Лекция по физике. Лекция Оптика - файл n1.doc

Лекция по физике. Лекция Оптика
скачать (943.4 kb.)
Доступные файлы (4):
n1.doc857kb.26.09.2007 00:56скачать
n2.doc724kb.21.10.2007 21:44скачать
n3.doc946kb.22.11.2010 18:56скачать
n4.doc476kb.22.11.2010 18:56скачать

n1.doc

Лекция 9

ОПТИКА

3.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

3.1.1.СВЕТОВАЯ ВОЛНА

Свет представляет собой сложное явления: в одних случаях он ведет себя как электромагнитная волна, в других – как поток особых частиц – фотонов. Волновая оптика рассматривает круг явлений, связанных с волновой природой света.

В электромагнитной волне колеблются два вектора и , причем физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света обусловлены колебаниями электрического вектора . Его будем называть световым вектором.

Модуль амплитуды светового вектора будем обозначать, как правило, буквой (иногда ). Соответственно изменение во времени и пространстве проекции светового вектора на направление, вдоль которого он колеблется, будет описываться уравнением

. (3.1.1)

Здесь - волновое число, - расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения световой волны. Для плоской волны, распространяющейся в непоглощающей среде, , для сферической волны убывает как , и т. д.

Отношение скорости световой волны в вакууме к фазовой скорости в некоторой среде называется абсолютным показателем преломления этой среды и обозначается буквой :

. (3.1.2)

Абсолютный показатель преломления среды . Для подавляющего большинства прозрачных веществ практически не отличается от единицы. Поэтому можно считать, что

. (3.1.3)

Формула (1.3.3) связывает оптические свойства вещества с его электрическими свойствами.

Значения показателя преломления характеризуют оптическую плотность среды. Среда с большим называется оптически более плотной, чем среда с меньшим .

Длины волн видимого света заключены в пределах

.

Эти значения относятся к световым волнам в вакууме. В веществе длины световых волн будут иными.

Длина световой волны в среде с показателем преломления связана с длиной волны в вакууме соотношением

.

Частоты видимых световых волн лежат в пределах

.

Частота изменений вектора плотности потока энергии, переносимой волной, будет ещё больше (она равна ). Модуль среднего по времени значения плотности потока энергии, переносимой световой волной, носит название интенсивности света в данной точке пространства. Плотность потока электромагнитной энергии определяется вектором Пойнтинга . Следовательно,

.

Модули амплитуд векторов и в электромагнитной волне связаны соотношением



(мы положили ). Отсюда следует, что

,

где - показатель преломления среды, в которой распространяется волна. Таким образом, пропорционально и :

.

Модуль среднего значения вектора Пойнтинга пропорционален . Поэтому можно написать, что



(коэффициент пропорциональности равен ). Следовательно, интенсивность света пропорциональна показателю преломления среды и квадрату амплитуды световой волны.

При рассмотрении распространения света в однородной среде можно считать, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды световой волны:

.

Однако в случае прохождения света через границу раздела сред выражение для интенсивности, не учитывающее множитель , приводит к несохранению светового потока.

Линии, вдоль которых распространяется световая энергия, на­зываются лучами. Усреднённый, вектор Пойнтинга направ­лен в каждой точке по касательной к лучу. В изотропных средах направление совпадает с нормалью к волновой поверхности, т. е. с направлением волнового вектора . Следовательно, лучи пер­пендикулярны к волновым поверхностям. В анизотропных средах нормаль к волновой поверхности в общем случае не совпадает с направлением вектора Пойнтинга, так что лучи не ортогональны волновым поверхностям.

Несмотря на то, что световые волны поперечны, они обычно не обнаруживают асимметрии относительно луча. Это обусловлено тем, что в естественном свете (т. е. свете, испускаемом обычными источниками) имеются колебания, совершающиеся в самых различных направлениях, перпендикулярных к лучу (рис.3.1.1). Излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых его атомами. Процесс излучения отдельного атома продолжается около с. За это время успевает образоваться последователь­ность горбов и впадин ( цуг волн) протяжен­ностью примерно 3 м. «Погаснув», атом че­рез некоторое время «вспыхивает» вновь. Одновременно «вспыхивает» много атомов. Возбужденные ими цуги волн, налагаясь друг на друга, образуют испускаемую телом све­товую волну. Плоскость колебаний для каж­дого цуга ориентирована случайным обра­зом. Поэтому в результирующей волне ко­лебания различных направлений представлены с равной вероят­ностью. Свет, в котором направления колебаний упорядочены каким-либо образом, называется поляризованным. Если колебания светового вектора происходят только в одной проходящей через луч плоскости, свет называется плоско- (или линейно) поляризованным. Упо­рядоченность может заключаться в том, что вектор поворачи­вается вокруг луча, одновременно пульсируя по величине. В ре­зультате конец вектора описывает эллипс. Такой свет называет­ся э л л и п т и ч е с к и- п о л я р и з о в а н н ы м. Если конец век­тора описывает окружность, свет называется поляризо­ванным по кругу.

3.1.2. СВЕТОВАЯ ВОЛНА НА ГРАНИЦЕ ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ


Отражение и преломление волнового вектора на границе двух диэлектриков, даёт плоская электромагнитная волна, которая попадает на плоскую границу раздела двух однородных и изотропных диэлектриков с проницаемостями и . Магнитные проницаемости полагаем равными единице. Кроме распространяющейся во втором диэлектрике плоской преломлённой волны, возникает плоская отражённая волна, распространяющаяся в первом диэлектрике (волновые векторы , соответственно) На границе двух диэлектриков должно выполняться условие

, (3.1.4 )

где и - тангенциальные составляющие напряжённости электрического поля в первой и во второй среде соответственно.

Согласно уравнению (3.1.4 ), циркуляция в случае переменных полей равна интегралу . Поскольку конечно, при предельном переходе интеграл в правой части обращается в нуль.

Пусть вектор , определяющий направление распространения падающей волны, лежит в плоскости чертежа (рис.3.1.2). Направ­ление нормали к поверхности раздела охарактеризуем вектором . Плоскость, в которой лежат векторы и , называется плоскостью падения волны. Возьмем линию пересечения плоско­сти падения с границей раздела диэлектриков в качестве оси . Ось направим перпендикулярно к плоскости раздела диэлектри­ков. Тогда ось будет перпендикулярна к плоскости падения, а вектор окажется направленным вдоль оси (рис.3.1.2). Из соображений симметрии ясно, что век­торы и могут лежать лишь в плоскости падения (среды однородны и изотропны).

Выделим из естественного падающего луча, плоско поляризованную составляющую, в которой направление колебаний векто­ра образует с плоскостью падения произвольный угол. Колеба­ния вектора в плоской электромагнитной волне, распространяю­щейся в направлении вектора , описываются функцией



(при сделанном нами выборе осей координат проекция вектора на ось равна нулю, поэтому в показателе экспоненты отсутствует слагаемое ). За счет выбора начала отсчета мы сделали начальную фазу волны равной нулю.

Напряженности в отраженной и преломленной волнах опреде­ляются аналогичными выражениями:

,

( и - начальные фазы соответствующих волн).

Результирующее поле в первой среде равно

.

Во второй среде

.

Согласно ( 3.1.4 ) тангенциальные составляющие этих выражений на поверхности раздела, т. е. при , должны быть одинаковыми, тогда

. (3.1.5 )

Для того чтобы условие ( 3.1.5 ) выполнялось при любом , не­обходимо равенство всех частот:

.

Частоты отраженной и преломленной волн совпадают с частотой падающей волны.

Для того чтобы условие ( 3.1.5 ) выполнялось при любом , необходимо равенство проекций волновых векторов на ось :

. ( 3.1.6 )

Показанные на рис. 3.1.2 углы и называются углом падения, углом отражения и углом преломления. Из рисунка видно, что. Поэтому соотношение ( 3.1.6 ) можно написать в виде

.

Векторы и имеют одинаковый модуль, равный ; модуль вектора равен . Следовательно,

.

Отсюда вытекает, что

, ( 3.1.7 )

. ( 3.1.8 )

Полученные нами соотношения выполняются для любой плоско поляризованной составляющей естественного луча. Следовательно, они справедливы и для естественного луча в целом.

Соотношение ( 3.1.7 ) выражает закон отражения света, согласно которому отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения.

Соотношение ( 3.1.8 ) выражает закон преломления света, который формулируется следующим образом: преломлен­ный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных веществ.

Величина называется относительным показателем преломления второго ве­щества по отношению к первому. Представим эту величину в виде

.

Таким образом, относительный показатель преломления двух ве­ществ равен отношению их абсолютных показателей преломления.

Заменив в формуле отношением , можно представить закон преломления в виде

.

Из этой формулы видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нор­мали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения со­провождается более быстрым ростом угла преломления , и по достижении углом значения



угол становится равным . Угол, определяемый формулой, называется предельным углом.

Энергия, которую несет с собой падающий луч, распределяется между отраженным и преломленным лучами. По мере увеличения угла падения интенсивность отраженного луча растет, интенсивность же преломленного луча убывает, обращаясь в нуль при предельном угле. При углах падения, заключенных в пределах от до , световая волна проникает во вторую среду на расстояние порядка длины волны и затем возвращается в первую среду. Это явление называется полным внутренним отражением.

Найдем соотношения между амплитудами и фазами падающей, отраженной и преломленной волн. Ограничимся случаем нормального падения плоской волны на поверхность раздела однородных и изотропных диэлектриков с показателями преломления и . Обозначим электрическую составляющую в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно через , и , а магнитную составляющую через , и .

Из соображений симметрии следует, что колебания векторов и происходят вдоль того же направления, что и колебания вектора . Аналогично колебания векторов и происходят вдоль направления вектора .

В данном случае нормальные составляющие векторов и равны нулю. Поэтому тангенциальные составляющие этих векторов совпадают с самими векторами. На рис. 3 изображены мгновенные значения векторов и в падающей, отраженной и преломленной волнах. На рисунке показаны так­же орты , и направлений, вдоль которых распространяются соответствующие волны. Рисунок выполнен в предположении, что ( ) направления векторов и оди­наковы, а векторов и проти­воположны (в этом случае векто­ры , и направлены за чер­теж). Действительные соотноше­ния между направлениями векторов определятся расчетом. Модули векторов и связаны соотношением . Тройка вектора , , образует правовинтовую систему:

. ( 3.1.19 )

Аналогичные соотношения имеют место и для векторов в отраженной и преломленной волнах.

Условия непрерывности тангенциальных составляю­щих векторов и

, ( 3.1.20 )

. ( 3.1.21 )

Значения векторов берутся в непосредственной близости к границе раздела. Заменив в ( 3.1.21 ) векторы векторами получим (после сокращения на )

.

Учтя, что , преобразуем последнее соотношение

.

Отсюда

.

Векторы и взаимно перпендикулярны, тогда

. ( 3.1.22 )

Решив совместно уравнения ( 3.1.20 ) и ( 3.1.22 ), получим

, ( 3.1.23)

. ( 3.1.24 )

Из формулы ( 3.1.24 ) вытекает, что векторы и имеют в каждый момент времени одинаковое направление, колебания в падающей и в прошедшей во вторую среду волнах происходят на границе раздела в одинаковой фазе – при прохождение волны через эту границу фаза не претерпевает скачка.

Из формулы ( 3.1.23 ) вытекает, что при направление вектора совпадает с направлением вектора , колебания в падающей и отраженной волнах происходят на гра­нице раздела в одинаковой фазе – фаза волны при отражении не изменяется. Если же , то направление вектора противо­положно направлению , колебания в падающей и отраженной волнах происходят на границе раздела в противофазе - фаза волны при отражении изменяется скачком на . По­лученный результат справедлив и при наклонном падении волны на границу раздела двух прозрачных сред.

Итак, при отражении световой волны от границы раздела среды оптически менее плотной со средой оптически более плотной ( при ) фаза колебаний светового вектора претерпевает изменение на . При отражении от границы раздела среды оптически более плотной со средой оптически менее плотной ( при ) такого изменения фазы не происходит.

Подставив в выражение значения ( 3.1.22 ) и ( 3.1.23 ) для и , придем после несложных преобразований к соотношению

.

Это соотношение получено для мгновенных значений . Аналогич­ное соотношение имеет место и для амплитудных значений свето­вого вектора:

. ( 3.1.25 )

можно трактовать как величину, пропорциональную интенсивности падающей волны, - как величину, пропорциональную интенсивности отраженной волны, - как величину, пропорциональную интенсивности преломленной волны. Таким образом, соотношение ( 3.1.25 ) выражает закон сохранения энергии.

Полученные соотношения позволяют найти коэффициент отражения и коэффициент пропускания световой волны (для случая нормального падения на границу раз­дела двух прозрачных сред). Действительно, по определению

.

Подставив в это выражение отношение полученное из ( 3.2.23 ), придем к формуле

, ( 3.1.26 )

где - показатель преломления второй среды по отно­шению к первой.

Для коэффициента пропускания получается выражение

.

Сумма , как и должно быть, равна единице.

Отметим, что замена в формуле ( 3.1.26 ) на обратную ему величину не изменяет значения . Следовательно, коэффициент отражения поверхности раздела двух данных сред для обоих направлений распространения света имеет одинаковое значение.

3.1.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА


Длины воспринимаемых глазом световых волн очень малы (по­рядка м). Поэтому распространение видимого света можно в первом приближении рассматривать, отвлекаясь от его волновой природы и полагая, что свет распространяется вдоль некоторых линий, называемых лучами. В предельном случае, соответст­вующем , законы оптики можно сформулировать на языке геометрии. В соответствии с этим раздел оптики, в котором пренебрегают конечностью длин волн, называется геометрической оптикой. Другое название этого раздела - лучевая оптика.

Основу геометрической оптики образуют четыре закона: 1) за­кон прямолинейного распространения света; 2) закон независимости световых лучей; 3) закон отражения света; 4) закон прелом­ления света.

Закон прямолинейного распространения утверждает, что в однородной среде свет распространяется прямо­линейно. Этот закон является приближенным: при прохождении света через очень малые отверстия наблюдаются отклонения от прямолинейности, тем большие, чем меньше отверстие.

Закон независимости световых лучей утверж­дает, что лучи при пересечении не возмущают друг друга. Пере­сечения лучей не мешают каждому из них распространяться независимо друг от друга. Этот закон справедлив лишь при не слиш­ком больших интенсивностях света. При интенсивностях, дости­гаемых с помощью лазеров, независимость световых лучей перестает соблюдаться.

Законы отражения и преломления света были сформулированы ранее.

В основу геометрической оптики может быть положен принцип Ферма: свет рас­пространяется по такому пути, для прохож­дения которого ему требуется минимальное время.

Для прохождения участка пути ( рис.3.1.4 ) свету требуется время , где - скорость света в данной точке среды. Заменив через , получим, что . Следовательно, время , затрачиваемое светом на прохождение пути от точки 1 до точки 2, равно . Имеющая размерность длины величина



называется оптической длиной пути. В однородной среде оптическая длина пути равна произведению геометрической длины пути на показатель преломления среды : .

Отсюда .

Пропорциональность времени прохождения оптической длине пути дает возможность сформулировать принцип Ферма следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна. Точнее, оптическая длина пути долж­на быть экстремальной, т. е. либо минимальной, либо максималь­ной, либо стационарной - одинаковой для всех возможных путей. В последнем случае все пути света между двумя точками оказыва­ются таутохронными (требующими для своего прохожде­ния одинакового времени).

Из принципа Ферма вытекает обратимость световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света в обратном направлении. Следовательно, луч, пущенный навстречу лучу, проделавшему путь от точки 1 к точке 2, пойдет по тому же пути, но в обратном направлении. Отставание по фазе , возникающее на пути с оптической длиной , определяется выражением



( - длина волны в вакууме).

Совокупность лучей образует пучок. Если лучи при своем про­должении пересекаются в одной точке, пучок называется гомо­центрическим. Гомоцентрическому пучку лучей соответствует сфе­рическая волновая поверхность. На рис. 3.1. 5, а) показан сходя­щийся, а на рис.3.1. 5, б) - расходящийся гомоцентрический пучок. Частным случаем гомоцентрического пучка является пучок параллельных лучей; ему соответствует плоская световая волна.

Всякая оптическая система осуществляет преобразование све­товых пучков. Если система не нарушает гомоцентричности пуч­ков, то лучи, вышедшие из точки , пересекутся в одной точке . Эта точка представляет собой оптическое изображение точки . Если любая точка предмета изображается в виде точки, изображение называется точечным или стигматическим.

Изображение называется действительным, если свето­вые лучи в точке действительно пересекаются (см. рис. 3.1. 5, а), и мнимым, если в пересекаются продолжения лучей, прове­денные в направлении, обратном на­правлению распространения света (. рис. 3.1. 5. б).

Вследствие обратимости световых лучей источник света и изображение могут поменяться ролями - точеч­ный источник, помещенный в , будет иметь свое изображение в . По этой причине и называются сопряженными точками. Рис. 3.1. 5.

Оптическая система, которая дает стигматическое изображе­ние, геометрически подобное отображаемому предмету, называет­ся идеальной. С помощью такой системы пространственная непрерывность точек отображается в виде пространственной непрерывности точек . Первая непрерывность точек называется пространством предметов, вторая — простран­ством изображений. В обоих пространствах точки, пря­мые и плоскости однозначно соответствуют друг другу. Такое со­отношение двух пространств называется в геометрии коллинеарным соответствием.

Оптическая система представляет собой совокупность отражаю­щих и преломляющих поверхностей, отделяющих друг от друга оптически однородные среды. Обычно эти поверхности бывают сфе­рическими или плоскими (плоскость можно рассматривать как сферу бесконечного радиуса).

Оптическая система, образованная сферическими (в частности, плоскими) поверхностями, называется центрированной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой. Эту пря­мую называют оптической осью системы.

Каждой точке или плоскости в пространстве предметов со­ответствует сопряженная с ней точка плоскость в про­странстве изображений. Среди бесконечного множества сопряжен­ных точек и сопряженных плоскостей имеются точки и плоскости, обладающие особыми свойствами. Такие точки и плоскости называются кардинальными. К их числу относятся фокальные, главные и узловые точки и плоскости. Задание кардинальных точек или плоскостей полностью определяет свойства идеальной центрированной оптической системы.

Фокальные плоскости и фокусы оптической системы. На рис. 3.1.6. показаны внешние преломляющие поверхности и опти­ческая ось некоторой идеальной центрированной оптической си­стемы. Возьмем в пространстве предметов этой системы плоскость , перпендикулярную к оптической оси. Из соображений симметрии следует, что сопряженная с плоскость также перпендикулярна к оптической оси. Переме­щение плоскости относи­тельно системы вызовет соответствующее перемеще­ние плоскости . Когда плоскость окажется очень далеко, дальнейшее увели­чение ее расстояния от сис­темы практически не вызы­вает изменения положения плоскости . Это означает, что результате удаления плоскости на бесконечность плоскость оказывается в определенном пре­дельном положении . Плоскость , совпадающая с предельным положением плоскости , называется задней фокальной плоскостью оптической системы.

Кратко можно сказать, что задней фокальной плоскостью называется плоскость, сопря­женная с находящейся на бесконечности в пространстве предме­тов плоскостью , перпендикулярной к оси системы.

Точка пересечения задней фокальной плоскости с оптической осью называется задним фокусом системы. Обозначают ее также буквой . Эта точка сопряжена с удаленной на бесконеч­ность точкой , лежащей на оси системы. Лучи, выходящие из , образуют параллельный оси пучок (рис. 3.1.6.). По выходе из системы эти лучи образуют пучок, сходящийся в фокусе . Упавший на систему параллельный пучок может выйти из системы не в виде сходящегося (как на рис. 3.1.6.), а в виде расходящегося пучка. Тогда в точке будут пересекаться не сами вышедший лучи, а их продолжения в обратном направлении. Соответственно задняя фокальная плоскость окажется перед (по ходу лучей) си­стемой или внутри системы.

Лучи, вышедшие из бесконечно удаленной точки не лежа­щей на оси системы, образуют параллельный пучок, направленный под углом к оси системы. По выходе из системы эти лучи образуют пучок, сходящийся в точке , принадлежащей задней фокальной плоскости, но не совпадающей с фокусом (точка на рис. 3.1. 6.). Тогда изображение бесконечно удаленного предмета будет лежать в фокальной плоскости.

Если удалить на бесконечность перпендикулярную к оси пло­скость (рис. 3.1. 7.), сопряженная с ней плоскость придет в предельное положение , которое называется передней фо­кальной плоскостью системы. Кратко можно сказать, что передней фокальной плоскостью является плоскость, сопря­женная с находящейся на бесконечности в пространст­ве изображений плоскостью перпендикулярной к оси системы.

Точка пересечения перед­ней фокальной плоскости с оптической осью называет­ся передним фокусом системы. Обозначают этот фокус также буквой . Лучи, вышедшие из фокуса , образуют после выхода из системы пучок параллельных оси лучей. Лучи, вышедшие из точки , принадлежащей фокальной плоско­сти ( рис. 3.1. 7.), образуют после прохождения через систему параллельный пучок, направленный под углом к оси системы. Мо­жет случиться, что параллельный по выходе из системы пучок получается при падении на систему не расходящегося (как на рис. 3.1. 7.), а сходящегося пучка лучей. В этом случае передний фокус оказывается за системой или внутри системы.

Главные плоскости и точки. Рассмотрим две сопряженные пло­скости, перпендикулярные к оптической оси системы. Отрезок пря­мой (рис. 3.1. 8.) лежащий в одной из этих плоскостей, будет иметь своим изображением отрезок прямой , лежащий в другой плоскости. Из осевой симметрии системы вытекает, что отрезки и должны лежать в одной, проходящей через оптическую ось, плоскости (в плоскости рисунка). При этом изображение может быть обращено либо в ту же сторону, что и предмет (рис. 8, а), либо в противоположную сторону (см. рис. 3.1. 8, б). В первом случае изображение называется прямым, во втором - обратным. Отрезки, откладываемые от оптической оси вверх, принято считать положительными, откладываемые вниз – отрицательными.

Отношение линейных размеров изображения и предмета назы­вается линейным или поперечным увеличением. Обо­значив его буквой , можно написать

.

Линейное увеличение - алгебраическая величина. Оно положи­тельно, если изображение прямое (знаки и одинаковы), и отрицательно, если изображение обратное (знак противоположен знаку ).

Существуют две такие сопряженные пло­скости, которые отображают друг друга с линейным увеличением . Эти плоскости называются главными. Плоскость, принадлежащая пространству предметов, именуется передней главной плоскостью системы. Ее обозначают буквой . Плоскость, принадлежащую пространству изображений, именуют задней главной плоскостью. Ее обозначают симво­лом . Точки пересечения главных плоскостей с оптической осью называются главными точками системы (соответственно передней и задней). Их обозначают теми же символами и . В зависимости от устройства системы главные плоскости и точки могут находиться как вне, так и внутри системы. Может случиться, что одна из плоскостей проходит вне, а другая - внутри системы. Возможно, наконец, что обе плоскости будут лежать вне системы по одну и ту же сторону от нее.

Из определения главных плоскостей вытекает, что луч 1, пересекающий (в действительности – рис. 3.1.9, а или при воображаемом продолжении

внутри системы – рис. 3.1. 9, б) переднюю главную плоскость в точке , имеет в качестве сопряженного луч 1', который пересекает (непосредственно или при воображаемом продолжении) главную плоскость в точке , отстоящей в ту же сторону и на такое же расстояние от оси, как и точка . Это легко понять, если вспомнить, что и являются сопряжен­ными точками, и учесть, что любой луч, проходящий через точку , должен иметь в качестве сопряженного луч, проходящий через точку .

Узловые плоскости и точки. Узловыми точками или узлами называются лежащие на оптической оси сопряженные точки и обладающие тем свойством, что проходящие через них (в действитель­ности или при воображаемом продолже­нии внутрь системы) сопряженные лучи параллельны между собой (см. лучи 1 – 1' и 2 – 2' на рис. 3.1. 10). Перпендикулярные к оси плоскости, проходящие через узлы, называются узловыми плоскостя­ми (передней и задней).

Расстояние между узлами всегда равно расстоянию между главными точками. В случае, когда оптические свойства сред, на­ходящихся по обе стороны системы, одинаковы (т. е. ), узлы совпадают с главными точками.

Фокусные расстояния и оптическая сила системы. Расстояние от передней главной точки до переднего фокуса называется передним фокусным расстоянием системы. Рас­стояние от до именуется задним фокусным расстоянием . Фокусные расстояния и - алгебраические величины. Они положительны, если данный фокус лежит справа от соответствующей главной точки, и отрицательны в противном случае. Например, для системы, изображенной на рис. 3.1. 7, заднее фокусное расстояние положительно, а переднее фокусное расстояние отрицательно. На рисунке указана истинная длина отрезка , т. е. положительная величина (-), равная модулю .

Можно доказать, что между фокусными расстояниями и центрированной оптической системы, образованной сферическими преломляющими поверхностями, имеется соотношение

,

где - показатель преломления среды, находящейся перед опти­ческой системой, - показатель преломления среды, находящейся за системой. Из этого вытекает, что в случае, когда показатели преломления сред, находящихся по обе стороны оптической системы, одинаковы, фокусные расстояния отличаются только знаком:

.

Величина



называется оптической силой системы. Чем больше , тем меньше фокусное расстояние и, следовательно, тем сильнее преломляются лучи оптической системой. Оптическая сила изме­ряется в диоптриях (дптр). Чтобы получить в диоптриях, фокусное расстояние в последней формуле нужно взять в метрах. При положительной заднее фокусное расстояние также поло­жительно; следовательно, система дает действительное изображе­ние бесконечно удаленной точки - параллельный пучок лучей превращается в сходящийся. В этом случае система называется собирающей. При отрицательной изображение бесконеч­но удаленной точки будет мнимым - параллельный пучок лучей превращается системой в расходящийся. Такая система именуется рассеивающей.

Формула системы. Задание кардинальных плоскостей или то­чек полностью определяет свойства оптической системы. В частно­сти, зная положение кардинальных плоскостей, можно построить оптическое изображение, даваемое системой. Возьмем в простран­стве предметов отрезок , перпендикулярный к оптической оси (рис. 3.1. 11; узлы на рисунке не показаны). Положение этого отрезка можно задать либо расстоянием , отсчитанным от точки до точки , либо расстоянием от до . Величины и , как и фокусные расстояния и являются алгебраическими (на рисун­ках указываются их модули).

Проведем из точки луч 1, параллельный оптической оси. Он пересечет плоскость в точке . В соответствии со свойствами главных плоскостей сопряженный лучу 1 луч 1' должен проходить через сопряженную с точкой точку плоскости . Так как луч 1 параллелен оптической оси, сопряженный с ним луч 1' пройдет через задний фокус . Теперь проведем из точки луч 2, проходящий через передний фокус . Он пересечет плоскость в точке . Сопряженный с ним луч 2' пройдет через сопряженную с точку плоскости и будет параллельным оптической оси. Точка пе­ресечения лучей 1' и 2' представляет собой изображение точки . Изображение , как и отрезок , перпендикулярно к оптиче­ской оси.

Положение изображения можно охарактеризовать либо расстоянием от точки до точки , либо расстоянием от до . Величины и являются алгебраическими. В случае, изображенном на рис. 3.1. 11, они положительны.

Величина , определяющая положение изображения, законо­мерно связана с величиной , определяющей положение предмета, и с фокусными расстояниями и . Для прямоугольных треуголь­ников с общей вершиной в точке (рис. 3.1. 11) можно написать соотношение

.

Аналогично, для треугольников с общей вершиной в точке имеем

.

Объединив оба соотношения, получим что , откуда

. (3.1.27)

Это равенство называется формулой Ньютона. При условии, что , формула Ньютона имеет вид

. (3.1. 28 )

От формулы, связывающей расстояния и предмета и изображения от фокусов системы, легко перейти к формуле, устанавливающей связь между расстояниями и от главных точек. Из рис. 3.1. 11 видно, что (т. е. ), . Подставив эти выражения для и в формулу ( 14 ) и произведя преобразования, получим

. (3.1. 29 )

При выполнении условия формула (3.1.29 ) упрощается следующим образом:

. ( 3.1.30 )

Соотношения ( 3.1.27 ) – ( 3.1.30 ) представляют собой формулы центрированной оптической системы.
3.1.4.ТОНКАЯ ЛИНЗА

Простейшей центрированной оптической системой является линза. Она представляет собой прозрачное (обычно стеклянное) тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями1 (в част­ном случае одна из поверхностей может быть плоской). Точки пере­сечения поверхностей с оптической осью линзы называются вер­шинами преломляющих поверхностей. Расстояние между вер­шинами именуется толщиной линзы. Если толщиной линзы можно пренебречь по сравнению с меньшим из радиусов кривизны ограничивающих линзу поверхностей, линза называется тонкой.

В случае тонкой линзы главные плоскости и можно считать совпадающими и проходящими через центр линзы (рис. 3.1.12). Для фокусных расстояний тонкой линзы получается выражение

;

здесь - показатель преломления линзы, - показатель преломления среды, окружающей линзу, и - радиусы кривизны поверхности линзы. С радиусами кривизны нужно обращаться, как с алгебраическими величинами: для выпуклой поверхности (т. е. в случае, когда центр кривизны лежит справа от вершины) радиус кривизны нужно считать положительным, для вогнутой поверхности (т. е. в случае, когда центр кривизны лежит слева от вершины) радиус нужно считать отрицательным. На чертежах указываются модуль радиуса кривизны, т. е. , если .

Если показатели преломления сред, находящихся по обе сто­роны тонкой линзы, одинаковы, то узлы и совпадают с глав­ными точками, т. е. помещаются в центре линзы . Следовательно, в этом случае любой луч, идущий через центр линзы, не изменяет своего направления. Если показатели преломления сред перед и за линзой неодинаковы, узлы не совпадают с главными точками, так что луч, идущий через центр линзы, претерпевает излом.

Параллельный пучок лучей после прохождения через линзу собирается в одной из точек фокальной плоскости (точка на рис. 13). Чтобы определить положение этой точки, нужно продолжить идущий через центр линзы луч до пересечения его с фокальной плоскостью (изображенный пунктиром луч ). В точке пересечения соберутся и остальные лучи. Такой способ пригоден в том случае, если оптические свойства среды по обе сто­роны линзы одинаковы (). В противном случае луч, идущий через центр, терпит излом. Для нахождения точки в этом случае нужно знать положение узловых точек линзы.

Отметим, что отложенные вдоль лучей пути, начинающиеся на волновой поверхности ( рис. 3.1. 13) и заканчивающиеся в точке , имеют одинаковую оптическую длину и являются таутохронными.

1 Бывают линзы с поверхностями более сложной формы.


Лекция 9 ОПТИКА 3.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации