Громовик А.И. Расчет круглых пластин - файл n1.doc

приобрести
Громовик А.И. Расчет круглых пластин
скачать (1728 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1728kb.18.09.2012 18:20скачать

n1.doc

РАСЧЕТ
КРУГЛЫХ ПЛАСТИН



Омск 2011
РАСЧЕТ
КРУГЛЫХ ПЛАСТИН

Методические указания к выполнению

курсовой работы

для студентов специальности ДВС

Составитель: А.И. Громовик

Омск

Издательство СибАДИ

2011

УДК 624.05

ББК 38. 113
Рецензент канд. техн. наук, доц.

Работа одобрена научно-методическим советом факультета АТ в качестве методических указаний для выполнения курсовой работы по механике материалов и конструкций для студентов механических специальностей.


Расчет круглых пластин: Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности ДВС. Сост. А.И. Громовик. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2011. – 33 с.

Содержатся основные положения по расчету на прочность круглых пластин. Изложены основные положения теории изгиба. Представлены методика расчета и последовательность выполнения работы с графической интерпретацией. Даны многочисленные примеры расчетов пластин различных схем. В приложении приведены расчетные схемы и исходные данные по вариантам. Представлен пример расчета в среде MathCAD. Дан список рекомендуемой литературы.

Ил. 15. Библиогр.: 8 назв. Табл. 2.


© Составитель А.И. Громовик, 2011

СОДЕРЖАНИЕ
Введение..…………………………………………………………………………..4

1. Общая теория изгиба круглых пластин………………………………………..6

1.1. Определение радиусов кривизны при осесимметричном изгибе…………6

1.2. Определение напряжений и ………………………………………..7

1.3. Определение радиального и тангенциального моментов………………..9

1.4. Определение прогибов и углов поворота…………………………………10

2. Примеры расчета круглых пластин…………………………………………...12

2.1. Осесимметричная пластина с распределенной загрузкой и сосредоточенной силой в центре……………………………………………………………12

2.2.Пластина, с распределенной загрузкой защемленная по контуру……14

2.3. Пластина, с распределенной загрузкой свободно опертая

по контуру………………………………………………………………………..16

2.4. Кольцевая пластина, нагруженная распределенными моментами по контурам…………………………………………………….........................................17

2.5. Пластина, защемленная по внутреннему контуру с распределенной нагрузкой…………………………………………………………………………….20

Вопросы для самопроверки………………………………………………………23

Библиографический список…………………………….…………..……………23

3. Численный пример расчета в среде MathCAD….……………….………24

Таблица 1. Расчетные схемы пластин…………………………………….……..28

Таблица 2. Исходные данные………… …………………………………………29

4. Решение задачи в среде MathCAD……………………………….………30


Введение
Методические указания разработаны в соответствии с рабочей программой специальности 140501 – "Двигатели внутреннего сгорания ".

Дисциплиной "Механика материалов и конструкций" предусмотрен расчет тонкостенных элементов (пластин, дисков, оболочек).

Это объясняется тем, что тонкостенные элементы широко применяются в машиностроительных конструкциях, в частности в двигателестроении.

В то же время напряженно-деформированное состояние тонкостенных элементов более сложное, чем теория напряженного состояния бруса; поэтому в курсе "Сопротивление материалов" почти не рассматривается.

Пластиной называется плоское тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с двумя другими параметрами.

В представленных методических указаниях рассматриваются тонкие пластины с малыми прогибами при соотношении толщины к радиусу – .

Срединная поверхность пластины – равноудаленная от наружных поверхностей.

В зависимости от формы контура пластины бывают:

– прямоугольные;

– круглые;

– эллиптические;

– произвольных очертаний.

В тех случаях, когда прогибы малы в сравнении с ее высотой (толщиной) , имеется возможность построить вполне удовлетворительную приближенную инженерную теорию изгиба пластины под поперечными нагрузками, основываясь на общих гипотезах Кирхгофа:

1. Гипотеза прямых нормалей – нормали к срединной поверхности при изгибе не искривляются и остаются перпендикулярными к деформируемой срединной поверхности. Эта гипотеза позволяет установить простые зависимости между деформацией в любой точке пластины и ее срединной поверхностью. В срединной поверхности пластина не испытывает никаких деформаций. При изгибе срединная поверхность остается нейтральной. Гипотеза аналогична гипотезе плоских сечений балки;

2. Прямой отрезок, нормальный к срединной поверхности, не растягивается и не сжимается. Точки пластины, лежащие до загружения на нормали к срединной поверхности, всегда остаются на этой нормали;

3. Нормальными напряжениями в направлении, перпендикулярном к срединной поверхности, допустимо пренебрегать.

Основываясь на этих допущениях все компоненты напряжений можно выразить через прогиб или угол поворота сечения от обобщенной координаты – радиуса для осесимметрично нагруженных пластин. Таким образом, решения уравнений углов поворота и прогибов дают все необходимые исходные данные, чтобы вычислить напряжения для любой точки пластины.

Второе допущение эквивалентно пренебрежению влиянием перерезающих сил на прогиб пластины. Допущение это обычно удовлетворяется, кроме случаев наличия отверстий в пластинах, тогда перерезающие силы приобретают большое значение, и в теорию тонкой пластины приходится вводить некоторые коррективы.


Общая теория изгиба круглых пластин
Детали в виде осесимметричных круглых пластин – днища поршней, резервуаров; различного рода крышки; фланцы; диафрагмы и т. п.

Различают кривизну (соответствующую ей деформацию) радиальную – вдоль оси и тангенциальную – вдоль оси
1.1. Определение радиусов кривизны при осесимметричном изгибе
Рассмотрим деформацию пластины при изгибе. На рис. 1 изображена пластина при осесимметричном изгибе до и после деформации. Имеем два радиуса кривизны. Главный радиус с центром определяет радиальную кривизну в плоскости для точки ; вторая тангенциальная кривизна получена вращением радиуса с центром в и проходящей через точку . Таким образом, описывает окружность с радиусом .



Рис. 1

Начало координат поместим в точку О.

Через точку проведем касательную с углом наклона , который определяет угол поворота сечения пластины. При некотором приращении на прогиб изменится на .

Тогда . Кривизна в сопротивлении материалов равна второй производной прогиба, (знак минус принят в связи с противоположно направленными прогибом и центром кривизны), следовательно,

. (1)

Выразим радиус кривизны через угол и смещение . Из треугольника имеем: . Или .

(2)

1.2. Определение напряжений и
На основании закона Гука для плоского напряженного состояния относительные деформации могут быть выражены как

; (3)

. (4)

Примечание: На площадках, параллельных срединной поверхности для многих случаев загружения (), кроме сосредоточенной центральной силы.

Относительные удлинения в радиальном и тангенциальном направлениях равны: и (см. чистый изгиб прямых стержней [1]).

Подставим в уравнения (3) и (4) и , с условиями (1), (2). Определим напряжения и :

; (5)

. (6)

Напряжения и линейно зависят от координаты (см. рис. 2).



Рис. 2
Кроме нормальных напряжений возникают касательные напряжения перпендикулярные срединной поверхности. Напряжения распределены по параболическому закону (см. поперечный изгиб прямых стержней [1]). Роль касательных напряжений невелика ввиду незначительной толщины пластины по отношению к диаметру и много меньше нормальных. Однако равнодействующей касательных напряжений – поперечной силой пренебрегать нельзя, ибо она играет важную роль в уравнениях равновесия элемента пластины (см. рис. 3, а).



а

Рис. 3

1.3. Определение радиального и тангенциального моментов
При интегрировании по площади граней элемента пластины нормальные напряжения можно привести к распределенным изгибающим моментам и , а касательные – к поперечной распределенной силе . Размерности распределенных моментов и силы – Нм/м и Н/м, соответственно.

Момент в радиальном направлении представим в виде интеграла:

. (7)

Интегрируем (7) с учетом (5)



, (8)

где – цилиндрическая жесткость.

Аналогично поступим с моментом в окружном направлении:

. (9)

Или, с учетом (6), , (10)

Уравнения (5), (6), (8) и (10) определяют напряжения и моменты по функции , характеризующей угол поворота нормали к срединной плоскости изгиба . Функция пока не определена. Её можно определить из условия равновесия бесконечно малого элемента пластины (рис. 3 а).

Согласно рис. 3, а в окружных сечениях действуют поперечная сила и момент . В радиальных сечениях тангенциальные силы (в виду симметрии) отсутствуют и момент равен
. При переходе на наружную грань с приращением радиуса на сила и момент получают приращения и .
1.4. Определение прогибов и углов поворота
Для составления уравнения равновесия моменты изобразим в виде векторов (рис. 3, б). Проведем ось через середину элемента пластины перпендикулярно линии симметрии. Величиной приращения поперечной силы как функцией второго порядка малости пренебрегаем. Тогда момент от пары сил вокруг оси сведем к ,

где – плечо.



б

Рис. 3

Спроецируем векторы моментов на ось , считая :

.

После сокращения на и отбрасывания произведения (величина второго порядка малости), получим . При умножении на и разделении слагаемых, имеем:

.
С учетом (8) и (10), а также , окончательно принимаем: , или

, (11)

где – погонная поперечная сила в круговом сечении радиусом ; – распределенная нагрузка на площади .

Выражение (11) определяет углы поворота нормалей в сечениях к срединной поверхности пластины.

Считая , уравнение (11) представим выражением

. (12)



Уравнение (12) – дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности осесимметрично изогнутой пластины.


2. Примеры расчета круглых пластин

2.1. Осесимметричная пластина с распределенной загрузкой и сосредоточенной силой в центре
Вырежем из круглой пластины элемент радиусом и загрузим распределенной нагрузкой с дополнительной центральной силой (см. рис. 4).



Рис. 4
Произведем преобразование левой части уравнения (11).



. (2.1)

Погонная сила в радиусном сечении составляет и является реакцией внешнего загружения в этом сечении . Составим уравнение равновесия сил:

, или . (2.2)

В выражение (11) подставим (2.1) и (2.2), получим



или

. (2.3)
Дважды проинтегрируем (2.3) по , получим уравнение углов поворота нормалей к срединной изогнутой поверхности пластины для данной схемы.



. (2.4)

Умножим (2.4) на

. Интеграл данного выражения



. (2.5)

Умножив (2.5) на , имеем уравнение углов наклона нормали к изогнутой поверхности пластины

. (2.6)

Произведем замену . Умножим обе части (2.6) на ().

. Интеграл от примет вид:

. (2.7)

Уравнение (2.7) определяет величину прогибов срединной поверхности пластины.
Примечание: Интегралы выражений:



, так как .

.

2.2. Пластина, с распределенной загрузкой

защемленная по контуру


Рис. 5
В соответствии с рис. 5 в уравнениях (2.6) и (2.7) примем , получим значения углов поворота и прогибы, соответственно,

; (2.8)

. (2.9)

Граничные условия: 1. ; ;

2. ; ;

3. ; ,

где – радиус внешнего контура.

Согласно уравнению (2.8) по первому и второму граничным условиям, имеем:

;

.
Отсюда ; . Окончательно уравнение (2.8) примет вид:

. (2.10)

Из преобразованного уравнения (2.9) вычислим , согласно третьему условию:

; .

Окончательно уравнение прогибов (2.9) запишем как

. (2.11)

Максимальный прогиб при (в центре) .
Определение значений изгибающих моментов

и
Подставим в уравнения моментов выражение (2.10). При этом производная равна:

; .



; (2.12)



. (2.13)

При найдем моменты в защемлении:

; . (2.14)

В центре пластинки, где , . (2.15)

Максимальное напряжение на контуре пластинки равно:

.

В соответствии с условием жесткости,

, производим корректировку толщины сечения .


2.3. Пластина, с распределенной загрузкой

свободно опертая по контуру


Рис. 6

Воспользуемся расчетами предшествующей схемы.

Согласно рис. 6 запишем граничные условия:

1. ; ;

2. ; ;

3. ; .

По первому условию в уравнении (2.8) – . Следовательно,

. Уравнение (2.9) примет вид:

.

Производная ; . Запишем второе условие в развернутом виде:

; .

По третьему условию .

.

Окончательно, уравнения (2.8) и (2.9) запишем как:

– уравнение углов поворота;

– уравнение прогибов.

– радиальный момент в произвольном сечении.

– окружной момент.

Радиальные и окружные нормальные напряжения определим по зависимостям и . В соответствии с условием жесткости производим корректировку толщины сечения .


2.4. Кольцевая пластинка, нагруженная распределенными

моментами по контурам
Пластинка, свободно опертая по внешнему радиусу и нагруженная погонными моментами по обоим контурам (см. рис. 7). Перерезающая сила при этом равна нулю.

Рис. 7
Общее уравнение равновесия изогнутой срединной поверхности пластины примет вид

. (2.16)
Интегрируя по , получим угол поворота сечения пластинки

; (2.17)

Прогиб или . (2.18)
Граничные условия для расчетной схемы, (рис. 7):

1. ; ;

2. ; ;

3. ; .
Согласно выражению , определим значения слагаемых уравнения (2.17) ; (2.19)

. (2.20)

Подставим граничные условия в уравнение радиального момента, получим ; (2.21)
. (2.22)
Совместное решение уравнений (2.21) и (2.22) определяет постоянные интегрирования и : ; (2.23)

. (2.24)

Для определения (2.18), используем третье граничное условие. Тогда второе слагаемое превращается в нуль и

. (2.25)
Подставив постоянные , , в (2.18), получим уравнения углов поворота и прогибов в общем виде

; (2.26)

+

. (2.27)

Для определения постоянной в уравнение (2.18) подставим и при . Таким образом, . (2.28)

Радиальный и окружной моменты с учетом (2.26) равны

; (2.29)

. (2.30)

Радиальные и окружные нормальные напряжения определим по зависимостям и . В соответствии с условием жесткости производим корректировку толщины сечения .
В частном случае, когда , , , соответственно равны: ; ;

.

Уравнения углов поворота нормалей к срединной линии пластины и ее прогиб, в общем виде, имеют следующие выражения: ; (2.31)
. (2.32)


2.5. Кольцевая пластина, защемленная по внутреннему контуру

с распределенной нагрузкой


Определим действие погонной силы в произвольном сечении пластины радиуса (см. рис.8). С учетом неподвижности центрального стержня диаметром усилия от внешнего воздействия равны: . Последнее слагаемое показывает противодействие распределенной нагрузки на площади неподвижного стержня. Тогда

.




Рис. 8

Общее уравнение равновесия изогнутой срединной поверхности пластины примет вид

. (2.33)

Произведем преобразования, аналогичные 2.6 (без учета первого слагаемого), получим уравнения углов поворота и прогибов пластины:

; (2.34)

. (2.35)

Граничные условия, (см. рис. 8):

1. ; ;

2. ; ;

3. ; .

Определение постоянных интегрирования и по условиям 1 и 2: ; (2.36)



, (2.37)

где ; (2.38)

. (2.39)
Совместным решением (2.36) и (2.37) определяем
; (2.40)



. (2.41)
По третьему условию, при известных и , находим :

. (2.42)
Определение значений изгибающих моментов
; (2.43)

. (2.44)
Подставим (2.38) и (2.39) в уравнения моментов с учетом известных , , (согласно (2.40), (2.41)), построим эпюры моментов.

Определение значений прогибов пластины
По формуле , при определенных ранее , и , строим эпюру прогибов.

Радиальные и окружные нормальные напряжения определим по зависимостям и . В соответствии с условием жесткости производим корректировку толщины сечения .
Вопросы для самопроверки
1. Какое тело называется тонкой пластиной?

2. Что такое срединная поверхность (плоскость)?

3. Формы контура пластины?

5. Гипотезы Кирхгофа, определяющие инженерную теорию изгиба пластин?

6. Какие напряжения приняты при изгибе круглых пластин?

7. Моменты изгибающие, возникающие при изгибе?

8. Углы и прогибы при изгибе пластин, их определение?

9. Граничные условия для расчетных схем закрепления пластин?

10. Как определяют правую часть дифференциальных уравнений углов поворота срединных поверхностей (согласно расчетным схемам)?

11. В чем заключается проверочный расчет круглой пластины?

Библиографический список
1. Бояршинов С.В. Основы строительной механики машин. Уч. пособие для студентов вузов.– М.: Машиностроение, 1973.

2. Доннелл Л.Г. Балки, пластини и оболочки: Пер. с англ./ Под ред. Э.И. Григолюка. – М.: Наука, 1982.

3. Искрицкий Д.Е. Строительная механика элементов машин.– Л.: Судостроение, 1969.

4. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad. Уч. курс. – СПб.: Питер, 2005.

5. Макаров Е.Г. Сопротивление материалов на базе Mathcad. – СПб.: БХВ – Петербург, 2004.

6. Папкович П.Ф. Тр. По строительной механике корабля в 4-х томах. Т. 3. Сложный изгиб стержней и изгиб пластин./ Под общ. Ред. В.В. Екимова.– Л. Судостроение, 1962.

7Погорелов В.И. Строительная механика тонкостенных конструкций. – СПб.: БХВ – Петербург, 2007.

8.Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки: Пер. с англ. – М.: Наука, 1966.

3. Численный пример расчета в среде

MathCAD
Пластина, с распределенной загрузкой

защемленная по контуру (по рис. 5)

Рис. 5
Исходные данные:
Распределенная нагрузка кН/м

  1. Толщина м;

  2. Радиус м;

  3. Коэффициент Пуассона ;

  4. Модуль упругости ГПа.


Примечание: В виду симметрии эпюры изображены на радиусе.


Основные формулы
Угол поворота нормалей сечений к срединной поверхности пластины , рад – (рис. 5.1).



Рис. 5.1

Прогиб пластины , м – (рис. 5.2).


Рис. 5.2
Момент изгибающий радиальный , Нм/м – (рис. 5.3).



Рис. 5.3


Момент изгибающий тангенциальный, Нм/м – (рис. 5.4)

, Нм


Рис. 5.4
Напряжение радиальное , Н/м2 – (рис. 5.5).


Рис. 5.5
Напряжение тангенциальное, , Н/м2 – (рис. 5.6).



Рис. 5.6
Расчетные схемы пластин

Таблица 1



п/п

Схема

Нагрузка



Формулы

Граничные

условия


1







(2.6); (2.7)



Общие условия


2








(2.10);

(211);

(2.12);

(2.13)



;;

;;

;


3








(2.10);

(211);

(2.12);

(2.13)




;;

;;

;


4










(2.26);

(2.27);

(2.29);

(2.30)



1.;;

2.;;

3.;


5








(2.34);

(2.35);

(2.43);

(2.44)


;

;

;


Исходные данные

Таблица 2




вар.

Исходные данные


Схема

q кН/м2

M1; М2 кНм/м


h м


a м


µ


E ГПа

1

2

40

0,004

0,15

0,25

210

2

3

35

0,005

0,18

0,25

210

3

5

30

0,003

0,16

0,3

200

4

2

25

0,0025

0,14

0,3

200

5

4

0,4; 0,2

0,006

0,12

0,25

210

6

4

3; 2

0,0045

0,13

0,25

200

7

2

32

0,003

0,10

0,3

200

8

3

36

0,004

0,12

0,25

210

9

5

44

0,006

0,16

0,25

210

10

2

46

0,009

0,18

0,3

200

11

4

0,4; 0,5

0,008

0,18

0,3

200

12

5

20

0,003

0,12

0,25

210

13

2

25

0,003

0,13

0,3

210

14

3

28

0,0025

0,12

0,3

200

15

4

0,4; 0,2

0,005

0,13

0,3

200

16

5

35

0,006

0,14

0,25

210

17

3

38

0,006

0,15

0,25

200

18

2

35

0,007

0,18

0,3

200

19

4

0,3; 0,2

0,008

0,19

0,3

210

20

5

45

0,008

0,20

0,25

200

21

3

35

0,006

0,15

0,25

200

22

2

30

0,005

0,15

0,3

210

23

4

0,4; 0,1

0,006

0,16

0,3

200

24

4

0,4; 0,2

0,007

0,14

0,25

200

25

5

30

0,005

0,15

0,3

210



Примечание: размер центрального защемления в схеме 5 равен .
Решение задачи в среде MathCAD

Круглая пластина с распределенной нагрузкой,

защемленная по контуру

















Эпюра окружного момента, Нм/м

радиус пластинки, м


















Эпюра меридионального момента, Нм



радиус пластинки, м


Круглая пластина с защемлением по контуру

Определение прогиба в пластинке, м























Эпюра прогибов пластинки на радиусе n, м

радиус пластинки, м

Определение угла поворота в пластинке








Эпюра углов поворота, рад

радиус пластинки, м


Учебное издание


РАСЧЕТ
КРУГЛЫХ ПЛАСТИН


Методические указания

к выполнению курсовой работы

для студентов специальности ДВС
Составитель: Анатолий Иванович Громовик


Редактор Т.И. Калинина

* * *
Подписано к печати 16.01.11

Формат 60 х 90 1/16. Бумага писчая

Оперативный способ печати

Гарнитура Таймс

Усл. п. л. 2,1 уч.-изд. л. 2

Тираж 20 экз. Заказ___

Цена договорная


* * *

Издательство СибАДИ

644099, Омск, ул. П.Некрасова

__________________________
Отпечатано в ПЦ издательства СибАДИ

644099, Омск, ул. П.Некрасова

_________________________________

Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации