Полковніченко Д.В., Запорожченко С.I. Методичні вказівки і завдання до лабораторних робіт з дисципліни Математичні задачі електроенергетики - файл n1.doc

Полковніченко Д.В., Запорожченко С.I. Методичні вказівки і завдання до лабораторних робіт з дисципліни Математичні задачі електроенергетики
скачать (239.5 kb.)
Доступные файлы (2):
n1.doc1171kb.01.11.2005 17:23скачать
n2.doc82kb.01.11.2005 16:35скачать

n1.doc

  1   2   3   4   5   6   7
Вступ


Метою вивчення дисципліни "Математичні задачі електроенергетики" є освоєння математичних методів рішення задач оцінки й керування режимами роботи електроенергетичних систем та їх проектування.

У результаті вивчення дисципліни студент повинен: знати: класифікацію й особливості математичних завдань розрахунків електричних мереж і систем; основні методи формалізації й алгоритмізації задач, пов'язаних з розрахунками режимів роботи електроенергетичних систем; методи розв’язання детермінованих й імовірнісних задач, математичні методи розв’язання систем лінійних і нелінійних рівнянь; методи аналізу й оцінки тривалих перехідних процесів, а також методи спрощення складних електричних систем; уміти: вибирати оптимальні методи рішення завдань оцінки режимів електричних мереж з обліком невизначеності сходження чисельних методів й особливостей їхньої реалізації на ЕОМ.

Лабораторні роботи допоможуть студентам закріпити теоретичний матеріал курсу, який вони отримали на лекціях.

До оформлення лабораторних робіт пред'являються наступні вимоги:

- на титульному аркуші вказуються: ВНЗ, кафедра, номер лабораторної роботи та ії тема, назва дисципліни, прізвище та ініціали студента й викладача і рік виконання (зразок оформлення наведено у додатку А);

- звіт з лабораторної роботи оформлюється на окремих аркушах формату А4, ліворуч необхідно залишити поля шириною 2 – 3 см;

- зміст звіту до кожної лабораторної роботи наведено в даних методичних вказівках;

- рисунки необхідно виконувати за допомогою лінійок і лекал або ЕОМ.

Лабораторна робота № 1
Використання програмної системи MathCAD для роботи з векторами і матрицями
Мета роботи - освоєння технології роботи з векторами і матрицями в програмній системі MathCAD.
1.1 Основні відомості
Однією з основних галузей застосування персональних комп’ютерів і понині є математичні й науково-технічні розрахунки. Сама по собі поява комп'ютерів не спростила математичні розрахунки, а лише дозволила різко підвищити швидкість їхнього виконання й складність розв'язуваних завдань. Користувачам ПК, перш ніж починати такі розрахунки, потрібно було вивчати самі комп'ютери, мови програмування й досить складні методи обчислень, застосовувати й підбудовувати під свою мету програми для вирішення розрахункових завдань на мовах Бейсик або Паскаль. Вченому й інженерові, фізикові, хімікові й математикові доводилося ставати програмістом, на жаль, часом досить посереднім.

Необхідність у цьому відпала лише після появи інтегрованих математичних програмних систем для науково-технічних розрахунків: Eureka, PC MatLAB, MathCAD, Maple V, Mathematіca 2 або 3 й ін. Велика кількість подібних розробок свідчить про значний інтерес до них в усім світі й бурхливому розвитку комп'ютерних математичних систем.

Широку і заслужену популярність ще в середині 80-х років придбали інтегровані системи для автоматизації математичних розрахунків класу MathCAD, розроблені фірмою MathSoft (США). Донині вони залишаються єдиними математичними системами, у яких опис рішення математичних завдань дається за допомогою звичних математичних формул і знаків. Такий же вид мають і результати обчислень. Так що системи MathCAD цілком виправдують абревіатуру CAD (Computer Aіded Desіgn), що свідчить про їх приналежність до найбільш складних і просунутих систем автоматичного проектування - САПР. Можна сказати, що MathCAD - свого роду САПР у математиці.

З моменту своєї появи системи класу MathCAD мали зручний інтерфейс користувача - сукупність засобів спілкування з користувачем у вигляді масштабованих і переміщуваних вікон, клавіш й інших елементів. У цієї системи є й ефективні засоби типової наукової графіки, вони прості в застосуванні й інтуїтивно зрозумілі. Словом, системи MathCAD орієнтовано на масового користувача - від учня початкових класів до академіка.

MathCAD - математично орієнтовані універсальні системи. Крім власне обчислень вони дозволяють блискуче вирішувати завдання, які важко піддаються популярним текстовим редакторам або електронним таблицям. З їхньою допомогою можна не тільки якісно підготувати тексти статей, книг, дисертацій, наукових звітів, дипломних і курсових проектів, вони, крім того, полегшують набір самих найскладніших математичних формул і дають можливість подання результатів у вишуканому графічному виді.

В даній лабораторній роботі треба освоїти технологію роботи з матрицями в програмній системі MathCAD.

Матрицею розміром mЧn називається сукупність m·n чисел, які розташовано у вигляді прямокутної таблиці з m рядків й n стовпців. Цю таблицю звичайно беруть у квадратні дужки. Наприклад, матриця може мати вигляд:

У загальному вигляді матрицю розміром mЧn записують так
.
Числа, з яких складається матриця, називаються елементами матриці. Елементи матриці зручно позначати двома індексами aіj: перший указує номер рядка, а другий - номер стовпця. Наприклад, a23 - елемент знаходиться у 2-му рядку, 3-му стовпці.

Якщо в матриці кількість рядків дорівнює кількості стовпців, то матриця називається квадратною, причому кількість її рядків або стовпців називається порядком матриці. У наведених вище прикладах квадратними є друга матриця - її порядок дорівнює 3, і четверта матриця - її порядок 1.

Матриця, в якій кількість рядків не дорівнює кількості стовпців, називається прямокутною. У прикладах це перша матриця й третя.

Розрізняються також матриці, що мають тільки один рядок або один стовпець. Матриця, в якій лише один рядок, називається матрицею-рядком, а матриця, в якій лише один стовпець, матрицею-стовпцем.

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою й позначається (0), або просто 0. Наприклад:
або .
Головною діагоналлю квадратної матриці називається діагональ, що йде з лівого верхнього в правий нижній кут.

Квадратна матриця, в якій всі елементи, що знаходяться нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається трикутною матрицею. Наприклад:
.
Квадратна матриця, в якій всі елементи, крім тих що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною матрицею. Наприклад:
або .
Діагональна матриця, в якій всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею й позначається буквою E. Наприклад, одинична матриця 3-го порядку має вигляд:
.
1.2 Порядок виконання роботи
Завдання векторів і матриць
Для роботи з векторами й матрицями MathСAD має ряд операторів і функцій, для яких уведені наступні позначення: для векторів V, для матриць М и для скалярних величин Z.

Для завдання матриці використовують операцію Matrіx у позиції Іnsert основного меню (сполучення клавіш Ctrl+M) або піктограму із зображенням шаблона матриці на панелі інструментів. Це викликає спочатку появу діалогового вікна, у якому потрібно вказати розмір матриці, тобто кількість її рядків (rows) m і стовпців (columns) n.


Операції з виділеними матрицями
Операції з виділеними матрицями представлені позицією підменю Matrіx (Матричні операції), що має своє підменю з наступними операціями:

Transpose (Транспонувати) - одержати транспоновану матрицю;

Іnverse (Обернути) - створити зворотну матрицю;

Determіnant (Визначник) - обчислити детермінант (визначник) матриці.
Векторні й матричні оператори
Складання і віднімання.

Нехай матриці М1 і М2 мають однакову кількість рядків й однакову кількість стовпців, тобто мають однакові розміри. Тоді для того, щоб скласти матриці М1 і М2 потрібно до елементів матриці М1 додати елементи матриці М2, що знаходяться на тих же місцях.
V1+V2= V2 –V1 =
M1 = M2 =
M1 + M2 = M2 – М1 =
Множення.

Для того щоб помножити матрицю М1 на число Z потрібно кожен елемент матриці М1 помножити на це число.
Z = 5 Z·M1 = Z·V1 = Z·V2 =
Перемноження матриць здійснюється за своєрідним законом. Насамперед, розміри матриць-співмножників повинні бути погоджені. Перемножувати можна тільки ті матриці, у яких кількість стовпців першої матриці збігається із кількістю рядків другої матриці (тобто довжина рядка першої дорівнює висоті стовпця другої).

У загальному випадку, якщо ми множимо матрицю М1 = (aij) розміру mЧn на матрицю М2 = (bij) розміру nЧp, то одержимо матрицю М3 розміру mЧp, елементи якої обчислюються в такий спосіб: елемент cij виходить у результаті добутку елементів і-го рядка матриці М1 на відповідні елементи j-го стовпця матриці М2 й їхнього складання.

Із цього правила слідує, що завжди можна перемножувати дві квадратні матриці одного порядку, у результаті одержимо квадратну матрицю того ж порядку. Зокрема, квадратну матрицю завжди можна помножити саму на себе, тобто піднести до квадрата.

Іншим важливим випадком є множення матриці-рядка на матрицю-стовбець, причому ширина першої повинна дорівнювати висоті другої. У результаті одержимо матрицю першого порядку (тобто один елемент).
V1 = VV2 = 32
M1 = VM1 = MV2 =
Обернення матриці.

Поняття зворотної матриці вводиться тільки для квадратних матриць.

Якщо М - квадратна матриця, то зворотною для неї називається матриця, яка позначується М-1 і задовольняє умові
М· М -1 = М -1·М = Е
M = M -1 =
Обчислення визначника матриці.

Нехай дана матриця другого порядку - квадратна матриця, що складається із двох рядків і двох стовпців:
.

Визначником другого порядку, що відповідає даній матриці, називається число, що одержується в такий спосіб: a11a22 – a12a21.

Визначник позначається символом
.
Отже, для того щоб знайти визначник другого порядку потрібно з добутку елементів головної діагоналі відняти добуток елементів побічної діагоналі.

Аналогічно можна розглянути матрицю третього порядку й відповідно ії визначник.

Визначником третього порядку, що відповідає даній квадратній матриці третього порядку, називається число, що одержується в такий спосіб:

.
Таким чином, ця формула дає розкладання визначника третього порядку по елементах першого рядка a11, a12, a13 і зводить обчислення визначника третього порядку до обчислення визначників другого порядку.

Аналогічно можна ввести поняття визначників четвертого, п'ятого і т.д. порядків, знижуючи їхній порядок розкладанням по елементах 1-ого рядка, при цьому знаки "+" й "-" у доданків чергуються.

Отже, на відміну від матриці, що є таблицею чисел, визначник - це число, що певним чином ставиться у відповідність матриці.
M =
Транспонування матриці.

Транспонування - це зміна ролями рядків і стовпців матриці. Транспоновану матрицю М звичайно позначають МT.
M = MT =


Матриці з комплексними елементами.

Елементами матриці можуть бути комплексні числа, що містять дійсну й мниму частини. Перед введенням матриці з комплексними елементами необхідно попередньо задатися мнимою одиницею і:
i = M1 = M2 =
Векторні й матричні функції
Об'єднання в одну матрицю двох матриць М1 і М2, що мають однакову кількість рядків (пліч-о-пліч):
M1 = M2 =
М = augment (M1, M2)
М =
Об'єднання в одну матрицю двох матриць М1 і М2, що мають однакову кількість стовбців (одна над іншою):
М1 = М2 =
М = stack( M1, M2)
M =

Виділення субматриці з матриці:
М = М1 = submatrix (M, 1, 2, 1, 2) M1 = .
У дужках (після функції submatrіx) спочатку вказується матриця, з якої виділяється субматриця, потім через кому вказуються номери початкового та кінцевого рядків і номера початкового та кінцевого стовпців вихідної матриці, елементи яких повинні входити в шукану субматрицю. Необхідно пам'ятати, що нумерація рядків і стовпців матриці буде починатися з 1, тільки якщо попередньо задатися ORІGІN:=1. Інакше нумерація рядків і стовпців буде починатися з 0.

Лабораторна робота № 2
матричні оператори і функції у MathCAD

Мета роботи - придбання навичок уведення, формування й виконання операцій над матрицями за допомогою матричних операторів і функцій
2.1 Основні відомості
Матриці дають можливість коротко записати систему лінійних рівнянь. Нехай дана система з 3-х рівнянь із трьома невідомими:

Розглянемо матрицю коефіцієнтів при невідомих

і матриці-стовбці невідомих і вільних членів .

Перемножуємо матриці
.
Таким чином, у результаті перемноження ми одержуємо ліві частини рівнянь даної системи. Тоді, користуючись визначенням рівності матриць, дану систему можна записати у вигляді


або коротше AX=B.

Тут матриці A й B відомі, а матриця X невідома. Її й потрібно знайти, тому що її елементи є рішенням даної системи. Це рівняння називають матричним рівнянням.

Нехай визначник матриці відмінний від нуля |A| ? 0. Тоді матричне рівняння вирішується в такий спосіб. Помножимо обидві частини рівняння ліворуч на матрицю A-1, зворотну матриці A. Оскільки A-1·A = E й E·X = X, то одержуємо рішення матричного рівняння у вигляді X = A-1·B.

Відзначимо, що оскільки зворотну матрицю можна знайти тільки для квадратних матриць, то матричним методом можна розв’язувати тільки ті системи, у яких кількість рівнянь збігається із кількістю невідомих. Однак, матричний запис системи можливий й у випадку, коли число рівнянь не дорівнює числу невідомих, тоді матриця A не буде квадратною й тому не можна знайти рішення системи у вигляді X = A-1·B.
2.2 Порядок виконання роботи
Завдання 1: розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою обернення матриці.
Приклад виконання.

Вихідна система рівнянь
х1 + х2 + 2·х3 + 3·х4 = 1,

х1х2х3 –2·х4 = - 4,

х1 + 3·х2х3х4 = - 6,

х1 + 2·х2 + 3·х3х4 = - 4.
Матриця коефіцієнтів при невідомих:
А = .
Вибір вільних членів:
В = .

Рішення системи:
Х = А-1 · В.
Результат розв’язання:
Х=.
Перевірка рішення:
-1 – 1 + 2·0 + 3·1 = 1,

3·(-1) – (-1) – 0 – 2·1 = - 4,

2·(-1) + 3·(-1) – 0 –1 = - 6,

-1 + 2·(-1) + 3·0 – 1 = - 4.
Висновок: підстановка отриманих невідомих у вихідну систему підтвердила правильність рішення.
Завдання 2: знайти результуючу матрицю G = .

Приклад виконання.

Вихідні дані
; ; С=;
D =.
Обчислення результуючої матриці:
G = .
Результат:
.
Завдання 3: визначити:

- середнє значення елементів матриці;

- слід матриці (сума діагональних елементів);

- ранг матриці.
Приклад виконання.

Вихідні дані
A = .
а) середнє значення елементів матриці
mean(A) = 37,778;
б) слід матриці
tr(A) = 67;
в) ранг матриці
rank(A) = 3.

Лабораторна робота № 3
Розрахунок сталого режиму розімкнутої електричної мережі за допомогою матриці коефіцієнтів розподілу задавальних струмів
Мета роботи - ознайомлення з розрахунком параметрів сталого режиму розімкнутої мережі матричними методами.
3.1 Основні відомості
Перша матриця з’єднань (гілок з вузлами) П.

Перша матриця з’єднань складається на основі спрямованого графа електричного кола (рис.3.1). Графом називають геометричну схему у вигляді сукупності точок (вузлів графа), з’єднаних лініями (гілками графа). Напрям гілки вказується стрілкою. Такий граф називається спрямованим (орієнтованим).

Рядки першої матриці з’єднань відповідають вузлам, стовпці – гілкам. На перетині i–го стовпця та j–го рядка ставлять (+1), якщо j–ий вузол є початком і-ої гілки, (-1) – якщо j–ий вузол є кінцем і-ої гілки та 0, якщо вузол не має зв’язку з і-ою гілкою.

Складаються дві матриці П? і П.

Приклад складання П?


Рисунок 3.1 – Спрямований граф електричного кола
гілки

вузли 1 2 3 4 5

П? =
Якщо матриця складена вірно, то виконується рівність
nT · П? = 0,
де nT – матриця-рядок одиниць, кількість яких дорівнює кількості вузлів;

0 – матриця-рядок нулів.
.
Аналіз першої матриці з'єднань П? показує, що в кожному стовпці є всього дві одиниці: одна позитивна й одна негативна. Така властивість матриці П? випливає з того, що кожна гілка електричного кола з'єднана з двома вузлами.

Сума чисел у будь-якому стовпці матриці П? завжди дорівнює нулю. Внаслідок цього один з рядків матриці П? є залежним й матриця П? може бути замінена більш простою матрицею П шляхом викреслювання з матриці П? будь-якого рядка.
П = .
Вузол, рядок якого відкидається, називається базисним.

Якщо із графа видалити мінімальну кількість рядків так, щоб зберегти вузли, але зруйнувати всі замкнуті контури, то отримана геометрична фігура буде називатися деревом графа. Кількість рядків будь-якого дерева на одиницю менше кількості вузлів. Вилучені із графа для утворення дерева гілки називаються хордами.

Матриця П розподіляється на субматрицю дерева П? та субматрицю хорд П?.
П = ,
П? =, П? =.
Перша матриця з’єднань П застосовується для запису першого закону Кірхгофа у матричному вигляді
Пt ·U? = Zг · I,
де U? – матриця-стовпець, елементи якої дорівнюють різниці між напругами вузлів та напругою базисного вузла Uб (як правило, вузол з останнім номером)
U? = Uуn · Uб = = ;
Uу – матриця-стовбець вузлових напруг, кількість рядків якої дорівнює кількості незалежних вузлів;

n – матриця-стовпець одиниць, кількість рядків якої дорівнює кількості незалежних вузлів;

Zг – діагональна квадратна матриця опорів гілок графа, порядок якої відповідає їх кількості
Zг = ;
I – матриця-стовпець струмів гілок графа
I = .
Матриця коефіцієнтів розподілу дерева.

Для аналітичного запису шляхів від незалежних вузлів до базисного по гілках дерева (для кожного вузла є тільки один такий шлях) застосовують матрицю коефіцієнтів розподілу

Матриця коефіцієнтів розподілу дерева С? - квадратна, порядок якої дорівнює кількості незалежних вузлів. Номера стовбців відповідають номерам незалежних вузлів. Номера рядків відповідають номерам гілок.

Складання матриці коефіцієнтів розподілу дерева С? виконується для дерева (рис.3.2) наступним чином. Рухаючись від першого вузла до базисного, тобто по першому стовпцю, дивляться, які гілки зустрічаються на шляху. При цьому, якщо напрямок руху збігається з напрямком гілки, ставлять (+1), якщо не збігається - (-1), якщо гілка не зустрічається на розглянутому шляху - (0).




Рисунок 3.2 – Приклад дерева графа
Приклад складання матриці С?
вузол

гілка 1 2

С? =
Властивість С?:
С? = ,
тому
С? · П? = Е.
Матриця С? використовується для розрахунку режиму розімкнутої мережі.

Матриця-стовпець задавальних струмів J має кількість рядків, що відповідає кількості незалежних вузлів
J = .

3.2 Порядок виконання роботи



1. При домашній підготовці за вихідними даними, наведеними у табл.3.1, для рис.3.3 скласти:

- першу матрицю з’єднань П? і П;

- матрицю коефіцієнтів розподілу дерева С?;

- матрицю опорів гілок Zг;

- матрицю задавальних струмів J.

2. Перевірити на ПЕОМ правильність складання матриць при домашній підготовці.

3. Виконати у MathCAD розрахунок за наступним алгоритмом:
I = С? · J, (3.1)
П · IJ ? ?i . (3.2)

Елементи матриці нев’язок ?i повинні бути не більш 0,01.
  1   2   3   4   5   6   7


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации