2. Умножение матрицы на число - файл

2.2. Матрицы

М атрицей размера m на n (будет обозначаться как mxn) называется таблица размера m на n, в каждой клетке которой - действительное число. Пример матрицы 3x3 :

Определим основные операции над матрицами.

Сложение

Операция сложения двух матриц: определена для матриц одинаковых размеров. Каждый элемент суммы (то есть, каждое число в таблице) равняется сумме соответствующих элементов слагаемых-матриц. Пример:

2.Умножение матрицы на число.

Эта операция определена для любой матрицы и любого числа; каждый элемент результата равняется произведению соответствующего элемента матрицы-множителя и числа-множителя.

3.Умножение матрицу на матрицу.

Определена для двух матриц таких размеров ab и cd, что b = c. Например, если b = c, но a d, то при перестановке множителей операция будет вообще не определена. Результатом умножения матрицы A размером a*b на матрицу B размером b*d будет матрица C размером a*d.

При умножении матриц размера 44, элемент i-строки , j- столбца результирующей матрицы вычисляется по формуле.

Умножение и сложение матриц обладают почти тем же набором свойств, что и обычные числа, хотя некоторые привычные свойства не выполняются (например, A*B B*A).

2.3. Аффинные преобразования в пространстве
Для задания точки в пространстве введем четверку чисел (x y z 1) или (hx hy hz h),где h0. Эта четверка называется вектор строкой. Т.о. каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел.

Любое аффинное преобразование (сохраняющее расстояние между точками) в трехмерном пространстве согласно теореме Шаля может быть представлено в виде суперпозиции вращения, растяжений, отражений и переносов.

Предложенный способ задания в пространстве точек дает возможность воспользоваться матричной записью основных преобразований. Для этого используются матрицы размера 44.
Приведем матрицы всех основных преобразований.
А. Матрицы вращения в пространстве.

Матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол j:
Матрица вращения вокруг оси ординат на угол y:

Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол c:

Б. Матрица растяжения-сжатия:

где

a > 0 – коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси абсцисс;

b > 0 – коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси ординат;

g > 0 – коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси аппликат.
В. Матрицы отражения

Матрица отражения относительно плоскости ху:

Матрица отражения относительно плоскости yz:
Матрица отражения относительно плоскости zx:

Г . Матрица переноса (здесь (l, m, n) - вектор переноса):
Для того,чтобы к точке,заданной вектор строкой применить преобразование заданное матрицей необходимо вектор-строку умножить на матрицу.Результат вычисляется по следующей формуле :

Удобство использования матриц для задания преобразований заключается в том, что если наше преобразование состоит из преобразований, заданных матрицами A,B,C,то мы можем найти матрицу T=A*B*C и получить матрицу, задающую все три преобразования. Таким образом, мы можем задать любое сколь угодно сложное преобразование с помощью лишь одной матрицы, при этом только важно помнить, в каком порядке перемножать матрицы.

2.2. Матрицы