Дромашко С.Е. Математическое и компьютерное моделирование в биологии - файл n1.doc

приобрести
Дромашко С.Е. Математическое и компьютерное моделирование в биологии
скачать (2551.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2552kb.01.06.2012 07:55скачать

n1.doc

  1   2   3   4   5
ГУО «Институт подготовки научных кадров

Национальной академии наук Беларуси»
Кафедра естественно-научных дисциплин

С. Е. Дромашко


МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ В БИОЛОГИИ


Учебно-методическое пособие

Минск

ИПНК

2009

УДК [519.67:004.9]:575(075.8)

ББК 28.0я73

Д75

Рекомендовано к опубликованию Ученым советом

Института подготовки научных кадров НАН Беларуси

протокол № 6 от 18.05.2009 г.


Рецензенты:

академик, доктор биологических наук, профессор,

главный научный сотрудник ГНУ «Институт генетики

и цитологии НАН Беларуси» Л. В. Хотылёва,

кандидат биологических наук, декан гуманитарного факультета

УО «Институт современных знаний им. А. М. Широкова»

В. М. Ростовцева


Дромашко, С. Е.

Д75 Математическое и компьютерное моделирование в биологии : учеб.-метод. пособие / С. Е. Дромашко. – Минск : ИПНК, 2009. – 65 с. : ил.

ISBN 978-985-6820-26-0.

В пособии дано подробное описание принципов моделирования, в том числе биологических процессов, рассматриваются отдельные примеры использования математических методов и информационных технологий в биологии и медицине. Закреплению знаний способствуют контрольные вопросы по проверке уровня усвоения материала и задания для самоподготовки.

Пособие ориентировано на магистрантов, аспирантов, соискателей и студентов, изучающих проблемы современной биологии.

УДК [519.67:004.9]:575

ББК 28.0я73

ISBN 978-985-6820-26-0 © Дромашко С.Е., 2009

© ГУО «Институт подготовки научных кадров НАН Беларуси», 2009



Оглавление

1

Введение…………………………………………………………..……

5

2

Теоретические и методологические основы моделирования в биологии………………………..……………………………………..…….

5

2.1

Моделирование в биологии и биоинформатика……..………………

5

2.2

Методологические аспекты моделирования ………..………………..

6




Контрольные вопросы……………………….…………………………

15

3

Принципы моделирования биологических систем, явлений и процессов……………………………………………………………………


15

3.1

Особенности моделирования в биологии…...………….……………..

15

3.2

Статистические методы обработки медико-биологических данных..

19

3.3

Линейное программирование.…….……………..................................

27

3.4

Теория информации….…….…………………………………………..

29




Контрольные вопросы……………………….…………………………

32

4

Примеры использования математических методов для моделирования конкретных биологических процессов..….……………………...


33

4.1

Дифференциальные уравнения в биологии. Модель роста дерева….

33

4.2

Математическая экология……………………………………………..

37

4.3

Генетика и теория вероятностей..…………………………………….

40

4.4

Генная реконструкция филогенеза популяций человека математическими методами…..…….…………………………………………...


45

4.5

Биологическое приложение системы компьютерной алгебры Mathematica………….………………………………………….


46

4.6

Нейроинформатика. Моделирование процессов мышления и человеко-машинного общения………………………...……………………


49

4.7

Вирусы природные (in vivo) и компьютерные (in silico)…………….

58




Контрольные вопросы……………………….…………………………

62




Задания для самоподготовки…………………………….…………….

62




Литература………………………………………………………………

63


1 ВВЕДЕНИЕ
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено изучающим курсы «Современные проблемы биологии» и «Теория и практика научных исследований. Естественные науки» в магистратуре НАН Беларуси.

В пособии представлены материалы по методологическим проблемам моделирования, основным типам и классам математических и компьютерных моделей. Приводятся примеры применения математических моделей к конкретным биологическим исследованиям. Пособие дает обширную информацию, позволяющую углубить специальные знания магистрантов при изучении таких разделов, как «Современные методы исследования генома», «Геном человека», «Принципы и методы генетического и физического картирования генома человека», «Проблемы новых и возникающих вирусных инфекций», «Актуальные проблемы психофизиологии», «Проблемы филогении, новые подходы к систематике живых организмов», «Современные проблемы демографии: глобальный и региональный аспекты», «Методологические основы научного познания и творчества», «Проблемы современного естествознания».
2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

МОДЕЛИРОВАНИЯ В БИОЛОГИИ
1.1 Моделирование в биологии и биоинформатика
Что такое биоинформатика. В современной биологии нашли широкое применение разнообразные математические методы и теоретические представления кибернетики. Кроме того, сложность биологических процессов и описывающих их поведение математических моделей с неизбежностью привела к использованию вычислительной техники. Компьютеры все шире используются не только для обработки данных и уточнения параметров моделей, но и для постановки компьютерного эксперимента, во многих случаях призванного заменить дорогостоящий натурный эксперимент. Так возникла биоинформатика – научная специальность, занимающаяся изучением организации и функционирования биологических систем разного уровня (от молекулярного до популяционного) на основе методов и средств информатики. На практике под биоинформатикой чаще всего понимают только использование компьютеров и математических средств для описания молекулярных компонентов клетки, в частности – для извлечения информации о структуре ДНК и белков из данных, полученных экспериментально в рамках исследований по геномике или протеомике. Например, проводится анализ генетических последовательностей, осуществляется так называемая аннотация геномов – маркировка генов и других объектов в последовательности ДНК, дается оценка биологического разнообразия. Широкое развитие в рамках этого направления получила также вычислительная эволюционная биология.

Биоинформатика использует методы прикладной математики, математической статистики и информатики, опирается на теорию информации, теорию динамических систем, математическую логику, системный анализ и др.

Следует подчеркнуть отличие биоинформатики от бионики (от греч. biōn – элемент жизни, буквально – живущий) – науки, пограничной между биологией и техникой. Бионика решает инженерные задачи на основе моделирования структуры и жизнедеятельности организмов. Она тесно связана с биологией, физикой, химией, кибернетикой и инженерными науками, в частности электроникой, связью и др.

Нельзя смешивать биоинформатику и с такой близкой дисциплиной, как биокибернетика. Биокибернетика как научное направление обязана своим рождением проникновению в биологию идей, методов и технических средств кибернетики. Процесс "кибернетизации" биологии осуществляется как в теоретической, так и в прикладной областях. Основная теоретическая задача биокибернетики – изучение общих закономерностей управления, а также хранения, переработки и передачи информации в живых системах.
1.2 Методологические аспекты моделирования
Понятие об аналогии. Термин аналогия употребляется в нескольких смыслах. Во-первых, под аналогией понимают отношение сходства между сопоставляемыми объектами. Во-вторых, иногда это понятие употребляется как синоним умозаключения по аналогии, т.е. определенного метода получения вероятностных заключений на основании указанного отношения сходства.

В последнем случае выводы, полученные путем подобного умозаключения, оказываются более достоверными, если общие свойства у сравниваемых объектов, предметов или явлений относятся к разряду наиболее существенных, а также являются достаточно многочисленными и разнообразными. Достоверность полученного вывода полнее, если переносимое на другой объект свойство относится к тому же типу, что и те свойства, о которых идет речь в посылках. В качестве примера ошибочного умозаключения по аналогии можно привести широко известный и вызывающий до сих пор горячие дискуссии вывод об обитаемости некоторых других планет на основе их сходства с Землей. Слабость подобного вывода заключается в том, что переносимое свойство – наличие жизни – относится к биологическому типу, тогда как в исходных посылках речь идет только о сходстве факторов геометрического и физико-химического характера.

С умозаключением по аналогии тесно связана так называемая ассоциативная аналогия, когда могут объединяться достаточно далекие по их природе явления и предметы. Ярким примером проявления ассоциативной аналогии может служить история создания немецким химиком-органиком Ф.А.Кекуле структурной формулы бензола после того, как он увидел в зоопарке обезьян, сцепившихся друг с другом в кольцо, примерно так, как это изображено на рисунке 1.




Рисунок 1 – Структурная формула бензола. Аналогия с обезьянами из зоопарка
Гораздо чаще аналогию понимают в первом смысле, т.е. как отношение фактического сходства между исследуемыми объектами. Строго говоря, аналогия есть единство отношений сходства, отношений различия, а также таких, о которых заранее неизвестно, являются ли они отношениями сходства или различия. Именно последнее свойство наиболее важно для процесса познания, поскольку оно служит основой для применения моделирования как метода получения новых сведений о моделируемых объектах. Поэтому аналогия, в известном смысле, смыкается с операцией обобщения, так как она строится в виде предположения о каком-то общем признаке.

Проявлением подобной общности часто служит тождество математических законов, описывающих сравниваемые явления, например, затухания механических колебаний маятника и электрических колебаний в контуре с емкостью и индуктивностью. Дальнейшее развитие метода аналогий в современной физике приводит, по словам выдающегося советского физика Л.И.Мандельштамма, к тому, что "подмечая в физических явлениях, часто качественно, характерные особенности, ищут математический аппарат, который отражал бы эти характерные особенности". Перебросив построенные по аналогии с известным явлением уравнения на новую область изучаемой действительности, ищут затем интерпретацию этих уравнений, устанавливая связи между величинами и объектами этой новой области.

Подобным образом обстоит дело и в биологии. Например, одна из задач радиобиологии связана с вопросом о выживании живых объектов, подвергшихся воздействию ионизирующего излучения. По мнению немецких радиобиологов О.Хуга и А.Келлерера, для микроорганизмов эта проблема в математическом смысле эквивалентна так называемой задаче "о разорении игрока", что позволяет дать количественное описание этого вопроса. Однако, как отмечает Ю.Г.Капульцевич в своей монографии «Количественные закономерности лучевого поражения клетки», данный подход не учитывает того обстоятельства, что погибшая в результате облучения клетка остается в колонии. Она не может дать потомства, но вносит вклад в общее число клеток в колонии, что "искажает" исходную математическую задачу. Поэтому соответствующая формула описывает не выживание клеток, а динамику клеток, способных к активному делению и, следовательно, к продолжению рода. Этот пример показывает, что надо тщательно следить за корректностью формального переноса математического аппарата на новый класс задач, чтобы не получить искаженного результата.

Определение модели. Аналогия и моделирование.  Моделирование является мощным методом научного исследования, позволяющим изучать те явления действительности, которые недоступны для непосредственного изучения из-за трудностей теоретического и экспериментального характера, а также в связи с невозможностью их выделения в чистом виде по тем же причинам. Поэтому построение модели связано с процессом идеализации – существенным звеном в цепи познания.

Модель (от латинского modus – копия, образ, очертание) можно определить как любую систему, мысленно представимую или реально существующую, которая находится в определенном отношении к другой системе (оригиналу или объекту). Как считает известный методолог В.А.Штофф, в процессе моделирования обязательно должны выполняться следующие условия:

  1. Между моделью и оригиналом имеется отношение сходства, форма которого явно выражена и точно зафиксирована (условие отражения или уточненной аналогии).

  2. Модель в процессе научного познания является заместителем изучаемого объекта (условие репрезентации).

  3. Изучение модели позволяет получать информацию об оригинале (условие экстраполяции).

Однако ошибкой было бы думать, что модель в точности соответствует оригиналу, т.е. является изоморфной ему. В качестве подтверждения этого тезиса можно привести пример чертежа или плана, который не только отражает реальные размеры и взаиморасположение помещенных на него объектов, но и содержит некоторую информацию в закодированной форме. Например, на плане города станции метро обычно помечаются буквой М, а о наличии парка или сквера можно догадаться, видя на схеме изображение отдельного дерева или группы деревьев. Такое отношение между объектом и моделью, когда между ними имеется упрощенное соответствие, основанное частично на изоморфизме, а частично на кодировании, называется гомоморфизмом. Следовательно, к трем перечисленным выше необходимым условиям надо добавить еще условие гомоморфности.

Поскольку модель служит цели объяснить или описать неизвестное явление при помощи сравнения его с другим, известным, корректное применение метода моделирования предполагает формулирование в ясном виде условий и границ, в пределах которых имеют место характерные аналогии отношения сходства и различия между моделью и оригиналом. Сходство между системами может проявляться на разных уровнях:

  1. на уровне результатов, которые дают сравниваемые объекты;

  2. на уровне поведения или функций, которые ведут к этим результатам;

  3. на уровне структур, которые обеспечивают выполнение данных функций;

  4. на уровне материалов или элементов, из которых состоят эти структуры.

В модели в принципе не может быть совпадения на всех этих уровнях. Если бы удалось добиться полной тождественности модели и оригинала, то модель утратила бы свою специфику. Однако, поскольку модель должна помогать познанию оригинала, при создании модели необходимо стремиться к максимально возможному сходству с объектом.

Таким образом, отношение модели к моделируемому объекту есть отношение аналогии, а не тождества. Обычно в науке реализуются главным образом аналогии на уровне структур и на уровне функций. Аналогия на уровне структур более типична для моделей, применяемых в физических и химических исследованиях; в молекулярной биологии она используется при моделировании и предсказании структуры и функции белков. Функциональная аналогия характерна для методов кибернетики, а потому также нашла свое место в биоинформатике.

Типы моделирования. За основу выделения типов моделей можно взять различные отношения их к натурным объектам: характер воспроизводимых сторон оригинала; способ воспроизведения в модели действительности; характер реализации моделируемых объектов и т.п.

В нашем изложении мы будем в основном следовать В.А.Штоффу, согласно которому все модели, применяемые в научном познании, можно разделить на два больших класса: материальные (вещественные) и мысленные (идеальные).

К числу первых относятся природные объекты, функционирование которых подчиняется естественным законам. Вторые конструируются в форме мысленных образов, функционирующих по законам логики мышления.

Материальные модели можно разделить на три основные группы:

  1. Натурные модели – реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные.

  2. Физические модели – макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые).

  3. Материальные математические модели – аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические.

Важную роль в познании играет мысленное, логическое моделирование, в процессе которого создается идеальная модель исследуемого явления. С точки зрения построения мысленные можно разделить также на три группы:

  1. Наглядные (образные) модели – это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели.

  2. Знаковые модели – символы, алфавит, языки программирования, упорядоченная запись, топологическая запись, сетевое представление.

  3. Идеальные математические модели – аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные.

В настоящее время мысленное моделирование все чаще выступает в форме именно математического моделирования, и в дальнейшем изложении оба термина будут употребляться как синонимы, хоть это и не вполне строго.

Проявлением наглядно-образного характера мысленных моделей можно считать следующее. Во-первых, элементы, из которых конструируются эти модели, представляют собой образы каких-то реальных явлений. Во-вторых, некоторые свойства и отношения моделируемых явлений выступают в форме, доступной чувственности, благодаря тому, что эти свойства и отношения присущи также и тем системам, которые выступают в качестве аналогов моделируемых явлений. В качестве примера можно привести работы Леонардо да Винчи – «отца бионики» по моделированию движения животных в рамках еще только зарождавшейся в XV в. механики. В XVIII в. выдающийся математик Л.Эйлер предложил механическую модель сердца, рассматривающую его как своеобразный насос, перекачивающий кровь по трубам – кровеносным сосудам. Более близки нам по времени работы по физиологии зрения и слуха знаменитого физика XIX в. Г.Гельмгольца – врача по образованию, – также являющиеся примером использования в исследовании иконических моделей.

Знаковая, а тем более математическая модель уже не имеют по их физической природе ничего общего с характером элементов моделируемого объекта.

В самом общем случае математическую модель реального объекта, процесса или системы можно представить в виде системы функционалов:
Фi (X,Y,Z,t)=0, (1)
где X – вектор входных переменных, Y – вектор выходных переменных, Z – вектор внешних воздействий, t – координата времени. В общем случае все три вектора также зависят от времени:
X=[x1,x2,x3, ... , xN]t,

Y=[y1,y2,y3, ... , yM]t, (2)

Z=[z1,z2,z3, ... , zL]t.
Построить математическую модель – это значит определить связи между теми или иными процессами и явлениями, создать (или подобрать) математический аппарат, позволяющий выразить количественно и качественно связь между элементами модели, т.е. теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами и факторами, от которых зависит конечный результат.

По принципам построения математические модели разделяют на аналитические, конструктивные (алгоритмические) и имитационные. В аналитических моделях процессы функционирования реальных объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных выражений в зависимости от математической проблемы:

  1. уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные);

  2. аппроксимационные задачи (интерполяция, экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование);

  3. задачи оптимизации;

  4. стохастические проблемы.




Рисунок 2 – Схема взаимосвязи аналогии и различных видов

моделирования
Однако с усложнением объекта моделирования построение аналитической модели превращается в трудноразрешимую проблему. Тогда исследователь вынужден переходить к конструктивным (алгоритмическим) моделям или использовать имитационное моделирование. О нем мы поговорим позже, в разделе о мысленном эксперименте.

Применение метода аналогии в тесной связи с другими приемами и методами научного исследования делает его ценным орудием поиска гипотезы, построения теории, эффективным средством научного открытия. Существование объектов и процессов, труднодоступных для непосредственного изучения, а также невозможность выделить некоторые явления в чистом виде диктуют применение методов моделирования. При этом основой для построения моделей служит наличие аналогии между сопоставляемыми объектами (рисунок 2).

Материальное моделирование и модельный эксперимент. Одним из важнейших способов использования материальных моделей в научных исследованиях является их применение в так называемом модельном эксперименте. Его своеобразие заключается в том особом положении, в котором находится модель в таком эксперименте. Во-первых, модель является объектом изучения, так как замещает собой другой, подлинный объект. Во-вторых, она служит экспериментальным средством в силу того, что используется для изучения свойств оригинала.

Поскольку в эксперименте с использованием модели непосредственному исследованию подвергается именно модель, а результаты переносятся на моделируемый объект, то теоретическое обоснование права на подобную экстраполяцию результатов является непременным условием всякого модельного эксперимента.

В механике, например, основой модельного эксперимента служит теория подобия, которая устанавливает соотношения между качественно однородными явлениями, а также между системами, относящимися к одной и той же форме движения. Вот почему нашли широкое применение аэродинамические трубы и гидродинамические бассейны, без которых невозможно представить автомобиле- и самолетостроение или проектирование каналов, водохранилищ, гидроэлектростанций.

Иначе обстоит дело в биологии, где давно применяется метод культуры ткани, в том числе для воспроизведения специфических биохимических реакций. Однако изолированная клетка далеко не тождественна клетке в организме. В частности, хорошо известно, что перевод растительных клеток в культуру вызывает целый спектр мутаций. Это заставляет с чрезвычайной осторожностью подходить к интерпретации результатов, полученных в таком модельном эксперименте in vitro, и особенно к экстраполяции их на случай in vivo.

Мысленный эксперимент. В модельном эксперименте могут участвовать не только материальные модели. Характерной чертой мысленной модели является возможность ее использования в мысленном эксперименте. Структура последнего полностью соответствует структуре реального эксперимента с той только разницей, что тут и модель, и условия, к числу которых относятся также идеализированные "приборы" и "инструменты", являются мысленными построениями.

Мысленный эксперимент представляет собой такое воображаемое сочетание условий, которое может не наблюдаться или быть практически неосуществимым. Поэтому все типичные для такого умственного эксперимента способы рассуждений должны проводиться в рамках объективно возможного, и необходимо изгнание всяческих допущений или посылок, находящихся в противоречии с объективными законами действительности. Виднейшие теоретики естествознания, широко применяя в своей научной деятельности метод умственного моделирования, всегда строго учитывали это положение. Так, А.Эйнштейн, любил использовать мысленные модели для иллюстрации своих теоретических положений.

Характерной особенностью мысленного эксперимента является то обстоятельство, что в нем часто стирается различие между "внешними условиями" и "приборами", которые в конечном счете сводятся к первым. Достигнутые этим упрощения делают структуру мысленного эксперимента мало отличающейся от самой модели, т.е. в пределе понятия мысленного эксперимента и мысленной модели совпадают.

Особенно плодотворно мысленное экспериментирование стало применяться с середины XX в. в биологии в связи с развитием и широким внедрением ЭВМ и математических методов исследования. Распространение этого вида эксперимента при изучении живых объектов, особенно в форме компьютерного эксперимента, можно объяснить их чрезвычайной сложностью, что приводит к необходимости теоретического исследования. Естественно, как и в любом другом виде мысленного эксперимента, в данном случае имеет место идеализация как объектов изучения, так и условий, в которых они находятся.

Формой реализации компьютерного эксперимента является имитационная модель. Современное имитационное моделирование – это соединение традиционного математического моделирования с новыми компьютерными технологиями. В западной научной литературе этому направлению приблизительно соответствует термин simulation. Имитационная модель описывается набором алгоритмов или функций, которые имитируют реальные элементарные явления, составляющие изучаемые процесс или систему. При этом обязательно сохраняются их логическая структура и последовательность протекания во времени. Имитационное моделирование позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса или системы в определенные моменты времени, однако прогнозирование поведения объектов, процессов или систем здесь затруднено, и предсказательная сила этого метода невелика.
Контрольные вопросы
1. Чем биоинформатика отличается от бионики и биокибернетики?

2.Что означает термин аналогия? Какие виды аналогии можно указать?

3. Дайте определение модели. Как аналогия используется в моделировании?

4. Какие типы моделирования существуют? Чем они различаются?

5. Что такое модельный эксперимент?

6. В чем заключается специфика мысленного эксперимента?

7. Как соотносятся компьютерный эксперимент и имитационное моделирование?
3 ПРИНЦИПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ БИОЛОГИЧЕСКИХ

СИСТЕМ, ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ
3.1 Особенности моделирования в биологии
Сложность жизни проявляется в переплетении различных уровней организации живых объектов, что приводит к определенной специфичности при моделировании биологических явлений. Как и в других отраслях естествознания, в биологии в основе моделирования заложено представление о замещении какой-либо сложной системы более простой и доступной для изучения. Часто с этой целью в качестве упрощенных материальных моделей достаточно развитых явлений используются простые формы живых организмов. Как отмечал Н.И.Вавилов, открытию сцепления генов наряду с коротким жизненным циклом дрозофилы содействовало наличие у нее по сравнению с более развитыми организмами небольшого количества хромосом. Успехам молекулярной биологии во многом способствовал удачный выбор объекта исследований (бактерий и вирусов). В практику биохимии вошло изучение отдельных биохимических реакций, воспроизводимых в культуре клеток ткани in vitro. Эти и многие другие примеры дают представление о биологическом аналоге материальной, физической модели.

В современном биологическом модельном эксперименте широко применяются физические и кибернетические методы. Тесное переплетение подходов биофизики, биоинформатики, биокибернетики дает возможность использовать в исследовательских целях специальные конструкции, воспроизводящие отдельные функции живого организма на чуждой ему вещественной основе.

Однако далеко не всегда модель биологического объекта должна быть очень сложной. Иногда важные результаты можно получить с помощью достаточно простых приспособлений, как это было с механической моделью-макетом ДНК, созданной Дж.Уотсоном и Ф.Криком по результатам рентгеноструктурного анализа этой молекулы. Одно из возможных представлений ДНК отражено на рисунке 3.

Говоря о математических моделях, необходимо подчеркнуть, что разнообразие биологических систем, процессов и явлений привело к тому, что для их моделирования привлекаются представления различных математических дисциплин. При этом в зависимости от характера и свойств изучаемых процессов и явлений для моделирования выбирается аппарат либо дискретной, либо непрерывной математики (рисунок 4).

Методы дискретной математики (например, алгебры, теории вероятностей) оказались наиболее удобным и естественным средством для моделирования свойств уникальных объектов, количественные характеристики которых меняются скачкообразно, без промежуточных стадий. Например, для описания возрастной струк­туры популяций применяется матричное исчисление. На теоретико-вероятностном подходе покоится все здание клас­сической генетики. В последнее время для описания самых разнообразных классов биологических закономерностей все шире применяются самые молодые отрасли математики, в частности теория конечных автоматов.

Когда поведение изучаемого объекта характеризуется непрерывными изменениями, адекватным средством моделирования являются методы непрерывной математики с их богатым аппаратом дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Однако при определенных условиях эти методы можно применять и к процессам, дискретным по их природе. В принципе процесс размножения микроорганизмов до­пустимо идеализированно рассматривать как непрерыв­ный. Очень широко такие представления используются при моделировании процессов в экологии. В целом детер­министский подход к моделируемым объектам, основанный на применении дифференциальных и интегральных урав­нений, охватывает многие области современной теоретиче­ской биологии. На базе этого математического аппарата сформировалась новая научная дисциплина – биологиче­ская кинетика. В ней на основе идей физической и химиче­ской кинетики строятся математические модели протекаю­щих в клетке химических реакций и описываются многие аспекты клеточного метаболизма. Методы биологической кинетики наряду с теорией информации используются и в молекулярной генетике.

  1   2   3   4   5


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации