Шпоры к Государственному экзамену по математике и методике преподавания математике в ЛГПУ - файл n1.doc

приобрести
Шпоры к Государственному экзамену по математике и методике преподавания математике в ЛГПУ
скачать (1493.6 kb.)
Доступные файлы (33):
n1.doc625kb.23.06.2009 00:30скачать
n2.doc35kb.20.06.2009 14:42скачать
n3.docскачать
n4.txt2kb.22.06.2009 21:13скачать
n5.txt4kb.22.06.2009 21:18скачать
n6.txt1kb.22.06.2009 21:19скачать
n7.txt2kb.22.06.2009 21:20скачать
n8.txt4kb.22.06.2009 21:21скачать
n9.txt3kb.22.06.2009 21:21скачать
n10.txt2kb.22.06.2009 21:22скачать
n11.txt1kb.22.06.2009 21:23скачать
n12.txt2kb.22.06.2009 21:24скачать
n13.txt3kb.22.06.2009 21:25скачать
n14.txt3kb.22.06.2009 21:25скачать
n15.txt4kb.22.06.2009 21:14скачать
n16.txt1kb.22.06.2009 21:25скачать
n17.txt2kb.22.06.2009 21:26скачать
n18.txt3kb.22.06.2009 21:26скачать
n19.txt8kb.22.06.2009 21:27скачать
n20.txt2kb.22.06.2009 21:28скачать
n21.txt4kb.22.06.2009 21:28скачать
n22.txt7kb.22.06.2009 21:28скачать
n23.txt2kb.22.06.2009 21:29скачать
n24.txt4kb.22.06.2009 21:30скачать
n25.txt5kb.22.06.2009 21:31скачать
n26.txt3kb.22.06.2009 21:14скачать
n27.txt1kb.22.06.2009 21:31скачать
n28.txt3kb.22.06.2009 21:15скачать
n29.txt2kb.22.06.2009 21:15скачать
n30.txt3kb.22.06.2009 21:16скачать
n31.txt3kb.22.06.2009 21:16скачать
n32.txt2kb.22.06.2009 21:17скачать
n33.txt2kb.22.06.2009 21:18скачать

n1.doc

1   2   3

25. Перпендикулярность прямых и плоскостей на плоскости и в пространстве.

Учение о перпендикулярности прямых в средней школе имеет в своей основе понятие угла между прямыми и умение измерять величину угла. Случай прямых появляется при рассмотрении пересекающихся прямых. Величину наименьшего из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, считают углом между между ними. Поэтому величина угла между пересекающимися прямыми не может превосходить . В том случае, когда угол между прямыми равен , прямые наз.. Примеры прямых в окружающей жизни убеждают учащихся в их существовании.

После определения прямых вводится соответствующая символика. Существование прямых показывается конструктивно. Способ решения задачи на построение к прямой, проходящего через данную точку, основывается на свойстве смежных углов; если смежные углы равны, то каждый из них прямой. Заслуживает внимания способ построения прямой к данной прямой, проходящую через данную точку на ней.

Способ построения к прямой, проходящего через точку вне этой прямой.

На рисунке любая точка МО к прямой а равноудалена от концов отрезка АВ ( АВ равноудалены от О). действительно, ?АКО=?ВКО, где К – произвольная точка МО к прямой а, поскольку - прямой по построению, АО=ОВ по построению, ОК – общая сторона. Отсюда следует, что АК=ВК.

След.для построения к прямой а через точку М вне ее достаточно на прямой а найти отрезок АВ так, чтобы АМ=ВМ, а затем построить еще одну точку Р так, чтобы АР=ВР. Прямая МР – искомый . это легко доказать. ?МАР=?МВР, так как АВ=ВМ, АР=ВР по построению, МР – общая сторона. Отсюда следует, что

и . ?АРО=?ВРО, так как АР=ВР по построению, ОР – общая, по доказанному. Это значит, что . Поскольку эти углы смежные и равные между собой, то они прямые. Таким образом МР а. МР к прямой а имеет весьма примечательное расположение по отношению к отрезку АВ на этой прямой: он к отрезку АВ и проходит через его середину. Поэтому он получил особое имя – серединный к отрезку. Именно свойства серединного к отрезку лежат в основе построения к прямой, проходящей через данную точку. Эти свойства можно сформулировать в виде теорем: если точка лежит на серединном к отрезку, то она равноудалена от концов этого отрезка. Если точка равноудалена от концов некоторого отрезка, то она лежит на серединном к этому отрезку.

После рассмотрения теоремы решаются задачи: через точку Д вне прямой а провести к прямой а. перед решением выяснить какая из двух рассмотренных теорем будет использована при построении. Можно поставить вопросы:

  1. как на прямой а построить отрезок, концы которого равноудалены от точки Д?

  2. сколько точек достаточно построить,чтобы определить его?

  3. Известно ли положение какой-либо точки ? Назовите ее.

  4. Сколько точек остается построить, чтобы определить его положение?

После такой беседы по рисунку на доске учащимся можно предложить провести построение самостоятельно. Доказательство правильности построения провести устно.

Перпендикулярность прямых в пространстве

Ввод-ся:

1) перпен-ть прямых (2 прямые перпен., если они пересек. под прямым углом )

2) перпен-ть прямой и пл-ти (прямая пересек. пл-ть перпен. ей, если она перпен. любой прямой, к-ая лежит в данной пл-ти и проходит через точку пересечения)

3) перпен-ть пл-тей (2 пл-ти перпен., если в каждой из них через любую точку проходит прямая перпен. др. пл-ти).


26. Методика изучения темы «Многогранники».

Тема МНОГОГРАННИКИ является одной из центральных в курсе стереометрии средней школы. Широкие возможности для развития пространственных представлений открываются при использовании различных наглядных пособий, ТСО.

На тщательное выполнение чертежа фигуры учащийся затрачивает около 5 минут. Это непроизводственная затрата времени. Поэтому иногда, желая сэкономить время, учителя допускают неточное и небрежное выполнение чертежа основной фигуры, концентрируя основное внимание например на построении сечения. Это ухудшает качество учебной работы и в конечном счете не дает возможности проверить качество знаний учащихся. Учитель может использовать диафильмы. При проведении такой работы не требуется выполнение чертежа в тетради. Вместе с тем правильно выполненный чертеж находится в поле зрения учащихся.

Тему можно разделить на след.части:

  1. определение многогранника. Элементы многогранника. Выпуклые многогранники.

  2. призмы. Параллелепипеды.

  3. пирамиды.

  4. правильные многогранники.

  5. объемы многогранников.

1) изучение темы начинается с введения понятия многогранника. В большинстве учебников он характеризуется как ограниченное геометрическое тело с определенными характерными свойствами, только в Атанасяне рассматривается, как поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Для введения понятия учащимся понадобятся знания из курса планиметрии, которые необходимо повторить, а именно: понятие многоугольника, его элементы, выпуклые многоугольники. Перед определением понятия многогранника следует продемонстрировать учащимся модели различных многогранников, провести анализ определений, продемонстрировать отдельные его части; только после этого дать определение многогранника, собрав все сказанное воедино. Затем привести примеры из окружающей жизни.

Для закрепления изученного можно решить ряд задач на моделях. 2) основное внимание при изучении призм уделяется рассмотрению их частного вида – параллелепипеда. Наибольшие трудности, вызывают вопросы, связанные с построением и вычислением линейных углов для двугранных углов призмы, углов между ребрами и гранями . этим вопросам нужно уделить особое внимание, составив специальные упражнения для выработки соответствующих навыков у учащихся. Призма определяется как многогранник, обладающий определенными свойствами. В процессе работы над этим понятием необходимо показать модели различных призм, прямых и наклонных. При наблюдении подмечается то, что является общим для всех призм, и на основе этого дается определение. После этого показывается способ построения призмы, что по сути дела является конструктивным доказательством его существования. Важно подчеркнуть, что на изображении призмы боковые ребра – равные параллельные отрезки. В случае прямой призмы принято боковые ребра изображать вертикальными отрезками.

В ходе объяснения необходимо сделать выводы об элементах n – угольной призмы:

1. n – угольная призма имеет n+2 граней, n боковых граней.

2. n – угольная призма имеет 3n ребер, n боковые ребер.

3. n – угольная призма имеет 2n вершин.

4. n – угольная призма имеет n(n – 3) диагоналей.

Новым для учащихся является понятие высоты призмы, поэтому на построение высоты призмы и на определение этого понятия нужно обратить особое внимание. Целесообразно отметить на моделях, что в отдельных случаях основание высоты призмы может лежать на одном из ребер основания или совпадать с боковым ребром. После введения понятия высоты можно перейти к формулам для вычисления площади поверхности призмы и площади боковой поверхности. При выводе этих формул учитель, демонстрируя развертку поверхности данной призмы, убеждает учащихся, что задач сводится к вычислению площади полученного многоугольника. Параллелепипед рассматривается, как частный вид призмы. Свойства параллелепипедов аналогичны свойствам параллелограммов из курса планиметрии, поэтому повторение можно построить таким образом:

- при изучении параллелепипеда общего вида повторить общие свойства параллелограмма

- при изучении прямого параллелепипеда повторить свойства прямоугольника.

Свойства граней и диагоналей параллелепипеда сформулировать по аналогии со свойствами сторон и диагоналей параллелограмма. Включить задачи на построение сечения параллелепипеда плоскостью и вычисление площади полученного сечения. 3) прежде всего сообщается, что пирамида – это новый вид многогранников. Изучение пирамиды можно начать с рассмотрения способа ее построения, а потом дать ее определение. При построении следует заметить, что одна из граней у пирамиды – произвольный многоугольник, а все остальные грани – треугольники с общей вершиной. Классификация пирамид делается в зависимости от вида многоугольника, который лежит в ее основании. В зависимости от этого различают треугольные, четырехугольные и т.д. n – угольные пирамиды. Обращается особое внимание, что треугольная пирамида называется тетраэдром. Элементы пирамиды надо показать на рисунке и сделать соответствующие записи. При выполнении записей о числе тех или иных элементов у конкретной пирамиды надо сделать обобщение для n – угольные пирамиды. Особо подчеркнуть, что в отличие от призм пирамиды не имеют диагоналей. Понятие о поверхности пирамиды и вычисление ее площади следует дать с помощью развертки пирамиды. Понятие об усеченной пирамиде целесообразно ввести параллельно с изучением свойств сечений пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

4) раздел о правильных многогранниках носит описательный характер. На его изучение целесообразно отвести целый урок.

Материал о правильных многогранниках существенно дополняет и завершает раздел. Фактически здесь продолжается классификация многогранников; из выпуклых многогранников выделяются правильные. Правильные многогранники – яркий пример геометрических фигур, имеющих центр, оси и плоскости симметрии. В большинстве школьных учебников по геометрии в качестве одного из определяющих свойств правильного многогранника выделяются следующие: все его грани – равные правильные многоугольники. У Погорелова это свойство заменено другим: грани рассматриваемого выпуклого многогранника – правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон. Эти свойства эквивалентны, но первое яснее и проще и поэтому легче запоминается. В качестве второго определяющего свойства выбирается одно из следующих:

- в каждой вершине одно и то же число ребер

- в каждой вершине сходится одно и то же число граней

- все многогранные углы равны

- все двугранные углы равны.

Свойства 1 и 2 срабатывают, когда мы хотим проверить, является или нет данный многогранник правильным. А 3 и 4 дают возможность решать содержательные задачи на правильный многогранник. После введения определения учитель на моделях показывает его элементы.


27. Тела вращения.

Обычно теор. материал раздела о телах вращения по объему бывает невелик. Однако тут вводится много новых понятий, способы их введения, методы изучения тоже весьма различны.

При изуч-и фигур вращения очень велико значение чертежа.Чертеж явл. осн. ср-вом иллюстрации, развития прост­р-го воображения. При этом необходимо помнить, что чертеж, к-ый появл. на доске постепенно и сопровождается комментариями учителя, имеет большую пед. ценность. Учитель должен показать уч-ся как изобразить на пл-ти фигуру вращения, то или иное ее сечение. Знач-е изуч-я в школе св-в тел вращения трудно пере-­
оценить. Важную роль играет знакомство с ними в связи с под­готовкой уч-ков к жизни, к труду. Учителю следует подчеркнуть, что форму тел вращения имеют многие де­
тали машин, приборов. Такую же форму имеют архитектурные сооружения, предметы быта. Тема «Тела вращения» усваивается уч-ся неплохо. Одна­ко анализ состояния знаний уч-ся показывает, что недостаточно сформированы навыки в решении стереом-х з-ач, ошибки и недочеты как в выполнении графической части за­дания , так и в неумении проводить теор. обоснования отдельных этапов решения.

Весь круг вопросов по теме можно условно разделить на две группы:

1) Цилиндр и конус: а) определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевой и перпендикулярное оси, впис. и опис. многогр-ки; б) объем; в) площадь бок. пов-ти.

2) Шар и сфера: а) определение, симметрия, сечение, касат. пл-ть; б) объем шара; в) площадь сферы.

При планировании следует учитывать, что цилиндр и конус изучаются по единому плану и общий подход при рас-рении осн. понятий один и тот же. Подчеркивая общее и выявляя различия в св-вах цилиндра и конуса, учитель добивается осоз­-го усвоения материала уч-ся.


28. Векторы на плоскости и в пространстве.

В соответствии с требованиями программы по математике для средней школы понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики. В физике при помощи векторов изображаются различные направленные величины: сила, скорость, ускорение… при этом часто векторные величины называют векторами. Иногда такая направленная величина оказывается существенно связанной с определенной точкой или прямой. В математике же обычно имеют дело с так называемыми свободными векторами (не связанным ни с чем).

В пособии Погорелова вектор определяется: направленный отрезок называется вектором. У Атанасяна: вектором называется направленный отрезок. Отличительной чертой изложения векторов в пособии Погорелова является широкое использование координатного метода. При этом широко применяются свойства параллельного переноса. С его помощью вводятся такие важные понятия, как одинаково направленные векторы, равенство векторов. Две полупрямые называются одинаково направленными, если они совмещаются параллельным переносом; векторы одинаково направлены, если они принадлежат одинаково направленным полупрямым. Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. То есть существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора. Определив абсолютную величину вектора (длина отрезка, изображающего вектор) и одинаковую направленность векторов, можно получить такое следствие:

Равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине и обратно: если векторы равны по абсолютной величине и одинаково направлены, то они равны.

Доказательство следует проводить с помощью параллельного переноса. Операции над векторами: сложение векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов. Чаще всего эти операции вводятся в геометрической форме. У Погорелова в координатной форме. Это позволяет легко получить законы векторной алгебры. Сложение векторов: Суммой векторов и называется вектор , то есть +=. После этого можно доказать теорему: каковы бы ни были точки А,В и С имеет место векторное равенство: . (правило треугольника для сложения векторов). Это правило иногда применяют в качестве определения сложения векторов. Сложение векторов в пространстве определяется так же как и на плоскости. Умножение вектора на число: Определение этой операции сформулировано в координатной форме. Произведением вектора на число называется вектор , то есть =. Важным для приложения векторов является тот факт, что любой вектор допускает разложение в виде , где единичные векторы имеющие направления положительных координатных полуосей, их называют координатными векторами или ортами. В пространстве умножение вектора на число так же, только разложение идет по трем координатным векторам: . Скалярное умножение векторов: Скалярным произведением векторов и называется число . Из этого определения получаем закон для любых векторов , и : . После этого доказывается теорема: скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Из этой теоремы следует: если векторы , то их скалярное произведение равно 0 и обратно.

Рассмотрим еще некоторые свойства скалярного произведения: 1) (коммутативность); 2) , числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения; 3) выражение будем обозначать и называть скалярным квадратом вектора . Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, то есть ; 4) косинус угла между ненулевыми векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение числовых значений длин векторов, то есть:

. Скалярное произведение векторов в пространстве определяется аналогично.


29. Кординаты на плоскости и в пространстве.

Геометрия, в которой основными средствами исследования служат метод координат и метод элементарной алгебры, называется аналитической. Аналитическую геометрию можно охарактеризовать, как представление точек n – мерного пространства упорядоченными системами n чисел – координатами этих точек. Например, любую точку земли можно полностью охарактеризовать долготой, широтой и высотой над уровнем моря. Хорошим примером может служить термометр. Некоторой точке прямой ставится в соответствие число 0; положительные целые числа располагаются на равных расстояниях по одну сторону, а отрицательные – по другую, а дробные числа выстраиваются между ними. В двумерном случае положение точки на плоскости может быть определено ее расстоянием до двух фиксированных прямых – осей. Прямоугольные координаты употреблялись в геометрии еще до начала нашей эры. Древний математик Аполлоний уже пользовался прямоугольными координатами. При помощи них он определял уже известные в то время кривые: параболу, гиперболу и эллипс. Впервые идея координатного метода была развита Ферма и Декартом. В их формулировках расстояния до координатных осей могли быть только положительными числами и нулем. Идея о том, что они могут быть и отрицательными принадлежит Ньютону. Лейбниц первым назвал эти расстояния координатами. Значение аналитической геометрии состоит прежде всего в том, что она установила тесную связь между алгеброй и геометрией. По учебнику Погорелова координаты заняли одно из центральных мест. Они вводятся в седьмом классе. При нахождении координат середины отрезка рассматривается два случая возможного расположения этого отрезка: отрезок АВ не параллелен оси y, то есть х1х2, и х1 = х2, то есть отрезок параллелен оси. Формулы для вычисления расстояния между точками, координаты которых известны, также рассматриваются для различных случаев расположения этих точек. Ищем расстояние между точками А11,y1) и А22,y2). Вначале рассмотрим случай когда х1х2 и y1 y2. в этом случае получаем , что расстояние между А и А1 равно , а расстояние между А и А2 равно . (А – точка пересечения перпендик.к осям). Тогда по теореме Пифагора получаем искомое расстояние: .

После этого рассматриваются другие возможные случаи:

  1. х12, y1 y2; 2)х1х2, y1 = y2; 3)х12, y1 = y2; Убеждаемся, что полученная формула верна для всех этих случаев. При изучении метода координат мы выбираем обратный путь: исходя из геометрических свойств некоторых кривых выводим их уравнение. Уравнением фигуры на плоскости в декартовых координатах называется уравнение с двумя неизвестными х и y, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры. Уравнение фигуры на плоскости можно записать так: F(х,y)=0, где F(х,y) – функция двух переменных. В пространстве это уравнение примет вид: F(х,y,z)=0. В обязательную программу входят уравнения окружности и прямой. Составление уравнения окружности с центром в точке А0(а,в) и радиусом R начинается с того, что используется геометрическое определение окружности, получаем уравнение окружности. Замечаем, что координаты х и y каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению:

(х – а)2 + (y - в)2 = h2. (1) Затем рассматриваем обратную задачу: покажем, что любая точка А, координаты которой удовлетворяют уравнению (1), принадлежат окружности, а это очевидно. Таким образом, мы действительно показали, что уравнение (1) есть уравнение фигуры – окружности. Вывод уравнения прямой проводится по такой же схеме.Оно имеет вид ах + вy + с = 0 В курсе геометрии рассматриваются пространственные уравнения плоскости и сферы. Уравнение плоскости имеет вид: , причем коэффициенты а, b, c являются координатами вектора, этой плоскости. Здесь учащиеся по-новому подходят к заданию прямой в пространстве. Так как любая прямая полностью определяется, если заданы две плоскости, проходящие через эту прямую, то от сюда след.что любая прямая в пространстве задается двумя линейными уравнениями – уравнениями плоскостей, проходящих через нее. Уравнение сферы вводится так же, как уравнение окружности. Следует обратить внимание на то, что основную роль в вопросах приложений метода координат занимает рациональный выбор расположения осей координат. Рассмотрим теорему: середина гипотенузы прямоугольного треугольника равно удалена от его вершин. Первым шагом при применении метода координат является такой выбор осей и начала координат, при котором алгебраические выкладки становятся более простыми. Удобнее всего вершину прямого угла расположить в начале координат.

30. Геометрические величины (длины, углы, площади, объемы).

Измер-е геом. величин - одна из осн. линий школьного курса геом-и, знакомящая уч-ся с важными идеями, понятиями и методами метрической геом-и. Измер-е геом-х величин связано с идеей аксиомат-го метода, теорией действ. числа, методами мат. анализа. При изуч-и данного вопроса уч-ся знакомятся с целым рядом фор-л, с помощью к-ых расширяются возможности примен-я в школьном курсе геом-и аналит. метода. Сочетание различных математ-х идей и методов - главная особ-ть в изложении данного уч. материала.

Принципиальным моментом в теории измер-я объемов тел явл. обоснование ф-лы объема прямоуг-го парал-да. Вывод этой ф-лы для уч-ся явл. достаточно сложным и трудным. Структурная сложность док-ва подсказывает, что при его изуч-и целесообразно исп. приемы выделения лог. структуры док-ва (разбиение док-ва на отдельные шаги).
1   2   3


25. Перпендикулярность прямых и плоскостей на плоскости и в пространстве
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации