Курсовая работа - Идентификация линейных динамических систем в классе линейных дифференциальных уравнений - файл n1.docx

Курсовая работа - Идентификация линейных динамических систем в классе линейных дифференциальных уравнений
скачать (292.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.docx293kb.01.06.2012 12:26скачать

n1.docx

Реферат


Пояснительная записка составлена на 45 листах, содержит 3 рисунка, 8 источников.

Ключевые слова: идентификация, системный подход, динамическая система, дифференциальное уравнение, алгоритм, объект.

Объект разработки – модель динамической системы.

Цель работы – поиск оптимального решения проблемы идентификации динамической системы с помощью ЭВМ.

Результаты: в результате была исследована предметная область и произведена практическая реализация полученных знаний.


Оглавление


Реферат 1

Список сокращений 2

1Введение. 3

2Идентификация систем 6

2.1Сущность идентификации 6

2.2Актуальность идентификации 8

2.3Алгоритм идентификации 10

2.4Планирование эксперимента 12

2.4.1Пассивный эксперимент идентификации объектов 12

2.4.2Активный эксперимент идентификации объектов 13

2.4.3Полный факторный эксперимент 14

3Класс линейных динамических систем 15

3.1Сущность динамической системы 15

3.2Актуальность рассматриваемого класса систем 16

4Идентификация линейных динамических систем 17

4.1Сравнение методов описания динамических систем 17

4.2Основные типы моделей систем 19

4.3Дифференциальные уравнения 20

4.3.1Класс линейных дифференциальных уравнений 20

4.3.2Матрица дифференциальных уравнений 21

4.3.3Пример 1. 22

4.3.4Пример 2. 23

4.4Динамическое звено 26

4.4.1Описание динамического звена 26

4.4.2Передаточная функция  30

4.4.3 Соединение элементарных звеньев 31

5Практическая реализация 32

5.1Общие принципы идентификации в программной среде 32

5.2Решение дифференциальных уравнений в программной среде 37

5.3Обоснование выбора программы для реализации 37

5.4Алгоритм идентификации 38

5.5Пример реализации 39

6Заключение 42

Список литературы 44

Приложение 45


Список сокращений


Сокращение

Расшифровка

ЭВМ

Электронно-вычислительная машина

ИМ

имитационная модель

ПФЭ

полный факторный эксперимент

МПЭ

матрица планирования экспериментов

САР

система автоматического регулирования

ДУ

дифференциальное уравнение

ДАУ

дифференциально- алгебраическое уравнение

ОДУ

обыкновенное дифференциальное уравнение


1Введение.


Одной из важных научных проблем естествознания является решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии. Эта задача сводится к нахождению некоторого закона, который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени t0 в точке пространства x0 определить его будущее в любой момент времени t > t0.\

Системный подход — направление методологии исследования, в основе которого лежит рассмотрение объекта как целостного множества элементов в совокупности отношений и связей между ними, то есть рассмотрение объекта как системы.

Системный подход используется во всех областях знания, хотя в различных областях он проявляется по-разному. Так, в технических науках речь идет о системотехнике, в кибернетике – о системах управления, в биологии – о биосистемах и их структурных уровнях, в социологии – о возможностях структурно-функционального подхода, в медицине – о системном лечении сложных болезней (коллагенозы, системные васкулиты и т.д.) терапевтами широкого профиля (врачами-системщиками).
В самой природе науки лежит стремление к единству и синтезу знаний. Выявление и изучение особенностей этого процесса – задача современных исследований в области теории научного знания.
Сущность системного подхода и проста, и сложна; и ультрасовременная, и древняя, как мир, ибо уходит корнями к истокам человеческой цивилизации. Потребность в использовании понятия «система» возникла для объектов различной физической природы с древних времен: еще Аристотель обратил внимание на то, что целое (т.е. система) несводимо к сумме частей, его образующих.


Потребность в таком понятии возникает в тех случаях, когда невозможно изобразить, представить (например, с помощью математического выражения), а необходимо подчеркнуть, что это будет большим, сложным, не полностью сразу понятным (с неопределенностью) и целым, единым. Например, «солнечная система», «система управления станком», «система кровообращения», «система образования», «информационная система».

Очень хорошо особенности этого термина, такие как: упорядоченность, целостность, наличие определенных закономерностей – проявляются для отображения математических выражений и правил – «система уравнений», «система счисления», «система мер» и т.п. Мы не говорим: «множество дифференциальных уравнений» или «совокупность дифференциальных уравнений» – а именно «система дифференциальных уравнений», чтобы подчеркнуть упорядоченность, целостность, наличие определенных закономерностей.

Системный подход нельзя воспринимать как одноразовую процедуру, как выполнение какой-то последовательности определенных действий, дающую предсказуемый результат. Системный подход – это обычно многоцикловый процесс познания, поиска причин и принятия решений для достижения определенной цели, для которой создается (выделяется) нами некоторая искусственная система.

Очевидно, что системный подход – процесс творческий и, как правило, на первом цикле он не заканчивается. После первого цикла мы убеждаемся, что данная система функционирует недостаточно эффективно. Что-то мешает. В поисках этого «чего-то» мы выходим на новый цикл спирального витка поиска, вновь анализируем прототипы (аналоги), рассматриваем системно функционирование каждого элемента (подсистемы), действенность связей, правомочность ограничений и т.д.

При исследовании любого объекта или явления необходим системный подход, который возможно представить в виде следующего алгоритма:

2Идентификация систем

2.1Сущность идентификации


Современная теория автоматического регулирования является основной частью теории управления. Система автоматического регулирования состоит из регулируемого объекта и элементов управления, которые воздействуют на объект при изменении одной или нескольких регулируемых переменных. Под влиянием входных сигналов (управления или возмущения), изменяются регулируемые переменные. Цель же регулирования заключается в формировании таких законов, при которых выходные регулируемые переменные мало отличались бы от требуемых значений. Решение данной задачи во многих случаях осложняется наличием случайных возмущений (помех). При этом необходимо выбирать такой закон регулирования, при котором сигналы управления проходили бы через систему с малыми искажениями, а сигналы шума практически не пропускались.

Основные задачи теории систем управления:

1) Задача анализа: при заданном операторе системы и известном входном воздействии установить закон изменения во времени выходного сигнала.

2) Задача синтеза: для заданного (желаемого) выходного сигнала найти входной сигнал и неизвестный оператор системы (неопределенные параметры оператора).

3) Задача идентификации: по заданному входному воздействию и заданному (измеренному) выходному сигналу найти неизвестный оператор системы.

В широком смысле слова предметом теории идентификации является определение математических моделей реальных систем (в том числе – систем управления) по результатам экспериментальных исследований. При решении задач идентификации систем в широком смысле слова априорная (до опыта) информация о системе либо вообще отсутствует, либо крайне мала. Исследователь имеет дело в полном смысле слова с задачей «черного ящика». В этом случае для идентификации системы требуется решение таких задач, как определение класса модели, оценка стационарности, линейности, детерминированности и т.д. В этом случае задача идентификации, по сути, превращается в проблему общей теории систем. При решении задач идентификации в узком смысле предполагается, что известны структура и класс моделей, описывающих реальную систему. Тогда, например, в совсем узком смысле слова, задача идентификации может быть сведена к определению коэффициентов модели.

Из известных форм математического описания систем с помощью дифференциальных уравнений, переходных функций, интегральных и спектральных преобразований будем рассматривать первый метод, описание с помощью дифференциальных уравнений.

Итак: идентификация систем — математический аппарат для построения математических моделей динамической системы по измеренным данным. Математическая модель в данном контексте означает математическое описание динамики поведения какой-либо системы или процесса в частотной или временной области, к примеру, физических процессов (движение механической системы под действием силы тяжести), экономического процесса (реакция биржевых котировок на внешние возмущения) и т.п. В настоящее время эта область теории управления хорошо изучена и находит широкое применение на практике.

В процессе абстрактного мышления исследователем создаются обобщенные аналогии исследуемого объекта. При этом в аналогии отбрасываются несущественные стороны объекта, не влияющие на результаты исследования. С повышением уровня абстрагирования отбрасывается большее число несущественных сторон объекта. В целом сходство аналогии с объектом уменьшается, но упрощается сама аналогия. Аналогии, отражающие исследуемый объект, должны реализовать в виде удобных для исследования логических схем, которые называются моделями. Итак, модель – это объект, замещающий более сложный объект – оригинал для упрощения его исследования. Соответственно, моделирование есть представление объекта моделью с целью получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов.

Модель всегда приближена, упрощена по отношению к объекту. Если результаты моделирования подтверждаются по поведению объекта и могут служить основой для прогнозирования протекающих в нем процессов, то это служит признаком удачной модели, адекватности ее к объекту. Адекватная модель в силу возможностей ее всестороннего исследования позволяет получить новые сведения об объекте.

2.2Актуальность идентификации


Настоящее время характеризуется резким возрастанием роли моделирования во всех сферах и отраслях науки и техники. Это обусловлено созданием все более сложных технических систем, требующих комплексного исследования. Особую актуальность моделирование приобретает в области проектирования компьютерных сетей. При проектировании этих систем возникают многочисленные задачи, требующие оценки количественных и качественных закономерностей процессов функционирования этих систем, проведения анализа их работы. Эти системы относятся к сложным системам, характеризующимся сложностью структуры, случайностью (стохастичностью) связей между отдельными их элементами, неоднозначностью поведения при различных внутренних состояниях и внешних воздействиях, большом количестве случайных факторов, переменчивым характером исходной информации. Недоработки, ошибочные решения, принимаемые на этапе разработки этих систем, приводят к большим экономическим затратам после их изготовления и внедрения на производстве.

С учетом сложности такой системы, основным средством ее исследования на раннем этапе разработки является моделирование. По сути дела моделирование является единственной возможностью создания эффективной системы организации оптимальных режимов ее эксплуатации.

В настоящее время по мере развитии ЭВМ, теория идентификации, как отрасль науки, имеющая заметную практическую ценность, широко используется в разных областях и достигла весьма высокого уровня развитии. При решении задач управления важную роль играют методы построения адекватных математических моделей реальных динамических систем, подверженных неконтролируемым случайным воздействиям, -методы идентификации. Поскольку подобные модели являются приближенными, при их синтезе должны быть сформулированы требования (критерии оптимальности), которым они должны удовлетворять. Этими критериями могут быть традиционно применяемые в теории планирования эксперимента критерии оптимальности, либо специальные критерии, учитывающие конечную цель использования синтезируемых моделей в конкретных прикладных задачах, решаемых на их основе. Наиболее универсальными традиционными критериями являются критерии Б- и С-оптимальности.

Важнейшее значение при синтезе моделей реальных динамических систем имеют экономические и временные затраты, поскольку реализация активных экспериментально-статистических методов идентификации сопряжена с нарушением технологических режимов исследуемых систем. Поэтому реализация методов построения оптимальных математических моделей должна быть таковой, чтобы те или иные затраты, которые характеризуют эффективность процедуры идентификации и вид которых определяется спецификой исследуемой системы, были оптимальными.

В аэрокосмических, металлообрабатывающих и других отраслях промышленности широко используются многозвенные устройства, которые в процессе эксплуатации подвергаются воздействиям ударных и прочих кратковременных возмущений. Реакции на подобные возмущения, наблюдаемые в известных точках данных устройств, носят характер непериодических колебаний сложной формы. Задача идентификации многозвенных устройств в данном случае сводится к определению моделей их динамических свойств по реализациям вход-выход, заданным на коротких временных интервалах, соизмеримых с длительностью переходных процессов в устойчивых объектах, но не критичных к свойствам их устойчивости и многомерности.

2.3Алгоритм идентификации


Идентификация систем проводится в два этапа:

Пригодность имитационной модели для решения задач исследования характеризуется тем, в какой степени она обладает так называемыми целевыми свойствами. Основными из них являются:

• адекватность;

• устойчивость;

• чувствительность.

Если в результате проведенной оценки качества модели оказалось, что ее целевые свойства не удовлетворяют разработчика, необходимо выполнить ее калибровку, т. е. коррекцию с целью приведения в соответствие предъявляемым требованиям.

Шаг 1. Сравнение выходных распределений.

Цель — оценка адекватности ИМ. Критерии сравнения могут быть различны. В частности, может использоваться величина разности между средними значениями откликов модели и системы. Устранение различий на этом шаге основано на внесении глобальных изменений.

Шаг 2. Балансировка модели.

Основная задача — оценка устойчивости и чувствительности модели. По его результатам, как правило, производятся локальные изменения (но возможны и глобальные).

Шаг 3. Оптимизация модели.

Цель этого этапа — обеспечение требуемой точности результатов. Здесь возможны три основных направления работ: дополнительная проверка качества датчиков случайных чисел; снижение влияния переходного режима; применение специальных методов понижения дисперсии.

2.4Планирование эксперимента

2.4.1Пассивный эксперимент идентификации объектов



Производится сбор и анализ информации о состоянии технологических параметров объекта без специального изменения входных параметров процесса.

Достоинства данного метода – практически полностью отсутствуют затраты на эксперимент.

Недостатки:

В нормальных условиях эксплуатации колебания технологического режима невелики и поэтому экспериментальные точки близки друг к другу. В этих условиях на точность описания могут сильно повлиять случайные ошибки.

Необходимо иметь достаточно большое количество экспериментальных данных.

Данный метод применяется в том случае, если из множества всех наблюдаемых сигналов можно выделить подмножество независимых составляющих. Такая возможность существует, например, при выполнении каскада различных фигур высшего пилотажа высокоманевренным самолетом. Вместе с тем пассажирские самолеты, дальние бомбардировщики и военно-транспортные самолеты являются маломаневренными самолетами. Все полетные задание таких самолетов, как правило, сводится к взлету, набору высоты, координированным разворотам, планированию и посадке. Из синхронных записей управляющих воздействий не всегда удается выделить необходимые для идентификации независимые составляющие управляющих воздействий.

2.4.2Активный эксперимент идентификации объектов


Состоит в целенаправленном изменении входных параметров технологического процесса. В основе этого метода лежит планирование эксперимента.

Практически все процессы химической технологии являются сложными и на показатели процесса оказывают влияние большое число факторов. Возможны два подхода к исследованию таких многофакторных систем. Первый основан на том, что исследование объекта разбивается на серии, в каждой из которых исследуется изменение только одного параметра при фиксированных остальных. Второй подход основан на построении плана эксперимента, который предусматривает изменение всех влияющих факторов. Такой план должен обеспечить максимум точности и минимум корреляции. Такой эксперимент называют многофакторным.

Достоинством первого подхода является его наглядность и простота интерпретации получаемых результатов. Второй подход значительно эффективнее – при том же объеме экспериментальных исследований и той же точности опытов получается существенно большая точность результатов.

Активный эксперимент позволяет за счет целенаправленного изменения входных параметров получать необходимый объем информации при существенно меньшем числе опытов, чем при пассивном эксперименте.

2.4.3Полный факторный эксперимент


Перед планированием эксперимента необходимо определить область эксперимента, учитывая при этом следующие соображения:

1. Прежде всего, надо оценить границы областей определения фактора. При этом должны учитываться ограничения нескольких типов:

Первый тип: принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор – температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль.

Второй тип: ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями (стоимость сырья, время процесса и т.д.).

Третий тип: ограничения, с которыми чаще всего приходится иметь дело, определяются конкретными условиями проведения процесса (технологией, существующей аппаратурой и т.д.).

2. Оптимизация обычно начинается в условиях, когда объект уже подвергался некоторым исследованиям. И информацию, содержащуюся в результатах предыдущих исследований, будем называть априорной (примерные графики, таблицы).

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уравнений факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ.).

Условия эксперимента записываются в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Данная таблица называется матрицей планирования эксперимента (МПЭ).

3Класс линейных динамических систем



3.1Сущность динамической системы


Одной из важных научных проблем естествознания является решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии. Эта задача сводится к нахождению некоторого закона, который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени t0 в точке пространства x0 определить его будущее в любой момент времени t > t0. В зависимости от степени сложности самого объекта этот закон может быть детерминированным или вероятностным , может описывать эволюцию объекта только во времени, только в пространстве, а может описывать пространственно-временную эволюцию.

Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции.

Рассмотрим одномерный объект (это может быть САР или ее элемент), имеющий одно входное воздействие х(t) и одну выходную переменную у(t). В общем случае связь между ними может быть записана в виде



где А — некоторый оператор (ставящий в соответствие одной функции другую функцию). Представим входное воздействие суммой произвольных составляющих



Объект называется линейным (оператор А называется линейным), если выполняются условия:

,

где с — константа.

Выполнение позволяет сформулировать принцип суперпозиции: если на объект (систему) действует одновременно несколько воздействий, то реакция линейного объекта (системы) равна сумме реакций, вызываемых каждым из воздействий в отдельности.

Системы, для которых условия этого типа не выполняются, называются нелинейными.

3.2Актуальность рассматриваемого класса систем


Динамические системы — это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.

Центральное место, которое занимают линейные динамические системы в теории управления, обусловлено тремя основными причинами. Во-первых, многие реальные системы управления хорошо описываются линейными моделями. Во-вторых, именно для линейных систем разработаны сравнительно простые математические методы анализа. Основой для исследования нелинейных систем управления служит математический аппарат теории линейных систем.

Итак, на практике линейные системы встречаются очень часто. В связи с линейностью этих систем к анализу их ошибок может быть с большой эффективностью применен аппарат теории случайных функций. Подобно тому, как числовые характеристики линейных функций обычных случайных величин могут быть получены по числовым характеристикам аргументов, характеристики случайной функции на выходе линейной динамической системы могут быть определены, если известны оператор системы и характеристики случайной функции на ее входе.

Еще чаще, чем линейные системы, на практике встречаются системы не строго линейные, но в известных пределах допускающие линеаризацию. Если случайные возмущения на входе системы достаточно малы, то практически любая система может рассматриваться - в пределах этих малых возмущений - как приближенно линейная, подобно тому, как при достаточно малых случайных изменениях аргументов практически любая функция может быть линеаризована.

Прием приближенной линеаризации дифференциальных уравнений широко применяется в теории ошибок динамических систем.

4Идентификация линейных динамических систем

4.1Сравнение методов описания динамических систем




Не все из указанных способов являются наглядными, имеют простой физический смысл или удобны при решении тех или иных практических задач. Например, широко применяемое описание САР с помощью системы дифференциальных уравнений в нормальной форме весьма неудобно для представления и анализа связи между данными воздействиями и выходной переменной; в то же время такое описание весьма удобно при моделировании системы на вычислительной машине. Наоборот, описание САР посредством временных характеристик обладает наглядностью, имеет простой физический смысл, но неудобно для практических расчетов и моделирования. Таким образом, описание по первому и второму пункту имеет простой физический смысл, но неудобно для инженерных расчетов, поскольку приводит к необходимости решать дифференциальные или интегральные уравнения.

4.2Основные типы моделей систем


При изучении систем используют модели <черного>, <белого> и <серого> ящика. Систему представляют как <черный ящик>, если неизвестно внутреннее строение самой системы; ее поведение и функционирование изучается по входному и выходному сигналам. При изучении системы как <белого ящика>, наоборот, известны все элементы и их взаимосвязи. Систему рассматривают как <серый ящик>, когда что-то из внутреннего строения объекта известно, а что-то остается неизвестным, например модель состава системы с неизвестной структурой или, наоборот, модель структуры с неизвестным составом.

В рамках модели <черного ящика> внутреннее устройство системы изображают в виде непрозрачного ящика, выделенного из окружающей среды. Эта модель отражает два важных свойства системы - целостность и обособленность от среды. Система не является полностью изолированной от среды, она связана со средой и с помощью этих связей взаимодействует с ней (входы и выходы системы). В модели <черного ящика> отсутствуют сведения о внутреннем содержании системы, а задаются, фиксируются и перечисляются только входные и выходные связи системы со средой. В одних случаях достаточно содержательного словесного описания входов и выходов; тогда модель <черного ящика> является просто их списком. В других случаях требуется количественное описание некоторых или всех входов и выходов с заданием двух множеств входных и выходных переменных.

Для того чтобы составить представление о свойствах изучаемого объекта, часто бывает необходимо выявить определенные связи (отношения) между элементами. Совокупность связей элементов друг с другом, обеспечивающих целостность системы, называют ее структурой. Модель структуры в простейшем виде представляет собой список существенных для решения конкретной задачи отношений. Так, при расчете механизма не учитываются силы взаимного притяжения его деталей, хотя, согласно закону всемирного тяготения, такие силы объективно существуют; в то же время вес деталей (т.е. сила их притяжения к Земле) учитывается обязательно.

4.3Дифференциальные уравнения

4.3.1Класс линейных дифференциальных уравнений


Так называют обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
   http://school-collection.edu.ru/dlrstore-wrapper/8b94b34d-3578-43be-9a79-240f2a668531/image002.gif
где  yy'; …, y(n) – соответственно неизвестная искомая функция переменной х и ее производные от первого до n-го порядка, а коэффициенты р0(х), р1(х), …, рn(x) и правая часть уравнения f(x) – заданные функции, причем предполагается, что р0(х) ? 0.


Если f(x) ? 0 (т.е. правая часть тождественно, при всех значениях х, равна нулю), уравнение называется линейным однородным, в противном случае –неоднородным.

Имеет место следующая важная теорема: общее решение неоднородного линейного уравнения можно получить как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения.

http://school-collection.edu.ru/dlrstore-wrapper/8b94b34d-3578-43be-9a79-240f2a668531/image004.gif

Оно имеет n линейно независимых решений y1(x), y2(x), …, yn(x). Тогда общее решение однородного уравнения записывается так:
у0 = С1y1(x) + С2y2(x) + … + Сnyn(x), где С1С2, …, Сn  произвольные постоянные.


Если уч(х) – любое частное решение неоднородного уравнения (*), то общее решение этого уравнения записывается так:
у = у0уч.

4.3.2Матрица дифференциальных уравнений


Линейные динамические системы подчиняются линейной системе дифференциальных уравнений.



где G(t) – известная матрица динамической системы размера пхп, F(t) -прямоугольная входная матрица для сигнала управления размера п х l.

Векторно-матричное уравнение может быть расписано следующим образом



где - элементы матриц G и F . Если эти коэффициенты – постоянные величины, то система называется стационарной (инвариантной) , в противном случае – нестационарной.

Введём обозначение для оператора дифференцирования тогда дифференциальное уравнение можно переписать так



Умножим формально обе части равенства на



Полученное «решение» системы дифференциальных уравнений не что иное, как операторная запись этой системы. Матрицу можно назвать оператором линейной системы по отношению к входному векторному сигналу . Выходной переменной динамической системы следует считать вектор наблюдений , где H(t) – известная прямоугольная матрица размера (т х п ), которую можно считать выходной матрицей.

Определим связь между входным сигналом (управлением и) и выходным сигналом (наблюдением z ):



Для стационарной системы входная и выходная матрицы имеют постоянные элементы. Игнорируя пока шумы наблюдений (r(t)=0), для стационарной системы буем иметь

.

Матричный оператор вида

,

устанавливающий связь между входным и выходным сигналами, называют передаточной функцией. Проиллюстрируем сказанное несколькими примерами.

4.3.3Пример 1.


Переменные x(t) и и(t) связаны между собой дифференциальным уравнением третьего порядка



Определить передаточную функцию.

Решение. Заменим операцию дифференцирования оператором D и «решим» полученное равенство относительно х



Следовательно, искомая передаточная функция имеет вид

.

4.3.4Пример 2.


Дифференциальное уравнение, связывающее входную и выходную переменные, указано в Примере 1. Представить уравнение третьего порядка системой уравнений первого порядка. Определить матричную передаточную функцию. Рассмотрим два варианта.

Вариант 1

Введём обозначения



Дифференциальное уравнение принимает вид



Таким образом, имеем систему, состоящую из трёх уравнений первого порядка



В матричном виде эта система имеет вид: то сеть Следовательно, оператором системы будет:

После обращения матрицы, получим:

.

Умножим полученное выражение справа на входную матрицу, получим матричную передаточную функцию

.

Вариант 2.

Запишем наше уравнение в виде:



Введём обозначения для компонент вектора состояния:



Далее имеем очевидные преобразования:

.

Теперь можно записать систему дифференциальных уравнений:



или в матричном виде:

Передаточная функция этой системы будет иметь вид:

или



Видим, что полученная передаточная функция отличается от той, которую мы получили в первом варианте, так как мы изменили обозначения для вектора состояния. Однако, обозначение для мы сохранили, осталась неизменной и передаточная функция для этой компоненты.

4.4Динамическое звено

4.4.1Описание динамического звена


Динамическое звено – математическая модель простейшего узла, функционирование которого описывается дифференциальными уравнениями.

Говоря простыми словами, динамическое звено – это некоторое устройство, которое принимает сигнал на вход и получает отклик на сигнал на выходе.

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image001.gif

Рисунок . Динамическое звено

Функционирование многих реальных динамических звеньев описывается линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами

Если динамика всех звеньев системы описывается обыкновенными линейными дифференциальными (и линейными алгебраическими) уравнениями с постоянными коэффициентами, то систему называют обыкновенной линейной системой.

Если в уравнении динамики какого-либо звена линейной системы имеется хотя бы один или несколько переменных во времени коэффициентов, то получается линейная система с переменными параметрами. Если какое-либо звено описывается линейным уравнением в частных производных (например, имеют место волновые процессы в трубопроводе или в электрической линии), то система будет линейной системой с распределенными параметрами, В отличие от этого обыкновенная линейная система является системой с сосредоточенными параметрами. Если динамика какого-либо звена системы описывается линейным уравнением с запаздывающим аргументом (т. е. звено обладает чисто временным запаздыванием или временной задержкой т передачи сигнала (рис. 1.9)), то система называется линейной системой с запаздыванием. Динамика линейных импульсных систем описывается линейными разностными уравнениями.

Нелинейной системой называется такая система, в которой хотя бы в одном звене нарушается линейность статической характеристики или же имеет место любое другое нарушение линейности уравнений динамики звена (произведение переменных или их производных, корень, квадрат или более высокая степень переменной, любая другая нелинейная связь переменных и их производных).

Уравнение линейного динамического звена имеет следующий общий вид:

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image004.gif

где http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image005.gif - постоянные коэффициенты, http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image006.gif.

Использовать такое описание динамического звена в задачах анализа и синтеза систем и объектов управления не рационально, поэтому существуют и иные формы описания и представления динамических звеньев и систем в целом. 

Для составления дифференциального уравнения (ДУ), связывающего входные и выходные величины в системе, составляют дифференциальные (или алгебраические) уравнения, для всех звеньев, входящих в систему, на основе физики происходящих в них процессов. Число таких дифференциальных уравнений равно числу звеньев системы. Затем, оставляя входную и выходную величины в качестве основных, избавляются от промежуточных величин, производя последовательную подстановку одного уравнения во второе. Для упрощения процесса подстановки уравнения записывают в сокращенной форме.

В общем виде ДУ можно записать следующим образом:

, при (1)

x2(t), x1(t) – выходные и входные величины соответственно; a,b – коэффициенты.

ДУ может быть записано в сокращенной форме.

Введем обозначение .

Теперь мы можем формально вынести за знак суммы значения x2(t) и x1(t).



или

(2)

дифференциальные полиномы.

,

или же можно записать в сокращенной форме:

,

где ─ операторный коэффициент передачи.

Приведенную форму записи определяют как алгебраическую (символическую).

Общее решение ДУ определяет изменение во времени управляемой величины при заданном входном воздействии, и позволяет, таким образом, полностью описать процессы в следящей системе. Общее решение ДУ является суммой общего решения однородного ДУ, получаемого из уравнения приравниванием нулю его правой части, и частного решения неоднородного ДУ.

Однородное ДУ определяет характер собственных колебаний в системе. Его решение позволяет исследовать систему на устойчивость.

Неоднородное ДУ определяет реакцию системы на внешние воздействия. Его решение позволяет оценить точность воспроизведения задающего воздействия.

4.4.2Передаточная функция 


Подвергнем уравнение преобразованию Лапласа, считая начальные условия нулевыми и заменяя оригиналы сигналов их изображениями по Лапласу

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image007.gif.

Используя теоремы преобразования Лапласа линейности и дифференцирования, получим операторное уравнение, связывающие изображения входного и выходного сигналов

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image002.gif




Преобразуем уравнение к следующему виду

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image009.gif




Получим из отношение изображений выходного и входного сигналов

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image010.gif




Отношение не зависит от изображений сигналов, определяется только параметрами самого динамического звена (http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image011.gif), имеет вид дробно-рациональной функции.

Отношение изображений выходного и входного сигналов называют передаточной функцией динамического звена

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image012.gif.

Уравнение вида:

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image013.gif,

называют характеристическим уравнением динамического звена, так как знаменатель передаточной функции – это характеристический полином дифференциального уравнения, описывающего динамическое звено.

4.4.3 Соединение элементарных звеньев


Составление дифференциальных уравнений даже простых динамических систем — сложная задача. Подобно тому как любая конструкция состоит из нескольких более простых элементов, так и всякая САР может быть представлена состоящей из ряда простейших связанных друг с другом элементов — звеньев системы автоматического регулирования. Надо заметить, что при изображении САР применяют два типа схем — функциональные и структурные. Обычно после составления функциональной схемы переходят с целью анализа САР к ее структурной схеме, которая позволяет выявить основные свойства САР, провести анализ устойчивости и качества процессов регулирования, а при необходимости — и провести коррекцию системы.

Функциональной схемой называется такая, на которой показана связь между функциональными элементами. Частным, но наиболее важным для дальнейшего изучения автоматических систем видом функциональной схемы является структурная схема, отражающая только математические преобразования сигналов. Такая схема включает в себя:

1) линейные звенья, выполняющие линейные интегродифференциальные операции над сигналами, и нелинейные преобразователи, выполняющие нелинейные алгебраические операции;

2) сумматоры, в которых происходит сложение или вычитание сигналов;

3) точки разветвления сигналов (узлы);

4) связи, показывающие направления передачи сигналов.

Линейные САР могут быть представлены только с помощью линейных типовых звеньев, сумматоров, узлов и связей. Типовым звеном может быть любой линейный или линеаризованный объект наблюдения, удовлетворяющий трем условиям:

1) он имеет одно входное и одно выходное воздействие,

2) выходное воздействие зависит от входного но обратного действия нет,

3) он описывается линейным обыкновенным дифференциальным уравнением не выше второго порядка.

5Практическая реализация

5.1Общие принципы идентификации в программной среде


Моделирование технических объектов и систем проводится для того, чтобы определить свойства и характеристики проектируемых систем еще до их изготовления и при необходимости скорректировать, уточнить их структуру и параметры. Это позволяет получить проект работоспособной системы, которую не придется существенно дорабатывать тогда, когда она будет изготовлена. Таким образом, моделирование сокращает и удешевляет процесс проектирования и реализации систем и объектов.

Программа VisSim предназначена для построения, исследования и оптимизации виртуальных моделей физических и технических объектов, в том числе и систем управления. VisSim это аббревиатура выражения Visual Simulator – визуальная, воспринимаемая зрением, среда и средство моделирования. Эта программа – мощное, удобное в использовании, компактное и эффективное средство моделирования физических и технических объектов, систем и их элементов.

При описании и последующем построении модели в среде VisSim нет необходимости записывать и решать дифференциальные уравнения, программа это сделает сама по предложенной ей исследователем структуре системы и параметрам ее элементов. Результаты решения выводятся в наглядной графической форме. Поэтому программой могут пользоваться и те, кто не имеет глубоких познаний в математике и программировании.

При использовании VisSim 'а не требуется владеть программированием на языках высокого уровня или ассемблере. В то же время, специалисты, владеющие программированием, могут создавать собственные блоки, дополняя ими богатую библиотеку стандартных блоков VisSim'а.

Интерфейс программы это совокупность средств, позволяющих человеку общаться с ней:

Исходными данными для построения модели в VisSim’е являются структурно-функциональная схема моделируемой системы, процесса или объекта и описывающие их дифференциально-алгебраические уравнения. Вместо таких уравнений могут быть заданы операторы или функции, характеризующие отдельные элементы моделируемой системы, например, передаточнные функции для линейных элементов и статические характеристики для нелинейных элементов.

Реальные системы и объекты состоят из отдельных, связанных и взаимодействующих друг с другом элементов. И для всей системы в целом, и для отдельных ее, должным образом выбранных элементов, можно указать место приложения воздействия, которое можно назвать входом, и место их реакции (отклика) на входное воздействие, называемое выходом. И воздействие, и реакция это некоторые физические величины, являющиеся функциями времени.

Модели систем и объектов в программе VisSim строятся из отдельных элементов – т.н. блоков. Блок это виртуальный аналог физического элемента реальной системы. «Виртуальный» в данном контексте значит воображаемый, физически не существующий, реализуемый программно, но с точки зрения человека, работающего с моделирующей программой, блок воспринимается зрением, он видим на рабочем пространстве VisSim. Термин «аналог» предполагает, что блок функционирует, он подчиняется тем же самым уравнениям, что и реальный, моделируемый элемент системы.

Виртуальные блоки VisSim’а могут иметь или вход, на который может быть подан выходной сигнал другого блока, или выход, виртуальный сигнал с которого может быть подан на вход другого блока. Наконец, блоки могут иметь и вход, и выход одновременно. Взаимодействие между блоками отображается т.н. линиями связи, указывающими направление передачи воздействий (сигналов) от одного блока к другому.

Взаимодействие между блоками моделируется сигналами – функциями времени, передаваемыми между блоками по линиям связи. Сигналы в модели могут быть измерены с помощью виртуальных измерительных устройств или рассмотрены и изучены с помощью виртуального осциллографа.

Внешне виртуальные блоки VisSim с некоторой степенью условности воспринимаются исследователем так же, как реальные устройства. Например, генераторы вырабатывают сигналы, блоки-преобразователи реагируют на входные сигналы в определенном смысле точно так же, как реальные устройства на реальные воздействия, индикаторы показывают величины сигналов.

Т.о. принцип построения модели в VisSim’е состоит в вынесении на рабочее пространство моделей реальных элементов (блоков) и соединении их в соответствии с заранее составленной структурно-алгоритмической схемой моделируемой системы. Такое построение модели из виртуальных блоков очень похоже, с известной степенью условности, на построение реальной системы из настоящих блоков (генераторов, осциллографов, и других устройств) в производственных условиях или на лабораторном стенде.

Блоки VisSim’а можно условно разделить на три основных категории и одну дополнительную:

Построенную модель следует запустить в работу, щелкнув по кнопке с зеленым треугольником "Пуск". В результате работы модели выходные сигналы блоков начнут изменяться, их величины просматривают на виртуальном осциллографе и других индикаторах. Параметры некоторых сигналов и блоков исследователь может изменять в процессе работы модели, другие параметры можно изменить, остановив процесс работы модели. Продолжительность работы модели можно задавать до ее запуска, можно и прерывать работу модели по желанию исследователя.

После того, как модель построена, когда на рабочее пространство вынесены и соединены в нужном порядке блоки, составляющие систему, генераторы сигналов и индикаторы, а также введены параметры элементов модели, может быть запущен процесс ее функционирования. Для этого следует щелкнуть по кнопке с зеленым треугольником  "Пуск".

Получив эту команду, программа начинает анализировать то, как соединены блоки, на основе этого анализа составляет дифференциально-алгебраические уравнения, описывающие модель и решает их. Полученные результаты, как функции модельного времени, периодически и очень часто, придаются значениям входных и выходных сигналов блоков

Дифференциально-алгебраические уравнения математически описывают т.н. динамические объекты, объекты очень широкого класса, обладающие инерционностью и рядом других свойств. И поскольку программа VisSim способна решать такие уравнения, то в ней можно моделировать системы и объекты очень широкого диапазона сложности.

Решение уравнений проводится по шагам – дается малое приращение времени, вычисляются, с учетом начальных условий, значения сигналов на выходах и входах всех блоков, затем вновь дается малое приращение времени, проводятся вычисления и т.д. Малая величина шага интегрирования позволяет исследователю воспринимать сигналы как непрерывные. Выходные сигналы любого блока при желании можно наблюдать на экране виртуального осциллографа или измерять виртуальным цифровым индикатором. В результате решения можно получить зависимости выходных сигналов от времени. Таким образом, работа по моделированию систем в программе VisSim для исследователя похожа на работу на реальном стенде.

Кроме того, программа позволяет более глубоко проанализировать полученные результаты и оптимизировать модель. Например VisSim предоставляет возможность быстрого построения частотных характеристик фрагментов модели и всей системы.

5.2Решение дифференциальных уравнений в программной среде


При использовании ПК «МВТУ», а также аналогичных программных комплексов (Simulink, VisSim и др.) наиболее просто реализуются модели, элементы которых описываются соотношениями «вход-выход» либо «вход-состояние-выход», что соответствует явным алгебраическим зависимостям и дифференциальным уравнениям в форме Коши. Однако часто модели технических устройств описываются системами дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), приведение которых к форме Коши затруднено или невозможно. Поэтому в состав библиотеки ПК «МВТУ» включен блок F(Y)=0 (решение алгебраических уравнений). Блок векторизован (вход и выход могут быть векторами), а его выход рассчитывается исходя из условия равенства нулю входного сигнала.

Система ДАУ может быть представлена в полуявной форме:

x' = f(x, y, t), 0 = g(x, y, t)

либо в неявной форме:

F(x', x, y, t) = 0

Здесь для формирования функций f и g используется блок Язык программирования, а для формирования функции F – блок Новый. При реализации уравнения используется также блок Демультиплексор, который «расщепляет» вектор неизвестных размерности n + m на вектор x' размерности n и вектор y размерности m.

5.3Обоснование выбора программы для реализации


Моделирование систем управления это далеко не весь круг задач, которые можно решать в VisSim. Например, в этой программе при желании можно решать дифференциальные уравнения и VisSim делает это значительно эффективнее и быстрее, чем известная программа математической направленности MathCAD. При соизмеримой и более высокой производительности, чем у программы Simulink, входящей в солидный программный пакет MathLab, VisSim занимает в сотни раз меньше места на жестком диске и в оперативной памяти.

В настоящее время доступны следующие версии VisSim:

Академическая версия 3.0 - для некоторых Вузов поставляется фирмой Visual Solution Inc. бесплатно. Имеет некоторые ограничения и предназначена для использования в учебных, некоммерческих целях.

Студенческая версия – доступна бесплатно.

5.4Алгоритм идентификации


Под идентификацией динамических объектов понимают процедуру определения структуры и параметров их математических моделей, которые при одинаковых входном сигнале объекта и модели обеспечивают близость выхода модели к выходу объекта при наличии какого-то критерия качества.

   Обычно идентификация — многоэтапная процедура. Основные ее этапы следующие:

   • Структурная идентификация - заключается в определении структуры математической модели на основании теоретических соображений.

   • Параметрическая идентификация — включает в себя проведение идентифицирующего эксперимента и определение оценок параметров модели по экспериментальным данным.

   • Проверка адекватности — проверка качества модели в смысле выбранного критерия близости выходов модели и объекта.

5.5Пример реализации


Основные этапы создания моделей:

1. Установка библиотечных блоков на рабочее поле (меню Blocks)

2. Сборка модели (соединение блоков связывающими проводниками)

3. Установка параметров модели (в свойствах блоков)

4. Установка начальных условий модели (тоже в свойствах блоков)

5. Настройка параметров симуляции (меню Simulate > Simulation Properties)

6. Запуск симуляции (меню Simulate > Go)

7. Интерпретация результатов (осциллограмм).

 Рассмотрим для примера уравнение

gif-file, 20kb

Здесь x = x(t) задаваемое в текущем режиме или полностью известное на всем временном интервале входное воздействие на систему, а y = y(t) – искомая реакция системы на воздействие. Коэффициенты уравнения определяются моделируемой системой.

Для однозначного решения (2.1) должны быть заданы начальные условия: значения решения y(0) и его производной y’(0) по времени в начальный, например нулевой, момент времени. В физической системе эти значения определяются энергией, содержащейся в этот момент времени в элементах, способных ее накапливать, например, в электрических емкостях и индуктивностях, пружинах, подвижных массивных деталях и т.п. Кроме того, должно быть задано и входное воздействие x(t). Входным воздействием может быть произвольный сигнал, в том числе, например, пробный: ступенчатая единичная функция или синусоидальный сигнал x(t) = sin(?t + ?), или более сложные сигналы, изменение которых во времени заранее не известно. Известными считаются и коэффициенты в (2.1), которые определяются составом и свойствами системы и, в свою очередь, характеризуют ее модель.




Рисунок . Схема системы

Дифференциальное уравнение позволяет определять решение y(t) по мере поступления величины воздействия x(t), т.е. в режиме текущего, в частности реального, времени. В данном случае в нулевой момент на решатель дифференциального уравнения начинает подаваться синусоидальный сигнал (синяя линия), что приводит к переходному процессу с длительностью примерно 0.5 сек (красная линия). По окончании переходного процесса, решение y(t), также как и воздействие x(t), становится синусоидальным, со своими амплитудой и начальной фазой – наступает установившийся режим

gif-file, 20kb

Рисунок . Решение дифференциального уравнения

Решение y(t) дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях и известном заранее воздействии x(t) = sin(30t) ·1o(t) (синяя линия) складывается из принужденной yпр(t) (фиолетовая линия) и свободной yсв(t) (зеленая линия) компонент. Свободная компонента решения, определяющая переходный процесс, определяется начальными условиями, характеризующими систему, описываемую дифференциальным уравнением, и поданным в нулевой момент на систему сигналом. Она затухает, в данном случае за 0.5 сек. В переходном процессе система «подстраивается» под внешнее воздействие, переходя к установившемуся режиму


6Заключение


Дифференциальное уравнение – универсальный математический инструмент. Оно позволяет описывать линейную систему как в текущем времени, при неизвестном заранее сигнале, так апостериорно, при известном заранее сигнале, а также учитывать начальные условия. Для известного сигнала, наряду с полным решением, дифференциальное уравнение позволяет найти отдельно свободную и принужденную составляющие решения, определить переходной и установившийся режимы работы системы. Дифференциальное уравнение быстро и эффективно решается численно, моделирующие программы предоставляют многочисленные методы его решения. Наконец, дифференциальное уравнение может быть промоделировано на аналоговой или квазианалоговой (виртуальной) вычислительных машинах.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) описывает систему с одним входом и одним выходом. Оно может быть записано и в виде системы ОДУ. Многомерные системы, имеющие несколько входов и несколько выходов, также описываются системами ОДУ. Важным частным случаем систем ОДУ, опирающимся на мощный математический матричный аппарат линейной алгебры, является представление системы ОДУ в форме Коши, что позволяет описывать техническую или физическую линейную систему переменными состояния, в частности фазовыми переменными. Эта форма чаще всего используется в программах объектного ориентированного моделирования динамических систем (виртуальные квазианалоговые вычислительные машины Vissim, ПК «МВТУ», Simulink и др).

В теории автоматического управления в разделе «Идентификация» накоплен большой опыт построения математических моделей динамических свойств объектов управления.

На практике предпочтение для построения математических моделей отдаётся моделям в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ). Более точные методы описания динамических свойств идентифицируемого объекта, такие как функциональные ряды и нелинейные ДУ, требуют при идентификации неприемлемо большого объема аппаратно-временных затрат, так что полученная модель либо теряет свою адекватность, вследствие неизбежных изменений параметров объекта, либо может использоваться на временных интервалах, значительно меньших чем время, затрачиваемое на определение модели. Данный подход позволяет сокращать время, затрачиваемое на определение моделей каждого из каналов многомерного объекта и увеличивать время использования этих моделей каналов, если режим работы объекта не выходит за пределы окрестностей типовых значений, учтенных при идентификации. Как будет показано ниже, задача идентификации объектов ДУ до сих пор не получила исчерпывающего решения. Современные высокоразвитые вычислительные системы, такие как MATLAB, не имеют в своих арсеналах эффективных алгоритмов идентификации объектов по реализациям вход-выход в виде ДУ, ограничиваясь лишь разностными аналогами. Однако известно, что разностное уравнение не позволяет однозначно восстановить обыкновенное ДУ. В связи с этим возникает необходимость разработки алгоритмов и реализующих их программных средств идентификации объектов моделями, описываемыми ДУ высокого порядка по коротким реализациям вход-выход.

В инженерной же практике используются различные способы задания динамических систем – с помощью структурных схем, передаточных функций, дифференциальных уравнений, а также с помощью частотных и временных характеристик.

Список литературы




  1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования, издание третье, исправленное. Москва, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 2007.

  2. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 288 с. - ISBN 5-9221-0379-2.

  3. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 64 с. - ISBN 5-9221-0534-5.

  4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Для втузов. Том 1.- М.: Наука, 2001. - 456 с.

  5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Для втузов. Том 2.- М.: Наука, 2001. - 576 с.

  6. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979.

  7. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учебник для вузов. –3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 2001.–343 с.


Приложение




Реферат
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации