Подболотов Б.Н. Лекции по вычислительной математике - файл n1.docx

Подболотов Б.Н. Лекции по вычислительной математике
скачать (1133.7 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.docx1134kb.18.09.2012 19:01скачать

n1.docx

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ
Факультет по работе с иностранными студентами и дистанционным

технологиям

Кафедра физико-математической подготовки

Б. Н. Подболотов
КУРС ЛЕКЦИЙ
по дисциплине «Вычислительная математика»

для студентов заочной (ускоренной) формы обучения

по специальности 230201

«Информационные системы и технологии»


Воронеж 2006

Лекция 1




Введение. Численные методы и приближённые вычисления


Раздел математики, занимающийся построением и обоснованием численных алгоритмов, решений сложных задач из различных областей науки и производственной деятельности называется прикладной математикой.

Главная задача прикладной математики нахождение решений с требующейся точностью. Этим она отличается от классической математики, которая основное внимание уделяет исследованию условий существования решений и его свойств.

В истории прикладной математики можно различить 3 периода:

1 период 3-4 тыс. лет назад – вычисление объемов, площадей и решение простых задач арифметики, алгебры, геометрии. (жрецы)

2 период начался с Ньютона. Решались задачи астрономии, геодезии и расчета механических конструкций. Задачи сводились либо к решению ОДУ, либо систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Бруно, Коперник.

3 период начался с 1940 года, когда надо было быстро рассчитывать, быстро передвигаться, предметы (катюша), зенитные орудия и т.д.

Курчатов, Сахаров, Королев, Появились ЭВМ.

Это потребовало от исследователей разработки и совершенствования ранее существующих методов и разработки новых методов.

Не следует думать, что знание численных методов и новых ЭВМ позволяет сразу решить любую задачу.

Решение сложной инженерной задачи выполняется в следующей последовательности.

7. Анализ полученных результатов

1. Постановка задачи

2. Построение математической модели

3. Выбор метода решения задачи

4. Построение алгоритма решение задачи

5. Составление программы для ЭВМ

6. Расчет на ЭВМ

инженер

математик

программист

инженер

Формулируется конечная цель решения, выявляются исходные и получаемые параметры.

Система отношений, связывающая исходные и конечные параметры.

Позволяет по исходным данным найти исходный результат. Составляется схема последовательных действий (алгоритм).

Тот же алгоритм, но записанный на языке «понятном» для ЭВМ.

Численный расчет.



При построении математической модели могут быть упущены или некорректно учтены некоторые важные обстоятельства. Выбранный метод решения может дать недопустимо грубый результат. При составление алгоритма или программы могут быть допущены различного рода ошибки. И если инженер является узким специалистом только в своей области специальных знаний, то он полностью зависит от математика и программиста. Знание курса вычислительной математики позволяет избавиться от этой зависимости.

Раздел вычислительной математики состоит из следующих частей:

  1. Общие понятия об интерполировании функции. Численное интегрирование и дифференцирование.

  2. Решение СЛАУ.

  3. Решение нелинейных уравнений.

  4. ОДУ.

  5. Задачи на собственные решения.



Методы решения


Методы решения задач делятся на аналитические, графические и численные.

Численные методы- это методы приближенного или точного решения математической задачи, основанные на построении конечной последовательности арифметических действий над числами. Численные методы связанны, прежде всего, с погрешностями при работе с числовой информацией.

Абсолютная и относительная погрешность.


Пусть ?- точное значение некоторой величины, ?n- известное приближенное к этому точному значению. Абсолютной погрешностью приближения ? называется величина

или ?n= ? ± ∆?

Абсолютная погрешность далеко не всегда может охарактеризовать эффективность метода получения приближённого результата: например

∆?= 1 мм при измерении расстояния в 1 км или диаметра вала 4 мм, имеют совершенно различную характеристику качества измерения. Поэтому часто пользуются относительной погрешностью

или

Часто используют относительную погрешность выраженную в %.

Погрешность арифметической операции


Арифметические действия над приближенными числами приводят к накоплению погрешности результата решения математической задачи. Пусть ?, в, ?n и вn – некоторые числа и их приближенные значения, ?◦в- некоторая арифметическая операция над числами. Тогда абсолютную и относительную погрешности арифметических операций будем записывать в виде



При этом если ∆? >0 и ∆b>0, то











Используя данные результаты можно оценить и относительные погрешности







?(?n)=n??

При оценке погрешности вычисления функций y=f(x) для придельных значений абсолютных и относительных погрешностей используем равенства





где xn- приближённое значение величин х, ∆x- придельная погрешность.

Алгоритмы являются строгим описанием последовательности операций. Общие свойства алгоритмов:

  1. Массовость- применимость ко всем задачам рассматриваемого класса при любых исходных данных или с оговариваемыми границами их изменения.

  2. Определенность- любой шаг алгоритма не должен допускать толкования.

  3. Дискретность- представимость всякого процесса в виде последовательности выполняемых друг за другом отдельных законченных шагов.

  4. Результативность- получение результата за конечное число действий, причем с требуемой точностью.



  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации