Лекции по вычислительной математике - файл n1.doc

Лекции по вычислительной математике
скачать (556.5 kb.)
Доступные файлы (11):
n1.doc96kb.01.11.2007 17:22скачать
n2.doc490kb.06.12.2009 13:26скачать
n3.doc167kb.25.10.2007 14:58скачать
n4.doc78kb.25.10.2007 21:45скачать
n5.doc111kb.25.10.2007 22:20скачать
n6.docx19kb.04.12.2011 18:52скачать
n7.doc356kb.02.11.2007 15:44скачать
n8.doc211kb.22.10.2007 14:44скачать
n9.doc314kb.24.10.2007 18:02скачать
n10.doc233kb.29.10.2007 15:24скачать
n11.doc143kb.29.10.2007 21:09скачать

n1.doc

1. Элементарная теория погрешностей

Анализ погрешностей в численном результате должен являться непременной составной частью любого серьезного вычисления, не зависимо от того, производится это вычисление вручную или с помощью ЭВМ. Исходная информация очень редко бывает точной, т.к. зачастую исходные величины являются экспериментальными данными или основаны на приблизительных оценках. Кроме того, сами процессы вычислений могут вносить в результат различного рода ошибки.

Виды погрешностей

У каждого приближенного числа существуют две характеристики, или, другими словами, две погрешности.

Прежде чем рассматривать определения этих погрешностей, введем ряд обозначений: будем обозначать прописными латинскими буквами точное значение чисел: A, B, C,… На практике чаще всего точное значение чисел неизвестно. Приближенное значение чисел, будем обозначать соответствующими строчными латинскими буквами: a, b, c, …

Абсолютной погрешностью числа называют модуль разности между точным значением числа (считая это значение известным) и его приближенным значением:



Приближенное число вместе с абсолютной погрешностью записывают следующим образом: . Абсолютная погрешность всегда берется по модулю и с ее помощью можно определить отрезок, на котором находится точное значение величины: .

Если интересует точность уже проведенного расчета, то за берут число, которое возможно ближе к «истинной» погрешности. Называют это оценкой погрешности. Оценка погрешности может быть грубой или более точной. Погрешность может быть задана заранее, тогда вычисление проводится так, чтобы это неравенство выполнялось.

В связи с тем, что абсолютная погрешность непригодна для оценки точности заданного числа, либо точности проведенных расчетов, приближенные числа имеют еще одну характеристику, которую называют относительной погрешностью числа:

Относительной погрешностью числа называют отношение абсолютной погрешности числа к его приближенному значению:



Казалось бы, более естественно определить относительную погрешность как отношение абсолютной погрешности к точному значению, но обычно точное значение величины не известно. Относительная погрешность так же берется по модулю, и нередко ее рассматривают выраженной в процентах:



Таким образом, относительная погрешность применяется для определения точности результата; она показывает, насколько велика погрешность по сравнению с самим числом.

Абсолютную погрешность обычно используют для округлений (хотя существуют способы округления чисел при помощи относительной погрешности).

Для округления чисел воспользуемся двумя определениями:

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

В приведенных ниже числах, значащие цифры подчеркнуты:

3.15478; 0.0154; 0.1200

На практике вместо абсолютной погрешности чаще всего, используют предельную абсолютную погрешность, которая определяется неравенством



и предельную относительную погрешность



причем слово «предельная» для краткости будем опускать.

Понятие предельной абсолютной погрешности, так же как и понятии предельной относительной погрешности, появилось в связи с тем, что в ходе проведения операций с приближенными числами и вычислениями их погрешностей, получаются бесконечные десятичные дроби. Поэтому принято в записи погрешности оставлять одну или две значащие цифры, причем округление погрешности всегда производят в большую сторону.

Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Другими словами, для того, чтобы определить является ли данная цифра верной или сомнительной, необходимо сравнить абсолютную погрешность с половиной единицы разряда, соответствующей рассматриваемой цифре. Рассмотрим число ; первая цифра этого числа «3». Сравним абсолютную погрешность с половиной единицы соответствующего разряда, т.е. с 10/2=5: 5>0.03, неравенство выполняется, значит, данная цифра верная. Следующая цифра – «2», неравенство 0,5>0.03 также верное, значит цифра «2» – верная. Цифра «0». Соответствующее неравенство 0.05>0.03 выполняется, а значит и сама цифра верная. Рассмотрим следующую цифру «4»: для нее неравенство 0.005>0.03 уже не выполняется, следовательно, эта цифра, а также все последующие будут сомнительными. Таким образом, верными цифрами числа будут цифры «3», «2», «0».

В записи числа при округлении оставляют только значащие цифры. В рассмотренном примере после округления получим: . Т.к. цифра «0» верная, то ее в записи числа оставляют.

Источники возникновения погрешностей.

На практике приходится иметь дело с тремя основными видами погрешностей:

  1. Погрешности, содержащиеся в исходной информации. Математическое описание задачи в результате является неточным.

  2. Погрешности, возникающие при ограничении бесконечного математического процесса конечным числом операций. Зачастую получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому вместо получения точного решения приходится прибегать к приближенному.

  3. Погрешности, возникающие в результате необходимости представлять число в виде конечной последовательности цифр, другими словами, производить округления. (Это же относится к вводу чисел в память ЭВМ и выводу полученных результатов.)

Погрешности, соответствующие этим причинам, называются:







Пусть даны два приближенных числа вместе с их абсолютными погрешностями: и . Определим погрешности основных математических действий для этих чисел.

1. Сложение



Таким образом,






(1)


2. Вычитание



Рассматривая все получающиеся варианты, выберем наиболее общий случай. Тогда получим:






(2)


3. Умножение



Данная формула не совсем удобна в использовании, поэтому попробуем получить ее иным способом.

Пусть a и b – приближенные положительные (для простоты рассуждений) числа. Определим погрешность выражения .

Прологарифмируем данное выражение:



Используя приближенную формулу , находим:



или






(3)


4. Деление

Проделав выкладки, аналогичные пункту 3, легко получить:






(4)


5. Возведение в степень

Исходя из того, что возведение в степень можно представить в виде умножения , получим:






(5)


6. Извлечение корня k-той кратности

Так как извлечение корня можно свести к случаю возведения в степень, то соответствующая формула примет вид:






(6)


Для определения погрешностей других математических операций, необходимо воспользоваться той же идеей, что и в пункте 3: функцию, зависящую от приближенных чисел, сначала логарифмируют, а затем дифференцируют.

Замечание: При умножении приближенного числа на точный множитель k, относительная погрешность не изменяется, а абсолютная погрешность увеличивается в k раз:





.

1. Элементарная теория погрешностей
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации