Стоянова Е.С. (ред.) Финансовый менеджмент: теория и практика - файл n5.doc

приобрести
Стоянова Е.С. (ред.) Финансовый менеджмент: теория и практика
скачать (2796.3 kb.)
Доступные файлы (15):
n1.doc86kb.16.11.1999 12:25скачать
n2.doc564kb.16.11.1999 12:24скачать
n3.doc51kb.16.11.1999 12:39скачать
n4.doc394kb.16.11.1999 12:25скачать
n5.doc438kb.16.11.1999 12:34скачать
n6.doc94kb.16.11.1999 12:34скачать
n7.doc270kb.16.11.1999 12:34скачать
n8.doc555kb.16.11.1999 12:33скачать
n9.doc87kb.16.11.1999 12:33скачать
n10.doc150kb.16.11.1999 12:33скачать
n11.doc960kb.16.11.1999 12:32скачать
n12.doc457kb.16.11.1999 12:32скачать
n13.doc446kb.16.11.1999 12:31скачать
n14.doc838kb.16.11.1999 12:31скачать
n15.doc191kb.16.11.1999 12:30скачать

n5.doc

  1   2   3   4   5
ГЛАВА 2

Математические основы финансового менеджмента

Четкое представление о базовых понятиях финансовой матема­тики необходимо для понимания всего последующего материала. Главное из таких понятий — процентные деньги (далее — процен­ты), определение которых составляет сущность большинства фи­нансовых расчетов.

Проценты — это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т. д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Процентная ставка — это величина, характеризующая интен­сивность начисления процентов.

Величина получаемого дохода (т. е. процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида про­центной ставки (ставки доходности).

Наращение (рост) первоначальной суммы долга — это увеличе­ние суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).

Множитель (коэффициент) наращения — это величина, пока­зывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления — это промежуток времени, за который на­числяются проценты (получается доход). В дальнейшем будем по­лагать, что период начисления совпадает со сроком, на который предоставляются деньги. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.

Интервал начисления — это минимальный период, по проше­ствии которого происходит начисление процентов.

Существуют две концепции и, соответственно, два способа оп­ределения и начисления процентов.

Декурсивный способ начисления процентов. Проценты начисля­ются в конце каждого интервала начисления. Их величина опре­деляется исходя из величины предоставляемого капитала. Соот­ветственно декурсивная процентная ставка, или, что то же, ссуд­ный процент, представляет собой выраженное в процентах отно-
84
шение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный способ (предварительный) начисления процен­тов. Проценты начисляются в начале каждого интервала начис­ления. Сумма процентных денег определяется исходя из нара­щенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процен­тах отношение суммы дохода, выплачиваемого за опрошенный ин­тервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Определяемая таким способом процентная став­ка называется (в широком смысле слова) учетной ставкой или антисипативным процентом.

В мировой практике декурсивный способ начисления процен­тов получил наибольшее распространение. В странах развитой рыночной экономики антисипативный метод начисления про­центов применялся, как правило, в периоды высокой инфляции.

При обоих способах начисления процентов процентные ставки могут быть либо простыми (если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода на­числения), либо сложными (если по прошествии каждого интер­вала начисления они применяются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов).

-ЛД В российской практике понятия ссудного процента

и учетной ставки обычно не различаются и обозна­чаются собирательным термином «процентная ставка» (термин «учетная ставка» можно также встретить примени­тельно к ставке рефинансирования Центрального банка и к вексельным операциям).

В связи с этим необходимо подчеркнуть, что по мере раз­вития рыночных отношений вопрос различия декурсивного и антисипативного методов начисления приобретает все большую актуальность.

Финансисту — инвестору ли (вкладчику), заемщику ли средств — в любом случае необходимо иметь представление о способе на­числения процентов, подразумеваемом в каждой конкретной сделке, тем более, что при укрупнении масштабов операции каж­дый процентный пункт становится все «тяжелее» и «тяжелее».

В последующих разделах будут приведены вычисления и даны примеры и графики, наглядно демонстрирующие, сколь ощути­мыми могут быть различия в результатах при разных способах начисления процентов. Непонимание различия между видами
85
процентных ставок может при этом вылиться не только в упущен­ную выгоду, но и в значительные убытки.
2.1. Простые ставки ссудных процентов

Простые ставки ссудных (де курсивных) процентов применяют­ся обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интер­вал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Есте­ственно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по договоренности участвующих в опера­ции сторон.

Введем следующие обозначения:

i (%) — простая годовая ставка ссудного процента;

i — относительная величина годовой ставки процентов;

Is — сумма процентных денег, выплачиваемых за год;

I — общая сумма процентных денег за весь период начис­ления;

Р — величина первоначальной денежной суммы;

S — наращенная сумма;

kн — коэффициент наращения;

п — продолжительность периода начисления в годах;

д — продолжительность периода начисления в днях;

К — продолжительность года в днях.

Величина К является временной базой для расчета процентов.

В зависимости от способа определения продолжительности фи­нансовой оперции рассчитывается либо точный, либо обыкновен­ный (коммерческий) процент.

Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта:

вариант 1: используется точное число дней ссуды, определяе­мое по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года; из номера, соответствующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня;

вариант 2. берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням;

этот метод используется, когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа.
86
Точный процент получают, когда за временную базу берут фак­тическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды.

Приведенным выше определениям соответствуют формулы:


(1.1)


(1.2)




(1.3)




(1.4)


(1.5)


(1.6)
Применяя последовательно формулы (1.4), (1.3), (1.2) и (1.6), получаем основную формулу для определения наращенной сум­мы*:


(1.7)
или


(1.8)
На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы Р, которая в будущем должна составить заданную величину S. В этом случае Р называется современной (текущей, настоя­щей**, приведенной) величиной суммы S.

Определение современной величины Р наращенной суммы S называется дисконтированием, а определение величины наращен­ной суммы S — компаундингом.

В применении к ставке ссудного процента может также встре­титься название математическое дисконтирование, несовмести­мое, кстати говоря, с учетными ставками, которые будут рассмат­риваться в следующем разделе.

Из формулы (1.7) получаем формулу, соответствующую опера­ции дисконтирования:

В литературе нередко можно встретить синонимы термина «нара­щенная сумма»: «будущая сумма», «будущая стоимость денег» (от англ. Future Value of Money) и т. п.

От англ. Present Value of Money.
87




(1.9)

Преобразуя формулу (1.7) (т. е. заменяя входящие в нее выра­жения на эквивалентные и выражая одни величины через другие), получаем еще несколько формул для определения неизвестных величин в различных случаях:


(1.10)


(1.11)


(1.12)


(1.13)
Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. Если на последовательных интервалах начис­ления n1,n2,…,nNиспользуются ставки процентов i1,i2,…,iN, то по формулам (1.2) и (1.3) сумма процентных денег в конце первого интервала составит


в конце второго интервала:


и т. д.

При N интервалах начисления наращенная сумма составит


(1.14)

Для множителя наращения, следовательно, имеем


(1.15)
Рассмотрим несколько примеров, соответствующих различным наборам исходных данных.

Пример 1

Ссуда в размере 50 000 руб. выдана на полгода по простой став­ке процентов 28% годовых. Определить наращенную сумму. Решение

По формуле (1.7)

S = 50 000 (1 + 0,5 . 0,28) = 57 000 (руб.).
88
Пример 2

Кредит в размере 10 000 000 руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 30% годовых, гол високосный. Определить размер наращен­ной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.

Решение

1. В случае точных процентов берем р = 284. По формуле (1.8) получаем

S = 10 000 000 (1 + 284/366 0,30) = 12 327 868 (руб.).

2. Для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды имеем

S = 10 000 000 (1 + 284/360 . 0,30) = 12 366 666 (руб.).

3. Для обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды (д = 280) по формуле (1.8) получаем

S = 10 000 000 (1+280/360 • 0,30) = 12 333 333 (руб.).

Пример З

Кредит в размере 20 000 000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год — 30%, а за каждое последующее полу­годие она уменьшается на 1%. Определить множитель наращения и наращенную сумму. Решение По формуле (1.15):

kн = 1 + 0,3 + 0,5 (0,29 + 0,28 + 0,27 + 0,26 + 0,25) = 1,975. По формуле (1.14):

S = 20 000 000 • 1,975 = 39 500 000 (руб.).

Пример 4

Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 000 000 руб. вырастет до 40 000 000 руб., если используется простая ставка процентов 28% годовых.

Решение

По формуле (1.10) получаем

n = (40 000 000 - 25 000 000)/(25 000 000 • 0,28) = 2,14 года.

Пример 5

Определить простую ставку процентов, при которой первона­чальный капитал в размере 24 000 000 руб. достигнет 30 000 000 руб. через год.

Решение

По формуле (1.13) определяем i = (30 000 000 - 24 000 000)/(24 000 000 • 1) = 0,25 = 25%.
89
Пример 6

Кредит выдается под простую ставку 26% годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 000 000 руб.

Решение

По формуле (1.9) (операция дисконтирования) имеем

Р = 40 000 000 /(1 + 250/365 • 0,26) = 33 955 857 (руб.).

Из формулы (1.4) получаем

I = 40 000 000 - 33 955 857 = 6 044 143 (руб.).
2.2. Простые учетные ставки

При антисипативном способе начисления процентов сумма по­лучаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т. е. из наращенной сум­мы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называ­ется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.

Дисконт — это доход, полученный по учетной ставке, т. е. раз­ница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

Пусть теперь d(%} — простая годовая учетная ставка;

d — относительная величина учетной ставки;

D? — сумма процентных денег, выплачиваемая за год;

D — общая сумма процентных денег;

S — сумма, которая должна быть возвращена;

Р — сумма, получаемая заемщиком.

Тогда, согласно определениям, имеем следующие формулы:


(2.1)
D ? =dS;

(2.2)

D = n D ?, = n d S;

(2.3)

P=S-D=S(1-nd) = S[1-( р /K)d].

(2.4)

Преобразуя последнее выражение, получаем формулу для опре­деления наращенной суммы:
90


(2.5)
Из этой формулы легко видеть, что в отличие от случая простых ставок ссудного процента простые учетные ставки не могут при­нимать любые значения. Именно для того, чтобы выражение (2.5) имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби в правой части был строго больше нуля, т. е. (1 — nd) > 0, или d < 1/n. Прав­да, со значениями d, близкими к предельным, вряд ли можно встретиться в жизни.

На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (т. е. покупке) векселей и других денежных обяза­тельств. Вопрос получения дохода по векселям будет подробно рассмотрен в разделе 2.8.

Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:


(2.6)


(2.7)

Пример 7

Кредит выдается на полгода по простой учетной ставке 20%. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 30 000 000 руб. Решение По формуле (2.4) получаем

Р = 30 000 000 (1 - 0,5 • 0,2) = 27 000 000 (руб.). Далее

D = S - Р = 30 000 000 - 27 000 000 = 3 000 000 (руб.).

Пример 8

Кредит в размере 40 000 000 руб. выдается по простой учетной ставке 25% годовых. Определить срок, на который предоставляет­ся кредит, если заемщик желает получить 35 000 000 руб.

Решение

Расчет проводится по формуле (2.6):

п = (40 000 000 - 35 000 000)/(40 000 000 • 0,25) = 0,5 года.
91
Пример 9

Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 9 000 000 руб., если сумма в 10 000 000 руб. выдается в ссуду на полгода.

Решение

По формуле (2.7):

d=(10000000-9000000)/(10000000-0,5) =0,2=20%.

2.3. Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход (т. е. на­численные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют фор­мулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоя­щее время являются весьма распространенным видом применяе­мых в различных финансовых операциях процентных ставок.
  1   2   3   4   5


ГЛАВА 2 Математические основы финансового менеджмента
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации