Формулы - Физические основы механики - файл n1.doc

приобрести
Формулы - Физические основы механики
скачать (136.7 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc538kb.06.06.2008 23:45скачать

n1.doc



1. Кинематика поступательного движения.

– средняя скорость;

vср.= – средняя скорость вдоль траектории;

– мгновенная скорость;

v= – величина мгновенной скорости;

vх= – проекция скорости на ось OX;

– среднее ускорение;

– мгновенное ускорение;

aх= – проекция ускорения на ось OX;

– закон сложения скоростей.

Равнопеременное движение (=const):

– радиус-вектор материальной точки;

; ; – длина пути;

– скорость при равнопеременном движении.
Примеры решения задач.

Задача 1.

Начальная скорость брошенного под некоторым углом к горизонту камня равна 10 м/с, а спустя 0.5 с скорость камня равна 7 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень?


Дано:

v0=10 м/с

v=7 м/с

t=0.5 с

Решение:

Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту, может быть найдена из общей формулы пути при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось



с учетом, что в наивысшей точке траектории отсутствует вертикальная составляющая скорости vy=0, а :

. (1)

Неизвестную проекцию начальной скорости на вертикальную ось v0y можно найти из формулы скорости при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось:

(2)

и теоремы Пифагора для полной скорости в начальный момент времени и спустя время t после начала движения:

, (3)

. (4)

Здесь учтено, что проекция скорости на горизонтальную ось не изменяется, так как . Вычтем почленно (4) из (3), и с учетом (2) получим:

. (5)

Из (5) находим v0y:

.

Далее из (1) находим высоту подъема:

.


Найти:

h=?

Ответ: h=2.99 м.


Задача 2.

Уравнение движения тела имеет вид x=5t+0.8t3. Определить ускорение и скорость тела в начальный момент времени, а также среднее ускорение за первые 5 секунд движения.


Дано:

x=5t+0.8t3

?t=5c


Решение:

Поскольку , то

. (1)

Далее, из получим

. (2)

Подставив в (1) и (2) t=0, найдем v0=5 м/с, а0=0 м/с2.

Среднее ускорение находим по определению , то есть , где скорость в момент времени t=5c находим из (1): vt=v5=5+2.4.52=65 м/с. Окончательно

Найти:

а0=?

v0=?

аср.=?

Ответ: а0=0 м/с2;

v0=5 м/с;

аср.=12 м/с2.



2. Кинематика поступательного и вращательного движения.

– величина тангенциального (касательного) ускорения;

– величина нормального (центростремительного) ускорения;

– полное ускорение;

– модуль полного ускорения;

– угловая скорость;

– угловое ускорение;

; ; – связь линейных и угловых величин (путь, скорость и ускорение);

– угловой путь;

– связь угловой скорости с частотой и периодом вращения.

Равнопеременное вращательное движение (?=const):

– угловая координата;

; – угловой путь;

– угловая скорость.
Примеры решения задач.

Задача 3.

Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки окружности диска для момента времени 10 с от начала движения, если радиус окружности 0.2 м, а угол между осью ОХ и радиус-вектором точки изменяется по закону: =3–t+0.2t3.

Дано:

=3–t+0.2t3

t=10 c

R=0.2 м

Решение:

По формулам и находим угловую скорость и угловое ускорение точки: ?=-1+0.2.3t2 , ?=0.6.2t. Из формулы связи углового и линейного тангенциального ускорения найдем: a?=R. ?=R.(0.6.2t)=1.2Rt=1.2.0.2.10=24 м/с2.

Нормальное ускорение найдем из формулы , где скорость v=R. ?=R.( –1+0.2.3t2)=R.(0.6t2–1)=

=0.2.(0.6.102–1)=11.8 м/с;

Теперь находим полное ускорение: .

Найти:

a?=?

аn=?

а=?

Ответ: a?=24 м/с2;

аn=696 м/с2;

а=697 м/с2.



3. Динамика. Работа, энергия. Законы сохранения.

; () – второй закон Ньютона;

– импульс тела;

– третий закон Ньютона;

– закон всемирного тяготения;

– сила тяжести;

– вес тела;

– сила упругости;

– сила трения;

– плотность тела;

– радиус-вектор центра масс.

Если , то – закон сохранения импульса;

; – работа силы;

; мощность;

– коэффициент полезного действия;

; Еполн.1=Еполн.2+Асистемы против внешних сил – закон изменения полной энергии системы;

Емех.1=Емех.2+Асистемы против внешних сил+Асистемы против диссипативных сил – закон изменения механической энергии;

– кинетическая энергия поступательного движения;

– потенциальная энергия тела, поднятого над Землей на небольшую высоту (h<<RЗемли);

– потенциальная энергия упруго деформированного тела; () – связь потенциальной энергии и консервативной силы.

Если , то – закон сохранения полной энергии.

Если и отсутствуют диссипативные силы, то – закон сохранения механической энергии.
Примеры решения задач.

Задача 4.

С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью 5 км/с. На какую высоту она поднимется?

Дано:

v0=5000 м/с

RЗемли=6.4.106 м

Решение:

На ракету действует сила притяжения Земли, которая по закону всемирного тяготения равна:

,

где m – масса ракеты, МЗ – масса Земли, r=RЗемли+h – расстояние до центра Земли. Элементарная работа против силы тяжести при перемещении ракеты вверх на dr равна: dA=Fdr; полная работа при перемещении ракеты от поверхности Земли до высоты h рассчитывается интегрированием:

.

По закону сохранения энергии кинетическая энергия, которой обладала ракета на Земле, будет израсходована на работу против силы притяжения: . Тогда получим уравнение:

.

После сокращения на m и подстановки r=RЗемли+h получим выражение для высоты:

.

Здесь учтено, что - ускорение свободного падения на поверхности Земли.


Найти:

h=?

Ответ: h=1.59 км.



4. Динамика вращательного движения.

() – момент силы;

() – момент инерции тела;

– момент инерции материальной точки;

; ; ; ; – моменты инерции тел относительно оси, проходящей через центр масс; – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец;

– теорема Штейнера;

– закон динамики вращательного движения.

Примеры решения задач.

Задача 5.

Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязаны грузики массой 100 г и 110 г. С каким ускорением будут двигаться грузики? Какова сила натяжения шнура по обе стороны блока? Масса блока 400 г.

Дано:

m1=0.1 кг

m2=0.11 кг

m=0.4 кг

Решение:

Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения в проекции на вертикальную ось, направленную вверх, для обоих грузиков:

m1а= T1–m1g; (1)

–m2а= T2–m2g; (2)

Здесь учтено, что модули ускорений обоих грузов одинаковы, так как шнур считаем нерастяжимым.

За положительное направление вращения блока примем вращение по часовой стрелке; запишем для него закон динамики вращательного движения:

J?=M2–M1, (3)

где J– момент инерции сплошного диска (или цилиндра):

; (4)

? – угловое ускорение блока, связано с линейным ускорением обода блока и шнура (предполагаем, что проскальзывания нет):

, (5)

здесь R – радиус блока; модули моментов сил натяжения шнура относительно оси вращения:

M1=R.T1, (6)

M2=R.T2 (7)

Решая систему уравнений (1-7), получим:

,

откуда находим ускорение:

,

а затем из (1) и (2) – силы натяжения шнура:

T1=m1(a+g)=0.1 H; T2=m2(g-a)=1.05 Н.


Найти:

а=?

T1=?

T2=?

Ответ: а=0.24 м/с2;

T1= 0.1 H;

T2=1.05 Н.



5. Динамика вращательного движения. Работа, энергия.

Законы сохранения энергии и момента импульса.

; – момент импульса тела;

() – закон динамики вращательного движения в импульсной форме (закон изменения момента импульса).

Если , то – закон сохранения момента импульса.

– работа при вращательном движении;

– кинетическая энергия вращательного движения.

Примеры решения задач.

Задача 6.

Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения со скоростью 10 см/с, ударяется о стенку и откатывается от нее со скоростью 8 см/с. Найти количество теплоты, выделившейся при ударе.

Дано:

m=1 кг

v0=0.1 м/с

v=0.08 м/с

Решение:

Будем считать стенку массивной и неподвижной. Тогда по закону сохранения энергии выделившаяся при ударе теплота равна изменению механической энергии шара:

Q=E – E0. (1)

Полная кинетическая энергия катящегося тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс тела и кинетической энергии вращательного движения тела относительно центра масс, так как качение тела является суперпозицией этих двух движений:

. (2)

Так как качение происходит без проскальзывания, то линейная скорость движения центра масс и угловая скорость вращения связаны соотношением:

v=?R, (3)

где R – радиус шара, J – момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс:

. (4)

Подставив (3) и (4) в (2), получим формулу для энергии катящегося шара:

. (5)

Аналогично, начальная кинетическая энергия шара:

. (6)

Подставляем (5) и (6) в (1) и получаем искомую теплоту:



Найти:

Q=?

Ответ: Q=2.52 мДж.



6. Упругие свойства твердых тел.

?׀׀= – относительное удлинение;

– относительное поперечное сжатие;

() – нормальное (тангенциальное) механическое напряжение;

; ?׀׀= – закон Гука;

/ ?׀׀ – коэффициент Пуассона;

– закон Гука для деформации сдвига; где ? – деформация сдвига (угол сдвига);

; – связь между модулем Юнга и модулем сдвига.

Вещество


Плот-ность,

кг/м3

Модуль Юнга,

Е.10-10 Па

Предел прочности,

?пр.10-8 Па

Алюминий


2600

6.9

1.1
Железо

7900

19.6

6
Латунь

8400

-

-

Медь

8600

11.8

2.4

Платина

21400

-

-

Сталь

7700

21.6

7.85
Цинк

7000

-

-


Примеры решения задач.

Задача 7.

Однородный медный стержень длиной 1 м равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. При какой частоте вращения стержень разорвется?

Дано:

l=1 м

?пр=2.4.108 Па

?=8600 кг/м3

Решение:




Найдем зависимость силы натяжения F стержня от координаты x. На расстоянии x от оси вращения выделим фрагмент стержня бесконечно малой длины dx и массой

dm=?Sdx.

На него действуют силы: сила натяжения стержня F – вверх, сила натяжения стержня F+dF (со стороны нижней части стержня) – вниз и сила тяжести gdm – тоже вниз. Запишем второй закон Ньютона для массы dm:

adm= F–(F+dF)– gdm,

где а=?2x – центростремительное ускорение. Отсюда

dF=–dm(g+ ?2x)= –?Sdx(g+ ?2x),

или:

.

Зависимость F(x) теперь можно найти, интегрируя предыдущее выражение или найдя первообразную от выражения () и учтя очевидное граничное условие: F(l)=0:

.

Максимальное натяжение будет при x=0:

,

а соответствующее механическое напряжение приравняем к пределу прочности:

.

Решаем полученное уравнение относительно угловой скорости и затем находим частоту:



Найти:

?=?

Ответ: ?=38 Гц



7. Механические колебания и волны.

; ; – смещение из положения равновесия, скорость и ускорение колеблющейся точки;

– дифференциальное уравнение гармонических колебаний;

– возвращающая сила при гармонических колебаниях;

; ; ; (здесь – модуль кручения) – период колебаний пружинного, математического, физического и крутильного маятников;

; – закон сохранения энергии;

; – амплитуда и начальная фаза результирующего колебания при сложении однонаправленных колебаний одинаковой частоты;

– уравнение траектории точки, колеблющейся с одинаковыми частотами в перпендикулярных направлениях;

– дифференциальное уравнение затухающих колебаний;

– круговая частота собственных незатухающих колебаний;

– коэффициент затухания;

– сила сопротивления при затухающих колебаниях;

– уравнение затухающих колебаний;

– круговая частота затухающих колебаний;

– амплитуда затухающих колебаний;

– логарифмический декремент затухания;

– добротность;

(здесь ) – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний;

; ; – смещение из положения равновесия, амплитуда и фаза вынужденных колебаний; – резонансная частота;

, – уравнения плоской и сферической волн;

– волновое число (волновой вектор);

– длина волны;

; – скорость распространения продольных и поперечных волн в твердом теле;

– скорость звука в газе;

– скорость распространения поперечной волны по струне.

Примеры решения задач.

Задача 8.

Найти частоту колебаний груза массой m=0.2 кг, подвешенного на пружине и помещенного в масло, если коэффициент сопротивления в масле r=0.5 кг/с, а коэффициент жесткости пружины k=50 Н/м .


Дано:

m=0.2 кг

r=0.5 кг/с

k=50 Н/м .

Решение:

Колебания груза в масле являются затухающими, их круговая частота:

,

где – круговая частота собственных незатухающих колебаний; – коэффициент затухания. Тогда частота затухающих колебаний

Найти:

?.=?

Ответ: ?.=2.51 Гц


8. Акустика.

– интенсивность волны (с – скорость звука);

– средняя объемная плотность энергии;

(Б) ; (дБ) – уровень интенсивности звука (здесь I0=10-12 Вт/м2 – порог слышимости); уровень громкости, выраженный в фонах (фон), на частоте 1000 Гц совпадает с уровнем интенсивности, выраженным в децибелах.

(дБ) – уровень звукового давления;

– амплитуда звукового давления;

– доплеровский сдвиг частоты, здесь верхние знаки – для сближающихся источника звука и наблюдателя, нижние – для удаляющихся.

– волновое сопротивление среды;

; – коэффициенты проникновения и отражения звука при переходе из одной среды в другую.

Рис.2. Кривые равной громкости.
Примеры решения задач.

Задача 9.

Шуму на оживленной улице соответствует уровень громкости 70 фон, крику – 80 фон. Какой будет уровень громкости звука, полученного в результате сложения крика и шума улицы? Считать частоту равной 1 кГц.


Дано:

Е1=70 фон

Е2=80 фон

Решение:

Для частоты 1000 Гц уровень громкости по определению совпадает с уровнем интенсивности, выраженному в децибелах, тогда

.

Выразим интенсивность звука: , тогда получим для шума и для крика соответственно интенсивности звука:

; . Интенсивность результирующего звука можно найти сложением двух звуков:

I=I1+I2=I0,107(1+10).

Теперь можно найти уровень громкости по определению:



Найти:

Е=?

Ответ: Е=80.4 фон



9. Теория относительности.

– релятивистское сокращение длины;

– релятивистское замедление времени;

– энергия покоя;

– кинетическая энергия;

– полная энергия;

– взаимосвязь энергии и импульса;

; – релятивистский закон сложения скоростей;

; – релятивистский импульс;

– закон динамики в теории относительности.
Примеры решения задач.

Задача 10.

Импульс релятивистской частицы массой m равен mС. Под действием внешней силы импульс частицы увеличился в 2 раза. Во сколько раз при этом возрастет энергия частицы: 1) кине­тическая; 2) полная?

Дано:

p1=mС

p2=2mС

Решение:

Воспользуемся формулой взаимосвязи импульса и полной энергии: . Тогда получим для двух состояний частицы:

,

,

откуда .

Кинетическая энергия равна разности полной и энергии покоя: . Тогда

,

.

И, наконец:

.

Найти:





Ответ: ;





10. Механика жидкостей и газов.

– уравнение неразрывности;

– давление;

– гидростатическое давление;

– закон Архимеда;

– уравнение Бернулли;

– сила вязкого трения между слоями жидкости или газа;

– кинематическая вязкость;

– число Рейнольдса;

– закон Стокса;

– объемный расход;

– формула Пуазейля.

Примеры решения задач.

Задача 11.

В трубе с внутренним диаметром 3 см течет вода. Оп­ределить максимальный массовый расход воды при ламинарном течении. Вязкость воды 0.001 Па.с. Ламинарность движения жидкости сохраняется при числе Рейнольдса

Дано:

d=3 см

?=0.001 Па.с

Reкр.=3000

Решение:

Массовый расход жидкости – это, аналогично объемному расходу, масса жидкости, протекающей через сечение трубы за единицу времени:

.

Так как m=?V, то

. (1)

Считаем течение ламинарным вплоть до критического числа Рейнольдса, тогда

, (2)

где кинематическая вязкость связана с динамической:

, (3)

а средняя скорость движения жидкости v позволит найти путь, пройденный частицами воды за время dt: dl=vdt и объем протекшей через поперечное сечение S за это время жидкости:

dV=Sdl=Svdt. (4)

Решая систему уравнений (1-4), получим:

.

Наконец, выразим площадь сечения трубы через диаметр:

,

тогда:



Найти:

Qm=?

Ответ: Qm=0.071 кг/с




1. Кинематика поступательного движения
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации