Теоремы (с доказательством, выводом формул) Свойства определителя (8 свойств доказать для матрицы размером 3х3).
Т е о р е м а Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Т е о р е м а (у с л о в и е с о в м е с т н о с т и с и с т е м ы ). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
Формулы Крамера.
Теорема. Для того чтобы система однородных уравнений имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r < n.
Т е о р е м а Всякое линейное пространство, обладающее базисом из n векторов, изоморфно n-мерному векторному пространству строк.
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
Т е о р е м а При ортогональном преобразовании евклидова пространства образы всех векторов любого ортонормированного базиса составляет сам ортонормированный базис. Обратно, если линейное преобразование евклидова пространства переводит хотя бы один ортонормированный базис снова в ортонормированный базис, то это преобразование ортогонально.
Т е о р е м а Матрица перехода от ортонормированного базиса евклидова пространства En к любому его ортонормированному базису является ортогональной.
Т е о р е м а Симметрическое преобразование A евклидова пространства в любом ортонормированном базисе задается симметричной матрицей. Обратно, если линейное преобразование пространства хотя бы в одном ортонормированном базисе задается симметричной матрицей, то это преобразование симметрическое.
Т е о р е м а Все характеристические корни симметричной матрицы действительны.
Т е о р е м а Собственные векторы симметрического преобразования A, относящиеся к различным собственным значениям, между собой ортогональны.
Т е о р е м а Всякая действительная квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к канонической форме. Коэффициентами этого канонического вида будут характеристические корни матрицы A, взятые с их кратностями.