.jpeg.
Відповідь: d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1608_fmt2.jpeg.
7) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1609_fmt2.jpeg.
Відповідь: d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1610_fmt2.jpeg.
Дуже зручно користуватися таким простим правилом: квадратний тричлен із додатним першим коефіцієнтом набуває додатних значень «за коренями», а від’ємних — «між коренями»; і навпаки: квадратний тричлен з від’ємним першим коефіцієнтом набуває додатних значень «між коренями», а від’ємних — «за коренями».

Рівняння, що зводяться до квадратних

Рівняння виду d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1611_fmt2.jpeg, де d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1612_fmt2.jpeg, називається біквадратним.
Для його розв’язання вводять нову змінну:
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1613_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1614_fmt2.jpeg.
Приклади
1) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1615_fmt2.jpeg.
Нехай d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1616_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1617_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1618_fmt2.jpeg. Розв’язавши це квадратне рівняння, знайдемо:
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1619_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1620_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1621_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1622_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1623_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1624_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1625_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1626_fmt2.jpeg. d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1627_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1628_fmt2.jpeg.
Відповідь: d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1629_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1630_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1631_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1632_fmt2.jpeg.
2) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1633_fmt2.jpeg.
Нехай d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1634_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1635_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1636_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1637_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1638_fmt2.jpegне задовольняє умову d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1639_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1640_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1641_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1642_fmt2.jpeg.
Відповідь: d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1643_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1644_fmt2.jpeg.
3) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1645_fmt2.jpeg.
Нехай d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1646_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1647_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1648_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1649_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1650_fmt2.jpeg.
t1 і t2 не задовольняють умову d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1651_fmt2.jpeg.
Відповідь: коренів немає.
Введення нової змінної дає можливість звести до квадратних і деякі інші види рівнянь.
Приклади
1. d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1652_fmt2.jpeg.
Нехай d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1653_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1654_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1655_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1656_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1657_fmt2.jpegне задовольняє умову d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1658_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1659_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1660_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1661_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1662_fmt2.jpeg.
Відповідь: d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1663_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1664_fmt2.jpeg.
2. d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1665_fmt2.jpeg.
Нехай d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1666_fmt2.jpeg.
Тоді d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1667_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1668_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1669_fmt2.jpeg,
Відповідь: d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1670_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1671_fmt2.jpeg.
а) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1672_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1673_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1674_fmt2.jpeg,
Відповідь: d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1675_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1676_fmt2.jpeg.

б) d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1677_fmt2.jpeg.
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1678_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1679_fmt2.jpeg,
d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1680_fmt2.jpeg; d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1681_fmt2.jpeg.
Відповідь: d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1682_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1683_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1684_fmt2.jpeg, d:\вдш\01_math\images\sprav-ukr1685_fmt2.jpeg.

Функції та графіки
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации