Конспект по математическому моделированию - файл n1.doc

приобрести
Конспект по математическому моделированию
скачать (247.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc248kb.01.06.2012 14:54скачать

n1.doc

1Основные определения теории подобия и моделирования.Варианты постановки задач моделирования

Моделирование – замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта оригинала с помощью объекта модели.

Подобие – взаимно однозначное соответствие между 2 объектами при котором ф-ии перехода от параметров, характеризующих один из объектов, к параметрам др. объекта известны, а мат описание этих объектов могут быть преобразованы в тождественные.

Модель – объект находящийся в отношении подобия к моделируемому объекту.

Моделирование – исследование моделируемого объекта, базирующегося на его подобии модели и включающие построение, изучение модели и перенос полученных сведений на моделируемый объект.

Задачи обучения:

  1. Применение моделирования для уяснения физических законов;

  2. Рассмотрение действия новых разработок и установок;

  3. Тренировки персонала действующих производственных объектов.

Исследовательские задачи:

  1. Прямые задачи анализа – исследуемая сис-ма задается параметрами своих эл-ов, параметрами исходного режима, структурой или уравнениями. Требуется определить реакцию сис-мы на действующие силы или сигнал.

2.Обратная задача анализа по известной реакции сис-мы требуется найти силы или сигналы, кот вызвали такую реакцию.

3.Задача синтеза-позволяет найти такие параметры системы при кот. процессы в системе будут носить желательный характер.

4.Индуктивные задачи. Проверка гипотез, уточнение ур-ний описывающих процессы в сис-ме, выяснения свойств элементов сис-мы.

2Классификация моделей:

А) Степень полноты модели:

1.Полное подобие – подобие протекании во времени и пространстве основных процессов, т.е. тех, которые для данной цели исследования, достаточно полно определяют явления.

2.Неполное подобие протекание всех основных процессов подобных только частично (или во времени, или в пространстве).

3.Приближенное подобие допускается нарушение взаимно однозначного соответствия м/у моделью и объектом, или такое искажение процессов модели которая в данной постановке задачи приемлемо и оценивается аналитически или экспериментально.

Б) Модели м. б.:

1.детерминированными(без учета случайных возмущений параметра);

2.стохастическими.

В) Модели:

1.динамические – описание поведения объекта во времени;

2.статическое-описание объекта в фиксированный момент времени.

Г) Модели:

1.дискретные модели - параметры объектов могут принимать значение из фиксированного набора состояний; 2.непрерывные – параметры системы могут принимать любое значение из заданного диапазона;

3.дискретно – непрерывные.

Д)Мысленное моделирование:

Наглядное:

1.)Гипотетическое (в основе лежит гипотеза, к ним прибегают когда недостаточно знаний); 2.)Аналоговое моделирование(применение аналогий различного уровня). 3.)Макетирование(в основе лежит аналогичность протекания процессов)

Символическое основанно на использовании искусственных логических объектов, кот. замещают реальный объект и выражают его свойства системой знаков:

1.)Знаковое моделирование(основывается на использование условных обозначений для отдельных понятий и операций между ними);2.)Языковое моделирование(в основе лежит тезаурус – словарь освобожденный от всех неоднозначностей)

? Математическое – процесс установления соответствующих заданному реальному объекту математического объекта и исследования данной модели.

Классификация математического моделирования:

а) Аналитическое моделирование– процесс функционирования системы описывается в виде функций, соотношений или логических условий. Аналитические модели могут быть исследованы следующими способами:

1) Аналитический способ, т.е. получение в общем виде явной зависимости для искомых параметров.

2) Численный способ (дают численный результат для конкретных начальных условий )

3)Качественный способ (получение свойств решения, наличие разрывов функции, дифференцируемость и т.д. )

б) Имитационное моделирование, при построении модели имитирующие элементарные явления, при сохранении их логической структуры и последовательности протекания во времени.

в) Комбинированное моделирование(имитац-е и аналитического)

Е)Реальное моделирование заключается в исследовании характеристик на реальном объекте.

1)Натуральное моделирование:

- производственный эксперимент (реально работающие устройства);

- комплексные сочетания (моделируются специальные условия функционирования)

- научный эксперимент

2) Физическое моделирование, исследования проводят на установках, которые сохраняют природу физических явлений.

-моделирование в реальном времени;

-моделирование в нереальном масштабе времени;

-замороженное моделирование

3Этапы моделирования.Уровни мод-я.Требования к моделям

Этап 1.Уяснение и постановка задачи на физич.уровне, процесс схематизации явления и выделение его существенных особенностей.

Этап2.После выделения существенных факторов происходит перевод данных на язык мат-х понятий.Часто опираются на физич. з-ны принципы ТВ,…

Этап3. После построения модели следует проводить проверку логической непроворечивости и её адекватности явлению

Этап4.Все существенные данные из перечня параметров должны входить в матем-ю формулировку задачи.Справедливость модели проверяется по результатам решения теоретической задачи и сопоставления полученного результата с реальной ситуацией.

Уровни моделирования

1.Микроуровень (использует мат модели описывающие физическое состояние и процессы на сплошных средах). К типичным исследованием по параметрам относятся эл. потенциаллы, давление, плотность.

2.Макроуровень (в качестве объектов моделирования выделяют – отдельные функионально законченные элементы).

3.Метауровень (на этом уровне, путем дальнейшего абстрагирования физических процессов, полученные модели описывающие информационные процессы).

Требования к математическим моделям

1.Адекватность модели, т.е. отражаются заданные св-ва с заданной точностью.

2.Точность модели, определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта. Чаще всего точность выражается погрешностью.

; y-измеренное значение вых.параметра; -знач-е вых.параметра,рассчит. по модели

3.Универсальность определяется числом и составом учитываемых в моделях внешних и выходных параметров.

4.Экономичность, характеризуется затратами вычислительных ресурсов для реализации модели

4Два подхода к моделированию

1) Классический: рассматривает объект моделирования путем перехода от частного к общему и синтезирует модель путем слияния ее компонентов

разрабатываемыми отдельно. взаимосвязано м/у отдельными частями модели рассматриваются как отражения связи м/у подсистемами объекта .

Реальный объект разрабатывается на отдельные подсистемы, т.е. выбираются исходные данные Д и ставятся цели Ц для нахождения этих подсистем. По отдельной совокупности исходных Д с учетом цели Ц, формируется компонент к будущей модели.Совокупность объединяется в модель(от частного к общему)



2) Системный: Предлагает последовательный переход от общего к частному. В основе моделирования лежит общая цель. На основе исходных данных и цели Ц формулируются требования Т к модели.На базе требований формируется подсистемы П и элементы Э будущей модели,кот на основе критерия выбора формируют состав модели М.



5Математические схемы описания моделирования.

Обьект моделирования описывается след. переменными:

-Входные воздействия на систему

-Воздействия внешней среды

-Внутренние параметры системы

-Выходные характеристики



Процесс функционирования объекта описывается оператором Совокупность зависимостей вых. характеристик объекта называется выходной траекторией.

Схемы описания модели:

1.непрерывно-детерминированная схема – D – схемы, используется для описания модели систем функционирования непрерывно во времени,параметры кот м. принимать любое значение без учёта случ.возмущений этих параметров(диф.ур-я,сис-мы диф.ур-й ).

2.Дискретно-детерминированная схема - F-схемы, объект представляется в виде автомата(цифровой схемы),перерабатывающего дискретную информацию и изменяющего своё внутр.состояние в заданный момент времени.

3.Дискретно-стахастические схемы -P – схемы, объекты представляются дискретными преобразователями информации с памятью,функционирование кот определяется состоянием этой памяти и м.б. описана статистически

4.Непрерывно стохастические схемы Q - схемы, их объект мод-я представляется как сис-ма,исполняющая заявки на обслуживание.

6Статический м-д исследования модели

М-д статических испытаний (Монте-Карло) представляет собой м-д получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах происходящих в моделируемой сис-ме.

Сущность м-да в построении моделируемого алгоритма для процессов функционирования исследуемой сис-мы, имитирующем поведение и взаимод-я элементов сис-мы с учетом случайных взаимодействий.

Выделяют 2 области применения м-да Монте-Карло:

1) Для моделирования объектов

2) численный м-од решения детерминированных задач.

Алгоритм применения м-да М.-К. для модел-я:

1.разработка детерминированной модели,описывающей функционирование объекта

2.Получение случайных чисел,соответствующих законам распределения стахостич. параметров объекта,влияние кот необходимо исследовать

3.расчёт значений вых параметров модели во всём диапазоне изменений детерминированныхпараметров для всех получившихся случ параметров

4.полученный набор значений рассматривается как реализация случайного процесса,т.е. знач-е вых параметров в кажд точке изменения детерминированных пар-ов рассматриваетси как выборка случайной величины и обрабатывается статистически(мат.ожидание,дисперсия,…)

7Способы получения случайных чисел.

1.аппаратный, случайное число вырабатываются с помощью случ.датчика.



Достоинства: 1) Запас чисел неограничен: 2) не использ. ресурсы ЭВМ

Недостатки: 1) требуется периодическая проверка качества последовательности случайных чисел; 2) нельзя воспроизвести одинаковые последовательности; 3) необходимо специальное устройство.

2.табличный реализуется путем заполнения памяти ЭВМ некоторой проверенной последовательностью с.ч.

Д:1) не требуется проверка качества последовательности 2)м. воспроизводить одинак. последовательности.

Н:1) Запас чисел ограничен 2) нерациональное использовпание ресурсов ЭВМ

3.алгоритмический основан на формировании с.ч. в ЭВМ по некоторому алгоритму.

Д:1)Возможность воспроизведения одинак. последовательностей; 2)Однократная проверка кач-ва последовательности 3) малые затраты ресурсов ЭВМ

Н:1) Запас чисел ограничен

8Получение последовательностей с.ч. с заданным з-ом распределения плотности вер-ти

1.Масштабирование

Если необходимо получить последовательность с.ч. с равномерным з-ком распределения в диапазоне [a;b], то , где - с.ч. из последовательности с равномерным з-ком распределения [0;1]. Если нужно получить с.ч. с нормальным з-ом распределения с заданными my, , то , где x-с.ч. с норм з-м распределения .ч. анными еления.ч. с нормальнымности вер-титерминированных пар-ов рассматриваетси как выборка случайной величины и обрабатыв

2.Преобразование закона распределения

Если с.в. имеет плотность распределения , то распределение с.в. ,где

Чтобы получить принадлежащее последовательности с распределением , необходимо решить интегральное уравнение:

, где - случайная величина с распределением [0;1]

Для пересчета в нормальный з-н распределения с параметрами , используется след-е ф-лы:





3.Приближенный универсальный способ получения с.ч. на основе кусочной аппроксимации ф-ии плотности В.

Алгоритм получения с.ч:

1) генерируется с.ч. равномерно распределенное в интервале [0;1]

2) по этому с.ч. выбирается номер интервала

3) генерируется с.ч. равномерно распределенное в интервале [0;1]

4) рассчитывается , где - с.ч. приближенно распределенное по требуемому з-ну.

9Составление модели экспериментальным статическим путем. Постановка задачи планирования эксперимента. Пассивный и активный эксперимент.Принципы планирования

Эксперимент - целенаправленно организованный опыт, содержащий наблюдение исследуемого явления в специально заданных условиях.Входн параметры x наз факторами,вых параметры наз откликом.

Изучение ф-ния объекта основывается на анализе внешних воздействий X и соотв. им реакции системы Y. Связь м/у X и Y представляют в виде уравнений.

Различают:

1.В пассивном эксперименте значениями факторов управлять нелбзя.Уровни факторов принимают случ.значения.

2.Активный эксперимен-значения факторов задаются и поддерживаются неизменными на опред уровне.

Цель планирования эксперимента-пролучение max информации об исследуемом объекте при min кол-ве опытов

Используются след. принципы:

1.Отказ от полного перебора всех возможных состояний объекта

2.Постепенное усложнение структуры модели

3.Сопоставление рез-ов экс-та с величиной случ.помех

4.Принцип рандомизации опыта.Опыты проводятся таким образом,чтобы все переменные носили случ хар-р

5.Оптимальное планирование экс-та

10Корреляционный анализ

По результатам проведения экс-та проводят корреляц.анализ, рассчит-ся коэф-т корреляции для каждой пары факторов и для факторов и ф-ии отклика



где XiXj-этоi ,j факторы или I -фактор иj-ф-я отклика

SiSj-среднеквадратич отклонения

Xi-значение i-го фактора

N-кол=во опытов в экспероименте

-средн.значение фактора

Если коэф. =1 или -1, то это значит что м/у параметрами сущ.тесная связь. Если =0, то связь отсутствует. Если”0”,то фактор исключается из модели;если1,-1 исключаютфактор менее связанный с входн параметрами

11Регрессионный анализ

Задача анализа-определение параметров экспериментальных факторных моделей

3 этапа:

1.статистич анализ рез-ов экс-та

2.получение коэф-ов регрессионной модели

3.оценка адекватности и работоспособности получ модели

Факторную модель м. представить в след виде:

,?-ур-е регрессии,x-факторы,b-коэф-ты ур-я регрессии

Результаты экс-та представлены в виде

,?-аддитивная помеха с норм. з-ом распред-я

Т.к.в рез-те проведения экс-та всегда получаются случ.значения ф-ии отклика,то и рассчитанные знач-я коэф-ов модели b явл-ся оценками истинных значений коэф-ов модели ?. Ф-ю ?(x)м. представить:

, ?j-коэф ур-я регрессии,f()-j базисная ф-я

Предпосылки:

1.аддитивн помеха ?- случайная нормально распред вел-на с нулевым мат ожиданием и пост дисперсией

2.знач-е факторов в активном экс-те-это не случайн6ые величины

3.знач-е факторов в пассивном экс-те-случайные нормально распред-е велшичины

4.помехи в различных точках опыта не коррелированны

5.вектор-столбы базисных ф-ий, образованных значениями базисных ф-ий в кажд опыте должны быть линейно независимыми

12Оценка параметров регрессионной модели

Исходными данными для оценки параметров регресс модели явл-я данные о значениях факторов x и ф-ии отклика Y. Это информация представлена в виде:

n-кол-во факторов,N-кол-во опытов,Xij-знач-е j фактора в I опыте

. Значения базисных ф-ий в кажд опыте образуют матрицу базисных ф-ий:

fik-знач-е коэф-в в i опыте

Необходимо определить значение вектора . В кажд опыте знач-е ф-ии отклика можно представить в виде (?-невязка).Для определения параметров модели невязку необход минимизировать для чего используется м-д наименьших квадратов.Составляется ф-я, представ собой сумму квадратов невязок: . Значение коэф-ов b находится таким образом,чтобы эта ф-я приняла min знач-е

Коэф-ты при неизвестных переменных b образуют матрицу Ф:

Ф=(-матрица базисных ф-ий)

Ф

Вектор-столбец: Систему ур-ий для нахождения коэф-ов b принимает вид:

Ф


13Построение модели на основе пассивного эксперимента. Расчёт доверительных интервалов для коэф-ов ур-я регрессии.Проверка адекватности регрессионной модели

После построения мат модели в виде ур-я регрессии выясняется значимость коэф-ов ур-й и адекватность полученной модели.Для модели рассчит.остаточная дисперсия: ,где Nв-кол-во коэф-ов в регрессии,yi-знач ф-ии отклика по рез-ам эксперимента, -знач ф-ии отклика по расчётам модели.

Остаточная дисперсия м.б. использована как оценка дисперсии ошибки эксперимента:



По критерию Стьюдента определяем значимость коэф:
Далее находиться табличное значение коэфф. Стьюдента: Если рассчитанное значение больше табличного, то считается что коэффициент значимый.

Для значимых коэфф. можно рассчитать доверительный интервал:



Проверка адекватности модели проводиться по критерию Фишера.Опред средн дисперсией:

, -средн знач-е отклика по результатам

Находим наблюдаемое знач-е критерия Фишера: . Расчетное значение критерия Фишера сравнивается с табличным. Если расчетное больше табличного, модель считается адекватной.

17Сущность оптимизации.Параметры оптимизации.Критерий оптимиз-и.Целевая ф-я.

Оптимизация заключается в нахождении оптимальных условий проведения данного процесса. Для оценки достижения оптимума, прежде всего, выбираются критерии оптимизации. Это некоторая численная характеристика исследуемого объекта. На основании этого критерия строится целевая функция (функция качества). Задача оптимизации заключается в поиске параметров, при которых целевая функция достигает экстремальных значений - оптимальный параметр. Целевая функция может содержать множество параметров , часть из которых являются управляемыми. Этими параметрами можно варьировать для поиска их оптимального значения. Остальные параметры не подлежат оптимизации. Управляющие параметры м.б. как непрерывные так и дискретные.Если экстремум целевой функции отыскивается в неограниченной области, его наз . безусловным экстремумом, а методы его поиска - безусловной оптимизацией.Целевая ф-я-представляет собой зависимость критерия оптимизации от параметров,влияющих на его значение.

19М-ды оптимизации. Аналитический м-д поиска экстремума

Классификация методов оптимизации:

1)Аналитические методы (аналитический поиск экстремума, метод множителей Лагранжа, вариационные методы)

2) Методы мат. программирования:

а) Геометрическое - используется при оптимизации ЦФ в виде полиномов.

б) Линейное - оптимизация моделей с ЦФ и ограничениями в виде линейной функции.

3)М-ды поисковой оптимизации(м-д градиента, м-д наискорейшего спуска)

Аналитические методы:

В классическом подходе необходимыми условиями локального экстремума явл.

20Метод множителей ЛАГРАНЖА

Метод множителей ЛАГРАНЖА применяется для нахождения оптимальных значений параметра , если на модель наложено ограничение в виде равенств. В этом случае задача оптимизации ставится так: необходимо найти оптимальные параметры модели если ЦФ задана в виде

и заданы ограничения в вида .

Для решения этой задачи составляется ф-я Лагранжа:

,

В этом случае экстремальные точки ф-ии определяются реш-ем сис-мы ур-й,получаемой приравниванием нулю производных от ф-ии по всем независимым переменным xk(k=1,…n) и по всем множителям Лагранжа .Получаемая сис-ма ур-й:



содержит уравнений,из кот можно исключить m неопределённых множителей Лагранжа и найти координаты экстремальных точек xk(k=1,2…n)

21Поисковая оптимизация

Большинство методов предназначено для поиска локальных экстремумов без учета ограничений. Поэтому важное значение приобретает выбор начальной точки поиска

Локальные методы безусловной оптимизации делятся на:

1) Методы нулевого порядка, в них не используется информация ЦФ. (Методы одномерного поиска: деления отрезка пополам; Методы многомерного поиска- покоординатного спуска; случайного поиска)

2) Методы первого порядка (Градиентный), используется значение ЦФ и первых частных производных по параметрам ( методы градиента; наискорейшего спуска и т.д.)

3) Методы второго порядка, используют значение ЦФ и первых и вторых частных производных (Метод Ньютона)

22Метод покоординатного спуска.

Алгоритм:

1) из текущей точки поиска выполняется пробный шаг в положит направлении одной из координатной осей , k-номер шага поиска. Оценивается улучшение целевой ф-ии . Если это условие выполняется,то это направление выбирается для дальнейшего поиска экстремума.В противн.случае исследуется отрицат направление вдоль оси,т.е.выполняется пробный шаг,

2) выполняется движение вдоль выбранного направления до тех пор, пока выполняется условие

3)те же действия выполняются для всех остальных параметров оптимиз-и

4)если из полученной точки нельзя улучшить целевую ф-ию ни покакому парам-ру,тоуменьшают шаг оптимизации:

2) операции 2-4 повторяют до тех пор пока
23Метод градиента.

1)-в текущей точке поиска находится градиент целевой ф-ии:

.Рассчитывается единичный вектор направления:



2)-выполняется шаг поиска Оценивается успешность поиска.Если ,то в полученной точке определ-я нов направление и алгоритм повторяется.В противном случае уменьшается шаг:

3)-условие окончания поиска



24М-ды мат программирования.Задача линейного программирования

Линейное программ-е связано с исследованием и решением задач:дана сис-ма m линейно независ. ур-й с n неизвестными,наз-я сис-ой ограничений.



Требуется найти неотрицат знач-е переменных,обращающее в min целевую ф-ию(xi>=0):

(1) наз линейной формулой и удовлетвор ограничению(1)

Базисом наз любой набор из m переменных таких,что определитель составленный из коэф-ов при этих переменных не равен нулю.Остальные (n-m)переменных наз свободными.Решение сис-мы ограничений путём приравнивания к нулю свободных переменных наз базисным.Базисное решение,кот удовлетворяет неравенству xi>0,наз допустимым.Решение задачи оптимизации лежит среди допустимых базисных решенй.

1Основные определения теории подобия и моделирования.Варианты постановки задач моделирования
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации