Задачи по финансовой математике - файл n1.doc

приобрести
Задачи по финансовой математике
скачать (168 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc168kb.07.07.2012 02:13скачать

n1.doc



Задача №1.

В 2001 г. в Ваш день рождения в банке был открыт счет до востребования на сумму 5000 рублей, ставка 2% годовых. По условиям договора вклада начисление и капитализация процентов осуществляются по истечении каждого календарного квартала. Сколько денег получит клиент банка при закрытии счета в этот же день в 2002 г.?

Решение:

Начисление будет происходить по сложной ставке процента:

S=P(l+i)n

где S - наращенная сумма;

Р - первоначальная сумма;

i - годовая ставка процента;

n - срок вклада в годах.

За период с 10 ноября до конца года (51 день): 5000*(1,02)51/365=5013,85

За период с 1 января до 1 апреля (90 дней): 5013,85*(1,02)90/365=5038,39

За период с 1 апреля до 1 июля (91 день): 5038,39*(1,02)91/365=5063,33

За период с 1 июля до 1 октября (92 дня): 5063,33*(1,02)92/365=5088,67

За период с 1 октября до 10 ноября (41 дней): 5088,67*(1,02)40/365=5099,72

Ответ: при закрытии вклада 10.11.2002 клиент получит сумму 5099р.72коп
Задача №2.

Какой была бы эта сумма (См. задачу 1), если бы начисление процентов и их капитализация осуществлялись а) лишь по истечении календарного года; б) ежедневно; в) непрерывно?
Решение

а) начисление процентов и их капитализация по истечении календарного года

За период с 10 ноября до конца года (51 день): 5000*(1,02)51/365=5013,85

За период с 1 января до 10 ноября (314 дней): 5013,85*(1,02)314/365=5099,99

б) начисление процентов и их капитализация ежедневно

5000*(1+0,02/365)365=5101,00

в) начисление процентов и их капитализация непрерывно

5000*℮0,02=5101,01,

где ℮ ? 2,718281 (число Эйлера)

Ответ:

а) 5099р. 99коп.;

б) 5101р.;

в) 5101р. 01 коп.
Задача №3.

Дайте ответ на вопрос, поставленный в задаче 1, если на такую же сумму в тот же день был открыт срочный вклад на 30 дней с автоматическим продлением условий вклада на новый срок в случае неявки клиента. Ставка 8% годовых.
Решение

Так как по условиям срочного вклада проценты начисляются за полный период, в случае досрочного снятия денег проценты не выплачиваются, то вклад за год пролежит в банке полных 12 периодов начисления - 360 дней.

После окончания срока и не снятии вклада проценты капитализируются, т.е. капитализация происходит каждые 30 дней - 12 раз.

Сумма полученная клиентом определится по ставке сложных процентов:

S=5000*(l+0,08*30/365)12=5409,10

Ответ: Сумма полученная клиентом 5409р. 10 коп.

Задача №4.

Рассчитайте годовую эффективную ставку процента для срочного вклада на 90 дней под 10% годовых.
Решение

Эффективная ставка процента рассчитывается по следующей формуле:

r3=[(l+n/m)m-l],

где n - номинальная годовая ставка процента, используемая при начислении процентов (то есть процент за период исчисляется исходя из этой ставки);

m - число периодов начисления процентов в году.

гэ=[(1+0,1/4)4- 1]=21,55%

Ответ: Годовая эффективная ставка равна 21,55%
Задача №5.

Срочный вклад на 90 дней открыт 15 августа 2002 г. на сумму 200000 рублей. Расчетная ставка – 18% годовых. Какой будет величина подоходного налога, уплачиваемого вкладчиком по окончании срока вклада, если предположить, что на протяжении всего периода ставка рефинансирования Центрального Банка останется такой же, какой она была 15 августа?
Решение

Ставка рефинансирования 15 августа 2002 составляла 21%. (на период с 07.08.2002 по 16.02.2003)

Подоходный налог необходимо платить, если полученные проценты превышают 3/4 ставки рефинансирования (ст. 217 п.27 НК РФ):

3/4*21=15,75 %.

Таким образом, облагаемая сумма составит:

200000*(0,18-0,1575)*90/360=1125руб.

Ставка процента 35%. Величина подоходного налога составит:

1125*0,35=393,75 руб.

Ответ: Величина подоходного налога составит 393р. 75коп.
Задача №6.

Годовая эффективная ставка процента по срочным вкладам на год во всех банках составляет 18%. Пусть вероятность банкротства любого банка в течение ближайшего года составляет 5%. Банкротство банка означает потерю всех вложенных в него денег. Определите математическое ожидание получаемой через год суммы, вероятности получить максимум и потерять все в случае, если: а) все 300000 руб. вложены в один банк; б) если деньги поровну распределены между двумя банками; в) если деньги поровну распределены между тремя банками. Задачу решить в предположении, что банкротство одних банков никак не сказывается на положении других.
Решение

а) Построим ряд распределения.

Если все средства вложены в 1 банк, то банк может обанкротиться с ве­роятностью р=0,05 или не обанкротится с вероятностью р=0,95.

Если банк не обанкротится, то сумма, получаемая через год, составит:

300000*(1+0,18)=354000 тыс. руб.

Если обанкротится, то 0.

pi

0,5

0,95

xi

0

354000



В этом случае вероятность получить максимум равна p=0,95=95%, вероятность потерять все равна р=0,05=5%

Математическое ожидание получаемой через год суммы:

M=?pi*xi=0*0,05+354000*0,95=336300 руб.

б) если деньги поровну распределены между двумя банками, то могут обанкротиться оба банка с вероятностью р=0,05*0,05=0,0025, то­гда полученная сумма будет равна 0.

Может обанкротиться первый банк, а второй нет р=0,05*0,95=0,0475, то­гда полученная сумма будет равна:

0*150000+150000*(1+0,18)=177000

Может обанкротиться второй банк, а первый нет р=0,05*0,95=0,0475, то­гда полученная сумма будет равна:

0*150000+150000*(1+0,18)=177000

Таким образом, вероятность получения 177000 равна:

р=0,0475+0,0475= 0,095

Оба банка не обанкротятся р=0,95*0,95=0,9025, тогда полученная сумма будет равна:

150000*(1+0,18)+150000*(1+0,18)=354000

Ряд распределения:

p

0,0025

0,095

0,9025

x

0

177000

354000

В этом случае вероятность получить максимум равна р=0,9025=90,25%,

Вероятность потерять все равна р=0,0025=0,25%.

Математическое ожидание получаемой через год суммы:

M=?Pi*Xi=0*0,0025+177000*0,095+354000*0,9025=0+16815+319485=

=336300 руб.

в) если деньги поровну распределены между тремя банками, то могут обанкротиться все три банка с вероятностью р=0,05*0,05*0,05=0,000125, тогда полученная сумма будет равна 0.

Может обанкротиться первый и второй банк, а третий нет р=0,05* 0,05*0,95=0,002375, тогда полученная сумма будет равна:

100000*0+100000*0+100000*(1+0,18)=118000

Может обанкротиться первый и третий банк, а второй нет р=0,05 * 0,95 * 0,05=0,002375, тогда полученная сумма будет равна:

100000*0+100000*(1+0,18)+100000*0=118000

Может обанкротиться второй и третий банк, а первый нет р=0,95*0,05*0,05=0,002375, тогда полученная сумма будет равна:

100000*(1+0,18)+100000*0+100000*0=118000

Таким образом вероятность получения 118000 равна р=0,002375*3= 0,007125

Может обанкротиться первый банк, а второй и третий нет р=0,05*0,95*0,95=0,045125, тогда полученная сумма будет равна:

100000*0+100000*(1+0,18)+100000*(1+0,18)=236000

Может обанкротиться второй банк, а первый и третий нет р=0,95*0,05*0,95=0,045125, тогда полученная сумма будет равна:

100000*(1+0,18)+100000*0+100000*(1+0,18)=236000

Может обанкротиться третий банк, а первый и второй нет р=0,95*0,95*0,05=0,045125, тогда полученная сумма будет равна:

100000*(1+0,18)+100000*(1+0,18)+100000*0=236000

Таким образом вероятность получения 236000 равна р=0,045125*3= 0,135375

Все банки не обанкротятся р=0,95*0,95*0,95=0,857375, тогда полученная сумма будет равна:

100000*(1+0,18)+100000*(1+0,18)+100000*(1+0,18)=354000

Ряд распределения:


p

0,000125

0,007125

0,135375

0,857375

x

0

118000

236000

354000

В этом случае вероятность получить максимум равна р=0,857275=85,7275%, вероятность потерять все равна р=0, 000125=0,0125%.

Математическое ожидание получаемой через год суммы:

M=?pi*xi=0*0,000125+118000*0,007125+236000*0,135375+354000*0,857275= =0+840,75+31948,5+303510,75= 336300 руб.

Ответ:

а) Математическое ожидание получаемой через год суммы равно 336300 руб., вероятность получить максимум равна 95%, потерять все равно 5%;

б) Математическое ожидание получаемой через год суммы равно 336300 руб., вероятность получить максимум равна 90,25%, потерять все равно 0,25%;

в) Математическое ожидание получаемой через год суммы равно 336300 руб., вероятность получить максимум равна 85,7275%, потерять все равно 0,0125%.
Задача №7.

Годовая эффективная ставка процента по срочным рублевым вкладам - 18%. Ожидаемый рост курса доллара в течение ближайших 12 месяцев - 12%. Определите, при каких относительных различиях между ценами покупки и продажи в обменных пунктах имеющему доллары и нуждающемуся через год в долларах целесообразно: а) продолжать хранить их в наличной форме; б) поменять на рубли, открыть срочный вклад и через год поменять возросшую рублевую сумму на доллары.
Решение

Пусть x - цена доллара на сегодняшний день, а i - это относительная разница между ценами покупки и продажи в об­менных пунктах.

Тогда цена, по которой продуются доллары в обменных пунктах равна х, цена покупки равна х(1- i)

Рост курса доллара в течение ближайших 12 месяцев - 12%.

Тогда цена, по которой продуются доллары в обменных пунктах равна 1,12х, цена покупки равна 1,12х(1- i)

Если доллары хранить в наличной форме, то их цена через год составит 1,12х

Если обменять их на рубли, открыть срочный вклад и через год поме­нять возросшую рублевую сумму на доллары то их цена составит 1,18х(1- i). Найдем размер i при котором цены будут равны:

1,12х=1,18х(1-i)

1,0536(1-i)=1

l-i=0,949

i=0,051

Ответ:

а) выгоднее продолжать хранить их в наличной форме при различиях между ценами покупки и продажи в обменных пунктах более 5,1 процентного пункта.

б) выгоднее поменять на рубли, открыть срочный вклад и через год по­менять возросшую рублевую сумму на доллары при различиях между ценами покупки и продажи в обменных пунктах менее 5,1 процентного пункта.
Задача №8.

Пусть сегодня в обменных пунктах российских банков цена покупки и доллара, и евро на 3 процентных пункта меньше цены продажи. Такой же эта разница сохранится и в будущем. Ожидается с большой вероятностью, что ежемесячно в течение длительного времени курс евро по отношению к доллару будет возрастать на 0,5%. Цены покупки и продажи обеих валют будут изменяться такими же темпами, как и биржевые курсы. Гражданин имеет доллары и нуждается в перспективе в долларах. Определите, целесообразно ли обменять их на евро, и на какой срок запланировать обратный обмен.
Решение

Если имеется х долларов, то при обмене их на евро будет получено евро:

х*(1-0,03)=0,97х

Ежемесячно в течение длительного времени курс евро по отношению к доллару будет возрастать на 0,5%.

Тогда через определенный период времени размер валютных накопле­ний в евро составит:

0,97х*(1+0,005)n

где n - число месяцев.

Найдем число месяцев, через которое размер валютных накоплений превысит размер х долларов (методом подстановки n в формулу):

n=7

Таким образом, целесообразно обменять доллары на евро, если срок, через который будут нужны доллары 7 и более месяцев.

Ответ: Такую операцию целесообразно осуществить, если доллары будут нужны через 7 и более месяцев.
Задача №9.

Кредит на сумму 2 млн. руб. получен на условиях погашения его единовременным платежом вместе с процентами через 4 месяца. Какую сумму должен будет возвратить заемщик кредитору, если:

а) кредиты на такие сроки предоставляются исходя из расчетной ставки 10% годовых, а для исчисления стоимости кредита используется формула простых процентов;

б) для кредитов на любые сроки используется годовая эффективная ставка – 10%?
Решение

а) S=2000000*(l+0,1*4/12)=2066666,66 руб.

б) S=2000000*(l+0,1)4/12=2064560,23 руб.

Ответ:

а) 2066666 р. 66коп.;

б) 2064560руб. 23коп.

Задача №10.

Какие суммы в задаче 9 должен ежемесячно отдавать заемщик кредитору, если бы погашение кредита предусматривалось четырьмя равными суммами – соответственно через 1 месяц, 2, 3 и 4 месяца, если:

а) расчетная ставка остается такой же, и для соизмерения денежных сумм во времени используется формула простых процентов;

б) годовая эффективная ставка остается такой же, и для соизмерения денежных сумм во времени используется формула сложных процентов?
Решение

а)

б)

Ответ:

а) Заемщик должен отдавать ежемесячно 510459 руб. 90коп.;

б) Заемщик должен отдавать ежемесячно 510007руб. 30 коп.
Задача №11.

Какую сумму в условиях задачи 9 получил бы на руки заемщик, если бы кредитор взял с него проценты в момент выдачи кредита?
Решение

а) Сумма процентов за 4 месяца при расчетной ставке 10% годовых и ис­пользовании формулы простых процентов составит:

I = Pni= 2000000 * * 0,1 = 66666,67 руб.

Тогда сумма полученная заемщиком равна:

P-I= 2000000 – 66666,67 = 1933333,33 руб.

б) В случае, если используется годовая эффективная ставка - 10%

I P ((1 + i)n -1) = 2000000 * ((l + 0,l)4/12 -1) = 64560,23 руб.

Тогда сумма полученная заемщиком:

P-I = 2000000-64560,23 =1935439,77руб.

Ответ:

а) Заемщик получит 1933333,33 руб.;

б) Заемщик получит 1935439,77руб.

Задача №12.

График погашения кредита предполагал ежемесячную выплату заемщиком 1 млн. руб. в течение 8 месяцев (1-й платеж - через месяц после получения кредита, второй - через 2 месяца и т.д.). Заемщик оказался не в состоянии выплачивать ежемесячно такую сумму и договорился с кредитором о реструктуризации долга - выплате в течение более длительного срока ежемесячно по 0,5 млн. руб. Как долго заемщик будет погашать свой долг, если его новые обязательства финансово эквивалентны первоначальным, а для соизмерения денежных сумм во времени используется годовая эффективная ставка 30%?
Решение

Найдем текущую стоимость долга:



Новая сумма аннуитетного платежа 500000 руб.

Текущая стоимость долга эквивалентна:

Получаем:





Находим из данного выражения t:

t = 18

Ответ: заемщик будет погашать свой долг в течение 18 меся­цев или 1,5 лет.

Задача №13

Кредиты на 3 месяца выдаются исходя из расчетной ставки 20% годовых. Исходя из какой расчетной ставки должны выдаваться кредиты на 9 месяцев, чтобы годовая эффективная ставка процента по таким кредитам была такой же, как и по кредитам на 3 месяца?
Решение

Находим годовую эффективную ставку для кредита на 3 месяца:



С учетом годовой эффективной ставки 21,55% находим процентную ставку для кредита на 9 месяцев:



Ответ: для кредита на 9 мес. процентная ставка равна 21,02%

Задача №14.

Фирме X была предоставлена кредитная линия на 1 млн. рублей – в течение 8 месяцев по 1-м числам она брала в банке по 125 тыс. руб. Погашение долга предусматривалось единовременным платежом ровно через 4 месяца после получения последних 125 тысяч. Сколько должна вернуть фирма банку, если для соизмерения денежных сумм во времени используется годовая эффективная ставка 15%?
Решение

Возврат долга будет осуществляться через 11 месяцев после получения первой суммы.

Найдем наращенную сумму:



=143,303+141,534+139,787+138,061+136,356+134,673+133,01+131,368=1098,092

Ответ: фирма X должна вернуть 1098,092 тыс. руб.


Задача №15.

Единовременно полученный кредит сроком на 5 лет погашался в течение этого срока ежемесячно равными суммами. Для соизмерения денежных сумм во времени использовалась годовая эффективная ставка R. После совершения последнего, 60-го платежа, заемщик обнаружил, что в сумме он заплатил банку ровно в 2 раза больше, чем брал у него взаймы. Каково было значение годовой эффективной ставки?
Решение

Сумма ежемесячного погашения равна А. Тогда за 60 месяцев общая сумма выплат составила 60А. Заемщик брал у банка взаймы сумму Р.

В сумме он заплатил банку ровно в 2 раза больше, чем брал у него взаймы, т.е. 2Р.

Таким образом:

60А=2Р

Р=30А

Формула расчета аннуитетного платежа выглядит следующим образом:



Подставим известные значения:



Решим полученное уравнение:

R=31,57%

Ответ: Годовая эффективная ставка равна 31,57%
Задача №16.

Облигации внутреннего выигрышного займа выпущены на следующих условиях. Всего облигаций 10 млн. штук, срок погашения – через 5 лет. Ежегодно в конце каждого календарного квартала проводится тираж, в результате которого 10000 облигаций выигрывают. Выигравшие облигации в дальнейших тиражах не участвуют. Определите вероятность выигрыша в первых четырех тиражах хотя бы одной из облигаций для человека, купившего 10 облигаций.
Решение

Определим вероятность выигрыша по облигациям всего займа:

Вероятность выиграть в 1 тираже:



Вероятность выиграть во 2 тираже:



Вероятность выиграть в 3 тираже:



Вероятность выиграть в 4 тираже:



Таким образом, вероятность выигрыша одной облигации в первых четырех тиражах равна:

p1-4=p1+p2+p3+p4=10-3+1,001*10-3+1,002*10-3+1,003*10-3=4,006*10-2

Для человека, купившего 10 облигаций вероятность выигрыша одной облигации, в первых четырех тиражах увеличивается в 10 раз и равна:

Р = p1-4*10 = 4,006*10-3* 10 = 4,006*10-2=0,04006=4,006%

Ответ: вероятность выигрыша равна 4,006%

Задача №17.

На фондовом рынке обращаются чисто дисконтные облигации номиналом в 1 млн. руб. В настоящий момент времени их рыночная цена составляет 950 тыс. руб. Сколько времени осталось до их погашения, если вложения в эти облигации обеспечивают такую же доходность как и обычные кредитные операции, годовая эффективная ставка для которых составляет 20%?
Решение

Доходность облигации вычисляется по формуле:



где Рпокуп – рыночная цена облигаций;

Рпрод – номинал облигации;

Т – срок до погашения облигаций.

Отсюда определим Т:



Ответ: до погашения облигаций осталось 96 дней.

Задача №18.

С каким дисконтом банк должен учесть вексель, срок погашения которого – через 3 месяца, чтобы доходность этой операции была такой же, как при выдаче кредита на такой же срок исходя из расчетной ставки 24% годовых?
Решение

Ставка дисконта, эквивалентная учетной ставке находится по формуле:



где d - учетная ставка;

i - ставка ссудного процента;

n - срок в годах.



Ответ: вексель будет учтен с дисконтом 22,6%

Задача №19.

Рассчитайте формальную рыночную стоимость акций, по которым ежегодно выплачиваются дивиденды в размере 50 руб. на одну акцию. Годовая эффективная ставка процента составляет 10%. Цену рассчитать на момент, когда до получения очередного дивиденда остается ровно полгода.
Решение

Цена акции с фиксированным доходом равна настоящей стоимости будущих дивидендов и определяется по формуле:



Ответ: рыночная стоимость акции 500руб.
Задача №20.

Снижение ставки процента на денежном рынке ведет к росту рыночной стоимости ценных бумаг. Пусть в какой-то момент времени рыночные стоимости акции X, краткосрочного векселя Y и среднесрочной дисконтной облигации Z одинаковы. У какой из этих бумаг при снижении ставки процента на денежном рынке рыночная стоимость увеличится в наибольшей степени, у какой – в наименьшей? Объясните, почему. Задачу решить в предположении, что рыночная стоимость акции определяется только величиной получаемых дивидендов.
Решение

Чем меньше срок обращения ценной бумаги, тем в меньшей степени ее рыночная цена зависит от ставки процента, т.к. меньше периодов дисконтирования. Поэтому в большей степени снижении ставки процента повлияет на стоимость акции X, т.к. ее обращение бессрочно, а в меньшей на стоимость краткосрочного векселя Y.
Задача №21.

Номинальная годовая ставка процента на денежном рынке составляет 24%. Чему равна реальная ставка процента, если рост среднего уровня цен за год составляет: а) 10%; б) 20%; в) 30%?

Решение

Реальная ставка процента находится по формуле:



а)

б)

в)

Ответ:

а) Реальный размер денежных средств возрос на 12,7 %

б) Реальный размер денежных средств возрос на 3,3 %

в) Реальный размер денежных средств снизился на 4,6 %
Задача №22.

Определите с позиций формальной финансовой математики, при какой годовой эффективной ставке процента по депозитам выгоднее покупать ежегодно туфли по цене 1000 руб., чем раз в три года - туфли по цене 2800 рублей. Внешний вид и потребительские свойства у них одинаковы, различается только срок службы.
Решение

Сопоставим денежные потоки во времени, приведем их к настоящему моменту:

раз в три года Р=2800

ежегодно Р=

Выгоднее покупать ежегодно туфли по цене 1000 руб., чем раз в три года - туфли по цене 2800 рублей при условии:

<2800

Таким образом, получаем:

i > 7,3%

Ответ: если годовая эффективная ставка процента по депозитам больше 7,3%


Задача № 23.

Молодая семья арендует квартиру и платит за нее ежемесячно 3000 руб. Текущие доходы семьи позволяют ежемесячно откладывать 8000 рублей (остальные деньги уходят на неотложные нужды и хозяину). Есть мечта приобрести собственную квартиру стоимостью 400000 руб. Предположив, что деньги накапливаются в наличной форме, определите, целесообразно ли для ускорения решения проблемы прибегнуть к банковскому кредиту, который на любые сроки выдается из расчета годовой эффективной ставки 12%, и если целесообразно, то когда (после накопления какой суммы собственных средств) это лучше всего сделать? После покупки квартиры можно будет отдавать кредитору 11000 руб. ежемесячно.
Решение

Если семья возьмет кредит прямо сейчас, без накопления, то при ежемесячных выплатах 11000 руб. срок выплат будет равен:



Общая сумма выплат составит: 11000*45,4=499610 руб.

Если они будут копить 1 мес., а затем возьмут кредит, то их расходы за этот месяц составят 11000 руб. (3000 аренда и 8000 накопления) и сумма необходимого кредита составит 392000:



Общая сумма выплат составит: 11000+11000*44,3=498103 руб.

Таким образом, выгоднее сначала копить, так как при постоянных ежемесячных расходах 11000 руб. общая сумма выплат уменьшается.

Минимальное значение достигается при сроке накопления 13 мес. накопленная сумма 104000 руб., сумма кредита 296000.



Общая сумма выплат составит: 11000*13+11000*31,5=489534 руб.

Ответ: целесообразно прибегнуть к банковскому кредиту. Лучше это сделать после накопления средств в течении 13мес.



Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации