Антонов В.И. Математические методы теории электрических систем (инженерный подход) - файл glava1_7_C.doc

приобрести
Антонов В.И. Математические методы теории электрических систем (инженерный подход)
скачать (2316.7 kb.)
Доступные файлы (6):
glava1_7_C.doc1920kb.02.12.2009 16:44скачать
glava2_7_C.doc2473kb.28.10.2009 19:06скачать
glava3_7_C.doc1840kb.25.03.2011 23:10скачать
glava4_7_C.doc726kb.25.03.2011 22:56скачать
glava5_7_C.doc3326kb.18.06.2003 22:02скачать
glava6_7_C.doc633kb.18.06.2003 22:03скачать

glava1_7_C.doc



Печатается по решению Ученого совета

Чувашского государственного университета


В.И. Антонов. Математические методы

теории электрических систем (инженерный подход)

Учебное пособие./Чуваш. ун-т. Чебоксары, 2000.
В рамках курса рассматриваются математические методы теории электрических систем. Цель курса - освоение основных методов исследования электрических систем. Для студентов и инженеров.


 В.И. Антонов

ГЛАВА 1
ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
1.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1.1.1. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА
Линейной называется система, поведение которой в определенном интервале изменения ее координат описывается совокупностью линейных уравнений (уравнений первого порядка). Хотя реально существующий объект обладает свойством линейности на ограниченном интервале изменения основных параметров, для облегчения изучения и решения физических задач приходится часто пренебрегать нелинейностью в поведении исследуемой системы. В таких случаях реальные объекты заменяются идеальными, которым приписывается свойство линейности. Допустимость такой замены полностью определяется природой изучаемой системы и требует от исследователя определенного опыта, поскольку часто такая замена может привести к значительным искажениям физической действительности.

Одним из фундаментальных свойств линейной системы является возможность представления ее выходного сигнала в виде суммы отдельных составляющих, каждая из которых может быть получена в предположении, что существует только такая составляющая. Это свойство получило название принципа суперпозиции (наложения). Совокупность упомянутых составляющих, которым свойственно порождать себе подобных на выходе линейной системы будучи подведенным к ее входу, составляет базис собственных сигналов (функций) системы. Любой сигнал, принадлежащий базису собственных функций линейной системы появляется на выходе системы, изменяя лишь свою амплитуду (и фазу в случае колебаний). Но кроме этого, действие этого сигнала на входе системы, порождает в переходном режиме и иные составляющие, также принадлежащие базису собственных сигналов данной системы. Забегая вперед, заметим, что базис собственных функций линейной системы с постоянными параметрами определяется корнями ее характеристического уравнения.

Если линейная система не изменяет своих параметров с течением времени, то она описывается уравнениями с постоянными коэффициентами. Кроме того, если основные характеристики системы не зависят от сдвига во времени, то такие системы называют линейными инвариантными во времени системами (ЛИВ - системами). В этой книге будут рассматриваться преимущественно такие системы.
1.1.2. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

а) б)

Рис. Б1.1. Источники
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ. Различают два вида источников: источник электродвижущей силы (ЭДС) (рис. Б1.1, а) - и источник тока (рис. Б1.1, б) - .

В идеальном случае для первого характерна неизменность уровня напряжения, для второго - уровня тока независимо от величины нагрузки на зажимах. В этом случае говорят, что источники обладают бесконечной мощностью. У источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю, а у источника тока - бесконечно велико. Поэтому источник ЭДС поддерживает на своих зажимах заданный уровень напряжения независимо от величины тока , а источник тока - заданный уровень тока независимо от напряжения .




Рис. Б1.2. Активное

сопротивление
РЕЗИСТОР (рис. Б1.2) - элемент, создающий активное (с выделением тепловой энергии) сопротивление току . Для него справедлив закон Ома:

. (Ф1.1)

Выражение (Ф1.1) представляет собой динамическое уравнение резистора. Оно может быть видоизменено:

.

Здесь - проводимость резистора.

КАТУШКА ИНДУКТИВНОСТИ (рис. Б1.3, а) - элемент, запасающий электромагнитную энергию. Для катушки индуктивности справедлив закон Фарадея:

. (Ф1.2)

Учитывая, что потокосцепление , уравнение (Ф1.2) можно записать следующим образом:






а) б)

Рис. Б1.3. Реактивные элементы:

а) индуктивность;

б) емкость
Отсюда следует, что напряжение на катушке индуктивности (в дальнейшем - просто индуктивности) создается изменением как индуктивности, так и тока во времени.

Случай с переменной индуктивностью представляет собой общий теоретический случай. Во множестве практических применений индуктивность постоянна , в связи с чем

. (Ф1.3)

Уравнение (Ф1.3) является дифференциальной формой динамического уравнения индуктивности. Используя его, можно перейти к интегральной форме уравнения:

.

Таким образом, ток индуктивности определяется всей предысторией процесса. Если известно значение тока индуктивности, например, в момент времени , то

,

где - значение тока в начале отсчета времени .

КОНДЕНСАТОР (рис. Б1.3, б) - элемент, запасающий электрическую энергию. Ток через конденсатор равен

,

где - заряд конденсатора. Поскольку

, (Ф1.4)

то динамическое уравнение конденсатора может быть расписано более детально:

.

Случай с изменяющейся во времени емкостью () является специальным, чаще всего емкость постоянна . Поэтому

, (Ф1.5)

Уравнение (Ф1.5) представляет собой дифференциальную форму динамического уравнения конденсатора (емкости). В интегральной форме уравнение будет следующим:

, , (Ф1.6)

где напряжение на конденсаторе в момент .
1.2. АКТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ:

ОПЕРАЦИОННЫЕ УСИЛИТЕЛИ


Рис. Б1.4. Операционный усилитель
Использование операционных усилителей (ОУ) расширяет возможности синтеза электрических систем и схем различного назначения, позволяя оперировать более обобщенными схематическими понятиями. Для облегчения синтеза и анализа схем часто пользуются понятием идеального ОУ.

Основные свойства идеального ОУ (рис. Б1.4) заключаются в следующем:

а) коэффициент усиления стремится к бесконечности (у реальных операционных усилителей );

б) выходное сопротивление стремится к нулю: . Это означает, что сигнал на выходе поддерживается на неизменном уровне (при неизменном уровне входных сигналов) независимо от величины ;

в) входное сопротивление стремится к бесконечности: . Поэтому у идеального ОУ отсутствуют входные токи: (у реальных ОУ они составляют А).

Операционный усилитель усиливает напряжение . То есть ОУ является дифференциальным усилителем, причем

. (Ф1.7)
1.3. ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ


Рис. Б1.5а. Система

с обратной связью
Обратной связью называется механическая или электрическая цепь, подводящая ко входу системы часть ее выходного сигнала. Например, для схемы рис. Б1.5а сигнал обратной связи

,

где - коэффициент усиления цепи обратной связи. В зависимости от того, содействует ли сигнал обратной связи повышению выходного сигнала или противодействует ему, говорят о положительной или отрицательной обратной связи.
Пример 1.1. Включение ОУ по схеме инвертирующего усилителя (рис. Б1.5).




Рис. Б1.5
Поскольку часть сигнала с выхода ОУ через резистор подводится к инвертирующему входу, то обратная связь является отрицательной. Покажем, что под действием обратной связи разность потенциалов точек 1 и 2 в схеме поддерживаются равной нулю: .

Используя обозначения рис. Б1.5, получим:

, (Ф1.8)

. (Ф1.9)

В силу свойства в) операционного усилителя

. (Ф1.10)

Решая уравнения (Ф1.7)-(Ф1.10) совместно, получим:

.

Поскольку входной сигнал ограничен, то при разность .

Учитывая это обстоятельство, при анализе схем четырехполюсников с ОУ в дальнейшем будем исходить из предположения, что . Отметим, что операционный усилитель при этом должен работать в усилительном режиме (по крайней мере должна существовать цепь, соединяющая выход ОУ с инвертирующим входом).

Тогда из уравнений (Ф1.8) и (Ф1.9) следует, что

. (Ф1.11)

Здесь - коэффициент усиления схемы. Из-за того, что он отрицательный, такое включение ОУ получило название схемы инвертирующего усилителя.

Заметим, что уровень сигнала , определяемого выражением (Ф1.11), поддерживается усилителем независимо от величины резистора за счет увеличения или уменьшения тока на выходе ОУ , поскольку

.
1.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА "ВХОД-ВЫХОД"

ДЛЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Линейный четырехполюсник го порядка сложности описывается в общем случае интегро-дифференциальными уравнениями. Дифференцируя их, можно получить некоторую систему дифференциальных уравнений вида

, (Ф1.21)

,

где (в соответствии с принятыми нами обозначениями) и - сигналы на входе и выходе четырехполюсника, - промежуточные сигналы, действующие внутри четырехполюсника.

Во множестве случаев удается разрешить систему (Ф1.21) относительно и , последовательно исключая промежуточные переменные из уравнений. В итоге получается единственное дифференциальное уравнение n-го порядка типа "вход-выход":

. (Ф1.22)

Уравнение типа "вход-выход" в теории электрических систем играет огромную роль. В связи с этим рассмотрим его свойства более подробно.
1.5. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТИПА "ВХОД-ВЫХОД"

ДЛЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
1.5.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗАКОНОВ КИРХГОФА
Для получения уравнений выполняются следующие шаги:

1. Определяется число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа. Пусть  - число ветвей схемы (включая ветви со входным источником и выходным сигналом ),  число узлов. Тогда число уравнений по первому закону Кирхгофа равно , а по второму закону - . Общее число независимых уравнений - .

2. Выбираются независимые контуры; составляются уравнения по законам Кирхгофа.

3. К полученной системе добавляются динамические уравнения элементов.

4. Путем исключения переменных получают необходимое дифференциальное уравнение типа "вход-выход".
Пример 1.2а. Найти дифференциальное уравнение четырехполюсника, представленного на рис. Б1.6а.




Рис. Б1.6а
Согласно пункту 1 изложенного метода , , .

Система уравнений включает два уравнения по 2-му закону Кирхгофа:

, (Ф1)

, (Ф2)

и одно уравнение по первому закону Кирхгофа:

. (Ф3)

Добавим к системе динамическое уравнение емкости:

. (Ф4)

Подставим (Ф2) в (Ф1):

. (Ф5)

Решим совместно (Ф2) и (Ф4):

. (Ф6)

Учитывая (Ф3) и (Ф6), из (Ф5) получим искомое уравнение типа "вход-выход":

. (Ф7)
1.5.2.  МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Метод заключается в выполнении следующих шагов:

1. Выбирается базовый узел. Уравнения получаются наиболее простыми, если выбранный базовый узел является общим для входного и выходного сигнала или наибольшего числа ветвей.

2. В схеме размечаются узлы (здесь - точки соединения двух и более элементов) и для каждого из них составляется уравнение по первому закону Кирхгофа. При этом из двух узлов, к которым подключается источник напряжения, следует обозначать только один (если один из них является базовым, то другой не обозначается вовсе).

3. Токи выражаются через разности потенциалов отмеченных узлов. Число уравнений цепи, составленных таким образом, будет равно числу выделенных узлов.

4. Путем исключения переменных получают необходимое дифференциальное уравнение типа "вход-выход".



Рис. Б1.6
Пример 1.2. По методу узловых потенциалов составить дифференциальное уравнение четырехполюсника, приведенного на рис. Б1.6.

Примем за базовый узел 0: он является общим для входного и выходного сигналов.

Выделим два узла: 2 и 3. Узел 1 по правилу 2 при составлении уравнений не учитываем. Запишем для выделенных узлов уравнения по законам Кирхгофа:

, (узел 2) (Ф1.10)

. (узел 3) (Ф1.11)

Выразим токи через разности потенциалов:

, Ф1.12)

. (Ф1.13)

Подставим (Ф1.13) в (Ф1.12) и, учитывая, что , получим

. (Ф1.14)

Совместное решение (Ф1.13) и (Ф1.14) дает уравнение (Ф7).
1.5.3. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ
Алгоритм составления уравнений следующий*:

1. Каждая индуктивность и емкость заменяются соответственно на источник тока и источник напряжения . Их направления совпадают с положительными направлениями токов и напряжений в этих элементах.

2. В полученной ветви определяются напряжения на зажимах источников тока и токи в источниках напряжения .

3. Производится замена

, (Ф1.15)

. (Ф1.16)

4. Путем исключения переменных получают необходимое дифференциальное уравнение типа "вход-выход".
Пример 1.3. По методу переменных состояния составить уравнения цепи рис. Б1.6а.




Рис. Б1.8
1. Заменяя в схеме рис. Б1.6а индуктивности на источники тока, а емкости на источники напряжения, получаем схему, представленную на рис. Б1.8.

2. Определим напряжение и ток источников:

, (Ф1.17)

. (Ф1.19)

3. Заменим и на динамические уравнения:

, .

Тогда получим следующую систему дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши (с выделением в левой части каждого уравнения одной единственной производной):


(Ф1.19а)

(Ф1.20)


Учитывая, что , и подставляя (Ф1.20) в (Ф1.19а), получим уравнение (Ф7).
Примечание: Все изложенные методы на третьем шаге дают систему дифференциальных уравнений, но только метод переменных состояния дает систему в форме Коши. Поэтому метод переменных состояния предпочтителен при составлении системы уравнений четырехполюсника.
1.6. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ТИПА "ВХОД-ВЫХОД"
Мы будем рассматривать дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Поэтому уравнению (Ф1.22) можно придать более конкретный вид:

, (Ф1.25)

где величины и - функции времени .

Выражение (Ф1.25) называется неоднородным дифференциальным уравнением -го порядка. Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения

(Ф1.26)

и какого-либо частного решения неоднородного уравнения (Ф1.25):

. (Ф1.27)

В электротехнике первое из решений называется свободной составляющей и являет собой сигнал на выходе четырехполюсника при скачкообразном изменении входного сигнала таким образом, чтобы правая часть уравнения (Ф1.25) стала равной нулю; второе решение носит название принужденной составляющей и соответствует сигналу на выходе четырехполюсника в установившимся режиме и зависит только от структуры .
1.6.1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ

(СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ)
Общее решение однородного уравнения (Ф1.26) состоит из совокупности частных решений :

, (Ф1.28)

где - произвольные постоянные.

Поскольку экспоненциальная функция является собственной функцией линейной системы, то частные решения можно искать в виде

. (Ф1.29)

Подставляя (Ф1.29) в (Ф1.26) получим

(Ф1.29а)

Поскольку , то уравнение (Ф1.29а) удовлетворяется лишь при выполнении следующего равенства:

. (Ф1.30)

Из уравнения (Ф1.30) видно, что решениями однородного уравнения могут быть экспоненты с показателями , поскольку для каждого из них , но в (Ф1.30) найдется сомножитель , равный нулю при . Значит уравнение (Ф1.30) определяет число частных решений уравнения (Ф1.26), в связи с чем и носит название характеристического.
A. КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И РАЗЛИЧНЫЕ
В этом случае частные решения имеют следующий вид:

, (Ф1.31)

а общее решение уравнения (Ф1.26) в соответствии с (Ф1.28) запишется следующим образом:

. (Ф1.32)
Пример 1.4. Определить вид свободного решения однородного уравнения .

Характеристическое уравнение имеет следующий вид:

.

Корень . Тогда общее решение уравнения состоит из одного частного решения

.
Б. КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ
Поскольку коэффициенты в (Ф1.30) действительные, то каждому комплексному корню обязательно соответствует сопряженный корень . Здесь символ "" означает сопряжение. Этим корням соответствуют частные решения

. (Ф1.34)

В общее решение уравнения (Ф1.26) они вносят следующий вклад:

(Ф1.35)

Применяя формулу Эйлера к комплексным экспонентам:

,

получим, что

. (Ф1.36)

Поскольку уравнение (Ф1.26) с действительными коэффициентами, то его решение также является вещественной функцией. Поэтому сумма коэффициентов должна дать вещественное число, а разность - мнимое число. Отсюда следует, что частные решения вида (Ф1.34) могут быть заменены решениями вида

, (Ф1.37)

а общее решение может быть записано следующим образом:

.
Пример 1.5. Определить вид свободного решения однородного уравнения .

Характеристическое уравнение имеет вид

.

Корни



согласно (Ф1.37) обусловливают частные решения

.

Тогда общее решение уравнения равно


В. КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И КРАТНЫЕ
Пусть среди корней характеристического уравнения есть корень кратности . Ему соответствуют частных решений вида

. (Ф1.39)

Тогда решение уравнения (Ф1.26) содержит в себе составляющую вида

. (Ф1.40)
Пример 1.6. Определить вид свободного решения однородного уравнения

.

Характеристическое уравнение имеет вид



или

.

Корню кратности соответствуют частные решения

.

Согласно (Ф1.39) общее решение уравнения:

.
1.6.2. ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

(ПРИНУЖДЕННЫЙ РЕЖИМ СИСТЕМЫ)
Пусть - многочлены степени .

Если правая часть уравнения (Ф1.25) имеет вид

, (Ф1.42)

то его частное решение ищется в виде

, (Ф1.43)

если не является корнем характеристического уравнения, или в виде

, (Ф1.44)

если является -кратным корнем характеристического уравнения (Ф1.26).

Если

, (Ф1.45)

то частное решение ищется в виде

, (Ф1.47)

если не является корнем характеристического уравнения (Ф1.26), или в виде

, (Ф1.48)

если является кратным корнем характеристического уравнения системы. Здесь .

Во всех случаях и - многочлены с неопределенными постоянными. Кроме того, если правая часть уравнения (Ф1.25) представлена комбинацией функций (Ф1.42) и (Ф1.45), то частное решение равно сумме решений, соответствующих каждому члену линейной комбинации.
Пример 1.7. Определить принужденное решение уравнения .

Корень характеристического уравнения . Он совпадает с коэффициентом затухания экспоненты в правой части уравнения. Согласно (Ф1.44)

. (Ф1.50)

Коэффициент найдем, подставив (Ф1.50) в исходное уравнение:

.

Отсюда .
1.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
1.7.1. ПРЕДШЕСТВУЮЩИЙ И ПОСЛЕКОММУТАЦИОННЫЙ РЕЖИМЫ


Рис. Б1.14
Примем момент скачкообразного изменения входного сигнала за нуль. Тогда по левую сторону от будет находиться предшествующий режим, а по правую - послекоммутационный (режим после изменения или правой части уравнения (Ф1.25)). Поскольку в точке сходятся два процесса, то она принадлежит обоим процессам и имеет особый статус. Для внесения определенности в статус этой точки в электротехнике момент коммутации на оси времени представляют как совокупность двух точек: и . Точка принадлежит предшествующему режиму, а - послекоммутационному. Соответственно представляются и все остальные величины, характеризующие процесс. Например, значение электрической величины в момент определяется как предельное значение при подходе к точке слева

, (Ф1.124)

а в момент - как предельное приближение справа по оси (рис. Б1.14):

. (Ф1.125)
1.7.2. ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ
Основной закон коммутации можно выразить следующим образом: переменные состояния системы не могут изменяться скачком.

В электротехнике переменными состояния являются потокосцепление (ток в индуктивности при ) и заряд (напряжение на емкости при ). Применительно к ним законы коммутации формулируются следующим образом:


1. Потокосцепление (ток в индуктивности ) не может изменяться скачком, т.е. в момент коммутации выполняются следующие равенства:

, (Ф1.126)

. (Ф1.127)



2. Заряд конденсатора (напряжение на емкости ) не может изменяться скачком, т.е. в момент коммутации справедливы следующие зависимости:

, (Ф1.128)

. (Ф1.129)
1.7.3. ОБОБЩЕННЫЕ ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ
Есть особые случаи, когда законы (Ф1.126) - (Ф1.129) нарушаются. Для этих случаев формулируют обобщенные законы коммутации.

1. Если в схеме после коммутации образовался контур, состоящий из индуктивных элементов или из индуктивных элементов и источников тока, то в момент коммутации алгебраическая сумма потокосцеплений упомянутого контура непрерывна:

. (Ф1.130)

Потокосцепление индуктивности берется со знаком "+", если направление обхода контура совпадает с принятым направлением тока в индуктивности.


Рис. Б1.17
Пример 1.17. Определить токи в индуктивностях в момент , если (рис. Б1.17).

Ток . После размыкания ключа индуктивность стремится поддерживать ток , а индуктивность - ток . Поскольку индуктивности составляют последовательную цепь, то по закону Кирхгофа их токи в момент должны быть одинаковы: , что нарушает закон (Ф1.127), так как , а . Поэтому нужно применить обобщенный закон (Ф1.130):

.

Подставим известные величины, тогда получим систему уравнений:



откуда следует, что


2. Если в схеме после коммутации образовались контуры, состоящие только из емкостей или из емкостей и источников напряжения, то в момент коммутации алгебраическая сумма зарядов емкостей, присоединенных к общему узлу, непрерывна:

. (Ф1.131)

Знак заряда считается положительным, если напряжение на емкости направлено от узла.



Рис. Б1.19
Пример 1.18. Найти напряжения на конденсаторах в момент , если и (рис. Б1.19).

В этой схеме не выполняются законы (Ф1.128) и (Ф1.129). Применим обобщенный закон (Ф1.131) для узла а:

. (Ф1.132)

Кроме того, должен выполняться второй закон Кирхгофа:

. (Ф1.133)

Подставим в (Ф1.132) и (Ф1.133) известные значения:



Совместное решение уравнений дает следующий результат:

.
1.7.4. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Решение неоднородного уравнения (Ф1.25) состоит из совокупности частных решений:

.

Принужденная составляющая определяется непосредственно из уравнения (Ф1.25) по виду правой части (п. 1.6.2). Для определения постоянных интегрирования необходимо составить систему из уравнений:

(Ф1.134)

Величины , , ..., называются начальными условиями; они определяются из уравнений четырехполюсника, составленных по законам Кирхгофа после коммутации.
1.7.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА

НА ВХОДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
Для определения реакции выполняются следующие действия:

1. Составляется система дифференциальных уравнений четырехполюсника и преобразуется к уравнению типа "вход-выход".

2. Определяется решение однородного уравнения (свободный режим):

а) формируется характеристическое уравнение и находятся его корни;

б) по корням характеристического уравнения определяется вид общего решения .

3. Определяется частное решение неоднородного уравнения (принужденный режим):

а) записывается правая часть уравнения ;

б) по виду и с учетом корней характеристического уравнения определяется вид частного решения ;

в) частное решение подставляется в неоднородное уравнение и тем самым определяются произвольные постоянные, присутствующие в .

4.  Составляется система уравнений для определения произвольных постоянных общего решения однородного уравнения.

5. По схеме до коммутации определяются переменные состояния в момент .

6. Записываются уравнения четырехполюсника после коммутации для . Используя переменные состояния и уравнения системы определяются необходимые начальные условия: , , ..., , где число произвольных постоянных, подлежащих определению.



Рис. Б1.20
Пример 1.19. Определить реакцию четырехполюсника (рис. Б1.20) на входное воздействие . Параметры цепи: , . До подачи сигнала четырехполюсник находился под воздействием напряжения .

1. Составляем дифференциальное уравнение цепи. Четырехполюсник описывается следующими уравнениями:

, (Ф1.135)

, (Ф1.136)

, (Ф1.137)

. (Ф1.138)

Подставим (Ф1.138) в (Ф1.135):

. (Ф1.139)

Неизвестный ток найдем из уравнений (Ф1.136) и (Ф1.137):

. (Ф1.140)

С учетом (Ф1.140) уравнение (Ф1.139) примет следующий вид:

.

Дифференцируя два раза, получим:

. (Ф1.141)

Подставляя в (Ф1.141) исходные данные, получим искомое дифференциальное уравнение типа "вход-выход":

. (Ф1.142)

2. Решаем однородное уравнение (определяем свободную составляющую):

.

Составим характеристическое уравнение

.

Корни кратные, кратность . Общее решение будет иметь вид:

. (Ф1.143)

3.  Определяем частное решение неоднородного уравнения (принужденную составляющую):

. (Ф1.144)

Правая часть (Ф1.144) равна . В соответствии с (Ф1.44) частное решение

.

Подставив его в (Ф1.143), получим уравнение для определения :

.

Откуда следует, что . Тогда

. (Ф1.145)

4. Составим систему уравнений для определения произвольных постоянных и . Согласно (Ф1.27), (Ф1.143) и (Ф1.145)

.

Поскольку искомых постоянных только две, то система (Ф1.134) примет следующий вид:

, (Ф1.146)

. (Ф1.147)

5. Определим переменные состояния. Учитывая, что до коммутации на входе четырехполюсника действовало постоянное напряжение, получаем, что и ток . Поэтому согласно (Ф1.136)

, (Ф1.147а)

а и

В. (Ф1.147б)

6. Определим начальные условия и . Для этого воспользуемся уравнением (Ф1.135). Учитывая (Ф1.136), (Ф1.147а) и (Ф1.147б), получаем

. (Ф1.149)

Чтобы найти , продифференцируем (Ф1.135):

. (Ф1.150)

Из (Ф1.138) следует, что , а из (Ф1.137) . Поэтому

. (Ф1.151)




Рис. Б1.21
Решая совместно (Ф1.146), (Ф1.147), (Ф1.149) и (Ф1.151), получим

, .

И, наконец, общее решение уравнения (Ф1.142) равно

.

График изменения сигнала на выходе четырехполюсника представлен на рис. Б1.21.
1.8. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

 ПЕРВОГО ПОРЯДКА (СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ ВЫХОДАМИ)
Пусть как и прежде - входной, - выходной и - промежуточные сигналы четырехполюсника. Тогда система дифференциальных уравнений четырехполюсника может быть записана в виде:

(Ф1.53)

где - правые части, зависящие только от входного сигнала . Уравнения (Ф1.53) можно записать и в векторной форме:

, (Ф1.54)

где

.

Решение системы (Ф1.54) состоит из совокупности векторов-решений :

, (Ф1.55)

( - произвольные постоянные) однородной системы

(Ф1.56)

и частного вектора-решения неоднородного уравнения (Ф1.54):

. (Ф1.57)

Здесь

,

где , () - частные решения. Индекс соответствует номеру искомой переменной, а индекс - номеру частного решения.
1.8.1. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ

(СВОБОДНЫЙ РЕЖИМ)
Вид частных решений системы (Ф1.56) определяет характеристическое уравнение:

, (Ф1.58)

где - единичная матрица. В развернутой форме (Ф1.58) примет следующий вид

. (Ф1.59)
А. КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ РАЗЛИЧНЫЕ

И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ
В этом случае корням соответствуют частные решения

, (Ф1.60)

где - произвольные постоянные.
Пример 1.8. Найти вид свободного решения системы

(Ф1.61)

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

.

Отсюда . Этим корням соответствуют частные решения

. (Ф1.62)

Для определения вида свободного решения, соответствующего корню , подставим в (Ф1.61):



Отсюда .

Второе уравнение является следствием первого, поэтому один из коэффициентов можно взять произвольно; примем . Тогда . Следовательно первое частное вектор-решение будет:

.

В случае корня поступим аналогично предыдущему случаю:



откуда , .

Второе уравнение снова является следствием первого. Тогда произвольно примем . Следовательно, второе частное вектор-решение будет:

.

Таким образом, общее решение системы (Ф1.61) имеет следующий вид:



или


Б. КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ, КРАТНЫЕ
Пусть является кратным корнем характеристического уравнения (Ф1.59). В этом случае свободное решение, соответствующее этому корню, имеет следующий вид

, (Ф1.63)

где коэффициенты - произвольные постоянные.

Пример 1.9. Найти общее решение системы

(Ф1.64)

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

.

Его корни равны: . Вектор-решение запишется как

. (Ф1.65)

Коэффициенты определяются подстановкой (Ф1.65) в (Ф1.64) аналогично примеру 1.8:

. (Ф1.66)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в системе (Ф1.66), получим следующие системы для определения коэффициентов :

, (Ф1.66а)

. (Ф1.67)

Поскольку уравнения системы (Ф1.67) линейно зависимы, то коэффициент может быть произвольным, например, . Тогда , а из (Ф1.66а) следует, что . Из-за линейной зависимости уравнений (Ф1.66а) коэффициенты и также произвольны; пусть , тогда . Таким образом, искомое свободное решение будет равно

.
В. КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ
Пусть таким корнем является , тогда ему соответствует сопряженный корень .

Общее решение системы в этом случае ищется в следующем виде:

, (Ф1.72)

где и - вещественная и мнимая части частного решения, соответствующего одному из корней (например, корню ):

, (Ф1.73)

где коэффициенты в общем случае будут комплексными.
Пример 1.10. Найти свободное решение системы

(Ф1.74)

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

;

его корни .

Найдем частное решение для одного из корней, например для

.

Согласно (Ф1.73)

. (Ф1.75)

Подставим (Ф1.75) в (Ф1.74) и сократим на :

(Ф1.75а)

Отсюда следует, что

,

причем - произвольное число (из-за линейной зависимости системы (Ф1.75а)).

Пусть , тогда . Частное решение (Ф1.75) будет иметь следующий вид:

. (Ф1.76)

В соответствии с (Ф1.72):

.
1.8.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ

НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ (ПРИНУЖДЕННЫЙ РЕЖИМ)
1. Если правая часть системы (Ф1.54) состоит из функций

, (Ф1.77)

то частное решение системы будет содержать составляющие вида

, (Ф1.78)

где - кратность корня (если среди корней нет , то ). Здесь  - порядок системы.

2. Если правая часть (Ф1.54) содержит функции

(Ф1.79)

или

, (Ф1.80)

то принужденное решение будет иметь в своем составе следующие составляющие:

, (Ф1.81)

здесь .
Пример 1.11. Найти частное решение системы

(Ф1.82)

Нетрудно видеть, что эта система заимствована из примера 1.8. Корни характеристического уравнения и не совпадают с показателями степеней экспонент правых частей: , . Согласно (Ф1.77) и (Ф1.78)

. (Ф1.83)

Для определения постоянных подставим (Ф1.83) в (Ф1.82):



Приведя одинаковые члены, получим:



Тогда принужденное решение системы будет иметь следующий вид:

.

* Переменными состояния являются ток в индуктивности и напряжение на емкости .



Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации