V. Некоторые задачи классической механики - файл

приобрести
скачать (2274 kb.)









Глава V. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

В данной главе рассматриваются некоторые важнейшие задачи классической механики, которые или имеют общемировоззренческое значение, или могут быть спроецированы в школьный курс физики, или еще встречаются нам в других разделах курса теоретической физики.


§1. Одномерные консервативные системы
Определение. Одномерной консервативной системой называется система с одной степенью свободы, движущаяся в потенциальном стационарном внешнем поле.

Иными словами, это система, допускающая описание в рамках лагранжева формализма, причем ее функция Лагранжа имеет следующий общий вид:



L 1 a qq2 U q. (1.1)

2

Примеры



  1. Частица, движущаяся по прямой под действием силы F , зависящей только от координаты x . В этом случае

где


2


mx
L U x, (1.2)

2



x

U x F d . (1.3)

x0

Таким образом, в данном примере q x и a q m – постоянная величина (масса).

  1. Плоский математический маятник, для которого

ml2 2

L

2

mgl cos , (1.4)



т.е. q

и a q ml2

– также постоянная величина.



  1. Плоский физический маятник, т.е. твердое тело с одной неподвижной точкой, колеблющееся около положения устойчивого равновесия в поле тяжести:



I 2

L   mgl cos , (1.5)

2


где I – момент инерции относительно оси вращения, а l – расстояние от оси вращения до

центра масс тела. В данном случае q

инерции).



и a q I

– вновь постоянная величина (момент



  1. Для циклоидального маятника с учетом параметрических уравнений нижней арки циклоиды

x R sin ,

функция Лагранжа записывается как



y R 1 cos

(1.6)


L  2mR2 2 sin2  2mgR sin2 . (1.7) 2 2

В данном случае q

координаты.



и a q 4mR2 sin2 l

2

– величина, зависящая от обобщенной



Уравнение движения любой одномерной консервативной системы допускает интегрирование. В этом проще всего убедиться, используя закон сохранения энергии

1 a qq2 U q E Const , (1.8)

2

который дает нам дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Проводя в (1.8) разделение переменных, имеем



dq dt , (1.9)


откуда получаем


q d

q0

t t0 . (1.9’)






0
Это соотношение можно рассматривать как закон движения частицы неявным образом. Начальные условия

q q t , заданный


0
q t t q0 ,

q t t q0

(1.10)

входят в него через посредство постоянной энергии E , которая равна, очевидно,


E 1 a q q2 U q

. (1.11)



2 0 0 0
Таким образом, задача действительно оказывается полностью разрешимой в квадратурах.

Однако много об одномерном движении можно сказать, и не решая задачу – на основе качественного анализа. Перепишем для этого закон сохранения энергии (1.8) в форме



1 a qq2 E U q.

2

Поскольку кинетическая энергия неотрицательна, то мы заключаем, что движение системы возможно лишь в областях, где



E U q. (1.12)

Пусть потенциальная энергия имеет вид, изображенный на рисунке. Тогда при заданной энергии E будем иметь следующие области:



    1. при   q q1 движение невозможно;




    1. при q1q q2

движение происходит в

ограниченной области пространства

– является финитным;


    1. при q2q q3

движение невозможно




    1. при q3q   движение не ограничено справа – является

инфинитным, и частица уходит на

бесконечность.



Если E Umin , то движение вообще невозможно, если ограничено ни слева, ни справа, т.е. является инфинитным.

E Umax , то движение не

Одномерное финитное движение всегда является периодическим, даже колебательным. Оно происходит около положения устойчивого равновесия, отвечающего локальному минимуму потенциальной энергии. Координата q меняется при таком движении

от q1 до q2 , где «точки поворота» q1 и q2 определяются из очевидного уравнения



U q E . (1.13)

Период колебаний находится как удвоенное время, необходимое для прохождения отрезка q2q1 , причем, согласно (1.9), он равен

q2

T . (1.14)

q1

Интересно, что имеет решение и обратная задача: если



a q a Const , то по зависимости

периода T от «массы» a и от энергии E можно найти потенциальную энергию. Мы на этой задаче не останавливаемся.



§2. Математический маятник

Примером одномерной консервативной системы служит математический маятник – частица массы m , подвешенная на нерастяжимой нити длины l и помещенная в поле тяжести g . Мы ограничимся анализом плоского движения маятника, причем в целях

иллюстрации разнообразия методов классической механики получим его уравнение движения самыми разными способами.


  1. Исходим из Второго закона Ньютона




mg
mw F R

. (2.1)

Спроектируем это уравнение на касательный орт естественной системы координат.

Учитывая, что w S , что

R  0

и что


g  g sin

(см. рисунок), имеем:



mS  mg sin

(2.2)


Принимая теперь во внимание очевидное равенство



S l , перепишем (2.2) как

ml  mg sin или, окончательно,
. (2.3)


  1. Исходим из теоремы об изменении момента импульса:

dL

dt

→ → →


M MR Mg . (2.4)


Поскольку движение плоское, векторы

L, MR

и Mg

направлены вдоль прямых,



перпендикулярных плоскости рисунка. Поэтому для моментов относительно точки O имеем:

Подстановка в (2.4) дает



L mvl ml2,

MR  0,

Mg  mgl sin . (2.5)

Откуда вновь приходим к (2.4).



ml2  mgl sin .

  1. Исходим из закона сохранения энергии (внешняя сила – консервативная, связь – идеальная и стационарная)

или


T U Const E , (2.6)



ml2 2

  • mgl cos E

2



. (2.7)
Дифференцируем обе части (2.7) по времени:

ml2 mgl sin  0 ,

откуда опять получаем (2.4).



  1. Исходим из лагранжиана

L T U . (2.8)

Выбирая в качестве обобщенной координаты угол , имеем:





ml2 2

L   mgl cos . (2.9)

2


Расписывая уравнение Лагранжа
d L L 0

(2.10)



 
dt

с помощью (2.9), вновь будем иметь уравнение (2.4).



  1. Исходим из гамильтониана



H  . (2.11)E
f p , ,t

Учитывая, что, согласно (2.9),





выражая отсюда :

p L ml2 ,





p ml2

и подставляя это выражение в (2.7), для гамильтониана получаем

p2

H
Канонические уравнения Гамильтона



2ml2

mgl cos . (2.12)


p H H



 ; = p

. (2.13)

С гамильтонианом (2.12) расписываются следующим образом:


p
Выражая из второго уравнения p :
 mgl sin,

p ml2



p ml2
. (2.14)

и подставляя результат в первое уравнение (2.14), получаем

и в итоге опять приходим к (2.4).



ml2  mgl sin

(2.15)


  1. В формализме Гамильтона-Якоби основным является уравнение для действия S :

S H , S  0 , (2.16)

t

 


которое с учетом (2.12) записывается как

S 1 S 2




 
t 2ml2

mgl cos  0 . (2.17)


Поскольку энергия сохраняется, то зависимость S от времени выделяется в явном виде:



S S0Et , (2.18)


причем укороченное действие S0

подчиняется уравнению


1 S 2




 
0

2ml2

mgl cos E . (2.19)


Отсюда можно найти S , а затем и закон движения математического маятника, но в нашем курсе этот метод подробно не рассматривается.

Итак, уравнение движения плоского математического маятника имеет общеизвестный вид (2.4). Однако в §1 мы уже выяснили, что проще исходить не из этого уравнения, а непосредственно из закона сохранения энергии (2.7). Проведем сначала качественный анализ движения, изобразив график потенциальной энергии:






а) При

движение маятника невозможно. б) При


E~ Umin  mgl

Eˆ Umax mgl

(2.20)

(2.21)


движение маятника инфинитно (по углу ). Угол отклонения беспредельно возрастает по модулю, стремясь при t  к  или  . Реально это отвечает случаю, когда маятнику сообщили столь большую начальную скорость, что он способен подняться до верхнего положения и в итоге начинает вращаться.

в). Наиболее интересны энергии



Umin E Umax , (2.22)
при которых маятник совершает финитное движение. Он колеблется около одного из локальных минимумов потенциальной энергии, причем для определенности будем считать, что положение устойчивого равновесия реализуется при  0 (остальные получаются путем нефизических сдвигов на углы 2 k ).

Максимальный угол отклонения маятника, т.е. амплитуда колебаний, равен

0 . В



точке 0

кинетическая энергия равна нулю, так что для полной энергии можно записать



E  mgl cos0 . (2.23)

Подставляя это выражение в закон сохранения энергии (2.7), получим:



ml2 2

2 mgl cos  mgl cos0 . (2.24)

Вычисляем период колебаний T как учетверенное время прохождения интервала углов от 0 до 0 :



0 d

T  4

. (2.25)

0


При анализе этого интервала удобно перейти к половинным углам по формуле

cos  1 2sin2 . (2.26)

2

Тогда выражение (2.25) для периода колебаний примет вид:



0

T  2

, (2.27)

0



или
1 0 d

T  2

sin 0

. (2.28)

0


2
Делаем замену переменной интегрирования, полагая

sin

2  sin . (2.29)

sin 0

2

Пределы интегрирования модифицируются следующим образом:



  0   0,

Подынтегральная функция становится равной:

  0 / 2 . (2.29’)





Дифференцирование (2.29) дает


cos



1





 1 sin2

1


cos
. (2.30)

1 2

2 sin 0

2

d  cos d ,



откуда для дифференциала d имеем:

2 sin 0
2 sin 0

d 2 cos d 2 cos d

cos

2

2 sin 0 cos d 2 sin 0 cos d

2 2 ,


т.е.
2sin 0

d 2 cos d . (2.31)
Собирая результаты (2.29’) – (2.31) и подставляя их в интеграл (2.28), получим

 /2

T  4

. (2.32)

0

Таким образом, для периода колебаний математического маятника с амплитудой 0

окончательно получаем



T  4 K sin 0 , (2.33)

2

 


где

 /2 d

K k

(2.34)

0

– так называемый полный эллиптический интеграл первого рода.



Если колебания совсем малые ( sin2 0  1 с большим запасом), то под знаком корня в

2

(2.32) можно оставить лишь 1, и мы придем к общеизвестной формуле




T0  2

. (2.35)

Гораздо более интересный случай, когда колебания малые, но не совсем, и нас


интересует поправка к T0

первого порядка малости по амплитуде колебаний. Чтобы найти


ее, достаточно разложить подынтегральное выражение в (2.32) в ряд Тейлора:



1

1 sin2 0 sin2 2  1 1 sin2 0 sin2 . (2.36)

2 2 2

где

 


Подстановка этого выражения в (2.32) дает:

T T0T1 , (2.37)


1
T  2 sin2 0

2
 /2

0
sin2 d



 2 sin2 0

 /2




1
1 cos 2 d

2 2 0

 sin2 0 /21 sin 2 /2





2 0 2 0

т.е.


 sin2 0 , 2 2

T sin2 0 . (2.38)

1 2 2
Подставляя в (2.37) выражения (2.35) и (2.38), получим следующую приближенную формулу для вычисления периода колебаний плоского математического маятника:

T  2 1

2 0

1+ 4 sin 2 , (2.39)

 


где 0 – амплитуда колебаний, которая считается не очень большой.

Для оценки точности нулевого приближения (2.35) рассмотрим колебания с амплитудой



0  60 которая вовсе не мала. В этом случае поправочный член к 1 в (2.39) равен:

1 1 1 1 2 1

sin2 0

sin2 30o

  .



4 2 4 4 2 16

Таким образом, даже при столь большом размахе колебаний поправка составляет всего около 6% от всего периода. Тем самым «школьная» формула для периода колебаний математического маятника является достаточно хорошей. Следующий поправочный член T2

пропорционален величине sin4 0 , и он дает гораздо меньший вклад, чем T .

2 1



Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации