Морозова Н.К. Кристалография и методы исследования структур - файл n1.doc

приобрести
Морозова Н.К. Кристалография и методы исследования структур
скачать (1582 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1582kb.08.07.2012 19:12скачать

n1.doc

  1   2   3   4   5

Н.К. МОРОЗОВА Кристаллография и методы исследования структур


Морозова Н.К.
Кристаллография и методы исследования структур

Конспект лекций


МЭИ 2004

Введение



Создание полупроводниковых приборов базируется на кристаллических материалах с конкретными структурными и физико-химическими свойствами. Развитие полупроводниковой электроники и новые принципы конструирования, в частности создание интегральных схем, где большое число активных и пассивных элементов схемы сосредоточено в малом объеме кристалла, предъявляет новые требования к материалу. Повышение надежности и процента выхода ИС часто не может быть достигнуто только за счет совершенствования конструкции, а требует повышения качества кристалла. Появилась необходимость учитывать изменения качества материалов, поставляемых предприятиям радиоэлектроники, в условиях повышенной радиации. В связи с этим возникает необходимость понимания структуры кристалла, как идеальной решетки, вмещающей дефекты.

В настоящее время имеются весьма эффективные методы контроля структуры материалов. Необходимо знать возможности их в применении к материалам микроэлектроники. Усложнение задач, которые ставятся современной полупроводниковой техникой, привело и к усложнению методов контроля структуры и свойств материалов зачастую в микрообъемах схем. Разработка расчетных методов диагностики электрофизических свойств материалов привело к созданию сложнейших и громоздких экспериментальных установок. Однако эти исследования окупаются, поскольку позволяют раскрыть новые горизонты развития науки, а изучение строения вещества, что приводит к созданию принципиально новых приборов, вычислительных машин и устройств теле- и радиосвязи.

Предлагаемый конспект лекций содержит основные понятия кристаллографии, рассматривает основы структурного анализа. Конспект представляет первую часть излагаемого курса “Кристаллография и структурный анализ полупроводниковых материалов” и является дополнением к читаемому курсу “Технология материалов и элементов электронной техники”, что необходимо при подготовке специалистов направления 550700 Электроника и микроэлектроника. Курс лекций обеспечивает проведение практических занятий со студентами при ознакомлении их с экспериментальными методами исследования структуры полупроводников.


ГЛАВА I
Основные понятия кристаллографии
1.1. Структура и структурный тип
Кристаллография изучает строение твердых тел в кристаллическом состоянии. Характерной особенностью этого состояния является правильное внутреннее строение кристаллов, которое часто проявляется в правильности форм и симметрии их внешней огранки. С помощью рентгеновских лучей впервые удалось изучить закономерности расположения частиц и измерить межатомные расстояния в различных кристаллах. Широко используется представление о кристалле как о бесконечной решетке, в узлах которой располагаются атомы или ионы. Такую решетку называют структурной решеткой или структурой. Структурная решетка может быть определена некоторым элементом ее объема - элементарной ячейкой, переносом которой можно получить всю систему.

Элементарная ячейка структуры дает представление о взаимном расположении в пространстве конкретных материальных частиц - атомов и ионов. Например, на рис.1.1 дана элементарная ячейка структуры типичного ионного кристалла NaCl. Она представляет из себя куб с параметром a=5,64A. В такой ячейке можно рассчитать расстояния между всеми интересующими нас частицами.

Изучение различных кристаллических структур показывает, что структурные ячейки некоторых веществ и соединений очень похожи, а именно они одинаковы по расположению в них материальных частиц с точностью до подобия (в других сингониях обязательно сохранение симметрии), хотя и отличаются величиной параметров.

Например, в кристаллах LiF (a=4,02Е), KСl (a=6,29Е), LiBr (a=5,05Е), NaBr (a=5,97Е), а также целого ряда других ионных соединений, расположение ионов точно такое же, как и у хлористого натрия (рис.1.1). В связи с этим все такие кристаллы объединяют в один структурный тип.


Рис.1.1. Структурная решетка хлористого натрия.
Каждый структурный тип получает название по одному из входящих в него веществ, например, “структурный тип NaCl”. Понятие структурного типа удобно в тех случаях, когда нас интересуют не абсолютные размеры ячейки, а взаимное расположение в ней материальных частиц.

Для характеристики закономерностей расположения атомов (ионов) в структуре кристалла в кристаллографии широко используется также понятие пространственной решетки. Она строится на основе реальной структуры. Для понимания этого рассмотрим элементы симметрии, присущие кристаллическим структурам.
1.2. Внешняя симметрия кристаллов
Кристаллы являются образованиями высокосимметричными. Элементы симметрии мы можем выделить уже при рассмотрении внешней огранки кристаллов, т.е. правильных многогранников. Отдельные части таких многогранников могут быть получены путем ряда симметричных преобразований. Простейшие симметричные преобразования следующие:

1) центросимметричное преобразование или инверсия, i ;

2) зеркальное отражение в плоскости m;

3) вращение вокруг оси, n (n=2, 3, 4, 6).

Принцип зеркального отражения в плоскости показан на рис.1.2,а, где в виде треугольников показаны какие-то части симметричной фигуры. Для построения отражения в плоскости мы из каждой точки опускаем на плоскость перпендикуляр и продолжаем его на равное расстояние по другую сторону от плоскости. Полученная точка симметрична данной.

Рис.1.2. Простейшие элементы симметрии: а - плоскость зеркального отражения; б - центр инверсии; в - поворотная ось 2-го порядка.
Преобразование через центр инверсии (рис.1.2,б) состоит в том, что мы каждую точку фигуры соединяем прямой с центром i и на таком же расстоянии по другую сторону от центра строим точку, симметричную первоначальной взятой.

Поворот вокруг оси до совмещения части фигуры с симметричной ей может осуществляться на различные углы. Величина угла поворота связана с понятием порядка оси, так как порядок оси показывает сколько раз при полном повороте вокруг какой-то оси часть фигуры совпадает с ей равной. Так, на рис.1.2,в показана поворотная ось, порядок которой n=360/180=2.

Поворотные оси могут быть 1, 2, 3, 4 и 6-го порядков. Это справедливо только для кристаллов, так как в бесконечной структурной решетке невозможно себе представить оси 5, 7 и более высоких порядков [1].

Рис.1.3. Сложные элементы симметрии: а - зеркально поворотная ось 6-го порядка; б - инверсионная ось 4-го порядка.
Легко видеть, что в каждом симметричном преобразовании участвует геометрический элемент: в первом - плоскость, во втором - точка, центр инверсии, в третьем - ось. Эти геометрические элементы называют элементами симметрии. Указанные выше плоскость, центр и ось - простейшие элементы симметрии кристаллов.

Симметричное преобразование может быть и более сложным. Например, возможен случай, когда части фигуры совпадают лишь после поворота на определенный угол, а и последующего зеркального отражения. Элемент симметрии здесь составной: совокупность поворотной оси и плоскости зеркального отражения, так называемая зеркально-поворотная ось симметрии. На рис.1.3,а показано преобразование при помощи зеркально-поворотной оси 6-го порядка. В зависимости от величины угла поворота зеркально-поворотная ось так же, как и обычная поворотная ось, может быть различного 1, 2, 3, 4 и 6-го порядка.

К сложным элементам симметрии относится также инверсионная ось симметрии. На рис.1.3,б приведено преобразование при помощи инверсионной оси 4-го порядка. Здесь суммарная операция симметрии состоит во вращении на угол  и последующей инверсии относительного центра, расположенного на оси вращения. Инверсионная ось симметрии обозначается . Реальные кристаллы могут иметь инверсионные оси симметрии только 1, 2, 3, 4 и 6-го порядков.

Рассмотренные нами элементы симметрии (плоскость симметрии, инверсия, поворотные, инверсионные оси и др.) встречаются у многогранников и в свое время были использованы для изучения внешней формы - огранки кристаллов.
1.3. Внутренняя симметрия кристаллов
Кристаллическая решетка, как совокупность бесконечного множества атомов, периодически расположенных в пространстве, более сложна, чем пространственно-ограниченная фигура.

Система считается симметричной, если после какого-либо симметричного преобразования она полностью совпадает сама с собой. Внешняя симметрия является, таким образом, лишь частным случаем симметрии внутренней. Системе бесконечного множества периодически расположенных частиц присущи все элементы симметрии, рассмотренные выше, например, плоскости симметрии m1, m2, m3 (рис.1.4) и др. В ней можно выделить и новые элементы симметрии. Такими являются: ось трансляции, плоскость скользящего отражения и винтовые оси.

Ось трансляции - это важнейший элемент внутренней симметрии. При одном симметричном преобразовании перенос осуществляется на расстояние, которое равно промежутку между ближайшими идентичными атомами на оси трансляции, т.е. на величину вектора трансляции t1, t2, t3 или t4 (рис.1.4). Операция бесконечного количества смещений из каждой данной точки в направлении и на величину вектора трансляции t – называется трансляцией. Все возникающие при этом точки расположены идентично. Для кристалла трансляция заключается в параллельном переносе всей системы по направлению оси.

Следующим элементом внутренней симметрии является плоскость скользящего отражения. Действие, соответствующее ему, состоит из отражения в плоскости и переноса, параллельного этой плоскости. Это, например, преобразование точки А в А на рис.1.4, где след плоскости скользящего отражения n показан пунктиром.

Рис.1.4. Элементы симметрии в решетке кристалла.
Плоскости скользящего отражения обозначаются буквами a, b, c, d, n в зависимости от направления переноса. Если вектор переноса направлен вдоль ребра элементарной ячейки a (b или с), то соответственно плоскость скользящего отражения обозначают буквами a (b или с). Если перенос осуществляется вдоль диагонали грани элементарной ячейки, то плоскость скользящего отражения обозначится буквами d (вектор переноса равен 1/4 диагонали) или n (вектор переноса равен 1/2 диагонали).

И, наконец, последний элемент внутренней симметрии это винтовые оси. Действие, отвечающее этому элементу, включает в себя поворот около оси и перенос вдоль этой оси (рис.1.5). Винтовые оси могут быть двойными, тройными, четверными, шестерными. Общее их обозначение n, где n - порядок оси, показывающий на какую часть окружности повернута система в процессе симметричного преобразования; s - индекс указывает направление поворота. Если s=1, то имеем правую винтовую ось; при s=n1 имеем левую винтовую ось. Так, приведенная на рис.1.5 правая винтовая ось соответствует 4-му порядку, т.е. 41.

Из рисунка видно, что если бы величина переноса вдоль винтовой оси не была равна 1/n части периода I, то атом 1 не попал бы в положение 1 и симметрия системы нарушилась бы. Поэтому величина трансляции всегда равна 1/n-ой части периода атомного ряда вдоль соответствующей винтовой оси.


Рис.1.5. Винтовая ось 4-го порядка.


1.4. Сочетание элементов симметрии
Можно провести классификацию геометрических фигур или пространственных сеток кристаллов по элементам симметрии. Дело в том, что каждая фигура имеет ряд элементов симметрии, которые ее характеризуют. Например, квадрат обладает четырьмя плоскостями симметрии, расположенными под 45, и осью симметрии 4-го порядка, проходящей через точку пересечения плоскостей симметрии. Всю совокупность элементов симметрии для квадрата можно выразить формулой L44P (по Белову). Аналогичным образом и более сложные фигуры или структуры кристаллов можно охарактеризовать совокупностью элементов симметрии. Если рассматривать различные сочетания из элементов внутренней симметрии, то получим число возможных пространственных моделей, отличающихся набором элементов симметрии. Впервые Федоровым было строго математически доказано, что число таких сочетаний или пространственных групп равно 230. Все огромное количество кристаллов, известных в настоящее время, укладывается в 230 федоровских групп. Кроме пространственных групп можно разделить все кристаллы на более крупные классы, рассматривая возможные сочетания из элементов только внешней симметрии. Такие классы получили название видов симметрии. Математически показано, что число видов симметрии равно 32. Понятие вида симметрии тесно связано с макросвойствами кристалла и анизотропией свойств вдоль различных направлений. Оказывается, что макросвойства кристалла, и в частности огранка, зависят от его симметрии, причем некоторые элементы симметрии такие, как винтовые оси, плоскости скользящего отражения и трансляции, не проявляются при рассмотрении макросвойств. Если исключить эти элементы симметрии из 230 пространственных групп, то также можно получить 32 класса, или точечных группы кристаллов. При этом полагают что:

1) все элементы симметрии пространственной группы переносятся до пересечения в одной точке;

2) винтовые оси и плоскости скользящего отражения заменяются простыми поворотными осями и плоскостями зеркального отражения.

Точечные группы включают те же элементы симметрии, что и виды симметрии, полученные из рассмотрения только внешней формы кристаллов.
1.5. Пространственная решетка
Рассмотрев симметричные преобразования, возвращаемся к понятию пространственной решетки кристалла.

Пространственная решетка строится на основе реальной структуры кристалла. Рассмотрим это на примере CsCl. В этом кристалле ионы цезия расположены по отношению к ионам хлора так, как это показано на рис.1.6,а. Ионы имеют различные размеры. Их величину и расположение в кристалле характеризует элементарная ячейка структуры (рис.1.6,а).

В отличие от структуры пространственная решетка изображает кристалл как систему абстрактных точек - узлов бесконечной пространственной решетки. При этом расположение узлов характеризует закономерность расположения частиц, например Cs или Cl, в пространстве. Такую закономерность, по которой построен кристалл CsCl, можно выявить при рассмотрении трансляционной симметрии его структуры. Выделим все возможные вектора трансляции в элементарной ячейке структуры CsCl. Из произвольной точки, выбранной за начало координат (рис.1.6,б), строим все вектора трансляции, характерные для данной структуры (рис.1.6,а). Их возможно семь - семь возможных параллельных переносов иона Cs (рис.1.6,б), который мы взяли за начальный, в вершины куба, где новое расположение его по отношению к окружающим частицам кристалла будет абсолютно таким же, как и первоначальное. Концы векторов трансляции определяем точками - узлами. Полученная совокупность узлов (рис.1.6,б) и носит название пространственной решетки.

Рис.1.6. Построение элементарной ячейки пространственной решетки:

а - структурная ячейка; б - пространственная.
Соединив узлы, построенные нами, получим элементарную ячейку пространственной решетки. Для CsCl это примитивная ячейка, так как вектор, проведенный от Cs к Cl, не будет являться вектором трансляции, поэтому мы не получим узла в центре ячейки пространственной решетки (рис.1.6,б). Вся пространственная решетка может быть получена параллельным переносом элементарной ячейки.

Пространственная решетка, таким образом, характеризует трансляционную симметрию кристалла. Узлы ее не следует считать связанными с материальными частицами структуры, так как начало координат при нахождении векторов трансляции мы можем выбрать в любой структурной ячейке и в частности между двумя ионами (атомами).

Размеры элементарных ячеек структуры и пространственной решетки всегда одинаковы, а тип ячейки может быть различным, как в случае CsCl. Рассматривая всевозможные кристаллы, можно заключить, что число различных пространственных решеток ограничено, в то время как структур бесконечное множество.
1.6. Кристаллические системы
В общем случае элементарная ячейка представляет собой параллелепипед, построенный на единичных векторах a, b, c c углами между ними  (угол bc),  (угол ac), (угол ab). Отрезки a, b, c и углы , ,  называют обычно параметрами элементарной ячейки.

По форме элементарной ячейки пространственной решетки все кристаллы делятся на 7 групп - сингоний. Эти 7 сингоний включают в себя 32 вида симметрии или, что равносильно - 230 пространственных групп. Каждая из указанных сингоний характеризуется примитивной элементарной ячейкой определенной формы с определенными соотношениями параметров. Ниже указаны основные признаки, по которым кристаллы группируются в системы (сингонии) и соотношения параметров элементарных ячеек этих кристаллов.

I. Триклинная сингония - кристаллы не обладают никакими элементами симметрии или только центром инверсии i. Элементарная ячейка - косоугольный параллелепипед abc; 90.

II. Моноклинная сингония - кристаллы обладают одной поворотной осью 2-го порядка и плоскостью симметрии или одним из этих элементов abc; ==90; 90.

III. Ромбическая сингония - кристаллы имеют три взаимно перпендикулярные поворотные оси симметрии 2-го порядка или минимум две плоскости симметрии abc; ===90.

IV. Ромбоэдрическая тригональная сингония. Кристаллы имеют поворотные оси 3-го порядка (выше нет) a=b=c; ==90.

V. Тетрагональная сингония. Кристаллы имеют одну поворотную или инверсионную ось 4-го порядка a=bc; ===90

VI. Гексагональная сингония. Кристаллы имеют одну поворотную и инверсионную ось симметрии 6-го порядка

a=bc; ==90; =120.

Следует отметить, что в ромбоэдрической системе выбор элементарной ячейки может быть и таким, при котором она будет иметь вид гексагональной призмы с теми же соотношениями параметров, хотя оси симметрии в ней все же не выше 3 порядка. Вследствие этого ромбоэдрическую систему иногда рассматривают как подсистему гексагональной.

VII. Кубическая сингония - кристаллы имеют четыре поворотные оси 3-го порядка и три оси 4-го порядка a=b=c; ===90.

Первые три системы относятся к категории низшей симметрии; последующие три, имеющие по одной оси 3, 4 или 6 порядков, - к категории средней симметрии и последнюю - кубическую - к категории высшей симметрии.

Итак, для каждой из сингоний характерна своя по форме элементарная ячейка - всего 7 возможных ячеек.


1.7. Ячейки Бравэ
Рассматривая деление кристаллов на сингонии, мы учитывали только форму элементарной ячейки. Однако в одной сингонии могут существовать различные по симметрии ячейки. Они отличаются по расположению узлов. В том случае, когда узлы располагаются только в вершинах элементарного параллелепипеда, мы имеем примитивную P ячейку (рис.1.7). При расположении узлов в вершинах и в центре объема - объемноцентрированную ячейку I. Если узлы располагаются в вершинах и в центре всех граней - гранецентрированную F, или в центрах одной пары двух противоположных граней - базоцентрированные ячейки. В зависимости от того, какие пары граней центрированные, базоцентрированные ячейки обозначаются буквами A, B и C.

Возможное число элементарных ячеек, отличающихся между собой своей симметрией, было впервые определено Бравэ. При этом он сформулировал три условия, которые позволяют из бесконечного числа параллелепипедов в пространственной решетке выбрать один, однозначно определяющий элементарную ячейку. Эти условия следующие:

1) сингония элементарной ячейки должна быть такой же, как и сингония всей системы в целом;

2) число прямых углов между ребрами элементарной ячейки должно быть максимальным;

3) при выполнении первых двух условий объем элементарной ячейки должен быть минимальным.

Если рассмотреть эти правила Бравэ на примере двухмерной пространственной сетки (рис.1.8), то становится ясным, что из трех заштрихованных, мы должны выбрать как элементарную ячейку одну - квадрат, минимальный по размеру.

Испытывая примитивную ячейку каждой сингонии на возможность и присутствие в ней дополнительных узлов в центрах граней или объема, получим согласно этим правилам все возможные ячейки Бравэ. Так, для ромбической сингонии мы, помещая узлы в центре граней и объема, получим, кроме примитивной ячейки, еще три (рис.1.7). Эти четыре решетки неэквивалентны, точнее в их объеме нельзя выделить меньшую элементарную ячейку, которая имела бы ту же сингонию.

Наличие дополнительных узлов в центрах граней и объема не меняет сингонию решетки, поэтому мы рассмотренными выше четырьмя случаями исчерпали все возможные ромбические решетки.

Для других сингоний в ряде случаев это возможно. Например, в тетрагональной сингонии введением дополнительных узлов в центры объема и граней можно получить только одну дополнительную, кроме примитивной, ячейку. Это объемноцентрированная ячейка. Базоцентрированная тетрагональная решетка сводится к примитивной. Это легко показать (рис.1.9). Здесь x, y - старые оси; x, y - новые оси, которые выбираются под 45 к старым осям. Из построения рис.1.9 видно, что за элементарную ячейку в пространственной сетке, построенной путем бесконечного повторения старой ячейки С (в данном случае для этого достаточно рассмотреть всего лишь две базоцентрированные ячейки), следует принять новую ячейку P. Эта ячейка имеет ту же сингонию, но вдвое меньше по объему. Новая ячейка является примитивной. Таким образом, базоцентрированная ячейка сводится к примитивной.

Рис.1.7. Решетки Бравэ.

Рис.1.8. Выбор элементарной ячейки.
Точно таким же способом доказывается тождество гранецентрированной тетрагональной ячейки с объемноцентрированной.

Рассматривая подобным образом элементарные ячейки всех сингоний, получим, что в триклинной сингонии возможна только примитивная ячейка P, в моноклинной - P и C, в ромбической - P, C, I, F, в ромбоэдрической - P, в тетрагональной - P и I, в гексагональной - P и в кубической - P, I, F. Всего 14 ячеек Бравэ (рис.1.7).

Рис.1.9. Замена базоцентрированной тетрагональной ячейки примитивной.
Каждый тип решеток Бравэ, являясь элементарной ячейкой пространственной решетки, представляет некоторый набор трансляций, посредством которого можно деталь структуры переносить параллельно самой себе, образуя в пространстве трехмерный узор кристалла. Каждое рентгеновское исследование начинается с определения размеров и типа решетки Бравэ.
1.8. Условные обозначения и классификация кристаллов
Из рассмотренного в предыдущих параграфах ясно, что все кристаллы можно разделить на несколько крупных классов сингонии, последние же состоят из разных видов симметрии; а виды симметрии включают по несколько пространственных групп.

Существует несколько систем обозначений, характеризующих симметрию кристаллов. В нашей стране и большинстве зарубежных стран приняты обозначения по Шенфлису и международные.

Каждый кристалл, по Шенфлису, обозначается определенным символом, показывающим его принадлежность к тому или иному виду симметрии. Например, в кубической сингонии имеется 5 видов симметрии, которые Шенфлис обозначил T, Tl, T, O, Oh. Каждой букве отвечает вполне определенная совокупность внешних элементов симметрии. Кроме того, вверху над символом ставится порядковый номер пространственной группы, к которой относится кристалл. Например, вид симметрии T включает 5 пространственных групп. Соответственно T1, T2, T3, T4, T5. Это полное обозначение показывает вид симметрии и пространственную группу, к которой относится кристалл, следовательно, определяет в зашифрованном виде важнейшие элементы симметрии кристалла.

Международное обозначение кристалла иное. Первая буква указывает тип пространственной решетки Бравэ, которую имеет данный кристалл. Далее указываются основные элементы симметрии. Например: I3/m объемноцентрированная решетка, где I - объемноцентрированная решетка, - инверсионная ось 4-го порядка, 3/m - поворотная ось 3-го порядка или перпендикулярная к ней плоскость симметрии.

По совокупности этих элементов симметрии можно установить к какой сингонии относится данный кристалл. В каждой сингонии принята своя последовательность в расположении элементов симметрии в формуле кристалла.
1.9. Кристаллографические индексы
Для того чтобы определить положение отдельных узлов, а также прямых и плоскостей, проходящих через эти узлы в пространственной решетке, в кристаллографии приняты специальные обозначения. Эти обозначения в настоящее время стандартизованы и носят название кристаллографических индексов.

Известно, что положение точки в пространстве, или узла в элементарной ячейке, можно задать тремя координатами, относительно выбранной системы координат.

В кристаллографии описание решетки начинается также с выбора координатной системы, причем выбор осей берется в соответствии с решеткой Бравэ. За начало координат в решетке принимается, как правило, положение одного из узловых атомов.

Существуют два отличия кристаллографической системы координат от обычной геометрической:

1) В кристаллографической системе масштаб измерений по каждой оси самостоятелен и равен периоду идентичности.

2) В случае косоугольной элементарной ячейки в кристаллографии принимается косоугольная система координат, а не ортогональная.


Рис.1.10. Кристаллографические индексы узла [[mnp]].
Рис. 1.10 поясняет понятие кристаллографических индексов узла. Числа m, n, p являющиеся проекциями вектора R по оси x, y, z. Они и будут кристаллографическими индексами узла, определяющими его положение в элементарной ячейке. Индексы узла могут быть как целыми так и дробными числами.

Поскольку все ячейки пространственной решетки тождественны, то точке внутри какой-то ячейки соответствует тождественная точка во всех остальных ячейках. В связи с этим в подавляющем большинстве случаев положение узлов характеризуют узлами, лежащими в первой элементарной ячейке, ближайшей к началу координат. Они и обозначаются символами [[mnp]] или [[]]. Эти индексы связаны с реальным положением узла в любой ячейке в решетки как
x=x+ma

y=y+nb или (1.1)

z=z+pc


Таким образом, положение любого узла можно определить, выразив его координаты , через координаты известного узла, прибавляя или отнимая целые значения m, n, p.


Рис.1.11. Кристаллографические индексы прямых [m n p].
С помощью трех индексов, обозначаемых буквами m, n, p задается и направление семейства параллельных прямых, проходящих через узлы решетки (рис.1.11). Оно определяется индексами узла, поскольку эти же отрезки определяют и положение вектора R

R=ma+nb+pc . (1.2)

При подстановке вместо букв m, n, p численных значений индексов для определения данного семейства прямых поступают следующим образом.

1) Выбирают прямую, проходящую через начало координат.

2) Для обозначения прямой выбирают индексы того узла, который имеет целочисленные значения m, n, p.

3) Выбранный узел лежит ближе других к началу координат, т.е. индексы его не имеют общего множителя.

Таким образом, индексы семейства параллельных прямых выражаются всегда целыми числами, не имеющими общего множителя, как, например, направления [100], [111], [102]. По индексам этих прямых можно построить их в элементарной ячейке (рис.1.11).

Зная индексы прямой [mnp], можно определить и углы, которые она образуют с осями координат. Например, для кристаллов кубической системы углы между направлением [mnp] и осями x, y, z равны:

(1.3)
При определении угла между двумя произвольными направлениями в кристалле устанавливаем индексы соответствующих им прямых [m1 n1 p1] и [m2 n2 p2]. Тогда согласно аналитической геометрии угол между этими прямыми определяется соотношением:

cos=cos1cos2  cos1cos2  cos1cos2 (1.4)
Подставляя из (1.3) значения cos в (1.4), получим

(1.5)
Важным моментом является также определение узловой плоскости. Через узлы решетки можно провести ряд, параллельных между собой, узловых плоскостей (рис.1.12). Такие плоскости называются семейством параллельных плоскостей и характеризуются определенным межплоскостным расстоянием.


Рис.1.12. Семейство параллельных плоскостей и кристаллографические индексы плоскостей (hkl).


Пусть плоскость отсекает на осях координат отрезки A, B, C. Уравнение этой плоскости в отрезках

+ + = G (1.6)

где: G – целое число; x = ma, y = nb, z = pc – координаты какого-либо узла в плоскости. Так как m = x/a, n = y/b, p = z/c, то можно записать

= G

Величины a/A, b/B, c/C – правильные дроби, и их отношение можно заменить отношением некоторых целых чисел

:: = h : k : l (1.7)

В этом случае всегда найдется множитель R (целое число, общий их знаменатель), который удовлетворяет условию: R = h , R = k , R = l и уравнение плоскости может быть записано: m(h/R) + n(k/R) + p(l/R) = G или mh + nk + pl = N, где N=GR – тоже целое число.

Для соседних плоскостей семейства величина N различается на 1. Так, для плоскости, проходящей через начало координат, mh + nk + pl = 0, ближайшей к началу координат:

mh + nk + pl = 1 (1.8)

Числа h, k, l, обратно пропорциональные отсекаемым плоскостью отрезкам на координатных осях, будут характеризовать положение самой плоскости в кристалле. Поэтому в кристаллографии принято определять положение плоскостей в элементарной ячейке и решетке кристаллов при помощи этих чисел– индексов, которые даются в круглых скобках. Если числа h,k,l не имеют общего множителя, то они характеризуют все семейство плоскостей. Кристаллографические индексы плоскости (h k l) называются также индексами Миллера. . Задание положения плоскостей индексами Миллера годится только для плоскостей не проходящих через начало координат [[000]].

Связь индексов Миллера с отрезками, отсекаемыми плоскостью на осях можно проследить на следующих примерах.

1). Плоскость отсекает на осях отрезки: a, b/2, c/3 т.е. A=a, B=b/2, C=c/3. Такую плоскость можно построить в системе координат элементарной ячейки.Чтобы перейти от отрезков к индексам плоскости, берутся величины, обратно пропорциональные отрезкам (в масштабе соответствующих осей). Полученные числа и будут индексами плоскости, т.е. (1,2,3).

2). Аналогично: отрезки, отсекаемые на осях: a/2, b, c – индексы плоскости (2,1,1).

Если индексы содержат общий множитель, то на него можно сократить – получим индексы не конкретной плоскости, а семейства плоскостей.
Обратная задача: построить плоскость с индексами (2,0,1). Отрезки обратно пропорциональны индексам, в масштабах осей это: 1/2, , 1. Откладываем отрезки и строим плоскость.


Если плоскости отсекают по осям отрицательные отрезки, то это отмечается знаком минус над соответствующим индексом, например (). Каждая комбинация индексов h, k, l определяет не одну плоскость, а бесконечную совокупность параллельных между собой плоскостей. При этом индексы (111), (222), (333) определяют одну и туже совокупность параллельных плоскостей (рис.1.12). Поэтому, если необходимо охарактеризовать сразу все семейство, то выбирают индексы плоскости, во-первых, наиболее близко расположенной к началу координат и, во-вторых, не имеющие общего множителя, т.е. в данном случае (111).

Если же в элементарной ячейке необходимо определить положение какой-либо одной конкретной плоскости, то указывают ее действительные координаты в отрезках, которые обозначаются (H, K, L), где

H=qh; K=qk; L=ql , (1.9)

а q - коэффициент пропорциональности.

Например, плоскость (333) на рис.1.12. Следует при таком построении всегда помнить, что индексы (hkl) или (HKL) обратно пропорциональны отрезкам, отсекаемым плоскостями на координатных осях.
В элементарной ячейке кристалла можно выделить так называемые эквивалентные плоскости, для которых межплоскостные расстояния одинаковы и которые расположены симметричным образом по отношению друг к другу и координатным осям. Вся совокупность таких плоскостей в элементарной ячейке кубической сингонии определяется простой перестановкой индексов и изменением их знака. Эквивалентными будут например, плоскости (100), (010), (001), (00), (00), (00) - всего 6 эквивалентных плоскостей. Из индексов (110) путем перестановок индексов и знаков можно получить 12 эквивалентных плоскостей и т.д.

Количество эквивалентных плоскостей определяется числом перестановок из данных индексов и называется множителем повторяемости. Например, множитель повторяемости для плоскости (100) равен 6. Для других плоскостей значения множителей повторяемости приведены в табл.1.1

Таблица 1.1

Индексы

hkl

hkl

hk0

hk

hkl

h=k

110

100

111

Множитель повторяемости


48


24


24


12


6


8


Множитель повторяемости учитывается при расчетах интенсивности отраженных различными атомными плоскостями рентгеновских лучей.

4-ый индекс гексагональной системы. В гексагональной системе плоскости часто характеризуют четырьмя индексами (hkil). Это связано с тем, что во всех сингониях элементарную ячейку выбирают в виде параллелепипеда, а в гексагональной - в виде гексагональной прямоугольной призмы (рис.1.13). Направления осей x, y, u совершенно равноценны, а периоды повторяемости a, b, d по этим направлениям равны. Поэтому, приняв одну ось координат (вертикальную) за z, мы две другие с равным правом могли бы взять за оси x и y. Чтобы не было неопределенности, берут на горизонтальном основании призмы не две, а три оси, расположенные одна по отношению к другой под углом 120. При этом узлы, узловые прямые и плоскости характеризуются не тремя, а четырьмя индексами.

Для определения положения точки в трехмерном пространстве необходимы, как известно, три координаты. Поэтому четвертый индекс i не является независимым. Он равен:

i = – (hk) (1.10)

Введение четвертого индекса во многих случаях бывает полезным. Например, он помогает различать эквивалентные плоскости гексагональной элементарной ячейки. Так, все боковые плоскости в гексагональной элементарной ячейке (рис.1.13) будут являться эквивалентными. Однако по трем индексам плоскостей (100), (010), () и т.д. этого установить не удается. Более наглядно эквивалентность плоскостей обнаруживается при рассмотрении четырех индексов плоскостей. В этом случае те же плоскости 1, 2, 3 (рис.1.13) запишутся как (), (), () и т.д. Таким образом, при введении четвертого индекса все плоскости эквивалентны и индексы таких эквивалентных плоскостей можно получить перестановкой трех первых индексов.

Рис. 1.13. Система координат в гексагональной ячейке.


1.10. Некоторые формулы структурной кристаллографии
1.Угол между плоскостями. При решении некоторых задач структурного анализа положение плоскости часто характеризуют направлением нормали к ней. Это используется для широко распространенных ортогональных кристаллов, так как в этом случае индексы плоскости (h,k,l) и нормали к ней [h,k,l] совпадают. Для них при определении угла между плоскостями достаточно вычислить угол между их нормалями. Докажем это. Пусть плоскость с индексами (h,k,l) отсекает на осях отрезки OA, OB, OC и является ближайшей к началу координат из данного семейства плоскостей.

Поскольку отрезки, отсекаемые плоскостью на осях, обратно пропорциональны индексам плоскости, то можно записать:

OA=a/h, OB=b/k, OC=c/l

Допустим, что прямая ON имеет те же индексы [hkl], и в векторной форме мы можем записать эту прямую как

ON = h a + k b+ l c

Если прямая [h k l], действительно, перпендикулярна (h k l), то вектор ON должен быть перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, например AB, и их скалярное произведение должно быть равно нулю:

(ON AB)  0.

Рассмотрим его величину

(ONAB) = {ON ( b/k - a/h)} = {( ha+ kb+lc) (b/k-a/h)}= h/k(ab) + b2 + l/k(c b) - a2 -k/h(ba) - l/h(ca)  0

Чтобы левая часть обратилась в нуль, необходимо и достаточно:

1) (ab) = (cb) = (b a) = (c a) = 0, что справедливо для случая сингоний, где ===90

2) a= b.

Взяв затем вместо AB другие прямые в плоскости (hkl): BC, AC и проведя аналогичные рассуждения, получим дополнительные требования a=c и b=c.

Таким образом, тождество выполняется для кубической сингонии, и можно считать доказанным, что плоскость и нормаль к ней в кубической решетке всегда имеют одинаковые индексы.

В этой сингонии угол между плоскостями (равный углу между нормалями к плоскостям) можно записать на основании соотношения (1.4) как

cos  = (1.11)
Выразим при помощи кристаллографических индексов и основные величины в элементарной ячейке: период идентичности, межплоскостное расстояние и объем элементарной ячейки.

2. Период идентичности. Под периодом идентичности подразумевают расстояние между ближайшими идентичными узлами, лежащими на одной прямой. Он обозначается через I.

Периоды идентичности по осям координат равны длинам трансляций a, b, c. Период идентичности вдоль произвольного направления равен вектору:

I= ma + nb+ pc , (1.12)

где m, n, p - координаты узла, лежащего на этом направлении и ближайшего к началу координат. (Числа m, n, p могут не совпадать с индексами прямой, параллельной этому направлению, но всегда им кратны).

Абсолютное значение вектора I можно найти из квадратичного выражения:

I = m2a2 + n2b2 + p2c2 + 2mnabcos + 2mpaccos + 2npbccos , (1.13)
что для кубической системы I составляет:

I=a (1.14)

3. Объем элементарной ячейки. Объем параллелепипеда, как известно, равен произведению площади основания на высоту. Если элементарная ячейка построена на векторах a, b, c, то площадь основания S будет равна
S=|a| |b| sin(ab) или S=|[ab]| (1.15)
Тогда объем элементарной ячейки элементарной ячейки V равен:

V=Sh=|a||b|sin(ab)|c|cos(cs)=|c||s|cos(cs)=(cs)=(c[ab])

Окончательно

V= (c[ab])

Аналогично имеем:

V = (a[bc]) = (b[ca]) =(c[ab]) (1.16)
Раскрытие этих скалярных произведений дает:

V= abc (1.17)

Естественно, что для ортогональных сингоний выражение (1.17) упрощается:

V=abc (1.18)

или для кубической сингонии:

V=a3 (1.19)

4. Межплоскостное расстояние. Межплоскостное расстояние d - это расстояние между соседними параллельными плоскостями кристалла. Оно равно длине перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, ближайшую к началу координат. Величина d связана с индексами соответствующих плоскостей.

Возьмем для простоты решетку с ортогональной системой координат. Плоскость (hkl) отсекает на осях x, y, z отрезки OA, OB, OC, равные а/h, b/k, c/l соответственно. Если ON перпендикуляр, опущенный из начала координат к этой плоскости, то по условию |ON|= d и из треугольника OAN получим ON/OA= cos  или dh/a=cos.

Аналогично: dk/b= cos; dl/c= cos.

Как известно, для ортогональной системы координат выполняется равенство:

cos2 + cos2 + cos2 = 1 (1.20)
Отсюда или (1.21)
Соотношение (1.21) квадратичная формула для ортогональных сингоний. Она справедлива, например, для ромбической сингонии, где abc, но ===90. Исходя из формулы 1.21, будем иметь:

(1.22)

Для кубической сингонии a=b=c и ===90:

(1.23)

Таким образом, межплоскостное расстояние связано с кристаллографическими индексами плоскости и параметрами элементарной ячейки.
1.11. Понятие обратной решетки
В рентгеновской кристаллографии и квантовой теории металлов широко используется представление об обратной решетке. Она является математическим построением. Каждый узел обратной решетки отвечает определенной атомной плоскости пространственной решетки кристалла. Так, плоскости (hkl) прямой решетки в обратной решетке соответствует узел [[hkl]] с теми же индексами. При построении обратной решетки ее координатные оси и единичные вектора выбирают таким образом, чтобы выполнялись соотношения:

(aa*)=(bb*)=(cc*) = 1 (1.24)

(ab*)=(ac*)=(ba*)=(bc*)=(ca*)=(cb*) = 0 , (1.25)

т.е. скалярные произведения одноименных векторов равны 1, а разноименных векторов – нулю. Здесь a, b, c - единичные вектора прямой решетки, a*, b*, c* - единичные вектора обратной решетки на координатных осях обратной решетки x*, y*, z*.

При таком построении, как будет показано ниже, обратная решетка очень наглядно характеризует расположение атомных плоскостей в прямой решетке и, кроме того, облегчает решение ряда структурных задач.

Из указанных соотношений вытекает ряд следствий, которые определяют направление координатных осей x*, y*, z* обратной решетки и величину единичных векторов a*, b*, c*.

Например, из соотношения (ba*)=0 и (ca*)=0 следует, что вектор a* обратной решетки перпендикулярен векторам b и с прямой и, следовательно, является нормалью к плоскости прямой решетки, в которой лежат эти вектора. Точно так же можно получить, что вектора b* и с* перпендикулярны плоскостям ac и ab прямой решетки, то есть все координатные оси обратной решетки перпендикулярны плоскостям прямой.

Величина единичных векторов обратной решетки может быть определена следующим образом. Поскольку вектор a* перпендикулярен плоскости bc, то его можно выразить через векторное произведение a*=1[bc], где 1 - коэффициент пропорциональности и

|a*|=

Умножим левую и правую части равенства на a, получим (aa*)=1(a[bc])= 1V=1, откуда 1=1/V.
Следовательно: a*=[bc]/V

и аналогично b*=[ac]/V и c*=[ab]/V . (1.26)

Соотношение (1.26) позволяют определить величину единичных векторов обратной решетки. Обратная решетка является таким преобразованием прямой, при котором сохраняется ее сингония. Элементарная ячейка обратной решетки может иметь иное расположение узлов, чем у прямой решетки. Например, решетка обратная гранецентрированной кубической, есть кубическая объемноцентрированная.

Ориентацию плоскости (hkl) прямой решетки в пространстве определяет ориентацию вектора, соединяющего начало координат обратной решетки с ее узлом [[hkl]]. Такой вектор определяется соотношением

H = ha* + kb*+ lc* . (1.27)

Докажем, что вектор H всегда перпендикулярен атомной плоскости прямой решетки с теми же индексами (hkl). Возьмем произвольную прямую решетку с осями координат x, y, z (рис.1.14). Выберем из семейства параллельных плоскостей (hkl) одну плоскость, ближайшую к началу координат. Эта плоскость отсекает отрезки на осях координат

OA=a/h; OB=b/k; OC=c/l . (1.28)

Рассмотрим, что из себя представляет нормаль к плоскости (hkl). Очевидно, что направление нормали к плоскости должно быть параллельно векторному произведению двух векторов, лежащих в плоскости, например, произведению [ABBC]. Подставим значение векторов из (1.28) и перемножим:

[ABBC] = [(b/k - a/h) (c/l - b/k)] = [bc]/kl - [ac]/hl + [ab]/hk = 1/hkl{h[bc] + k[ca] + l[ab].

Направление вектора не изменится, если умножим его на число hkl/V, тогда

[ABBC] = h[bc]/ V + k[ca]/ V + l[ab]/ V = ha* + kb* + lc* = H ,

т.е. векторное произведение [ABBC] есть не что иное, как вектор H обратной решетки, и он всегда перпендикулярен плоскости прямой решетки с теми же индексами.

Таким образом, зная направление вектора H, можно установить ориентацию в пространстве кристаллографической плоскости (hkl).

Величина вектора H. Абсолютное значение вектора H можно получить, рассматривая скалярное произведение вектора а/h и единичного вектора n вдоль оси N (рис.1.14). Последний равен n=H/|H|. Тогда скалярное произведение двух векторов можно записать, как произведение модуля одного из них |n| на алгебраическую проекцию другого вектора a/h на ось N. Поскольку алгебраическая проекция вектора a/h на ось N есть не что иное, как межплоскостное расстояние d, то имеем (na/h)=1d или
(na/h)=(a/hH/|H|)=a/h(a*h+b*k+c*l)/|H|= 1/|H|=d . (1.28)



Рис. 1.14. К доказательству перпендикулярности вектора обратной решетки и плоскости прямой решетки (hkl).
Полученное соотношение (1.28) связывает величину вектора H и межплоскостное расстояние. Используя это соотношение, можно получить квадратичные зависимости между величиной d, параметрами элементарной ячейки и индексами данной системы параллельных плоскостей. Рассмотрим несколько примеров.

Кубическая сингония. Запишем абсолютное значение H как

H2=1/d2=h2a*2+k2b*2+l2c*2+2hka*b*cos+2hla*c*cos+2klb*c*cos. (1.29)

В конечном итоге можно дать следующее определение обратной решетки: обратной решеткой называется совокупность узлов, связанных с совокупностью нормалей Hhkl к плоскостям прямой решетки. Узел обратной решетки представляет собой конец нормали, проведенной из начала координат прямой решетки и имеющий длину H, обратно пропорциональную соответствующему межплоскостному расстоянию системы плоскостей (hkl) в прямой решетке. Такая совокупность узлов образует обратную пространственную решетку.
1.12. Кристаллографическая зона
Кристаллографической зоной называется совокупность плоскостей или граней кристалла, параллельных одному направлению, называемому осью зоны (рис.1.15). Параллельным переносом плоскости или грани одной зоны можно заставить их пересечься друг с другом по оси зоны. Любая зона однозначно определяется осью зоны, которую можно записать как вектор Rmnp: R = ma + nb + pc.

Найдем условие зональности плоскостей относительно вектора R в кубической системе. Если плоскость параллельна оси R, то нормаль к этой плоскости всегда будет перпендикулярна оси зоны. Последнее условие является необходимым и достаточным, чтобы определить принадлежность плоскости к данной кристаллографической зоне.

Рис. 1.15. Кристаллографическая зона.
Нормалью к плоскости (hkl) является вектор H обратной решетки, равный H=ha*+ kb*+lc*. Если (hkl) принадлежит зоне с осью R, то H перпендикулярен R - значит должно выполняться условие (HR)=0. Подставляя значение векторов H и R, получим условие зональности плоскостей в кубической решетке

(HR) = hm + kn + lp =  0 . (1.30)

Определим индексы оси зоны по индексам двух плоскостей зоны (h1k1l1) и (h2k2l2). Для обеих плоскостей условие зональности определяет систему уравнений:

(1.31)
Решение этой системы дает:

, , , (1.32)
где  - общий множитель, равный =

Все индексы прямой R можно сократить на общий множитель 1/ . При этом прежние и новые их значения обозначают одну и ту же прямую. Если определение ведется для какого-либо известного кристалла, то мы получим численные значения кристаллографических индексов оси зоны.
Пример:

Найти индексы оси зоны для плоскостей (111) и () кубической решетки.

Условие зональности согласно (1.30)



откуда
=1, =1 и = –2
Итак, индексы кристаллографической зоны [mnp]=[]. Построение этой оси в элементарной ячейке кубической решетки показано на рис.1.11.


1.13. Кристаллографические проекции
При графическом изображении кристаллов широко пользуются различными их проекциями. Проекции применяются для решения ряда задач кристаллографии и рентгеноструктурного анализа: определения ориентировки кристаллов, индицирования рентгенограмм и т.д. Обычно ими пользуются тогда, когда нет необходимости определять межплоскостные расстояния, а требуется установить лишь взаимную ориентацию атомных плоскостей, граней и ребер кристалла. Поскольку расстояния между параллельными плоскостями кристалла равны, то всю совокупность параллельных плоскостей при построении проекций заменяют одной плоскостью, а все параллельные прямые - одной прямой.

В целом весь проектируемый кристалл заменяется пучком прямых и плоскостей, проходящих через одну точку. Полученное построение называют кристаллическим комплексом.

Таким образом, кристаллический комплекс - это совокупность прямых и плоскостей, параллельных ребрам и граням кристалла, проходящих через одну точку. Эта точка называется центром комплекса.

При проектировании кристаллического комплекса на плоскость получают линейную проекцию кристалла; при проектировании на сферу - сферическую. На линейной проекции плоскость изобразится прямой, являющейся ее следом; прямая - точкой. Неудобство этой проекции состоит в том, что для изображения всех плоскостей и прямых необходима бесконечно большая плоскость проекций. Поэтому линейная проекция применяется очень редко.

При построении сферической проекции центр сферы совмещается с центром комплекса. Очевидно, на сферической поверхности все плоскости кристаллического комплекса проектируются в виде больших кругов, стягиваемых сферой, прямые - двумя диаметрально противоположными точками. Неудобством сферической проекции при большом числе проектируемых плоскостей является сложность и громоздкость построения.

В кристаллографии, при решении многих задач, пользуются преимущественно обратным кристаллографическим комплексом, в котором плоскости заменяют нормалями к ним, а прямые - перпендикулярными к ним плоскостями. Полученная совокупность прямых и плоскостей, проходящих через одну точку 0, и носит название обратного или полярного комплекса. Точка 0 - центр комплекса.

Все проекции, полученные при проектировании полярного комплекса, имеют приставку “гномо”. Проекция полярного комплекса на плоскость носит название гномонической проекции. Плоскость (hkl) в ней изобразится точкой. Недостаток этой проекции тот же, что и у линейной, а именно для построения всей совокупности проекций плоскостей требуется очень большая площадь проекций. Чтобы устранить этот недостаток, плоскость проекций заменяют сферой. В результате получаем гномосферические проекции.

Проекцией плоскости (hkl) здесь будет точка пересечения M нормали со сферой. Положение точки M на сфере описывается в кристаллографии, выраженными в градусах: полярным расстоянием , и долготой . Полярное расстояние или широта отсчитывается обычно от полюса и меняется в пределах от 0 до 180 градусов.

Долготу отсчитывают от некоторого начального меридиана от 0 до 360 градусов по часовой стрелке, если смотреть с верхнего полюса.

Недостаток гномосферической проекции состоит в том, что определение положения точек на сфере проекций и решение ряда задач связано с гониометрическими измерениями (на сфере). Это неудобно.

Наиболее часто в кристаллографии пользуются гномостерео-графическими проекциями. Они включают в себя достоинства, свойственные линейным и гномоническим проекциям, а именно: комплекс проектируется на плоскость, которая ограничена кругом проекций. Здесь так же, как и в предыдущих случаях, центр полярного комплекса совмещается с центром сферы (рис.1.16). Через центр сферы проводится плоскость проекции P, которая пересекает сферу по большому кругу. Это сечение называется основным кругом проекции.

Рис.1.16. Гномостереографическая проекция.
Прямая, перпендикулярная к плоскости P и проходящая через центр О, пересекает сферу в двух точках N и S, которые называют полюсами проекций. При построении гномостереографической проекции плоскости (hkl) точку выхода ее нормали на сфере (точку M) соединяют с полюсом проекций, расположенным по другую сторону от плоскости Р. Точка пересечения прямой MS с плоскостью P (точка Q) и будет являться гномостереографической проекцией плоскости (hkl).

Легко видеть, что проекции всех плоскостей кристалла находятся в пределах большего круга. Таким образом, размеры проекции конечны и определяются радиусом сферы. В этом одно из достоинств гномостереографической проекции.

Построение гномостереографической проекции кристалла проводят, взяв только один из полюсов проекции, например S, и рассматривая нормали, направленные в одну сторону от плоскости проекций P. Тогда для каждой плоскости (hkl) получаем одну точку проекции (hkl), которую называют полюсом плоскости. Совокупность гномостереографических проекций плоскостей кристалла на большом круге проекций называется его полюсной фигурой (рис.1.17).

Рис. 1.17. Полюсные фигуры.
Вид полюсной фигуры зависит от симметрии кристалла, а также от его установки относительно плоскости проекций и прямой SN. При изменении установки кристалла все точки проекций на полюсной фигуре смещаются.

Плоскость или грань кристалла, перпендикулярная прямой SN, будет иметь проекцию в центре большого круга; все плоскости, параллельные прямой SN, спроектируются в виде точек на большом круге проекций. Все другие плоскости кристалла дадут точки проекций на остальной площади большего круга.

Рассмотрим, как будут располагаться на полюсной фигуре точки гномостереографической проекции какой-либо кристаллографической зоны (рис.1.18).

Рис. 1.18. Гномостереографическая проекция плоскостей одной зоны.
Для этого представим зону в виде полярного комплекса, выбрав за центр комплекса некоторую точку на оси зоны. В полярном комплексе зона изобразится в виде прямых - нормалей, лежащих в одной плоскости (рис.1.18), перпендикулярной оси зоны. Эта плоскость пересечет сферу по большому кругу, следовательно, выходы всех нормалей к плоскостям зоны будут также располагаться на большем круге сферы проекций.

Гномостереографической проекцией большого круга будет дуга, стягиваемая диаметром AA (рис.1.18). Таким образом, все точки проекций плоскостей одной кристаллографической зоны будут располагаться по дуге, стягиваемой на концах диаметром круга проекций. Если ось зоны совпадает с направлением SN, то ее проекция будет представлять собой ряд точек, расположенных по периметру большого круга проекций P. На рис.1.18 ось зоны не совпадает с направлением SN, а составляет с ней угол 90. Индексы оси этой зоны для кубического кристалла совпадают с индексами центральной точки полюсной фигуры.


1.14. Сетки Вульфа и Закса
Для того, чтобы определить положение какой - либо плоскости или нормали в пространстве по точке ее гномостереографической проекции необходимо располагать соответствующей координатной сеткой. На сфере такими координатными линиями являются параллели и меридианы. С помощью их можно установить угловые координаты плоскости или нормали по положению точки пересечения нормали со сферой M.

На плоскости гномостереографических проекций подобную координатную сетку можно получить, проектируя на нее меридианы и параллели сферы. В зависимости от положения плоскости проекций относительно этих линий координатная сетка будет иметь различный вид.

Рассмотрим, как будут выглядеть проекции меридианов и параллелей, если плоскость проекций проходит через полюсы сферы (N и S на рис.1.18), т.е. вдоль одного из меридианов.

Полюс проекций S будет располагаться обязательно на экваторе. При этом все меридианы сферы спроектируются в виде дуг (рис.1.19,а), стягиваемых диаметром основного круга проекции BD. Параллелям также будут отвечать дуги, расположенные в поперечном направлении. Построенная координатная сетка была предложена Вульфом и носит его имя. Все дуги на сетке Вульфа соответственно также называются меридианами и параллелями, а окружность АВСД - окружностью основного круга проекций. Понятно, что система отсчета углов по сетке проекций иная, чем на сфере, но находится с ней в соответствующей зависимости. Поэтому сетка Вульфа позволяет установить угловые координаты нормали к плоскости (hkl).

Система отсчета по сетке Вульфа такова, что одна координата  отсчитывается от центра, а другая  - от правого конца экватора по основному кругу проекций (рис.1.19,а). С помощью сетки Вульфа решается большое число задач, причем в процессе их выполнения сетка перемещается только вокруг центра О.

Рис. 1.19. Сетки Вульфа (a) и Закса (б).
Если принять за плоскость гномостереографических проекций горизонтальную, пересекающую сферу проекций по экватору, то получим координатную сетку Закса (рис.1.19,б). Полюс проекций в этом случае будет совпадать с одним из полюсов сферы. Сетка Закса является полярной сеткой. Здесь меридианы образуют радиусы; а параллели - концентрические окружности. С помощью этой сетки легко строить проекцию плоскости или точки, откладывая одну координату, например,  от центра и угол  по окружности (рис.1.19,б). Однако она не дает возможности измерить углы между произвольными плоскостями по их проекциям, тогда как с помощью сетки Вульфа это делается просто.

Проекции параллелей и меридианов на сетках Вульфа и Закса наносятся через каждые 2, что определяет точность построений. Иногда применяют комбинацию сеток Вульфа и Закса. Такие комбинированные сетки облегчают проведение различных построений и измерений.
Примеры построений и решения задач с помощью сетки Вульфа

1) Построить проекцию плоскости (hkl), если заданы сферические углы - координаты  и  в системе отсчета, соответствующей сетке Вульфа.

Для построения точки ,  откладываем на кальке по основному кругу угол . Концентрическим поворотом кальки – при совмещении центра кальки и центра сетки Вульфа – приводим полученную точку на конец одного из диаметров сетки Вульфа (экватора или главного меридиана) и, отсчитав по нему угол , наносим на кальке искомую точку , .

2) Измерить угол  между плоскостями (h1k1l1) и (h2k2l2) по точкам их гномостереографических проекций на полюсной фигуре.

Рис.1.20. Замер угла между плоскостями по сетке Вульфа.
Для этого совмещаем полюсную фигуру, скопированную на кальку, с сеткой Вульфа, равного диаметра. Поворачивая кальку вокруг общего центра, приводим обе проекции, т.е. точки h1k1l1 и h2k2l2 на один меридиан сетки (рис.1.20). Отсчет угла проводим вдоль этого меридиана.

Если выходы нормалей на сфере в процессе геометрических преобразований окажутся по разные стороны от плоскости проекций P (рис.1.16), то угол между ними измеряют следующим образом. Мы смотрим на сетку Вульфа со стороны диаметра, противоположному полюсу S. Точки проекций располагаем на симметричных меридианах. Отсчет угла производим вначале по одному меридиану от точки h1k1l1 до полюса, а затем по другому меридиану от полюса до точки h2k2l2 (рис.1.20).

3) При повороте кристалла проекция плоскости (hkl) смещается из положения 1 в положение 2. Определить угол и ось поворота.

Концентрическим поворотом приводим точки 1 и 2 на одну параллель; ось поворота совпадает при этом с вертикальным диаметром сетки; угол поворота равен углу между точками проекций, измеренному вдоль параллели.

4) Найти проекцию дуги большого круга, на которой лежат две заданные точки проекций h1k1l1 и h2k2l2.

Обе точки концентрическим поворотом кальки приводятся на один меридиан. Этот меридиан и есть искомая дуга большого круга. Две заданные точки проекций, так же как и все другие точки проекций, попадающие на один меридиан, будут являться проекциями плоскостей одной кристаллографической зоны. При этом точка с индексами оси зоны должна находиться на экваторе.

  1   2   3   4   5


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации