V. Некоторые задачи классической механики - файл

Глава V. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

В данной главе рассматриваются некоторые важнейшие задачи классической механики, которые или имеют общемировоззренческое значение, или могут быть спроецированы в школьный курс физики, или еще встречаются нам в других разделах курса теоретической физики.

§1. Одномерные консервативные системы
Определение. Одномерной консервативной системой называется система с одной степенью свободы, движущаяся в потенциальном стационарном внешнем поле.

Иными словами, это система, допускающая описание в рамках лагранжева формализма, причем ее функция Лагранжа имеет следующий общий вид:

^L^¹^a^q ^q^²^^U^q ^.⁽^1.1)

2

Примеры

Частица, движущаяся по прямой под действием силы F , зависящей только от координаты x . В этом случае

где

2

mx^
^L^^^U ^x ^,^(1.2)

x

^U ^x ^^_^F^ ^d^^.^(1.3)

x₀

^Таким^{образом, в}^данном^{примере}^q^^x^и^a^q ^^m^{– постоянная величина}^{(масса).}

Плоский математический маятник, для которого

ml² ₂

L  ^

 mgl cos , (1.4)

т.е. q  

^и^a^q ^^ml²

– также постоянная величина.

Плоский физический маятник, т.е. твердое тело с одной неподвижной точкой, колеблющееся около положения устойчивого равновесия в поле тяжести:


I^²

L   mgl cos , (1.5)

где I – момент инерции относительно оси вращения, а l – расстояние от оси вращения до

центра масс тела. В данном случае q  

инерции).

^и^a^q ^^I

– вновь постоянная величина (момент

Для циклоидального маятника с учетом параметрических уравнений нижней арки циклоиды

^x^^R^^^sin^^,

функция Лагранжа записывается как

^y^^^R¹^^cos^

(1.6)

L  2mR² ² sin² ^ 2mgR sin² ^. (1.7) 2 2

В данном случае q  

координаты.

^и^a^q ^⁴^mR²^sin2^l

2

– величина, зависящая от обобщенной

Уравнение движения любой одномерной консервативной системы допускает интегрирование. В этом проще всего убедиться, используя закон сохранения энергии

¹^a^q ^q^²^^U^q ^^E^^Con^s^t^,⁽^1.8)

который дает нам дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Проводя в (1.8) разделение переменных, имеем

^dq dt , (1.9)

откуда получаем


^q d

q₀

 t  t₀ . (1.9’)

0
Это соотношение можно рассматривать как закон движения частицы неявным образом. Начальные условия

^q^^q^t ^,^{заданный}

0
q _t__t q₀,

q^_t__t q^₀

(1.10)

входят в него через посредство постоянной энергии E , которая равна, очевидно,

^E^¹^a^q ^q^²^^U^q

 ^.^(1.11)

₂0 0 0
Таким образом, задача действительно оказывается полностью разрешимой в квадратурах.

Однако много об одномерном движении можно сказать, и не решая задачу – на основе качественного анализа. Перепишем для этого закон сохранения энергии (1.8) в форме

¹^a^q ^q^²^^E^^U^q ^.

Поскольку кинетическая энергия неотрицательна, то мы заключаем, что движение системы возможно лишь в областях, где

^E^^U^q ^.^(1.12)

Пусть потенциальная энергия имеет вид, изображенный на рисунке. Тогда при заданной энергии E будем иметь следующие области:

при   q  q₁ движение невозможно;

при q₁  q  q₂

движение происходит в

ограниченной области пространства

– является финитным;

при q₂  q  q₃

движение невозможно

при q₃  q   движение не ограничено справа – является

инфинитным, и частица уходит на

бесконечность.

Если E  U_min, то движение вообще невозможно, если ограничено ни слева, ни справа, т.е. является инфинитным.

E  U_max, то движение не

Одномерное финитное движение всегда является периодическим, даже колебательным. Оно происходит около положения устойчивого равновесия, отвечающего локальному минимуму потенциальной энергии. Координата q меняется при таком движении

от q₁до q₂, где «точки поворота» q₁и q₂определяются из очевидного уравнения

^U^q ^^E^.^(1.13)

Период колебаний находится как удвоенное время, необходимое для прохождения отрезка q₂ – q₁ , причем, согласно (1.9), он равен

q₂

T  _. (1.14)

q₁

Интересно, что имеет решение и обратная задача: если

^a^q ^^a^^Const^,^то^по^{зависимости}

периода T от «массы» a и от энергии E можно найти потенциальную энергию. Мы на этой задаче не останавливаемся.

§2. Математический маятник

Примером одномерной консервативной системы служит математический маятник – частица массы m , подвешенная на нерастяжимой нити длины l и помещенная в поле тяжести g . Мы ограничимся анализом плоского движения маятника, причем в целях

иллюстрации разнообразия методов классической механики получим его уравнение движения самыми разными способами.

Исходим из Второго закона Ньютона

→

mg
mw  F  R 

^→. (2.1)

Спроектируем это уравнение на касательный орт  естественной системы координат.

Учитывая, что w _ S , что

R_ 0

и что

g_ g sin

(см. рисунок), имеем:

mS^^ mg sin

(2.2)

Принимая теперь во внимание очевидное равенство

S  l , перепишем (2.2) как

ml^^ mg sin или, окончательно,
. (2.3)

Исходим из теоремы об изменении момента импульса:

dL _

dt

→ → →

M  M_R M_g. (2.4)

Поскольку движение плоское, векторы

L, M_R

и M_g

направлены вдоль прямых,

перпендикулярных плоскости рисунка. Поэтому для моментов относительно точки O имеем:

Подстановка в (2.4) дает

L  mvl  ml²^,

M_R 0,

M_g mgl sin . (2.5)

Откуда вновь приходим к (2.4).

ml²^^ mgl sin .

Исходим из закона сохранения энергии (внешняя сила – консервативная, связь – идеальная и стационарная)

или

T U  Const  E , (2.6)

ml²^²	mgl cos  E
2

. (2.7)
Дифференцируем обе части (2.7) по времени:

ml²^^^ mgl^sin  0 ,

откуда опять получаем (2.4).

Исходим из лагранжиана

L  T U . (2.8)

Выбирая в качестве обобщенной координаты угол  , имеем:


ml²^²

L   mgl cos . (2.9)

Расписывая уравнение Лагранжа
d ^L ^_L _₀

(2.10)

 
dt ^^^

с помощью (2.9), вновь будем иметь уравнение (2.4).

Исходим из гамильтониана

H  . (2.11)E
^ f _p_, ,t _

Учитывая, что, согласно (2.9),

выражая отсюда ^:

p  ^^L ml²^,

^ ^

^

p_ml²

и подставляя это выражение в (2.7), для гамильтониана получаем

_p2

H 
Канонические уравнения Гамильтона



2ml²

 mgl cos . (2.12)

_p_H _H


_  __;  = __p

. (2.13)

С гамильтонианом (2.12) расписываются следующим образом:

p^_
Выражая из второго уравнения p_:
 mgl sin,

p_ ml²^

^

p_ml²
. (2.14)

и подставляя результат в первое уравнение (2.14), получаем

и в итоге опять приходим к (2.4).

ml²^^ mgl sin

(2.15)

В формализме Гамильтона-Якоби основным является уравнение для действия S :

^^S H ^, ^^S^ 0 , (2.16)

t ^ ^

 

которое с учетом (2.12) записывается как

S 1 ^S ^2

 
t ^2ml² ^ ^

 mgl cos  0 . (2.17)

Поскольку энергия сохраняется, то зависимость S от времени выделяется в явном виде:

S  S₀  Et , (2.18)

причем укороченное действие S₀

подчиняется уравнению

1 ^S ^2

 
0

2ml² _ _

 mgl cos  E . (2.19)

Отсюда можно найти S , а затем и закон движения математического маятника, но в нашем курсе этот метод подробно не рассматривается.

Итак, уравнение движения плоского математического маятника имеет общеизвестный вид (2.4). Однако в §1 мы уже выяснили, что проще исходить не из этого уравнения, а непосредственно из закона сохранения энергии (2.7). Проведем сначала качественный анализ движения, изобразив график потенциальной энергии:

а) При

движение маятника невозможно. б) При

E^~ U_m_i_n mgl

E^ˆ U_m_a_x mgl

(2.20)

(2.21)

движение маятника инфинитно (по углу  ). Угол отклонения беспредельно возрастает по модулю, стремясь при t  к  или  . Реально это отвечает случаю, когда маятнику сообщили столь большую начальную скорость, что он способен подняться до верхнего положения и в итоге начинает вращаться.

в). Наиболее интересны энергии

U_min E  U_max, (2.22)
при которых маятник совершает финитное движение. Он колеблется около одного из локальных минимумов потенциальной энергии, причем для определенности будем считать, что положение устойчивого равновесия реализуется при   0 (остальные получаются путем нефизических сдвигов на углы 2 k ).

Максимальный угол отклонения маятника, т.е. амплитуда колебаний, равен

₀ . В

точке   ₀

кинетическая энергия равна нулю, так что для полной энергии можно записать

E  mgl cos₀ . (2.23)

Подставляя это выражение в закон сохранения энергии (2.7), получим:

ml²^²

₂ mgl cos  mgl cos₀ . (2.24)

Вычисляем период колебаний T как учетверенное время прохождения интервала углов от 0 до ₀ :

^0 d

T  4

_. (2.25)

При анализе этого интервала удобно перейти к половинным углам по формуле

cos  1 2sin² ^. (2.26)

Тогда выражение (2.25) для периода колебаний примет вид:

₀

T  2

_, (2.27)

или
1 ^0 d

T  2

sin ^⁰

_. (2.28)

2
Делаем замену переменной интегрирования, полагая

sin ^

² sin . (2.29)

sin ^⁰

Пределы интегрирования модифицируются следующим образом:

  0   0,

Подынтегральная функция становится равной:

  ₀    / 2 . (2.29’)







Дифференцирование (2.29) дает

cos ^

1




 1 sin²  

cos
. (2.30)

1 ₂

²sin ^⁰

2

d  cos d ,

откуда для дифференциала d имеем:

2 sin ^⁰
2 sin ^⁰

d ²cos d ²cos d 

cos ^

2

2 sin ^⁰cos d 2 sin ^⁰cos d

_ 2 _ 2 _,

т.е.
2sin ^⁰

d ²cos d . (2.31)
Собирая результаты (2.29’) – (2.31) и подставляя их в интеграл (2.28), получим

 /2

T  4

_. (2.32)

Таким образом, для периода колебаний математического маятника с амплитудой ₀

окончательно получаем

T  4 K ^sin ^⁰^, (2.33)

 ₂

 

где

 /2 _d_

^K^k ^

_(2.34)

0

– так называемый полный эллиптический интеграл первого рода.

Если колебания совсем малые ( sin² ^⁰ 1 с большим запасом), то под знаком корня в

2

(2.32) можно оставить лишь 1, и мы придем к общеизвестной формуле

T₀ 2

. (2.35)

Гораздо более интересный случай, когда колебания малые, но не совсем, и нас

интересует поправка к T₀

первого порядка малости по амплитуде колебаний. Чтобы найти

ее, достаточно разложить подынтегральное выражение в (2.32) в ряд Тейлора:

_1

^1 sin² ^⁰sin²  ^2  1 ¹sin² ^⁰sin²  . (2.36)

^2 ^2 2

где

 

Подстановка этого выражения в (2.32) дает:

T  T₀  T₁ , (2.37)

1
T  2 sin² ^⁰

2
 /2



0
sin² d 

 2 sin² ^⁰

 /2

1
_¹^^cos²^ ^d^^

2 2 ₀

 sin² ^⁰^ ^ ^/2  ¹sin 2 ^ ^/2 ^




₂ ₀ ₂₀

т.е.

 sin² ^⁰ ^, 2 2

T  ^sin² ^⁰. (2.38)

¹ 2 2
Подставляя в (2.37) выражения (2.35) и (2.38), получим следующую приближенную формулу для вычисления периода колебаний плоского математического маятника:

T  2 ^¹

₂ ^⁰

_1+ ₄sin ₂_, (2.39)

 

где ₀ – амплитуда колебаний, которая считается не очень большой.

Для оценки точности нулевого приближения (2.35) рассмотрим колебания с амплитудой

₀  60^∘ которая вовсе не мала. В этом случае поправочный член к 1 в (2.39) равен:

¹^^{1 1} ¹2 ¹

sin² ⁰ 

sin² 30^o 

  ^^.

4 2 4 4 _2 _16

Таким образом, даже при столь большом размахе колебаний поправка составляет всего около 6% от всего периода. Тем самым «школьная» формула для периода колебаний математического маятника является достаточно хорошей. Следующий поправочный член T₂

пропорционален величине sin⁴ ^⁰, и он дает гораздо меньший вклад, чем T .

₂1