Аникина В.И. Основы кристаллографии и дефекты кристаллического строения - файл n1.doc

приобрести
Аникина В.И. Основы кристаллографии и дефекты кристаллического строения
скачать (5224 kb.)
Доступные файлы (1):

n1.doc

5224kb.

01.06.2012 14:57

скачать

---

Смотрите также:
• Третьякова Н.В. Материаловедение (Документ)
• Травин О.В., Травина Н.Т. Материаловедение (Документ)
• Новиков И.И. Дефекты кристаллического строения металлов (Документ)
• 3. Опишите линейные несовершенства кристаллического строения и их влияние на свойства металлов Линейные дефекты. Линейные несовершенства имеют малые размеры в двух (Документ)
• Оура К., Лифшиц В.Г., Саранин А.А., Зотов А.В., Катаяма М. Введение в физику поверхности (Документ)
• «Особенности кристаллического строения твердых веществ» (Документ)
• Валуев Д.В. Технологический процесс разливки стали (Документ)
• Чупрунов Е.В., Хохлов А.Ф., Фадеев М.А. Основы кристаллографии (Документ)
• Блейкмор Дж. Физика твердого тела (Документ)
• Новаковская Ю.В. Молекулярные системы. Теория строения и взаимодействия с излучением. Часть 1. Общие основы квантовой механики и теории симметрии (Документ)
• Лекции по кристаллографии и минералогии (Лекция)
• Основы теории химических процессов и строения веществ (Документ)

n1.doc

ФГОУ ВПО «СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт цветных металлов и золота
Кафедра «Металловедение и термическая обработка металлов»


Автор: Аникина Валентина Ильинична,

доцент, кандидат технических наук

ОСНОВЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ И ДЕФЕКТЫ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО СТРОЕНИЯ
КУРС ЛЕКЦИЙ

для студентов бакалаврского уровня высшего профессионального образования

Укрупненная группа: 150000 – «Металлургия, машиностроение и материалообработка».

Направление: 150100 – «Металлургия»

Красноярск, 2007


Лекция 1. Основные понятия о кристаллах
План лекции
1. Распространенность кристаллических веществ.

2. Связь кристаллографии с другими науками.

3. Важнейшие свойства кристаллов.

4. Закон постоянства гранных углов.
Кристаллография – одна из главных фундаментальных наук о Зем­ле, ее веществе. Это наука не только о кристаллах – о процессах их обра­зования, об их внешней форме, внутреннем строении и физических свой­ствах, - но и о закономерностях развития Земли, ее формы, о процессах, происходящих в глубинах геосфер.

Во всем мире кристаллографические знания приобретают все боль­шее значение. Практически все научные и технические достижения последнего времени (компьютерная техника, электронная микроско­пия, квазикристаллы, высокотемпературные сверхпроводники и т. д.) непосредственно связаны с кристаллографией. Положение современной кристаллографии во многом напоминает ситуацию с математикой, методы которой используются в многочислен­ных и самых разнообразных дисциплинах. Следует подчеркнуть, что кри­сталлография - вполне самостоятельная наука. Как и каждая наука, она обладает уникальным, только ей присущим методом - применительно к кристаллографии это метод симметрии, который является общим мето­дом познания закономерностей развития Земли, ее вещества.

Кристаллография может быть недоступной для непосредственного наблюдения. Но она существует в той или иной форме у всех материальных объектов! Таким образом, симметрия является главным свойством всякого кристалла. Применение законов симметрии составляет основу всех кристалло­графических методов, что и делает кристаллографию самостоятельной наукой.
Что же такое кристалл? Это огромная совокупность одинаковых ато­мов, ионов или молекул, которые во всех трех измерениях расположены в строгом порядке. Таким образом, кристаллами называются твердые тела с упорядоченным внутренним строением на уровне атомов и моле­кул, т. е. тела, обладающие трехмерно-периодической пространствен­ной атомной структурой и имеющие вследствие этого, при определенных условиях образования, форму многогранников.

Если бы можно было рассмотреть кристаллическое вещество при сверхувеличении в миллиарды раз, то мы бы увидели, что одинаковые атомы (или частицы) регулярно повторяются с одинаковым шагом в па­раллельных рядах и плоских параллельных слоях.

В кристаллическом многограннике и в вырезанной из него пластинке одинаково закономерное, симметричное, периодическое распо­ложение частиц.
Частицы, из которых сложены кристаллы, т. е. атомы, ионы, молекулы, образуют правильные, сим­метричные ряды, сетки, решетки (рис. 1.1).

Рис. 1.1 Закономерное расположение атомов в кри­сталле золота. (Снято в электронном микроскопе).

Эти решетки являются естественны­ми трехмерными дифракционными ре­шетками для рентгеновских лучей. Структуру кристаллов исследуют по дифракции рентгеновских лучей (рис. 1.2), дифракции электронов, нейтронов, с помощью электронного микроскопа, ионного проектора (рис. 1.3) и другими методами.

Рис. 1.2 Рентгенограмма кристалла

Отдельные, целостные кристаллы образуют монокристаллы; существуют также и поликристаллы - агрегаты многих, мелких кристаллов, иногда столь мелких монокристальных зерен, что у них уже нельзя различить харак­терных очертаний кристалла.

Камни, металлы, химические про­дукты - органические и неорганиче­ские, в том числе такие сложные, как волокна хлопка и искусственного шел­ка, кости человека и животных, и, на­конец, такие сложно организованные объекты, как вирусы, гемоглобин, ин­сулин, дезоксирибонуклеиновая кисло­та и многие другие, имеют закономер­ное внутреннее строение. Каждому кристаллическому веществу присущи определенный порядок, характерный «узор» и симметрия в расположении частиц, установившиеся расстояния между частицами, причем, все эти за­кономерности можно определить каче­ственно и количественно.

Рис. 1.3 Симметричное расположение атомов в моно­кристалле платины, сфотографированное с по­мощью ионного проектора

Расположение частиц (атомов, ио­нов, молекул), становится закономер­ным, упорядоченным, когда вещество переходит из аморфной фазы (газ, жидкость, стеклообразное состояние) в кристаллическую (рис. 1.4), соответ­ствующую минимуму свободной энер­гии при данных условиях. Закономерность расположения частиц, их приро­да, их энергетический спектр и силы связи между ними определяют физи­ческие свойства кристалла.

Закономерность и симметрия струк­туры кристалла - следствие динами­ческого равновесия многих сил или процессов. Внешние воздействия, как, например, электрическое или магнит­ное поле, механическое усилие или добавление чужеродных атомов в кри­сталл, могут нарушать это динамиче­ское равновесие и соответственно ме­нять свойства кристалла. Это откры­вает широкие возможности управления свойствами кристаллов, используемые в современной технике.

Рис. 1.4 Модель расположения частиц в ве­ществе: а - кристалл; б - жидкость; в – газ.

Вследствие закономерности и сим­метрии структуры кристаллы однород­ны и анизотропны.

Кристалл называется однородным, если для любой точки, взятой внутри него, найдется такая, что свойства кристалла в обеих этих точках совер­шенно аналогичны, причем вторая точ­ка отстоит от первой на некотором конечном расстоянии. Из эксперимен­тальных данных известно, что в крис­таллах неорганических веществ это расстояние обычно составляет несколь­ко десятых долей нанометра. Такие «одинаковые», или эквивалентные, точки периодически повторяются в пространстве, образуя бесконечные ря­ды, сетки, решетки.

Уже с самого начала видна двой­ственность подхода к описанию кри­сталлического вещества: кристаллы можно рассматривать как дискретные (прерывные) и как сплошные (непре­рывные) среды. Дискретность внутрен­него строения означает, что свойства кристалла не могут быть одинаковыми там, где частица есть, и там, где час­тицы нет, или в местах, в которых рас­положены частицы разных сортов. Однако для описания многих свойств кристалла достаточно ограничиться рассмотрением объемов значительно больших, чем собственный объем час­тицы, и значительно меньших, чем объем кристалла в целом. Именно в таком понимании рассматривают кристалл как среду сплошную и од­нородную.

Вследствие того, что в структуре кристалла в разных направлениях раз­личны расстояния и силы связи меж­ду частицами, большинство свойств кристалла анизотропно, т. е. различно в разных направлениях, но одинаково в направлениях, симметричных друг другу. Например, слюда легко рас­щепляется на параллельные листочки, но только вдоль плоскостей с одной определенной ориентацией, а вдоль других плоскостей расщепить ее не удается.

Анизотропной является и скорость роста кристалла. Если бы скорость роста была изотропной, кристалл вы­растал бы в форме шара. Именно вследствие того, что скорости роста кристалла различны в разных на­правлениях и эти различия симметрич­ны в пространстве, кристалл выраста­ет в форме симметричных правильных многогранников. Внешняя форма кри­сталла отражает анизотропию и сим­метрию его скоростей роста.

В свою очередь, анизотропия скоро­стей роста определяется структурой кристалла. Поэтому природная много­гранная форма наглядно характеризу­ет закономерность структуры кристал­ла и позволяет судить о симметрии его свойств.

Кристаллы способны самоограняться, т. е. при опре­деленных условиях принимают естественную многогранную форму. Шарик, вырезанный из кристалла кварца или квасцов, в растворе этого же соединения покрывается гранями, в то вре­мя как шарик из кварцевого стекла остается неизменным. То же самое произойдет и с обломками этих веществ. Этот пример иллюстрирует не только способность кристаллов самоограняться, но и их анизотропию, проявляющуюся в различии скоростей роста по разным направлениям, а также симметрию. Процесс огранения - результат правильного внут­реннего строения кристаллического вещества.

Грани кристаллов пересекаются по рёбрам, а последние же пересекаются в вершинах. Грани, рёбра и вершины кристалла являются элементами его огранения. Между ними устанавливается следующая зависимость, известная как формула Эйлера-Декарта:
грани + вершины = рёбра + 2
Еще одним свойством кристаллов является их симметрия - симметрия кристаллического пространства. Симметрия - наиболее общая законо­мерность, присущая строению и свойствам кристаллического вещества, - является одним из фундаментальных понятий физики и естествознания, лежащих в основе всей кристаллографии.
1.1. Закон постоянства гранных углов
Когда кристалл растет, частицы вы­страиваются в закономерные и сим­метричные ряды, сетки, решетки. Грани кристаллических многогранников со­ответствуют плоскостям, составленным из материальных частиц, ребра кри­сталла — линиям пересечения этих плоскостей, т. е. рядам материальных частиц. Кристалл растет так, что частицы вещества из окружающей среды отла­гаются на его гранях. Грани нарастают параллельно самим себе (рис. 1.5). Меняются площади граней, их форма, какие-то грани могут вытесняться со­седними и зарастать, но взаимный на­клон граней остается неизменным. По­этому углы между гранями тоже оста­ются постоянными.

В этом заключается количественный закон кристаллографии, открытый Николаем Стеноном (1669)—закон постоянства углов: во всех кристаллах данного веще­ства при одинаковых условиях углы между соответствующими гранями кристаллов постоянны.

В законе под одинаковыми условиями по­нимаются одинаковые температура и давле­ние. Тем самым подразумевается, что, если у вещества есть несколько полиморфных моди­фикаций, речь здесь идет об одной модифи­кации.

Кристаллы разных веществ отлича­ются друг от друга внешней формой. У кристаллов одного и того же веще­ства облик может оказаться совсем различным, размеры, формы и даже число граней разные, но углы между соответствующими гранями кристаллов одного вещества всегда постоянны.

Рис 1.5.Схема параллельного нарастания граней кристалла. Стрелками изображены нормали к граням.

Закон постоянства углов дает воз­можность свести все многообразие форм кристаллических многогранни­ков к совокупности углов между гра­нями и изобразить их с помощью про­екции.

Первые представления о структуре кристалла были сформулированы еще в XVIII и XIX вв., задолго до откры­тия дифракции рентгеновских лучей, только на основании изучения симмет­рии природных многогранников.

Итак, симметрия, периодичность и закономерность структуры - основные характеристики кристаллического со­стояния вещества.

Поэтому основным методом кристал­лографии является установление сим­метрии явлений, свойств, структуры и внешней формы кристаллов.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение кристаллического вещества.

2. Дайте определение кристаллической решетки.

3. Дайте определение кристаллической структуры.

4. Назовите основные свойства кристаллических тел и поясните, на чем они основаны.

5.Объясните, почему аморфные вещества рассматривают как переохлажденные жидкости.

6. Перечислите основные свойства кристаллических тел, связанные с их строением, и дайте их определения.

7. Дайте определение закона постоянства гранных углов.

8. Объясните, что такое ретикулярная плотность.

9. Как отличаются по строению кристаллическое вещество от некристаллического.

10. Объясните, что такое “ряд” в кристаллической решетке”.


Лекция 2. Структура кристаллов и пространственная

решётка
План лекции
1. Элементарная ячейка, её выбор, метрика.

2. Кристаллическая структура материалов.

3. Ретикулярная плотность сетки.

4. Кристаллографические символы узлов, плоскостей и направлений в кристаллах кубической сингонии.
Расстояния между частицами в большинстве кристаллических веществ составляют несколько десятых долей нанометра, поэтому даже на длине в 1 мм в кристалле располагается ~10⁷ частиц, что практически можно считать бесконечным числом.

Кратчайшее из возможных расстоя­ний между одинаковыми точками в ряду называется элементарной (крат­чайшей) трансляцией или периодом идентичности (рис. 2.1); иногда употреб­ляют названия период трансляции или параметр ряда.

а

Рис 2.1. Симметричный бесконечный ряд с трансляцией а

Если сдвинуть точки бесконечного ряда на один период идентичности вдоль направления трансляции, то все одинаковые точки передвинутся на одинаковые расстояния, ряд совме­стится сам с собой, так что вид его не нарушится. Так производится симмет­ричное преобразование: ряд симмет­рично сдвигается на один период тран­сляции а. Симметричное преобразова­ние, с помощью которого точка повто­ряется в пространстве, называется пре­образованием с помощью трансляции или просто трансляцией. Повторяя ка­кую-либо точку с помощью трансля­ции, получим бесконечный периодиче­ский ряд идентичных точек на расстоя­ниях а, 2а, За, ..., па. Характеристикой этого ряда является кратчайшая тран­сляция а. Одинаковые точки, связан­ные между собой трансляциями а в бесконечном ряду, называются узлами ряда.
2.1. Элементарная ячейка, её выбор, метрика
Параллелограммы, вершины которых являются узлами, называют­ся ячейками сетки. Плоскую сетку можно определить любой парой основ­ных трансляций, не лежащих на одной прямой (рис. 2.2, а). Выбор такой пары основных параметров плоской сетки не однозначен. Принято выбирать элементарные трансляции именно те, которые лучше всего отражают сим­метрию сетки.

Выберем в плоской сетке элементар­ную ячейку; повторяя ее с помощью одинаковых трансляций, мы получим плоскую сетку, заполняющую всю плоскость без промежутков. Элемен­тарную ячейку можно выбирать по-разному (рис. 2.2, б), но принято выби­рать ее так. чтобы она удовлетворяла следующим условиям:

1)наилучшим образом отражала симметрию сетки;

2)имела бы прямые углы, если это можно;

3)обладала бы наименьшей площадью.

а	б
в
Рис. 2.2. Плоская сетка: а — различные основные трансляции; б — различные элементарные ячейки; в — примитивная элементарная ячейка, построенная на двух кратчайших трансляци­ях и хорошо отражающая симметрию сетки.

Примитивной элементарной ячейкой называется ячейка, внутри которой нет узлов (рис. 2.2., в).

Число узлов на единицу площади называется рети­кулярной плотностью сетки.

Таким образом, плоскую сетку мож­но определить тремя способами:

1) как пару элементарных неколлинеарных трансляций, или

2) как систему эквивалентных узлов, которые могут быть получены один из другого с помощью параллельных переносов, или

3)как систему одинаковых элементарных ячеек, прилегающих друг к другу, заполняющих плоскость без промежутков и совмещающихся друг с другом с помощью параллельных переносов.

Параллелепипед, построенный на трех элементарных трансляциях a, b, c называется элементарным паралле­лепипедом или элементарной ячейкой.

Набор элементарных углов ?, ?, ? и элементарных трансляций a, b, c называется метрикой (рис. 2.3)

x y z ? ? ? a b c

Рис. 2.3. Элементарный параллелепипед

Выбор основных трансляций в структуре кристалла очень важен, по­тому что ими определяются кристал­лографические системы координат. Итак, пространственная решетка - это бесконечное трехмерное периоди­ческое образование, или, точнее, это геометрическое построение, с помощью которого в кристаллическом простран­стве выявляются одинаковые точки. Структура кристалла - это кон­кретное расположение частиц в про­странстве.

Пространственная решетка – это способ представления периодичности повторения в пространстве отдельных материальных частиц или групп час­тиц (или «пустых мест» между части­цами).
2.2. Кристаллическая структура
Структура кристалла – это конкретное расположение частиц в пространстве. Описывая структуру, надо указать вид и размер частиц и расстояния между ними. Но так как многие структуры сходны, можно иногда указать лишь относительное расположение частиц атомов или атомных групп) в кристалле, а не абсолютные расстояния между ними. Так определяется структурный тип. Структуры кристаллов, принадлежащих к одному структурному типу, одинаковы с точностью до подобия.
2.3. Кристаллографические символы узлов, плоскостей и

направлений в кристаллах кубической сингонии
Для описания кристаллических мно­гогранников и структур применяется метод кристаллографического индицирования, удобный для всех кристалло­графических систем координат незави­симо от того, прямоугольны они или косоугольны, одинаковые у них мас­штабные отрезки по осям или разные.
2.4. Символы узлов
Если один из узлов решетки вы­брать за начало координат, то любой другой узел решетки определяется ра­диусом-вектором , где m, n, p — три числа, которые называ­ют индексами данного узла.

Рис. 2.4.Символы узлов

Совокуп­ность чисел т, п, р, записанная в двойных квадратных скобках [[тпр]] как показано на рис. 2.4. называется символом узла. Числа в символе пишутся подряд, без запятых, читаются порознь. Запятые ставятся лишь в тех (редчайших) случаях, ког­да индекс двузначен. Знак минус пи­шется над цифрой. Например, [[]] читается «один минус, три, ноль», [[023]] - «ноль, два, три».

2.5. Символы рядов (ребер, направлений)
Ряд, или узловая прямая, а также ребро кристаллического многогранни­ка характеризуются наклоном в выб­ранной системе координат. Если ряд не проходит через начало координат, мысленно сдвинем его параллельно самому себе так, чтобы он прошел че­рез начало координат. Мы всегда име­ем право на такой параллельный пере­нос, потому что все параллельные направления в кристалле равнозначны. Тогда направление ряда определится двумя точками: началом координат и любым узлом ряда. Грани кристалла, пересекающиеся по параллельным ребрам, образуют пояс, или зону, а общее направление этих ребер называется осью зоны. Символ [тпр] характеризует ось зоны.

За единицу измерения по каждой кристаллографической оси выбирают период решётки. Полученные значения координат точки приводят к отношения трёх наименьших целых чисел. Эти числа, заключённые в квадратные скобки, являются индексами одного направления и всего семейства параллельных направлений [uvw]. Например, кристаллографические оси имеют индексы [], [] и [] (рис. 2.5). Отрицательное значение координат отмечают знаком минус над соответствующими индексами. При перемене знака всех индексов на обратный получаем направление, противоположное исходному, например [] вместо [] на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Символы рядов

Совокупность непараллельных кристаллографически эквивалентных направлений обозначают индексами одного из направлений, заключёнными в ломанные скобки. Например, совокупность шести направлений рёбер куба [], [], [], [], [], [] обозначают индексами <100> или <001> и т.д. Совокупность всех направлений диагонали грани куба можно обозначить индексами <110>, а совокупность всех направлений пространственной диагонали куба – индексами <111>.

Для определения индексов направлений необходимо:

1) из семейства параллельных направлений выбрать направление, проходящее через начало координат, или перенести направление параллельно самому себе в начало координат;

2) определить координаты любой точки этого направления, приняв за единицу измерения период решётки;

3) привести отношение полученных величин к отношению трёх наименьших целых чисел;

4) заключить полученные три числа в квадратные скобки, если указывается определённое семейство параллельных направлений, или в ломаные скобки, если требуется обозначить совокупность всех кристаллографически эквивалентных направлений.

Грани кристалла, пересекающиеся по параллельным ребрам, образуют пояс, или зону, а общее направление этих ребер называется осью зоны. Символ [тпр] характеризует ось зоны.
2.6. Символы плоскостей (граней)
Пространственную ориентацию кристаллографических плоско­стей и направлений (атомных слоев и рядов) определяют по от­ношению к кристаллографическим осям. Начало координат помещают в одной из вершин элементарной ячейки; кристалло­графические оси проходят через ее ребра. Ось +х принимают направленной из начала координат в сторону наблюдателя, ось + у - по горизонтали вправо, а ось +z - вертикально вверх (рис. 2.6).

Положение плоскости в пространстве однозначно определяется отрезками, отсекаемыми ею на координатных осях. За единицу измерения вдоль каждой кристаллографической оси принимают период решетки в направлении этой оси, т. е. длину ребра эле­ментарной ячейки а (рис. 2.6, а). Например, заштрихованные плоскости отсекают по осям а:, у, z отрезка величиной 1, 1, 1 (рис. 2.6, а), 1, 1, ? (рис. 2.6, б), 1, ?, ? (рис. 2.6,в), 1, 1, 1/2 (рис. 2.6, г) и 1, 2, 1 (рис. 2.6, д).

Чтобы при математических операциях не иметь дела с беско­нечностями, а также с дробными числами, используют величины, обратные отрезкам, отсекаемым плоскостью на кристаллографи­ческих осях, причем отношение этих величин приводят к отноше­нию трех наименьших целых чисел. Совокупность трех таких чисел (hkl), заключенную в круглые скобки и характеризующую ориентацию данной плоскости по отношению к кристаллографи­ческим осям, называют индексами плоскости (индексами Миллера). Заштрихованные плоскости на рис. 11 имеют следующие индексы:

()=(), ()=(), ()=(),

()=() и ()=().

Кристаллографические символы в скобках читают как «один, один, один», «один, один, ноль» и т.д.

Если плоскость пересекает кристаллографические оси в области отрицательных значений координат, то над соответствующими индексами ставят знак минус.

Определённый набор индексов, например (), характеризует ориентировку в пространстве на единственной плоскости, а всего семейства параллельных плоскостей по одну сторону от начала координат. Например, если на рис. 2.6.,б параллельно заштрихованной плоскости () изобразить плоскости, отсекающие на осях x и y отрезки в два или три периода решётки, т.е. плоскости () и (), то обе они будут относиться к семейству параллельных плоскостей ().

Если у всех индексов переменить знак на обратный, например () вместо (110), то новые индексы будут характеризовать ориентировку того же семейства параллельных плоскостей, но расположенных по другую сторону от начала координат. Так как начало координат выбирают произвольно, то индексы (hkl) и () всегда относятся к одному и тому же семейству параллельных плоскостей. В том случае, когда плоскость проходит через выбранное начало координат, для определения её индексов следует перенести начало координат в другую вершину элементарной ячейки или рассмотреть соседнюю плоскость, параллельную первой.




Рис. 2.6. Примеры кристаллографических плоскостей в кубической решетке
Непараллельные плоскости, имеющие одинаковое атомное строение, кристаллографически эквивалентны. Например, кристаллографически эквивалентные параллельные плоскости (100), (010) и (001). Вместе с параллельными им плоскостями (), () и () они образуют куб. Совокупность шести кристаллографически эквивалентных плоскостей (граней) куба обозначают индексами какой-нибудь одной плоскости (грани), заключенными в фигурные скобки, например индексами {100} или {001} и т.д.

Совокупность восьми кристаллографически эквивалентных плоскостей октаэдра – (111), (), (), (), (), (), (),() – обычно обозначают индексами {111}. Совокупность всех двенадцати плоскостей ромбического додекаэдра обычно обозначают индексами {110}.

Плоскости куба {100}, октаэдра {111} и ромбического додекаэдра обычно обозначают индексами {110}.

Плоскости куба {100}, октаэдра {111} и ромбического додекаэдра {110} все время встречаются при анализе дефектов в кубических решётках. Плоскости с большими численными значениями индексов имеют очень малую плотность упаковки атомов и очень малые межплоскостные расстояния. Плоскости, у которых численное значение индексов превышает 3, редко рассматривают.

Таким образом, для определения индексов плоскости необходимо:

1) найти отрезки, отсекаемые плоскостью на кристаллографических осях, приняв за единицу измерения период решётки;

2) взять обратные значения этих чисел;

3) привести отношение полученных величин к отношению трёх наименьших целых чисел;

4) заключить полученные три числа в круглые скобки, если указывается определённое семейство параллельных плоскостей, или в фигурные скобки, если требуется обозначить совокупность всех кристаллографических эквивалентных плоскостей.

---