Кулешов А.А., Докукин В.П. Надежность горных машин и оборудования - файл n1.doc

приобрести
Кулешов А.А., Докукин В.П. Надежность горных машин и оборудования
скачать (1532.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1533kb.18.09.2012 19:30скачать

n1.doc

  1   2   3   4


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова

(технический университет)


А.А.Кулешов, В.П.Докукин


НАДЕЖНОСТЬ ГОРНЫХ МАШИН

И ОБОРУДОВАНИЯ
Учебное пособие


Допущено Учебно-методическим объединением вузов

Российской Федерации по образованию в области горного дела

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Горные машины

и оборудование» направления подготовки дипломированных

специалистов «Технологические машины и оборудование»

Санкт-Петербург

2


004

УДК 622.002.5.004.62(075.80)

ББК 33.16

К 90

Изложены основные термины и положения теории надежности, методы повышения уровня надежности горных машин. Приведены формулы для расчета показателей надежности и способы обоснования структурных схем подземных комплексов при анализе уровня надежности. Рассмотрены пути определения периодичности профилактики оборудования при его эксплуатации. Рекомендована последовательность формирования стратегии обслуживания горного оборудования. Приведены примеры расчета характеристик надежности при выполнении расчетно-графического задания по курсу «Надежность горных машин и оборудования».

Рецензенты: кафедра подъемно-транспортных машин и оборудования Северо-Западного заочного технического университета; профессор Санкт-Петербург­ского государственного электротехнического университета, действительный иностранный член Украинской нефтегазовой академии, докт. техн. наук В.П.Калявин.

Кулешов А.А.

К 90. надежность горных машин и оборудования: Учеб. пособие / А.А.Кулешов, В.П.Докукин. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет). СПб, 2004. 104 с.

ISBN 5-94211-168-5
УДК 622.002.5.004.62(075.80)

ББК 33.16


ISBN 5-94211-168-5

 Санкт-Петербургский горный

институт им. Г.В.Плеханова, 2004 г.



ВВЕДЕНИЕ
Теория надежности машин и оборудования является для горного инженера-механика одной из важнейших дисциплин, закладывающих основу правильной эксплуатации горного оборудования и проектирования новых образцов. Низкий уровень надежности сказывается на стоимости продукции, временных затратах, а в определенных случаях грозит безопасности отдельных людей и экологии окружающей среды. Проблема надежности стоит в центре современной техники, исследование природы надежности на разных уровнях ее конкретизации делает практически необходимой и теоретически значимой разработку диалектики и методологии современной техники. С ростом технического уровня средств комплексной механизации надежность приобретает все более важное значение среди факторов, влияющих на уровень использования горного оборудования. Так, например, простои очистных забоев, использующих узкозахватные комплексы, из-за выходов из строя элементов комплекса составляют 15-20 % рабочего времени.

В технике решение проблемы надежности связано с развитием теории надежности, которая представляет собой научное направление, базирующееся на методах теории вероятности и математической статистики. Теория надежности позволила выработать действительные научные критерии, ее математический аппарат дает возможность оценивать качество систем их количественными характеристиками.

Развитие теории надежности идет по трем направлениям:

1. Изучение проблемы структуры надежности, связанное с определением общей надежности сложных устройств при различном соединении элементов и с разработкой методики выбора элементов и узлов аппаратуры и режимов их работы при заданной степени надежности.

2. Определение надежности элементов, связанное с изучением физических свойств элементов.

3. Исследование надежности передачи сигнала в условиях помех, проблема помехоустойчивого кодирования.

Важнейшие технические качества устройства зависят от надежности устройства в целом и от надежности его элементов.

Надежность – это качество системы и в то же время ее количественная оценка. Вероятностный смысл надежности очевиден. Надежность можно оценивать количественно. Но роль математики в теории надежности не сводится только к роли некоего «измерительного инструмента». Она составляет важнейший аналитический аппарат, который с большим успехом применяется для более эффективного планирования испытаний как в процессе конструирования системы, так и при организации процесса эксплуатации.

Теория надежности основывается на вероятностной природе самого феномена надежности. При таком подходе из всех состояний, в которых может находиться та или иная система, выделяется множество таких состояний, которые различаются между собой с точки зрения надежности. Это множество называется фазовым пространством системы. С течением времени в составных частях системы происходят различные изменения, например, связанные со «старением» элементов. Поэтому, если в момент t1 состояние системы описывается точкой х1, то в момент t2 > t1 состояние системы соответствует точке х2. При этом может оказаться, что х2  х1.

Если обозначить через х(t)  G состояние системы в момент времени t, то последующие состояния х(t), зависящие от времени, можно рассматривать как процесс, протекающий во времени. Так как изменение состояний носит случайный характер, то значение х(t) можно рассматривать как траекторию случайного процесса, протекающего в фазовом пространстве состояния системы G. Когда определено фазовое пространство G = {x} и в нем задан случайный процесс х(t), описывающий эволюцию системы по времени, то следующим этапом является выбор различных числовых характеристик надежности системы.

Нет элементов абсолютно надежных, т.е. таких, вероятность безотказной работы которых равна единице. Имеет место старение элементов вследствие физической энтропии, поэтому надежность того или иного элемента есть убывающая функция времени, и усилия, направленные на повышение надежности элемента, приводят лишь к замедлению убывания вероятности его безотказной работы.

Академик А.И.Берг так определил круг вопросов теории надежности: «Теория надежности устанавливает закономерности возникновения отказов и восстановления работоспособности системы и ее элементов, рассматривает влияние внешних и внутренних воздействий на процессы в системах, создает основы расчета надежности и предсказания отказов, изыскивает способы повышения надежности при конструировании и изготовлении систем и их элементов, а также способы сохранения надежности при эксплуатации» (1963).

Основные задачи теории надежности сводятся к следующему:

Ликвидация отказов различных элементов горных машин всегда сопряжена с необходимостью проведения внеплановых ремонтов в периоды рабочих смен и приводит к сокращению времени на выполнение горной машиной ее основных функций. Иногда ликвидация неисправностей оборудования может быть совмещена с технологическими простоями. Поэтому сокращение затрат времени на ликвидацию отказов горных машин тесно связано с возможностями правильной оценки технического состояния элементов и узлов машины, а также установления оптимальной периодичности технического обслуживания оборудования.

В решении всех этих задач используются методы и инструменты теории надежности.
1. ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
Однозначность трактовки и понимания различных положений в любой теории основана на использовании общепринятых терминов. Для этого разрабатываются специальные стандарты, содержащие разъяснения важнейших терминов. Основные термины и определения теории надежности изложены в ГОСТ 27.002-89.

1.1. Общие термины
Надежность – свойство объекта выполнять заданные функции, сохраняя во времени значения установленных эксплуатационных показателей в заданных пределах, соответствующих заданным режимам и условиям использования объекта, ремонта, хранения и транспортирования.

Надежность включает в себя:

Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторого времени или некоторой наработки.

Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания (ТО) и ремонта.

Ремонтопригодность – свойство объекта, заключающееся в приспособленности к предупреждению и обнаружению причин его отказов, повреждений и устранений их последствий путем проведения ремонта и ТО.

Сохраняемость – свойство объекта непрерывно сохранять исправное и работоспособное состояние в течение и после хранения и (или) транспортирования.

Для оценки надежности объекта используют показатели. Показатель надежности – это количественная характеристика одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта.

Объект – предмет назначения и практической деятельности человека. В теории надежности рассматриваемые объекты определенного целевого назначения являются результатом производственной деятельности человека: изделие, система, элемент.

Изделие расходует свой ресурс, продукт расходуется сам. Изделие рассматривается в периоды проектирования, изготовления, эксплуатации, исследований, испытаний на надежность.

Техническая система является множеством элементов, взаимосвязанных функционально и взаимодействующих друг с другом в процессе выполнения определенного круга задач.

Элемент – простейшая в рамках конкретного рассмотрения составная часть системы.

Понятие система и элемент относительны и трансформируются в зависимости от поставленной задачи.

Наработка – продолжительность или объем работы объекта.

Предельное состояние – состояние объекта, при котором его дальнейшая эксплуатация должна быть прекращена из-за неустранимых нарушений требований безопасности, или неустранимого ухода заданных параметров за установленные пределы, или неустранимого снижения эффективности эксплуатации ниже допустимой, или необходимости проведения среднего или капитального ремонта. Признаки (критерии) предельного состояния устанавливаются нормативно-технической документацией на данный объект.

Исправное состояние (исправность) – состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям, установленным нормативно-технической документацией (НТД).

Работоспособное состояние (работоспособность) – состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значение заданных параметров в пределах, установленных НТД.

Неисправное состояние (неисправность) – состояние объекта, при котором он не соответствует хотя бы одному из требований, установленных НТД.

Неработоспособное состояние (неработоспособность) – состояние объекта, при котором значение хотя бы одного из заданных параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, не соответствует требованиям, установленным НТД.

Повреждение – событие, заключающееся в нарушении исправности объекта или его составных частей вследствие влияния внешних воздействий, превышающих уровень, установленный в НТД на объект.

Повреждения могут быть незначительными или значительными. Первое означает нарушение исправности при сохранении работоспособности, второе – отказ объекта.

Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособности объекта. Признаки (критерии) отказов устанавливаются НТД на данный объект.

Восстанавливаемый объект – объект, работоспособность которого в случае возникновения отказа подлежит восстановлению в рассматриваемой ситуации.

Невосстанавливаемый объект – объект, работоспособность которого в случае возникновения отказа не подлежит восстановлению в рассматриваемой ситуации.

Восстанавливаемый и невосстанавливаемый объекты рассматривают в зависимости от этапа эксплуатации. Например, метеоспутник является восстанавливаемым во время хранения и невосстанавливаемым во время полета.

1.2. Отказы и их классификация
Внезапный отказ – отказ, характеризующийся скачкообразным изменением одного или нескольких заданных параметров объекта.

Постепенный отказ – отказ, характеризующийся постепенным изменением одного или нескольких заданных параметров объекта.

Независимый отказ элемента – отказ элемента объекта, не обусловленный повреждением или отказом других элементов.

Зависимый отказ элемента – отказ элемента, обусловленный повреждением или отказом другого элемента объекта.

Сбой – самоустраняющийся отказ, приводящий к кратковременным нарушениям работоспособности.

Перемежающийся отказ – многократно возникающий сбой одного и того же характера.

Конструкционный отказ – отказ, возникающий в результате нарушений установленных правил и (или) норм конструирования и (или) несовершенства методов конструирования.

Производственный отказ – отказ, возникший в результате нарушения установленного процесса изготовления или ремонта объекта.

Эксплуатационный отказ – отказ, возникший в результате нарушения установленных правил и (или) условий эксплуатации или влияния непредусмотренных внешних воздействий.

Полный отказ – отказ, после возникновения которого использование объекта по назначению невозможно до восстановления его работоспособности.

Частичный отказ – отказ, после возникновения которого изделие может быть использовано по назначению, но с меньшей эффективностью.

Причина отказа – явления, процессы, события и состояния, обусловившие возникновение отказа объекта. Возникновение отказа может быть обусловлено ошибками либо низким уровнем проектирования объекта, несоблюдением технологии при производстве, нарушениями правил эксплуатации, различного рода повреждениями, естественными процессами в самом объекте (усталость материала, износ, коррозия и др.).

При проектировании ошибки связаны с неправильным установлением горно-технических условий работы объекта, выбором величины и характера действующих на элементы нагрузок, сочетания материалов взаимодействующих узлов, погрешностью расчетов. В современных условиях значительному сокращению проектных ошибок способствует применение систем автоматизированного проектирования на основе ЭВМ.

Источником отказов из-за некачественного изготовления являются погрешности механической и термической обработки, остаточные напряжения и скрытые дефекты в материале. Количество технологических отказов составляет от 15 до 25 %, продолжительность простоев из-за этих отказов – от 19 до 25 %, а трудоемкость устранения – от 17 до 30 %.

Эксплуатационные отказы имеют наибольший удельный вес, как по количеству, так и по продолжительности и трудоемкости устранения. До 50 % от их общего количества составляют отказы, вызванные горно-техническими причинами. В основном это неожиданные перегрузки машин. Ошибочные отказы связаны с нарушением технических инструкций, правил и норм эксплуатации, низкой профессиональной подготовкой операторов, несвоевременным обслуживанием и ремонтом оборудования. Соотношения между различными видами отказов приведены в табл.1.1.
Таблица 1.1

Соотношение отказов, %


Машины

Конструкционный отказ

Производственный отказ

Эксплуатационный отказ

Комплекс КМ-87Д

17

19

64

Комбайн БК-52

12

23

65

Струговая установка УСБ-2М

3

7

90


Режим работы существенно влияет на надежность деталей, узлов машин и комплексов. Режим работы оценивается коэффициентом нагруженности:

Kн = Рр/Рд,

где Рр – рабочая нагрузка; Рд – предельно допустимая нагрузка.

Признаки отказа указываются в нормативно-технической документации к каждому изделию. Основным признаком отказов и неисправностей является их влияние на выполнение технико-экономических требований, предъявляемых к оборудованию.

Последствия отказа – явления, процессы, события и состояния, обусловленные возникновением отказа объекта.

Наименее безотказные системы:

На режущую часть, механизм подачи и электрооборудование комбайна приходится от 9 до 25 % всех отказов (табл.1.2).
Таблица 1.2

Удельный вес отказов (простои в процентах от продолжительности смены)


Машина

Очистной комплекс

Очистной комбайн

Забойный конвейер

Механизированная крепь

Комплекс в целом

КМ 87Э с комбайном 2К52М

4,3

4,0

1,6

9,9

КМ 87Э с комбайном 1ГШ68

4,2

4,3

2,0

10,5

1 КМД7 с комбайном 1К101

5,1

4,2

1,8

11,1

1 КМ88 с комбайном 1К101

6,3

3,7

2,0

12,0

«Донбасс» с комбайном МК 67

4,1

3,8

2,4

10,3

«Донбасс» с комбайном 1К101

6,0

5,3

2,4

13,7


Принципиальной разницы между внезапными и постепенными отказами нет, так как внезапные отказы в большинстве случаев являются следствием постепенного, но скрытого от наблюдения изменения параметров, когда факт поломки деталей воспринимают как внезапное событие.

Причинами внезапных и постепенных отказов являются: хрупкое разрушение, пластическая деформация, ползучесть, усталость материалов, изнашивание, коррозия металлов, старение материалов.

Отказы элементов горных машин и комплексов могут быть классифицированы по ряду признаков (табл.1.3).
Таблица 1.3

Классификация отказов


Признак классификации

Вид отказа

Примеры










Характер изменения основных параметров объекта до момента возникновения

Внезапный

отказ

Разрыв цепи скребкового конвейера (изменены все параметры)

Отказ одного из приводных блоков скребкового конвейера










Продолжение табл.1.3

Признак классификации

Вид отказа

Примеры










Характер изменения основных параметров объекта до момента возникновения

Постепенный отказ

Затупление режущего инструмента комбайна, износ бандажей колес электровоза



















Возможность последующего использования объекта после возникновения его отказа

Полный отказ

Разрыв тягового органа конвейера, скреперной установки, толкателя вагонеток, отказ электродвигателя насоса













Частичный

отказ

Отказ одного электродвигателя многоприводного конвейера



















Связь между отказами

Независимый отказ

Выкрашивание твердого сплава в буровой коронке













Зависимый

отказ

Разрыв тягового органа вследствие его заклинивания

Перегорание электродвигателя при отказе одного из контактов пускового устройства



















Устойчивость неработоспособности

Устойчивый

отказ

Поломка или чрезмерный износ любых деталей













Самоустраняющийся сбой

Пробуксовка ленты, клиноременной передачи, сбои в ЭВМ



















Наличие внешних проявлений отказа

Очевидный

(явный)

Скручивание вала приводного барабана ленточного конвейера













Скрытый

(неявный)

Поломка зубчатого колеса радиатора



















Причина возникновения отказа

Конструкционный отказ

Ошибка конструктора, несовершенство принятых методов конструирования













Производственный отказ

Ошибка при изготовлении, нарушение технологии, несовершенство технологии













Эксплуатационный отказ

Нарушение ПЭ, внешние воздействия, несвойственные норме эксплуатации










Окончание табл.1.3

Признак классификации

Вид отказа

Примеры










Время возникновения отказа

Отказ

при испытании

Износ и поломка деталей из-за нарушения инструкции по эксплуатации

Поломки из-за перегрузки




Отказ периода приработки




Отказ

при нормальной эксплуатации







Отказ в конце эксплуатации





Анализ и учет факторов, воздействующих на горное оборудование в процессе эксплуатации, являются основой для поддержания уровня надежности, заложенного при проектировании.

1.3. Случайные величины в теории надежности
Физические процессы практически в любой области носят случайный характер. Это связано с причинами их возникновения и течения. Поэтому исследования в теории надежности выполняются на основе методов теории вероятностей и математической статистики. Основой этих методов являются понятия события, случайной величины, теоремы сложения и умножения вероятностей для оценки надежности.

1.3.1. Понятия события и случайной величины
Событие – всякое явление, которое при осуществлении определенной совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.

Различают события достоверные, невозможные и случайные:

Вероятностью события называется численная мера степени объективности возможности этого события. Вероятность события А обозначим Р(А). Вероятность случайного события А принимает значения в диапазоне 0  Р(А)  1. Массовые однородные случайные события, независимо от их конкретной природы, при выполнении одних и тех же условий подчиняются вероятным закономерностям, которые позволяют предвидеть частоту их проявления.

В теории надежности рассматривают следующие однородные случайные события: повреждение, отказ, восстановление, ремонт.

Если в течение опыта появление события А исключает появление события В, то такие события называются несовместными. Если в опыте при появлении события А возможно осуществление события В, то такие события называются совместными.

Событие , состоящее в том, что событие А в опыте не осуществляется, называется противоположным событию А. Если вероятность осуществления одного события не зависит от того, осуществилось или нет другое событие, то такие события называются независимыми. В противном случае события называются зависимыми.

События в опыте образуют полную группу, если в результате должно произойти хотя бы одно из них.

Случайная величина – величина, которая может принять какое-либо неизвестное заранее возможное значение, зависящее от случайных факторов (причин), которые не могут быть учтены.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретные (прерывные) величины – это случайные величины, принимающие отдельные друг от друга значения. В теории надежности дискретными являются: количество невосстанавливаемых объектов, отказавших в заданном интервале времени; количество отказов восстановленного объекта в заданном интервале времени; количество объектов, восстановленных в заданном интервале времени.








Рис.1.1. График функции распределения дискретной величины:

а – многоугольник распределения; б – график функции распределения

Непрерывные случайные величины – это величины, значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток. Примеры непрерывных случайных величин: наработка, ресурс, срок службы, время восстановления, срок сохраняемости.

В результате измерения случайные величины получают конкретные реализации. Каждая реализация может появиться с определенной вероятностью р1, р2, …, рп. Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения случайной величины. Формой задания закона распределения может быть таблица или многоугольник распределения (рис.1.1, а). Полной и универсальной формой задания закона распределения случайной величины является функция распределения или интегральный закон распределения.

1.3.2. Основные теоремы теории вероятностей в надежности
При расчетах надежности различных объектов часто используются теоремы сложения и умножения вероятностей, которые формулируют способы определения вероятностей суммы и произведения событий.

Суммой событий А1, А2, …, Ап называется сложное событие, состоящее в том, что осуществляется событие А1, А2 и т.д.

Произведением событий А1, А2, …, Ап называется сложное событие, состоящее в том, что осуществляется событие А1 и А2 и т.д.

Теоремы сложения вероятностей

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(АI + А2 + … + Ап) = Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Ап).

Вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А1 + А2 + А3) = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) – Р(А1А2)

Р(А1А3) – Р(А2А3) + Р(А1А2А3)

или

Р(А1 + А2 + … + Ап) = Р(Аi) – Р(Аij) + Р(АiAj Ak) – … +

+ (–1)n – 1P(A1A2An).

Следствие 1. Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Р(Аi) = 1.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р = 1.

В ряде случаев проще определить вероятность противоположного события Р, тогда вероятность основного события легко определяется по формуле

Р(А) = 1 – Р.

Теоремы умножения вероятностей

Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А1А2Ап) = Р(А1)Р(А2) … Р(Ап) = .

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое из них произошло:

Р(А1А2) = Р(А1)Р(А2/А1).


1.3.3. Законы дискретных распределений случайной величины

Для дискретных случайных величин функция распределения имеет вид:

F(x) = P(X=xi),

где xi – значения случайной величины; Р – вероятности появления данного значения.

Когда текущая переменная х проходит через одно из возможных значений дискретной величины Х, функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения. Сумма всех возможных скачков функции F(x) равна единице. График функции распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую кривую (рис.1.1, б)

В задачах надежности из дискретных распределений наиболее часто используют биномиальное распределение и распределение Пуассона.

Биноминальным называют закон распределения дискретной случайной величины числа х появления событий K раз в n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событий равна Р.

Вероятность того, что событие наступит ровно K раз (безразлично, в какой последовательности) определяется по формуле Бернулли:



или

,

где q = 1 – p – вероятность непоявления события в каждом испытании.

Если число испытаний n велико, а вероятность появления событий р в каждом испытании мала, то используется формула

,

где а = np – среднее число (математическое ожидание) событий в n испытаниях.

Распределение дискретной случайной величины Х, описываемое последней формулой, называется распределением Пуассона.

Биноминальное распределение имеют, например, отказы восстанавливаемых объектов в течение заданного периода времени.

Пример. На шахте работают шесть конвейеров с турбомуфтами. Вероятность безотказной работы одной турбомуфты в течение четырех месяцев q = 0,8. Найти вероятность выхода из строя в течение четырех месяцев нуля, одной, двух, трех и четырех муфт:













Пример. Цепь скребкового конвейера СП-63 имеет n = 200 соединительных звеньев. Вероятность выхода из строя соединительного звена в течение суток р = 0,01 (q = 1 – 0,01 = 0,99). Определить вероятность порыва в течение суток четырех звеньев:

А = nр = 200  0,01 = 2;

.

Вероятность порыва в течение суток больше четырех звеньев

.

1.3.4. Законы непрерывных распределений

случайной величины












F(x), f(x)

1



F(x)


f (x)

0

a

х



Рис.1.2. Нормальный закон распределения случайной величины


В теории вероятности используется много законов распределения случайной величины. К ним относятся распределения Лапласа, Коши, Стьюдента, Эрланга и многие другие. Рассмотрим распределения, наиболее часто используемые в горных процессах.

Нормальное распределение. Для износовых отказов характерно нормальное распределение наработки на отказ (шахтные насосы, центрифуги и др.).

Нормальное распределение характеризуется плотностью вероятности (рис.1.2)

,

где 2 – дисперсия; а – математическое ожидание предельного изменения случайной величины х, –  х  .

Функция нормального распределения описывается формулой

.

Обозначая , получим , откуда

.

Так как , то

,

где Ф(Z) – нечетная функция, т.е. Ф(–Z) = – Ф(Z).

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [, ] составит

Р[  х  ] = .

Пример. Наработка на отказ турбомуфты скребкового конвейера распределяется нормально с параметрами а = 500 ч и  = 100 ч.

Определить вероятность безотказной работы для наработки t1 = 200 ч и t = 700 ч:

;

Ф(–3) = –Ф(3) = –0,4987; Ф(2) = 0,4772;

Р(200) = 1 – F(200) = 1 – (0,5 – 0,4987) = 0,9987;

Р(700) = 1 – F(700) = 1 – (0,5 + 0,4772) = 0,0228.

Логарифмически-нормальное распределение наработки имеют многие невосстанавливаемые изделия, например, подшипники качения. При таком распределении логарифм случайной величины х распределен по нормальному закону.

Плотность вероятности:



или

,

где М = 0,43;  – среднеквадратичное отклонение логарифма случайной величины.

Область возможных значений х лежит в интервале (0, +). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины х при логарифмически-нормальном распределении (рис.1.3):



Распределение Вейбулла имеют некоторые объекты, у которых отказ наступает вследствие усталостного разрушения, многие полупроводниковые приборы.

Распределение Вейбулла (рис.1.4) имеет функцию распределения



и плотность вероятности





F(x), f(x)
1

F(x)


f (x)

0

х






Рис.1.3. Логарифмически-нормальное распределение

случайной величины


х

0

F(x), f(x)

1


b  1, F(x)

1, F(x)




 1, F(x)




 1, f (x)

1, f (x)



 1, f (x)


Рис.1.4. Распределение Вейбулла



Параметр  оказывает влияние на вид функции распределения и плотность вероятности.

Экспоненциальное распределение. Распределение Вейбулла при b = 1 имеет плотность вероятности



и функцию распределения

.

Это распределение называется экспоненциальным и имеет особое значение в теории надежности.

Наработка на отказ многих невосстанавливаемых изделий (средств автоматизации и радиоэлектронной аппаратуры и др.), у которых явление износа и старения слабо выражены, распределены экспоненциально.

Вероятность безотказной работы

.

Интенсивность отказов

.

Поэтому плотность вероятности и функцию распределения при экспоненциальном распределении записывают в виде

.

Функция распределения .
Размерность с–1 – количество отказов в единицу времени.

Можно показать, что средняя наработка до отказа и дисперсия .

Пример. Интенсивность отказов гидронасоса комбайна  = 0,0006 ч–1. Определить вероятность безотказной работы насоса за 300 ч и среднюю наработку до отказа.

Вероятность безотказной работы за 300 ч

.

Средняя наработка до отказа

ч.

Вероятность безотказной работы при этом распределении зависит только от длины рассматриваемого интервала времени t и не зависит от момента времени , с которого начинается отсчет.

Гамма-распределение. Если устройство состоит из одного рабочего и n резервных элементов, каждый из которых включается в работу после отказа предыдущего, то отказ устройства наступит в тот момент, когда выйдет из строя элемент n + 1.

Если все элементы имеют экспоненциальное распределение с интенсивностью отказов , то наработка до отказа всего устройства будет иметь -распределение с параметрами  и m = n + 1.

Плотность распределения случайной величины (рис.1.5) определяется из выражения

,

где Г – обозначение -функции, если m – целое число, то Г(m) = = (m – 1)!

Гамма-распределение наработки и времени восстановления могут иметь некоторые другие объекты, в этом случае m может быть как целым, так и дробным числом.



t

0

f (x)

1  m  2




m  2

0  m  1




m = 1



Рис.1.5. Гамма-распределение
При m = 1 -распределение имеет плотность вероятности

,

т.е. экспоненциальное распределение является частным случаем -распределения.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей -распределение:



Усеченное нормальное распределение. Часто целесообразно использовать такие распределения, полученные путем ограничения интервала возможного значения случайной величины  (рис.1.6).

Минимальная наработка  0, максимальная  r. Интервал наработки [S, r]. Случайное значение tв также заключено в некотором интервале.

Если исходное распределение имеет плотность вероятности f1(t), а усеченное – плотность вероятности f2(t), то f2(t) = с f1(t).


f (t)

f2(t)

f1(t)



t

0

s

r


Рис.1.6. Усеченное нормальное распределение
Так как при любом интервале изменения случайной величины , то постоянная с может быть определена из условия

,

откуда

,

где F1(r), F1(S) – значения исходной функции в точках, соответствующих r и S.

Для нормального распределения

,

где .
При интервале 0,  изменения случайной величины

.

Соответственно

Ф(Z2) = 0,5; Ф(Z1) = –Ф; .

Пример. Интенсивность отказов гидронасоса комбайна  = 0,0006 ч–1. Определить вероятность безотказной работы насоса за 300 ч и среднюю наработку до отказа.

Вероятность безотказной работы за 300 ч

.

Средняя наработка до отказа

ч.

1.4. Показатели надежности
Для решения практических вопросов в области надежности используются показатели, с помощью которых характеризуется количественно уровень надежности горных машин и оборудования.

Показатели надежности позволяют:

Для количественной характеристики надежности могут использоваться различные показатели, которые относятся к различным свойствам надежности.

1.4.1. Показатели безотказности

Безотказность – вероятность того, что в пределах заданной наработки отказа объекта не возникнет.

Показатели безотказности невосстанавливаемых объектов:

Математическое определение вероятности безотказной работы от начала эксплуатации до t0 (рис.1.7):

,

где – случайное время работы (наработки) объекта до отказа (между отказами); – функция распределения случайной величины ;

,

где – количество исправленных объектов в момент времени t0; – количество исправленных объектов в момент времени t = 0; – количество отказов объектов за время t0.


t0

F(t0) = Q(t0)

f (t)

a

1

0

P(t0) = f – F(t0)

t





Рис.1.7. Определение безотказности: а – вероятностное;

б – статистическое
Таким образом, – отношение числа объектов, безотказно проработавших до момента времени t0, к числу объектов, исправленных в начальный момент времени t = 0, или частость события, состоящего в том, что реализация времени работы объекта до отказа окажется больше заданного времени работы t0.

Рассмотрим это на примере:

; или ; ;

; ; .

Если отсчет времени работы производится от произвольного момента t, то вероятность безотказной работы в интервале времени от t до t + t0 может быть определена на основании теоремы умножения вероятностей.

Действительно,

.

вероятностный способ определения:

,

где – вероятность того, что объект проработает безотказно в течение заданного времени t0, начиная с момента времени t, или условная вероятность того, что случайное время работы до отказа окажется больше t + t0 при условии, что объект уже проработал безотказно до момента времени t.

Статистический способ определения:

,

где – количество объектов, исправленных к моменту времени t.

При вероятности отказа в интервале времени от 0 до t0:

,

где Q(t0) – вероятность того, что объект откажет в течение заданного времени t0, начав работу при t = 0, или того, что случайное время работы объекта до отказа окажется меньше заданного времени t0; очевидно, что Q(t0) = 1 – Р(t0), так как события несовместны;

.

При вероятности отказа в интервале времени от t до t0:

;

,

где n(t, t0) – число общих отказов именно в интервале времени (tt0).
  1   2   3   4


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации