Троценко Г.А., Жукова О.Г. Практикум по уравнениям математической физики. Стационарное уравнение. Интегральные уравнения. Часть 2 - файл n1.doc

приобрести
Троценко Г.А., Жукова О.Г. Практикум по уравнениям математической физики. Стационарное уравнение. Интегральные уравнения. Часть 2
скачать (2470.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2471kb.16.09.2012 01:52скачать

n1.doc

  1   2   3


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

Г.А.Троценко, О.Г.Жукова, М.В.Мендзив

ПРАКТИКУМ

ПО УРАВНЕНИЯМ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.

Стационарное уравнение.

Интегральные уравнения


Омск –2007
УДК 51:53 (075)

ББК 22.311я 73

Т 76
Рецензенты:

Николаев В.Б.,

кандидат физ.-мат. наук, доцент Омского государственного университета;

Пичугина А.Н.,

кандидат физ.-мат. наук, преподаватель кафедры «Математическое моделирование» Омского государственного университета.



Г. А. Троценко, О. Г. Жукова, М. В. Мендзив

Т 76 Практикум по уравнениям математической физики. Стацио-

нарное уравнение. Интегральные уравнения. – Омск: изд-во

ОмГТУ, 2007. – 72с.


Практикум предназначен для методического обеспечения практических занятий по новому годовому курсу «Уравнения математической физики» для студентов специальности 071100 «Динамика и прочность машин». Содержит решения типовых задач, набор задач для самостоятельного решения с ответами.


Печатается по решению редакционно-издательского совета

Омского государственного технического университета

УДК 51:53 (075)

ББК 22.311я 73



С Г. А. Троценко, О. Г. Жукова, М. В. Мендзив, 2007



С Омский государственный технический университет, 2007

Тема 1. СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ
Уравнение

(1.0)

где – лапласиан, – заданная функция, называется уравнением Пуассона.

При уравнение Пуассона называется уравнением Лапласа


В декартовых, цилиндрических и сферических координатах соответственно лапласиан имеет следующий вид:

,


Для уравнения (1.0) в области , ограниченной замкнутой поверхностью S, ставятся следующие краевые задачи:
1. Задача Дирихле

В области найти дважды непрерывно дифференцируемую функцию, удовлетворяющую уравнению (1.0) и принимающую на границе S заданные значения

.
2. Задача Неймана

В области найти дважды непрерывно дифференцируемую функцию, удовлетворяющую уравнению (1.0) и на поверхности S условию

,

где – производная по направлению единичного вектора внешней нормали n к S.
3. Cмешанная задача

Найти решение уравнения (1.0), удовлетворяющее условию




1.1. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье
Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется так: найти функцию , удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа

(1.1)

и принимающую заданные значения на границе круга, т.е.

. (1.2)

В полярных координатах уравнение (1.1) имеет вид

(1.3)

Частные решения уравнения (1.3) будем искать в виде

(1.4)

Подставляя (1.4) в (1.3), получаем



Отсюда следует, что функция является решением уравнения

, (1.5)

а для функции получаем задачу на собственные значения

(1.6)

Здесь условие периодичности функции является следствием периодичности искомого решения по переменной с периодом .

Ненулевые периодические решения задачи (1.6) существуют только при и имеют вид

(1.7)

где и – произвольные постоянные.

Из (1.5) для функции при получаем уравнение

. (1.8)

Частные решения этого уравнения будем искать в виде Подставляя эту функцию в (1.8), получаем . Следовательно, или . Второе из этих решений следует отбросить, т.к. при функция не является гармонической в круге .

Таким образом, согласно (1.4), частные решения уравнения (1.3) можно записать так:


Решение внутренней задачи Дирихле находим в виде ряда



Выполняя граничные условия (1.2), получаем

(1.9)

Разложим функцию в ряд Фурье

(1.10)

где



(1.11)



– коэффициенты Фурье .

Сравнивая ряд (1.9) с рядом (1.10), получаем



Таким образом, решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге имеет вид

(1.12)
Пример 1. Найти гармоническую внутри единичного круга функцию , принимающую на его границе значения .

Решение. Задача сводится к решению уравнения



при условии

.

Согласно (1.12), решение примет вид

(1.13)

Коэффициенты вычислим по формулам (1.11). При вычислении интегралов будут использованы следующие свойства:

– четная функция;
– нечетная функция.
.






.

При



.
.

Подставляя найденные коэффициенты в (1.13), получаем решение задачи

.

Задачи для самостоятельного решения
Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R с центром в начале координат и удовлетворяющую на границе круга условию .

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .


Ответы

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10.



1.2. Решение краевых задач в шаре с использованием сферических функций

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в шаре формулируется так: найти функцию , гармоническую внутри шара и принимающую на поверхности S шара заданные значения, т.е.

, (1.14)

. (1.15)

Уравнение (1.14) в сферических координатах имеет вид

. (1.16)

Частные решения уравнения (1.16) будем искать в виде однородного многочлена степени

. (1.17)

Подставляя (1.17) в (1.16), получим, что функция должна удовлетворять уравнению

. (1.18)

Дважды непрерывно дифференцируемые ограниченные решения уравнения (1.18) называются сферическими функциями порядка .

Для нахождения решений уравнения (1.18) применим метод разделения переменных. Будем искать решение уравнения (1.18) в виде произведения двух функций

.

Учитывая, что , получим

(1.19)

откуда и

– решения задачи (1.19).

Функция определяется из уравнения

, (1.20)

и, следовательно, задача нахождения сферических функций на единичной сфере сводится к отысканию решений уравнения (1.20) при . Полагая в (1.20) , для

функции , , получаем уравнение

. (1.21)

Ограниченными решениями уравнения (1.21) являются присоединенные многочлены Лежандра

,

где – многочлены Лежандра.

Возвращаясь к переменной , находим частные решения уравнения (1.20):

,

причем при .

Таким образом, частные решения уравнения (1.18), ограниченные на единичной сфере, имеют вид: , . Их линейные комбинации с произвольными коэффициентами

, (1.22)

также являются частными решениями уравнения (1.18), а частные решения уравнения (1.16) даются формулами

.

Решение внутренней задачи Дирихле в шаре (и других внутренних задач) находится в виде ряда по сферическим функциям

. (1.23)

Разлагая функцию в ряд по сферическим функциям



и используя граничное условие, находим .

Задача Неймана для уравнения Лапласа в шаре формулируется так: найти функцию , гармоническую внутри шара , нормальная производная которой на поверхности S шара принимает заданные значения, т.е.

. (1.24)

Разложение в ряд по сферическим функциям имеет вид

.

В [1], п. 1.7 показано, что решение задачи (1.24) определяется с точностью до произвольной постоянной и дается формулой

. (1.25)

Приведем формулы для многочленов Лежандра , при :





, т.к.

.



Аналогично получим:









.


Пользуясь формулой (1.22), выпишем сферические функции в явном виде для :

















Пример 2. Найти функцию , гармоническую внутри единичного шара и удовлетворяющую на границе шара условию .
Решение. Представим функцию



в виде



.

Из формул для следует, что

при ;

при

;

при .

Следовательно,

.
Тогда, согласно формуле (1.23), решение внутренней задачи Дирихле имеет вид

,

.
Пример 3. Пусть теперь на границе шара выполнено условие

.

Решение. Представим функцию в виде



,

где , .

Функцию будем искать, согласно формуле (1.23), в виде

,

где , – те же функции, что и в разложении , с неопределенными коэффициентами. Найдем эти коэффициенты, используя граничное условие . Имеем

,

,

.

Следовательно,



.

Приравнивая коэффициенты левой части к коэффициентам правой, получим



Таким образом, решение внутренней задачи Неймана имеет вид

,

что подтверждает формула (1.25).
Задачи для самостоятельного решения


1. Найти функцию, гармоническую внутри единичного шара и удовлетворяющую на границе шара условию:

а) .

б) .

в) .

г) .

д) .

2. Найти функцию, гармоническую внутри шара радиуса R с центром в начале координат и удовлетворяющую на границе шара условию:

а) .

б) .

в) .

г) .

д) .

е) .

ж) .

Ответы

1.а. .

1.б. .

1.в. .

1.г. .

1.д. .

2.а. .

2.б. .

2.в. .

2.г. .

2.д.

.

Указание: .

Решение следует искать в виде



.

2.е.

.

Указание:



.

Решение следует искать в виде



.

2.ж. .


Указание:

.

Решение следует искать в виде

.



1.3. Метод функции Грина
Пусть дана область в пространстве, ограниченная поверхностью S. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона

(1.26)



Решение поставленной задачи в некоторых случаях может быть получено с помощью функции Грина.

Зафиксируем произвольно точку внутри области и пусть – любая точка внутри или на границе области .
Построим три функции от пары точек , :

1)

Функция удовлетворяет по первой точке при фиксированной второй уравнению Лапласа



и называется фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве.
2) – решение задачи Дирихле специального вида



3)

Функция G называется функцией Грина задачи Дирихле (1.26).

Из определения следует

1. внутри , кроме .

2.

Если функция G известна, то решение задачи Дирихле (1.26) в точке дается формулой

(1.27)

где – производная функции G на границе S, взятая по направлению внешней нормали к S.
Для двумерной области с границей S функция Грина определяется аналогично



где

1) ,

.

Функция Е называется фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.

2) такая, что



Решение первой краевой задачи для уравнения при этом дается формулой

. (1.28)

Пример 4. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полупространстве , т.е.





Решение. Выберем любую точку , Пусть – текущая точка. Построим точку , симметричную с точкой относительно плоскости (рис. 1). Соединим с , расстояние обозначим через . Соединим с , расстояние обозначим через .



0


Рис. 1



,

где

,

– решение задачи



Положим .

Очевидно, ,


.

Имеем

.


.
Подставляя полученное выражение в (1.27) и учитывая, что , получим

Пример 5. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полуплоскости , т.е.



Решение. Выполним построения, аналогичные построениям в примере 4. Функция Грина может быть получена таким же способом.




0
Рис. 2


,

где

,
.

Имеем

.



.

Решение краевой задачи, согласно (1.28), примет вид

.
Пример 6. Построить функцию Грина для полукруга .

Решение. Пусть – любая точка, лежащая в данном полукруге, – текущая точка. Отложим на радиусе, проходящем через точку , такой отрезок , чтобы

, (1.29)

где – расстояния от точки О до точек соответственно (точка называется сопряженной с точкой ).

Построим симметричные с точки относительно оси (рис. 3).


y



M

0 x


Рис. 3


Функцию Грина будем искать в виде

.

Найдем функцию . Обозначим через r и расстояния между точками , .

,

где ,

– решение задачи



Положим

.

Нетрудно убедиться, что определенная таким образом функция является гармонической в полукруге. Для всех точек М, расположенных на границе полукруга, расстояния до точек пропорциональны.







d

О
Рис. 4

Действительно, треугольники подобны: угол при вершине О у них общий, а прилежащие к нему стороны в силу (1.29) пропорциональны

.



Из подобия треугольников следует .
Отсюда .
Тогда функция на границе полукруга принимает то же значение, что и функция . Следовательно, на границе и

.

Проводя аналогичные рассуждения для точки , найдем

,

где – расстояния между точками .

Таким образом, получаем



,

где

Задачи для самостоятельного решения
1. Построить функцию Грина для следующих областей в :

а) двугранный угол .

б) октант .

в) полушар .

г) четверть шара .

2. Найти решение задачи Дирихле



для следующих :

а)

б)

3. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа для полушара .

4. Построить функцию Грина для следующих областей в :

а) четверть плоскости

б) четверть круга

5. Найти решение задачи Дирихле



для следующих

а)

а)

6. Найти решение уравнения в первом квадранте со следующими граничными условиями:

а) – кусочно-непрерывная, ограниченная функция, где S состоит из полупрямых и .

б) .

в) .

7. Найти решение уравнения Лапласа в полукруге , при условии , где S – граница полукруга, – кусочно-непрерывная функция.

Ответы


В ответах к задаче 1 введены обозначения:

.

1.а. .

1.б. .

1.в. ,

где ,.

1.г. .


2.а. .

2.б. .

3.





.

В ответах к задаче 4 введены обозначения:

.

4.а. .

4.б. ,

.

5.а. .

5.б. .

6.а.

.

6.б. .

6.в. .




  1   2   3


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации