Контрольная работа - Экономико - математические методы и модели - файл n1.doc

Контрольная работа - Экономико - математические методы и модели
скачать (394 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc394kb.08.07.2012 18:50скачать

n1.doc


Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра Экономико – математических методов и прогнозирования


Учебная дисциплина: «Экономико – математические методы и модели»

Номер группы_________ФКП02И______________________________

Наименование специальности: ___Финансы и кредит______________

Студент: _ _______________________

Номер зачетной книжки_________________________________

Дата регистрации институтом «___»______________________200___г.

Дата регистрации кафедрой «_____»______________________200___г.

Проверил:___________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)
2011

Задача 1

Для изготовления продукции двух видов А и В предприятие расходует ресурсы, а от реализации выпущенной продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на одно изделие, запасах расходуемых ресурсов и цен изделий приведена в таблице.

1.Построить математическую модель задачи.

2.Найти программу выпуска, обеспечивающую предприятию максимальный доход от реализации продукции.

3.Определить оптимальные оценки ресурсов.

Ресурсы

Нормативы затрат

Наличный объем

А

В

Сырье (кг)

5

4

154

Оборудование (ст./час)

4

3

119

Труд (чел. /час)

3

9

241

Цена изделия (руб.)

37

29






1. Построение математической модели задачи.

Необходимо определить объемы выпуска продукции вида А и В. Обозначим:

х1 – объем выпуска продукции А,

х2 – объем выпуска продукции В.

Ограничения модели должны учитывать физические возможности использования ресурсов. Определим затраты каждого вида ресурса для выпуска производственной программы х = (х1, х2):

Расход сырья 5х1 + 4х2 ? 154,

Затраты времени работы оборудования 4х1 + 3х2 ? 119,

Затраты рабочего времени 3х1 + 9х2 ? 241.

Кроме того должны выполняться условия неотрицательности переменных х1 ?0 и х2 ?0.

Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия: получение максимальной выручки от реализации произведенной продукции. Если обозначить функцию размера выручки через Z, то Z = 37х1 + 29х2,

а основная цель предприятия может быть выражена так:

максимизировать целевую функцию Z = 37х1 + 29х2.

Получаем, что математическая модель оптимизации выпуска продукции может быть записана в следующем виде:

Найти неизвестные значения переменных х1, х2 , удовлетворяющие ограничениям

1 + 4х2 ? 154,

1 + 3х2 ? 119,

1 + 9х2 ? 241.

х1 ?0 , х2 ?0,

и доставляющие максимальное значение целевой функции Z= 37х1 + 29х2 ? max.

2. Нахождение программы выпуска продукции, обеспечивающая предприятию максимальный доход.

Решим задачу графическим способом.

Построим множество допустимых решений:

1 + 4х2 = 154 (1)

х1

0

30,8

х2

38,5

0

1 + 3х2 = 119 (2)

х1

0

29,75

х2

39,67

0

1 + 9х2 = 241 (3)

х1

0

80,33

х2

26,78

0



Для нахождения оптимального решения необходимо определить направление возрастания целевой функции Z = 37х1 + 29х2 .

Вектор grad Z = (37; 29) показывает направление возрастания функции z и перпендикулярен ее линиям уровня.

Целевая функция может возрастать до тех пор, пока линии уровня, соответствующие возрастающим значениям этой функции, пересекают область допустимых решений. Точка пересечения области допустимых решений и линии уровня, соответствующей максимально возможному значению целевой функции, и будет точкой максимума.

На рисунке видно, что оптимальное решение соответствует точке А, лежащей на пересечении прямых (1) и (2). Поэтому ее координаты находятся как решение системы линейных уравнений, задающих эти прямые:

Ю =14, =21.

При этом значение целевой функции Z* = 37·14+29·21=1127.

Полученное решение означает, что предприятию необходимо производить 14 единиц изделий А и 21 единицу изделий Б, что позволит ему получать максимальную выручку в размере 1127 руб.

3. Определение оптимальных оценок ресурсов.

Прямая задача:

1 + 4х2 ? 154,

1 + 3х2 ? 119,

1 + 9х2 ? 241,

х1 ?0 , х2 ?0,

Z = 37х1 + 29х2 ? max.

Двойственная задача:

Найти неизвестные значения переменных u1, u2, u3 , удовлетворяющие ограничениям

5u1 + 4u2 + 3u3 ? 37,

4u1 + 3u2 + 9u3 ? 29,

u1 ?0 , u2 ?0, u3 ?0,

и доставляющие минимальное значение целевой функции

w = 154u1 +119u2 +241u3 ? min.

Находим оптимальное решение двойственной задачи используя условия “дополняющей нежесткости”:

u1(154 – 5x1 –4x2)=0, x1(5u1 + 4u2 + 3u3 – 37)=0,

u2(119 –4x1 – 3x2)=0, x2(4u1 + 3u2 + 9u3 – 29)=0.

u3(241 – 3x1 –9x2)=0,

Подставляя в них найденные значения =14, =21, получаем:

Т.к. =14?0, то 5u1 + 4u2 + 3u3 – 37=0,

Т.к. =21?0, то 4u1 + 3u2 + 9u3 – 29=0,

Т.к. 241 – 3–9= 241 – 3∙14 – 9∙21 = 10, то u3 = 0.

Таким образом, получаем систему уравнений:

5u1 + 4u2 + 3u3 = 37,

4u1 + 3u2 + 9u3 =29,

u3 = 0.

Решая данную систему, находим оптимальные значения переменных двойственной задачи:

= 5, = 3 , = 0.

Вычислим оптимальное значение целевой функции двойственной задачи:

W*=154∙5+119∙3+241∙0=1127=Z*.

Задача 2

Фирма собирается организовать в следующем квартале выпуск новых изделий А и В. Она располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь рабочих на условиях почасовой оплаты. Для оплаты их труда фирма может получить в банке кредит на три месяца под 40% годовых. Информация о нормах затрат ресурсов, наличных объемах сырья и оборудования, а также ценах изделий А и В приведена в таблице. Целью организации выпуска продукции является получение максимальной суммарной прибыли.

1.Построить математическую модель задачи.

2.Определить аналитическую зависимость размеров максимальной прибыли и кредита от почасовой ставки t оплаты труда при 10 ? t ? 60.

Ресурсы

Нормативы затрат

Наличный объем

А

В

Сырье (кг)

2

1

80

Оборудование (ст./час)

2

2

96

Труд (чел./час)

9

4

?

Цена изделия (руб.)

615

280




1.Построение математической модели задачи.

Для построения модели введем следующие обозначения:

х1 – объем выпуска изделий А,

х2 – объем выпуска изделий В,

S – потребность в трудовых ресурсах,

t – почасовая ставка оплаты труда,

V – размер кредита,

Z – выручка от реализации произведенных изделий,

Р – прибыль фирмы.

Выразим в математической форме основные условия и ограничения данной задачи:

Ограничения по использованию сырья: 2х1 + х2 ? 80,

Ограничения по использованию оборудования: 2х1 + 2х2 ? 96,

Потребность в трудовых ресурсах S определяется необходимыми затратами труда для выпуска изделий в объемах х1 и х2 : S = 9х1 + 4х2.

Размер необходимого кредита определяется исходя из потребности в трудовых ресурсах S и почасовой ставки оплаты труда t, т.е. V = tS =t(9х1 + 4х2).

Выручка от реализации произведенных изделий: Z =615х1 + 280х2.

Сумма расходов по обслуживанию кредита определяется размером возвращаемого кредита и процентов по нему, т.е. равна

V+0,1V = 1,1V.

Прибыль предприятия определяется как разность между выручкой и расходами по обслуживанию кредита, т.е. P = Z – 1,1V.

Подставляя в эту формулу выражения для Z и V , получим

Р = (615х1 + 280х2) – 1,1t(9х1 + 4х2) = (615 –9,9t)х1 + (280–4,4t)х2.

Следовательно, математическая модель оптимизации выпуска продукции принимает вид: найти неизвестные значения объемов выпуска х1, х2, удовлетворяющие ограничениям

1 + х2 ? 80,

1 + 2х2 ? 96,

х1 ?0 , х2 ?0,

и доставляющие максимальное значение целевой функции

Р = (615 –9,9t)х1 + (280–4,4t)х2? max.

При этом необходимый размер кредита V определяется по формуле:

V = tS = 9t + 4t,

где (,) – оптимальное решение задачи.

2. Определение аналитической зависимости размеров максимальной прибыли и кредита от почасовой ставки оплаты труда.

Потребность в трудовых ресурсах S* для обеспечения оптимального плана выпуска Х*=(,) определяется соотношением:

S*= S*(X*) =9 + 4.

Оптимальный план выпуска Х* зависит от почасовой оплаты труда t. Следовательно, величина S* также зависит от t, т.е. потребность в трудовых ресурсах S* есть некоторая функция от параметра t.

Найдем эту функцию при 10 ? t ? 60.

При t = 10: = 40, = 0.

При t = 10: 2х1 + х2 ? 80,

1 + 2х2 ? 96,

х1 ?0 , х2 ?0,

Р = 516х1 + 236х2?max.

Максимальный размер прибыли : Р* = 516·40 + 236·0= 20640(руб.),

Потребность в трудовых ресурсах: S*=9·40+4·0 = 360 (руб.),

Размер необходимого кредита: V*=tS*=10·360 = 3600 (руб.),

Сумма уплаченных процентов: 1,1V* = 1,1·3600 = 3960 (руб.).

При t = 60: 2х1 + х2 ? 80,

1 + 2х2 ? 96,

х1 ?0 , х2 ?0,

Р = 21х1 + 16х2?max.

При t = 60: = 32, = 16.

Максимальный размер прибыли : Р* = 21·32 + 16·16= 928(руб.),

Потребность в трудовых ресурсах: S*=9·32+4·16 = 352 (руб.),

Размер необходимого кредита: V*=tS*=60·352 = 21120 (руб.),

Сумма уплаченных процентов: 1,1V* = 1,1·21120 = 23232 (руб.).

Находим t*: Ю t*= 50

При 10 t < 50 спрос на трудовые ресурсы равен S*(t)=S*(10)=360;

При 50 < t 60 спрос на трудовые ресурсы равен S*(t)=S*(60)=352;

При t = 50 спрос на трудовые ресурсы определен неоднозначно. Он может принять любое значение из числового отрезка [352;360], т.е. 352S*(t) 360.

Зная спрос на трудовые ресурсы, можно определить величину необходимого кредита как функцию от ставки труда t, используя формулу .

При 10 t < 50 размер кредита , так как спрос на трудовые ресурсы не изменяется и равен 360;

При 50< t 60 размер кредита , так как спрос на трудовые ресурсы не изменяется и равен 352;

При t = 50 размер кредита определен неоднозначно. Так как спрос на трудовые ресурсы может принять любое значение из отрезка [352, 360], размер кредита может быть любым числом из отрезка [352Ч50, 360Ч50]=[17600, 18000].

Найдем зависимость величины прибыли Р*(t) от ставки оплаты труда t, используя формулу , где - оптимальное решение задачи.

При 10 t < 50 оптимальное решение – точка (40, 0). Поэтому величина прибыли ;

При 50 < t 60 оптимальное решение – точка (32,16). Значит величина прибыли .

Задача 3

Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс.чел.-час.) и оборудование (К, тыс. ст.-час). Производственная функция фирмы имеет вид: Y=20·К0,2·L0,3 ,

где Y – объем выпуска продукции (ед.).

1.Известны объем выпуска продукции Y0=100 и наличные трудовые ресурсы L0=20 в базовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

2.Рабочая сила нанимается по контракту с почасовой оплатой труда PL=8 (ден. ед./тыс. чел.-час), оборудование берется в аренду с суммарными затратами PK=14 (ден. ед./тыс. cт.-час). Объем капитала, который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование, составляет I =280(ден.ед.).

а) Построить математическую модель задачи оптимизации выпуска продукции, найти графическим методом ее решение.

б) Определить предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.

1.Построение математической модели задачи оптимизации выпуска продукции.

Производственная функция (ПФ) – функция, описывающая зависимость максимального объема продукта от затрат ресурсов, используемых в производственном процессе.

Производственная функция имеет вид: Y=20·К0,2·L0,3

2. Определить предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.

Y = 100, L = 20.

Определим потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

При заданном увеличении объем выпуска продукции составит:

Y=1,1Yбаз=1,1·100=110 (ед.)

Используя уравнение Y=20·К0,2·L0,3 =110 имеем: К=

Т.о., если объем трудовых ресурсов, используемых в производстве, не изменится и останется на уровне Lбаз= 20 (тыс.чел-час), то потребность в оборудовании в плановом периоде составит К=56,27 (тыс.ст-час).

Если же объем трудовых ресурсов увеличится на 5% по отношению к базовому и составит

L = 1,05·Lбаз=1,05·20 = 21 (тыс.чел-час),

то потребность в оборудовании в плановом периоде составит К = =52,30 (тыс. ст.-час).

Итак, при объеме трудовых ресурсов LО [Lбаз; 1,05Lбаз] потребность в оборудовании в плановом периоде составит некоторую величину К О [20; 21], определяемую соотношением

К= .

По условию: рL= 8 (ден.ед./тыс.чел-час), рК=14 (ден.ед./тыс.ст-час).

Величина ее затрат С на покупку L единиц рабочей силы и К единиц оборудования составит С = 14К + 8L.

Задача фирмы состоит в нахождении максимального объема выпуска продукции при условии, что уровень затрат на покупку ресурсов не превосходит 280 ден. ед.

Математическая модель этой задачи может быть записана так:

Найти объемы ресурсов К и L, удовлетворяющие ограничениям

14К + 8L ? 280,

К і 0, L і 0

и доставляющие максимальное значение целевой функции Y=20·К0,2·L0,3 ® max.

- это задача нелинейного программирования.

= рК/ рL

=Ю рК/ рL==Ю К=L

14К + 8L=14∙L + 8L=280 или L=21.

Оптимальная величина трудовых ресурсов равна L*=21

Оптимальный объем оборудования равен К*=21 =8,

Объем выпуска Y*=20·80,2·210,3 =75,56.

Предельная эффективность равна =20·0,2·8-0,8·210,3/14=0,13, т.е. при увеличении затрат на 1 ден. ед. объем выпускаемой продукции возрастет на 0,13 ед.

Задача 4

Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость работ при нормальном режиме их выполнения и плата за ускорение приведены в таблице.

1.Построить сетевой график выполнения работ.

2.Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический путь и его продолжительность, указать все критические пути, определить стоимость всего комплекса работ.

3.Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 2 дня. В какую итоговую сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона?
1. Построение сетевого графика.

Работы C, V – являются начальными, т.к. они не опираются ни на какие работы.



2.Временные характеристики сетевого графика.

- раннее время наступления i-того события – это момент времени, раньше которого событие i не может наступить.

Время наступления начального события графика будем считать нулевым, т.е. =0.

=+ t12 = 0+6= 6,

= + t13 =6+17=23,

= +t24=6+6=12,

= max [+t25;+t35; +t45] = 30,

= 36.

Т.о., раннее время наступления конечного события сетевого графика составляет 36 дней, т.е. раньше, чем за 36 дней торговый павильон не может быть построен.

=36.

- критический путь – полный путь, имеющий наибольшую продолжительность.

= {V,Q,D}.

Стоимость S строительства торгового павильона определяется как сумма стоимостей выполнения всех работ при нормальном сроке выполнения каждой.

S = 26,4+43,2+110,4+28,8+28+15,2+12,4+27,2+104,4+36=432 (тыс. руб.)

3. Стратегия минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 2 дня.

По условию задачи необходимо сократить период строительства на 2 дня, т.е. вместо 36 дней построить павильон за 34 дня и добиться этого с минимальными дополнительными затратами. Сокращение срока строительства может быть обеспечено только путем сокращения сроков выполнения работ, принадлежащих критическому пути. Сокращая время выполнения тех критических работ, которые требуют наименьших дополнительных затрат, можно добиться минимального удорожания всего комплекса работ.

Будем предполагать, что затраты на ускорение выполнения каждой работы прямо пропорциональны периоду ускорения. Дополнительные затраты ? на один день ускорения рассчитываются по формуле:

? = ,

где - плата за ускорение работы, а tнор, tуск – ее длительности при нормальном и ускоренном режимах выполнения.

Рассчитаем по этой формуле затраты на ускорение:

Работы

A

B

C

D

E

F

G

H

Q

V

Максимальное сокращение времени выполнения (дни)

4

6

11

2

4

2

2

4

12

2

Удельные затраты на ускорение(тыс.руб./день)

9,9

10,8

16,94

21,6

10,5

11,4

9,3

10,2

17,4

27

1)Ускоряемая работа Q. Затраты на ускорение 17,4 тыс. руб., новая длительность 23 дня, суммарная стоимость 432+17,4=449,4 тыс. руб. Критическое время 35 дней.



Критический путь: {V,Q,D}.

2) Ускоряемая работа Q. Затраты на ускорение 17,4 тыс. руб., новая длительность 22 дня, суммарная стоимость 449,4+17,4=466,8 тыс.руб. Критическое время 34 дня.



Критический путь: {V,Q,D}.

Суммарная стоимость 466,8 тыс. руб.

Критическое время 34 дня.

Задача 5

Имеются данные по 8 субъектам РФ за январь – март 2006г. о доходах и расходах на душу населения в среднем за месяц:

х – доходы, у – расходы.



1

2

3

4

5

6

7

8

сумма

х

4,4

5,2

6,1

5,4

4,8

5,3

6,44

5,8

43,44

у

3,7

4,6

5,3

5,1

4

5,1

4,89

4,7

37,39

х2

19,36

27,04

37,21

29,16

23,04

28,09

41,4736

33,64

239,0136

ху

16,28

23,92

32,33

27,54

19,2

27,03

31,4916

27,26

205,0516

у2

13,69

21,16

28,09

26,01

16

26,01

23,9121

22,09

176,9621

1.Построение математической модели.

Построим поле рассеяния наблюдаемых значений доходов и расходов:



Визуальный анализ поля рассеяния позволяет выдвинуть гипотезу о линейной зависимости потребительских расходов у от денежных доходов х и записать эту зависимость в виде линейной модели у = ? + ?х + u, где ? и ? – неизвестные постоянные коэффициенты, а u – случайная величина, характеризующая отклонения реальных значений потребительских расходов от их теоретических значений ? + ?х.

2.Оценка неизвестных параметров модели методом наименьших квадратов.

После формулировки математической модели основная задача состоит в получении оценок неизвестных параметров ? и ? по результатам наблюдений над переменными х и у, т.е. задача состоит в получении так называемого уравнения регрессии = +х, являющегося некоторой оценкой модели у = ? + ?х + u, в котором коэффициенты и есть оценки параметров ? и ? соответственно. Для нахождения параметров и применим метод наименьших квадратов.

Коэффициенты находим из системы нормальных уравнений:



Получаем,



Ю = –0,779, b=1,213.

Получаем уравнение регрессии: = 1,213х–0,779.

Найденное уравнение регрессии есть уравнение прямой.

3.Нахождение коэффициента парной корреляции.

Коэффициент парной корреляции определяется по формуле:

rxy =

rxy = =0,97

Полученный коэффициент корреляции свидетельствует о сильной связи между признаками х и у.

4.Нахождение точечного и интервального прогнозов.

Точечный прогноз: о=о)=+хо.

Вычислим ожидаемое значение денежных доходов хо.

х8=1,5, хо=1,3·1,5=1,95 (тыс. руб.)

Находим точечный прогноз о:

о=о)= 1,213·1,95–0,779=1,586 (тыс. руб.)

Интервальный прогноз находим по формуле:

в,н=о) ± ,

где в, н – соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала;

- квантиль распределения Стьюдента;( по условию равен 1,943)

(1-) – доверительная вероятность;

(n-2) – число степеней свободы.

=S, S=, S2=

S2 ==0,0047; S = 0,069

;

= 0,069=0,046

Следовательно, в,н=о) ± =1,586 ± 1,943∙0,046 = 1,586 ± 0,089;

Т.е., в=1,497 (тыс. руб.) , н=1,675 (тыс. руб.)

Это означает, что при увеличении среднедушевых среднемесячных денежных доходов на 30%, т.е. с 1,5 тыс. руб. до 1,95 тыс. руб., средний размер среднедушевых среднемесячных потребительских расходов с вероятностью 0,9 будет колебаться в пределах от 1,497 тыс. руб. до 1,675 тыс. руб.

5.Интерпретация полученных результатов.

Рассмотрим найденное уравнение регрессии = –0,779+1,213х. Коэффициент =–0,779 не имеет экономического смысла, поскольку формально соответствует размеру потребительских расходов при нулевом уровне денежных доходов. Коэффициент =1,213 определяет прирост потребительских расходов, обусловленный приростом денежных доходов.

Действительно, пусть прирост денежных доходов составил ?х. Определим прирост потребительских расходов ?у: ?у=(х + ?х) – (х) =–0,779 + 1,213(х + ?х) – (–0,779 + 1,213х) = 1,213?х.

Следовательно, =1,213, т.е. прирост денежных доходов, например на 100 руб. вызовет прирост потребительских расходов на 121,3 руб.



Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации