Лабораторная работа - Исследование в MathCAD спектров периодических и непериодических импульсов - файл n2.doc

Лабораторная работа - Исследование в MathCAD спектров периодических и непериодических импульсов
скачать (218.7 kb.)
Доступные файлы (2):
n1.xmcd
n2.doc260kb.28.09.2009 18:05скачать

n2.doc



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


Радиотехнический факультет
Кафедра РТ и С


Отчет по лабораторной работе
"Исследование в MathCAD спектров периодических и непериодических импульсов различной формы"

Выполнил:

студент группы
Проверил:

2008

СОДЕРЖАНИЕ





2008 1

СОДЕРЖАНИЕ 2

1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ И ЗАДНИЕ 3

2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 4

2.1 Ряд Фурье и преобразование Фурье 4

2.2 Дискретное преобразование Фурье 5

2.3 Быстрое преобразование Фурье 5

2.4 ДПФ и БПФ в MathCAD 6

3 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 10

3.1 Прямоугольный импульс (от 0 до ) 11

3.2 Симметричный прямоугольный импульс (-/2 до /2) 12

3.3 Треугольный импульс 13

3.4 Гауссовский пульс 14

3.5 Импульс в виде полупериода синуса 15

4 ВЫВОДЫ 16



1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ И ЗАДНИЕ



Цель лабораторной работы: разобраться в преобразованиях Фурье и его видах (ПФ, ДПФ, БПФ), научиться понимать и строить спектральные графики, а также получить практику по математическому моделированию сигналов и их спектров в среде MathCAD, исследовать влияние формы импульса на спектр.


Задание на лабораторную работу: сравнить спектры периодических и непериодических сигналов в форме прямоугольного импульса длительностью ?, сдвинутого прямоугольного импульса – ?/2 до ?/2, треугольного импульса, гауссовского импульса, половины периода синуса.

2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ




2.1 Ряд Фурье и преобразование Фурье


Условие периодичности – x(t)=x(t+mT), где T – период, m – натуральное число, m=1,2,…

Любой периодический сигнал x(t) может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье

(2.1.1)

Где - угловая частота 1-й или основной гармоники; и - коэффициенты разложения, вычисляемые по формулам:

; ; ;

; , k=1,2,3…,

где - амплитуда k-й гармоники, - фаза k-й гармоники; - среднее значение сигнала (постоянная составляющая); - угловая частота k й гармоники; - момент времени, соответствующий началу периода.

Зависимости и от частоты - это спектры амплитуд и фаз соответственно.

В некоторых случаях более удобна комплексная форма ряда Фурье

. (2.1.2)

Коэффициенты ряда (1.2) вычисляются по формуле

. (2.1.3)

Формулы (2.1.2) и (2.1.3) – пара преобразований Фурье. Совокупность коэффициентов - комплексный спектр периодического сигнала x(t). Совокупность действительных величин в зависимости от частоты – спектр амплитуд. Совокупность величин в зависимости от частоты – спектр фаз.

Ряд (3.1.2) удобно представлять в форме

, (2.1.4)

где (2.1.5)

Спектральное представление сигналов можно обобщить на случай, когда функция x(t) – непериодическая, т.е. T??. В этом случая применяется интегральное преобразование Фурье

(обратное) (2.1.6)

где (прямое) (2.1.7)

Здесь и - обозначения прямого и обратного оператора Фурье.

Формулы (2.1.6) и (2.1.7) – пара интегральных преобразований Фурье. Функция называется спектральной функцией или комплексным спектром непериодического сигнала. Она определена при положительных и отрицательных частотах.

Спектральную функцию можно представить в виде

(2.1.8)

где - спектр амплитуд;

- спектр фаз.

2.2 Дискретное преобразование Фурье


Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его гомоморфизмы применяются в сжатии звука в MP3, сжатие изображений в jpg и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Также дискретные преобразования Фурье помогают решать частные дифференциальные уравнения и выполнять такие операции, как свёртки. Преобразования бывают одномерные, двумерные и даже трехмерные.

Последовательность N действительных чисел x0, ..., xN?1 преобразовывается в последовательность из N комплексных чисел X0, ..., XN?1 с помощью дискретного преобразования Фурье по формуле:



Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) задается формулой



Поскольку напрямую вычисления дискретного преобразования требует O(N2) операций, то на практике используют более быстрый алгоритм Быстрого преобразования Фурье, которое требует O(NlogN) операций.

2.3 Быстрое преобразование Фурье


Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) базируется на том, что при вычислениях среди множителей (синусов и косинусов) есть много периодически повторяющихся значений (в силу периодичности функций). Алгоритм БПФ группирует слагаемые с одинаковыми множителями в пирамидальный алгоритм, значительно сокращая число умножений за счет исключения повторных вычислений. В результате быстродействие БПФ в зависимости от N может в сотни раз превосходить быстродействие стандартного алгоритма. При этом следует подчеркнуть, что алгоритм БПФ даже точнее стандартного, т.к. сокращая число операций, он приводит к меньшим ошибкам округления.

Наиболее популярным из алгоритмов БПФ является т.н. метод Cooley-Tukey, позволяющий вычислить ДПФ для числа отсчетов N = 2 k за время порядка Nlog2 N (отсюда и название - быстрое преобразование Фурье, БПФ). Этот способ чем-то неуловимо напоминает быструю сортировку. В ходе работы алгоритма также проводится рекурсивное разбиение массива чисел на два подмассива и сведение вычисления ДПФ от целого массива к вычислению ДПФ от подмассивов в отдельности.

Широко распространено ошибочное мнение о том, что метод Cooley-Tukey - единственный существующий метод выполнения БПФ, а само БПФ существует только для случая N = 2 k. На самом деле это не так - существуют алгоритмы БПФ для любого числа отсчетов.

Причина распространения метода Cooley-Tukey в том, что алгоритм, построенный по методу Cooley-Tukey, обладает рядом очень хороших технологических свойств. Структура алгоритма и его базовые операции не зависят от числа отсчетов (меняется только число прогонов базовой операции "бабочка"). Алгоритм легко распараллеливается с использованием базовой операции и конвееризуется, а также легко каскадируется (коэфициенты БПФ для 2N отсчетов могут быть легко получены преобразованием коэфициентов двух БПФ по N отсчетов, полученных "прореживанием" через один исходных 2N отсчетов). Алгоритм прост и компактен, не требует дополнительной оперативной памяти и допускает обработку данных "на месте". Существует целый ряд оптимизированных именно для этого алгоритма DSP-процессоров (это одновременно и причина, и следствие).

2.4 ДПФ и БПФ в MathCAD


В Mathcad входят два типа функций для дискретного преобразования Фурье: fft/ifft и cfft/icfft . Эти функции дискретны: они берут в качестве аргументов и возвращают векторы и матрицы. Они не могут быть использованы с другими функциями.

Используйте функции fft и ifft, если выполнены следующие два условия:

Используйте функции cfft и icfft во всех других случаях.
Первое условие необходимо, потому что функции fft/ifft используют тот факт, что для вещественных данных вторая половина преобразования Фурье является комплексно сопряженной с первой. Mathcad отбрасывает вторую половину вектора-результата. Это сохраняет и время и память при вычислениях.

Пара функций cfft/icfft не использует симметрию в преобразовании. По этой причине необходимо использовать их для комплексных данных. Так как вещественные числа — подмножество комплексных чисел, можно также использовать пару cfft/icfft для вещественных чисел.

Второе условие требуется, потому что пара функций fft/ifft использует высоко эффективный алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для этого вектор аргумента, используемого с fft, должен иметь 2m элементов. В функциях сfft/icfft использован алгоритм, который допускает в качестве аргументов как матрицы, так и векторы произвольного размера. Когда эта пара функций используется с матрицей в качестве аргумента, вычисляется двумерное преобразование Фурье.

Обратите внимание, что, если использована функция fft для прямого преобразования, необходимо использовать функцию ifft для обратного. Аналогично, если для прямого преобразования использована cfft, то для обратного необходимо использовать icfft.

Различные формулировки определения преобразования Фурье используют различные нормировочные коэффициенты и соглашения о знаке перед мнимой единицей в показателе экспоненты прямого и обратного преобразований. Функции fft, ifft, cfft и icfft используют 1/ как нормировочный коэффициент и положительный показатель степени в прямом преобразовании. Функции FFT, IFFT, CFFT и ICFFT используют 1/N как нормировочный коэффициент и отрицательный показатель степени в прямом преобразовании. Необходимо использовать эти функции попарно. Например, если используется CFFT в прямом преобразовании, необходимо использовать ICFFT в обратном.

Преобразование Фурье в вещественной области. Для вещественнозначных векторов с 2m элементами можно применять пару функций fft/ifft. В алгоритме вычисления этих функций используются преимущества симметрии, существующей только для вещественных данных. Это позволяет сохранить и время, и память, необходимые для вычислений.

fft (v)

Возвращает дискретное преобразование Фурье 2m-мерного вещественнозначного вектора. Аргумент можно интерпретировать как результат измерений через равные промежутки времени некоторого сигнала.

Вектор v должен иметь 2m элементов. Результат — комплекснозначный вектор размерности 1+2m-1. Если v имеет размерность отличную от  2m, Mathcad выдает сообщение об ошибке “неверный размер вектора”.

Элементы вектора, возвращаемого fft, вычисляются по формуле



В этой формуле n — число элементов в v, i — мнимая единица.

Элементы в векторе, возвращенном функцией fft, соответствуют различным частотам. Чтобы восстанавливать фактическую частоту, необходимо знать частоту измерения исходного сигнала. Если v есть n-мерный вектор, переданный функции fft, и частота измерения исходного сигнала — fs, то частота, соответствующая , равна



Обратите внимание, что это делает невозможным обнаружить частоты выше частоты измерения исходного сигнала. Это — ограничение налагаемое не Mathcad, а самой сутью проблемы. Чтобы правильно восстанавливать сигнал по его преобразованию Фурье, необходимо произвести измерения исходного сигнала с частотой, по крайней мере вдвое большей, чем ширина полосы частот.

ifft (v)

Возвращает обратное дискретное преобразование Фурье; результат — вещественнозначный.

Вектор v должен иметь 1+ 2m элементов, где m — целое. Результат есть комплекснозначный вектор размерности 2m+1. Если v имеет размерность, отличную от 1+ 2m, Mathcad выдает сообщение об ошибке “неверный размер вектора”.

Аргумент v — вектор, подобный созданному функцией fft. Чтобы вычислить результат, Mathcad сначала создает новый вектор w, комплексно сопряженный v, и присоединяет его к вектору v. Затем Mathcad вычисляет вектор d, чьи элементы вычисляются по формуле:



Это та же самая формула, что и для fft, кроме знака минус в функции exp. Функции fft и ifft — точные обращения. Для всх вещественнозначных v справедливо ifft(fft(v))=v.

Преобразование Фурье в комплексной области. Имеются две причины, по которым не могут быть использованы пары преобразований fft/ifft, обсужденные в предыдущем разделе:

Данные могут быть комплекснозначны. Это означает, что Mathcad не может больше использовать симметрию, имеющую место в вещественном случае.

Вектор данных может иметь размерность, отличную от 2m. Это означает, что Mathcad не может пользоваться преимуществом высокоэффективного алгоритма БПФ, используемого парой fft/ifft.

Комплексное преобразование Фурье требует следующих функций:

cfft (A)

Возвращает дискретное преобразование Фурье комплекснозначных вектора или матрицы. Возвращаемый массив имеет тот же самый размер, что и массив, используемый как аргумент.

icfft (A)

Возвращается обращение дискретного преобразования Фурье вектора или матрицы данных. Функция icfft — обратная к функции cfft. Подобно cfft, эта функция возвращает массив того же самого размера, что и аргумент.





Пара преобразований cfft/icfft может работать с массивами любого размера. Однако они работают значительно быстрее, когда число строк и столбцов может быть представлено в виде произведения большого количества меньших сомножителей. Например, векторы с длиной  2m относятся к этому классу, так же как и векторы, имеющие длины, подобные 100 или 120. С другой стороны, вектор, чья длина — большое простое число, замедлит вычисление преобразования Фурье.

Функции cfft и icfft — обратные друг к другу. То есть icfft(cfft(v))=v. Рисунок 3 показывает примеры использования преобразования Фурье в Mathcad.

Когда в качестве аргумента cfft используется матрица, результат есть двумерное преобразование Фурье исходной матрицы.

Альтернативные формы преобразования Фурье. Определения преобразования Фурье, обсужденные выше, не являются единственно возможными. Например, следующие определения для дискретного преобразования Фурье и его обращения можно найти в книге Ronald Bracewells, The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1986):



Эти определения весьма распространены в технической литературе. Чтобы использовать эти определения вместо обсужденных в предыдущем разделе, используйте функции FFT, IFFT, CFFT и ICFFT. Они отличаются следующим:

Вместо коэффициента 1/  перед обеими формулами в прямом преобразовании стоит коэффициент 1/n, и коэффициент 1 в обратном преобразовании.

Знак минус появляется в показателе экспоненты прямого преобразования и исчезает в формуле обратного.

Функции FFT, IFFT, CFFT и ICFFT используются аналогично функциям, обсужденным в предыдущем разделе.

3 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ




Номер варианта

Длительность импульса

Период сигнала

Частота сигнала



Задание времени

Частота дискретизации



Период дискретизации







Дискретное время


















или A11j:=|c11j|



Спектр одиночного прямоугольного импульса








Спектр последовательности прямоугольных импульсов

3.1 Прямоугольный импульс (от 0 до )



















Спектр одиночного симметричного импульса








Спектр периодического симметричного импульса

3.2 Симметричный прямоугольный импульс (-/2 до /2)

3.3 Треугольный импульс





















Спектр одиночного треугольного импульса










Спектр периодического треугольного импульса

3.4 Гауссовский пульс



















Спектр одиночного гауссовского импульса










Спектр периодического гауссовского импульса


















Спектр одиночного импульса (половина периода синуса)










Спектор периодического импульса (половина периода синуса)

3.5 Импульс в виде полупериода синуса

4 ВЫВОДЫ



После выполнения лабораторной работы и получения спектров периодического и непериодического импульса прямоугольной формы (в том числе сдвинутого или симметричного прямоугольного импульса от – ?/2 до ?/2), треугольного импульса, гауссовского импульса и импульса в форме полупериода синуса длительностью ? можно сделать нижеприведенные выводы.

Относительно различий спектра одиночного импульса и спектра периодической последовательности той же формы можно констатировать факт непрерывности спектра одиночного импульса и дискретности (линейчатости) периодически повторяющихся импульсов, причем огибающая линий дискретного спектра повторяет форму непрерывного спектра.

Также вне зависимости от формы импульса можно отметить изменение спектра при изменении длительности импульса: при удлинении (растягивании) импульса сужается его спектр и, наоборот, при укорочении (сжатия) импульса спектр расширяется.

Если сравнивать между собой спектры прямоугольного импульса начинающегося от нуля и сдвинутого (симметричного) прямоугольного импульса, то графики АЧХ имеют одинаковый вид с нулевыми точками (между лепестками) в 1/?, 2/?, 3/? и т.д. А все сдвиги импульса по временной оси влияют на изменения фазового спектра.

Так как в данной работе все построенные импульсы имеют одинаковую длительность, то есть смысл сравнить их спектры между собой. Спектры прямоугольного и треугольного импульсов схожи в том, что имеют основной лепесток и убывающие боковые, но при одинаковой длительности импульса лепестки треугольного более широкие и вместе с этим быстрее убывающие, чем лепестки прямоугольного импульса. Скорость убывания уровня лепестков треугольного импульса , а прямоугольного . Большая скорость убывания уровня спектра объясняется отсутствием разрывов в функции, описывающей импульс.

Гауссовский импульс примечателен тем, что сам импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями. Спектр гауссовского импульса похож на спектр треугольного и при одинаковой длительности импульсов основной лепесток спектра треугольного импульса немного уже спектра гауссовского, но у гауссовского импульса нет боковых лепестков. База гауссовского импульса, посчитанная как произведение длительности импульса на некотором относительном уровне на полосу амплитудного спектра на том же уровне, оказываются заметно меньше базы импульсов другой формы, в частности прямоугольного и треугольного.

Импульс в форме одного полупериода синуса, как прямоугольный и треугольный импульсы, имеет наряду с основным лепестком убывающие боковые. Основной лепесток спектра данного импульса шире, чем у прямоугольного, но немного уже основного лепестка треугольного импульса. Скорость убывания уровня боковых лепестков быстрее, чем у прямоугольного импульса, и сопоставим со скоростью убывания треугольного.




Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации