Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости - файл

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова»
Высшая школа энергетики, нефти и газа

_____________________________________________________

^{(наименование высшей школы / филиала / института / колледжа)}
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине/междисциплинарному курсу/модулю		Высшая математика


На тему	Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Пределы последовательностей и функций. Вариант 8

	Выполнил (-а) обучающийся (-аяся): Заболотский Юрий Иванович
	^(Ф.И.О.)
	Направление подготовки / специальность: Теплоэнергетика теплотехника
	^{(код и наименование)}
	Курс: 1
	Группа: 113205
	Руководитель: Попов Василий Николаевич, профессор
	^{(Ф.И.О. руководителя, должность / уч. степень / звание)}

Отметка о зачете
	^{(отметка прописью)}	^(дата)
Руководитель
	^{(подпись руководителя)}	^{(инициалы, фамилия)}

Архангельск 2022

Задание 1

а) Вычислите матрицу А; б) найдите матрицу, обратную к матрице А.

Решение

Матрица А

Обратная матрица

Проверка

Ответ. ,

Задание 2

Решите систему линейных уравнений методом Гаусса, Крамера и обратной матрицы

Решение

Метод Гаусса

Элементы 1-й строки, умноженные на -3, складываем с элементами 2-й строки, умноженными на 8, и результат записываем во 2-ю строку; элементы 1-й строки, умноженные на -9, складываем с элементами 3-й строки, умноженными на 8, и результат записываем в 3-ю строку; значения элементов 1-й строки не меняем

Элементы 2-й строки, умноженные на -1, складываем с элементами 3-й строки, и результат записываем в 3-ю строку; значения элементов 2-й строки не меняем

Метод Крамера

Метод обратной матрицы

Проверка

Ответ.

Задание 3

Даны точки на плоскости А (3, 4), В (7, 7), С (2, 6).

a) Найдите уравнения прямой АВ (параметрическое, каноническое, общее, с угловым коэффициентом, в отрезках).
b) Найдите длину отрезка АВ.
c) Найдите уравнение прямой, перпендикулярной прямой АВ и проходящей через точку С.
d) Найдите уравнение прямой, параллельной прямой АВ и проходящей через точку С.
e) Найдите длину перпендикуляра, опущенного на прямую АВ из точки С.
f) Найдите косинус угла АСВ.
g) Найдите площадь треугольника АВС.

Постройте все найденные прямые, а также сам треугольник АВС, на одном чертеже.
Решение:

С

В

А

a) Уравнения прямой АВ (параметрическое, каноническое, общее, с угловым коэффициентом, в отрезках).
Параметрическое уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой

Общее уравнение прямой

Уравнение, прямой проходящей через две точки

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой в отрезках

b) Длина отрезка АВ

Расстояние между двумя точками

c) Уравнение прямой, перпендикулярной прямой АВ и проходящей через точку С

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

d) Уравнение прямой, параллельной прямой АВ и проходящей через точку С

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно другой прямой

e) Длина перпендикуляра, опущенного на прямую АВ из точки С

Расстояние от точки до прямой

f) Косинус угла АСВ

g) Площадь треугольника АВС

А (3, 4), В (7, 7), С (2, 6).

Ответ. а) , , , ,

b) , с) , d) , е) ,

f) , g)

Задание 4

Дана кривая второго порядка.

a) Приведите кривую второго порядка к каноническому виду.

b) Найдите эксцентриситет кривой.

c) Найдите уравнения директрис.

d) Найдите координаты фокусов кривой.

e) Найдите уравнения асимптот (для гиперболы).

f) Постройте кривую второго порядка, фокусы и директрисы на одном чертеже.
Решение:

a) Канонический вид

Это гипербола с центром симметрии в точке (2,-2)

b) Эксцентриситет кривой

c) Уравнения директрис

У гиперболы директрис нет

d) Координаты фокусов кривой

e) Уравнения асимптот (для гиперболы)

f) Чертеж

F₂

F₁

Ответ. а) , b) , с) директрис нет, d) , е) ,

Задание 5

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) б) в)

г)

Решение:

а)

б)

в)

Произведем замену у=π/4-х,

г)

Ответ: а) -3/2, б) , в) , г) 0

Задание 6

Задана функция y = f(x). Найдите точки разрыва функции, если они существуют. Сделайте чертеж.

Решение:

При Х=0

Разрыв есть

Определим пределы слева и справа в точке разрыва

Т. к. оба предела имеют конечное значение, но при этом не равны, то Х=0 – точка разрыва 1 рода – точка скачка

При Х=π/4

Разрыва нет

Ответ: Х=0 – точка разрыва 1 рода – точка скачка

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

2. Вся высшая математика: Краснов М. Л. и др. Учебник. Изд. 2-е, - М.: Едиториал УРСС, 2016. Т. 1. – 328 с.

3. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для ВУЗов. В 3 т.: Т. 1. – СПб.: Политехника, 2017, - 703 с.

5. Высшая математика: Учеб. для ВУЗов: В 3 т. / Я. С. Буров, С. М. Никольский; под ред. В. А. Садовничевого. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2017.

4. Письменный Д. Т. Высшая математика. 100 экзаменационных ответов. 1 курс. – М.: Рольф: Айрис-Пресс, 2016. – 304 с.