Лекция - Свойства вейвлет-преобразования сигналов - файл n1.doc

Лекция - Свойства вейвлет-преобразования сигналов
скачать (616 kb.)
Доступные файлы (1):

616kb.

29.05.2012 22:02

n1.doc

1 2 3

ВЕЙВЛЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ

Тема 20. СВОЙСТВА ВЕЙВЛЕТ-преобразования

Изложение вопроса будет неполным, пока в той или иной форме мы не оговорим всех условий.

Джон Стюарт Милль. Английский философ, XIX в.

Оговорить можно, но увлекаться не стоит. Можно такой забор нагородить, что за ним и смысл самого вопроса не рассмотришь.

Игорь Широков. Московский геофизик Уральской школы, XX в.
Содержание

Введение.

1. Базисные функции вейвлет-преобразования. Определение вейвлета. Свойства вейвлета. Отображение преобразования. Вейвлетные функции.

2. Свойства вейвлет-преобразования.

3. Вейвлет-преобразование простых сигналов.

Введение.

Аналитика вейвлетных преобразований сигналов определяются математической базой разложения сигналов, которая аналогична преобразованиям Фурье. Основной отличительной особенностью вейвлет-преобразований является новый базис разложения сигналов - вейвлетные функции. Свойства вейвлетов принципиально важны как для самой возможности разложения сигналов по единичным вейвлетным функциям, так и для целенаправленных действий над вейвлетными спектрами сигналов, в том числе с последующей реконструкцией сигналов по обработанным вейвлетным спектрам.

Вейвлеты могут быть ортогональными, полуортогональными, биортогональными. Вейвлетные функции могут быть симметричными, асимметричными и несимметричными, с компактной областью определения и не имеющие таковой, а также иметь различную степень гладкости. Некоторые функции имеют аналитическое выражение, другие – быстрый алгоритм вычисления вейвлет-преобразования. Для практики желательно было бы иметь ортогональные симметричные и асимметричные вейвлеты, но таких идеальных вейвлетов не существует. Наибольшее применение находят биортогональные вейвлеты.

2.1. Базисные функции вейвлет-преобразования /1, 3/.

Базисными функциями вейвлет-преобразований могут быть самые различные функции с компактным носителем - модулированные импульсами синусоиды, функции со скачками уровня и т.п. Они обеспечивает хорошее отображение и анализ сигналов с локальными особенностями, в том числе со скачками, разрывами и перепадами значений с большой крутизной.

Следует различать вейвлеты по целевым задачам вейвлетных преобразований с позиций декомпозиции – реконструкции сигналов. Было бы желательно иметь такое вейвлет-преобразование сигналов, которое обеспечивало бы полную информационную эквивалентность вейвлетного спектра сигналов временному (динамическому, координатному) представлению, и, соответственно, однозначность как декомпозиции сигналов, так и их реконструкции из вейвлетных спектров. Однако это возможно только при использовании ортогональных и биортогональных вейвлетов. Этим вейвлетам и будет уделено основное внимание. Для качественного анализа сигналов и локальных особенностей в сигналах может применяться более обширная номенклатура вейвлетных функций, которые хотя и не обеспечивают реконструкцию сигналов, но позволяют оценить информационное содержание сигналов и динамику изменения этой информации.

Определение вейвлета. К вейвлетам относятся локализованные функции, которые конструируются из одного материнского вейвлета (t) (или по любой другой независимой переменной) путем операций сдвига по аргументу (b) и масштабного изменения (а):

_ab(t) = (1/) ((t-b)/a), (a, b)R, (t)L²(R).

где множитель (1/) обеспечивает независимость нормы функций от масштабного числа 'a'.

Непрерывное вейвлет-преобразование сигнала s(t)L²(R), которое применяется для качественного частотно-временного анализа, по смыслу соответствует преобразованию Фурье с заменой гармонического базиса exp(-jt) на вейвлетный ((t-b)/a):

С(a, b) = s(t), _ab(t) = (1/)s(t)((t-b)/a) dt, (a, b)R, a0.

Рис. 2.1.1. Вейвлеты Mhat и Wave.
Вейвлетный масштабно-временной спектр С(a,b) в отличие от фурье-спектра является функцией двух аргументов: масштаба вейвлета 'а' (в единицах, обратных частоте), и временного смещения вейвлета по сигналу 'b' (в единицах времени), при этом параметры 'а' и 'b' могут принимать любые значения в пределах областей их определения.

На рис. 2.1.1 приведены примеры простейших неортогональных вейвлетов четного (Mhat) и нечетного (Wave) типов.

Для количественных методов анализа (декомпозиция сигналов с возможностью последующей линейной реконструкции сигналов из обработанных вейвлет-спектров) в качестве вейвлетных базисов можно использовать любые локализованные функции (t), если для них существуют функции-двойники ^#(t), такие, что семейства {_ab(t)} и {^_ab(t)} могут образовывать парные базисы функционального пространства L²(R). Вейвлеты, определенные таким образом, позволяют представить любую произвольную функцию в пространстве L²(R) в виде ряда:

s(t) = С(a,b)^_ab(t), (a, b)I,

где коэффициенты С(a,b) – проекции сигнала на вейвлетный базис пространства, которые определяются скалярным произведением

С(a,b) = s(t), _ab(t) =s(t)_ab(t) dt.

Если вейвлет (t) обладает свойством ортогональности, то ^(t) ≡ (t) и вейвлетный базис ортогонален. Вейвлет может быть неортогональным, однако если он имеет двойника, и пара ((t),^(t)) дает возможность сформировать семейства {_mk(t)} и {^_zp(t)}, удовлетворяющие условию биортогональности на целых числах I:

_mk(t),^_zp(t) = _mz·_kp, m,k,z,p Î I,

то возможно разложение сигналов на вейвлетные ряды с обратной формулой реконструкции.

Свойства вейвлета,

Локализация. Вейвлет должен быть непрерывным, интегрируемым, иметь компактный носитель и быть локализованным как во времени (в пространстве), так и по частоте. Если вейвлет в пространстве сужается, то его "средняя" частота повышается, спектр вейвлета перемещается в область более высоких частот и расширяется. Этот процесс должен быть линейным – сужение вейвлета вдвое должно повышать его "среднюю" частоту и ширину спектра также вдвое.

Вейвлетную функцию можно считать хорошо локализованной при выполнении условий:

(t) ≤ C/(1+|t|)¹⁺^, (f) ≤ C/(1+|f|)¹⁺^, С=const, при  > 0.

1 2 3