5. Метод прогонки, его устойчивость Метод прогонки - файл

приобрести
скачать (37.5 kb.)


5. Метод прогонки, его устойчивость

Метод прогонки

Для решения трехдиагональных СЛАУ часто применяют метод прогонки. Основным его преимуществом является экономичность, т. е. то, что этот метод максимально использует структуру исходной системы. Недостатком метода является то, что с каждой итерацией накапливается ошибка округления.

Каноническая запись системы уравнений имеет вид:

Матрица системы записывается в виде: Основные условия корректности данных для правильного решения:
Как было указано выше, основным недостатком данного метода является его способность лавинообразно накапливать ошибку, поэтому актуальны методы исследования устойчивости метода прогонки. Если вы внимательно посмотрите на дальнейшие выражения для коэффициентов прогонки, то поймете условие, которое написано под пунктом 2 (см ниже). Основным методом анализа устойчивости метода прогонки является условие диагонального преобладания. Здесь нужно обратить внимание на знаменатели в дробных выражениях коэффициентов прогонки. Если знаменатели будут близки к нулю, то метод прогонки может оказаться неустойчивым. Условие диагонального преобладания является достаточным условием для устойчивости прогонки, но не является необходимым. Условие диагонального преобладания написано под пунктом 2. Так как в большинстве языков программирования нумерация индексов начинается с 0, а не с 1, то эту корректировку также следует принять во внимание (!).

Начальные условия:


В силу того, что не во всех строчках матрицы имеется по 3 числа, а коэффициенты являются рекуррентными соотношениями, выражаются через соседние коэффициенты и зависят от граничных значений, то нам нужно принять во внимание следующие граничные условия (ГУ) для рекуррентных соотношений: Метод прогонки состоит из двух этапов: прямой ход (определение прогоночных коэффициентов UkVk), обратный ход (вычисление неизвестных Xk).

Практическая схема применения метода прогонки:

1. Ввод трехдиагональной матрицы a[n][n] и столбца свободных коэффициентов b[n]. Учет и инициализация граничных условий.

2. Прямой ход – формирование прогоночных коэффициентов


(с 0-го по (n-1)-й):

3. Обратный ход – вычисление n-го корня: Xn = Un и остальных корней



4. Вывод результата в виде вектор решений X[n].

6. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений и оценка погрешности.

Число обусловленности матрицы A используется для определения меры чувствительности системы линейных уравнений A * x = b к погрешностям задания вектора b . Чем больше число обусловленности, тем более неустойчив процесс нахождения решения системы. Существует несколько вариантов вычисления числа обусловленности, но все они связаны с нормой матрицы и равны произведению нормы исходной матрицы на норму обратной:



Итак, систему линейных алгебраических уравнений называют хорошо обусловленной, если малые изменения в коэффициентах матрицы или в правой части вызывают малые изменения в решении.

Система уравнений считается плохо обусловленной, если малые изменения в коэффициентах матрицы или в правой части вызывают большие изменения в решении.

7. Постановка задачи приближения функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Понятие о погрешности интерполяции. Сходимость интерполяции.

Постановка задачи приближения функций состоит в приближенной замене функции  заданной в аналитическом виде или в виде таблицы своих значений некоторой функцией  более удобной для вычислений и такой, что для всех интересующих нас значений  :  .

 Среди методов приближения функций можно отметить следующие:

1) интерполирование;

2) приближение функций при помощи сглаживающих или интерполяционных сплайнов;

3) с помощью равномерного приближения в нормированном пространстве;



Погрешность интерполяции


Предположим, что на отрезке интерполирования [a,b] функция f(x) n раз непрерывно-дифференцируема. Погрешность интерполяции складывается из погрешности самого метода и ошибок округления.

Ошибка приближения функции f(x) интерполяционным полиномом n-ой степени Pn(x) в точке x определяется разностью: Rn(x) = f(x) - Pn(x).







5. Метод прогонки, его устойчивость
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации