Имаев Д.Х. Синтез систем управления в среде MATLAB - файл n1.doc

приобрести
Имаев Д.Х. Синтез систем управления в среде MATLAB
скачать (1883.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1884kb.15.09.2012 23:57скачать

n1.doc

  1   2   3   4   5   6


На правах рукописи


Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

_______________________________________________________________
Кафедра Автоматики и процессов управления

Д. Х. Имаев
СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ В СРЕДЕ MATLAB

Пособие

по выполнению курсового проектирования

по дисциплинам «Теория автоматического управления»,

«Основы теории управления»


Санкт-Петербург

2010

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие …............................................................................................................ ………… 6



1. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ ......................................................... …. 7

1.1. Задачи теории управления ....................................……………………………….. 7

1.2. Общая схема построения моделей объектов и систем

управления ........................................................................................................... 9

1.3. Формы представления линейных стационарных моделей ..................................11

1.3.1. Непрерывные модели ……………………………………………………… 11

1.3.2. Дискретные модели …………………………………………… … …………14

1.4. Классические методы синтеза систем управления …………………………….. 15

1.4.1. Операторный метод …………………………………………… ………….. 16

1.4.2. Частотные методы ………………………………………………………….. 18

1.5. Методы пространства состояний ……………………………………………… 21

1.5.1. Размещение собственных значений матриц ……………………………. 21

1.5.2. Аналитическое конструирование регуляторов .................................... .23

1.5.3. Синтез наблюдателя состояния ……… …. ……………….………………24

1.6. Синтез систем управления по нелинейным моделям …………………………. .25

1.6.1. Нелинейные модели объектов и систем управления …………………... 25

1.6.2. Синтез систем управления по линеаризованным моделям ..………… 26


2. МАЯТНИК НА КАРЕТКЕ КАК ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ ............................................ 29


2.1. Перевернутый маятник на каретке ……………………………………………... 29

2.2. Математическая модель маятника на каретке как объекта управления ……... 30 2.3. Дифференциальные уравнения в форме Коши ………………………………... 31

2.4. Линеаризация дифференциальных уравнений ………………………………... 32

2.5. Передаточные функции объекта ………………………………………………... 34

2.6. Анализ устойчивости положений равновесия ………………………………… 34

2.7. Компьютерное моделирование маятника на каретке .......................................... 35

2.8. Линеаризация и анализ в среде MATLAB/Simulink ........................................... 37
3. СИНТЕЗ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ МАЯТНИКА НА КАРЕТКЕ ……. ………….. . 38

3.1. Синтез регулятора для маятника на каретке операторным методом ………... 39

3.2. Синтез систем стабилизации маятника на каретке методами

пространства состояний …………………………………………………….. . 43

3.2.1. Регулятор состояния ............................................................................. 44

3.2.2. Синтез регулятора методом размещения собственных значений .... 44

3.2.3. Анализ системы с динамическим регулятором .................................. 46

3.2.4. Аналитическое конструирование регуляторов ……………………… . 48

3.3. Синтез системы стабилизации частотным методом …………………………. 50
4. СИНТЕЗ СИСТЕМ С ЦИФРОВЫМИ УПРАВЛЯЮЩИМИ УСТРОЙСТВАМИ……. 58

4.1. Модели систем цифрового управления непрерывными объектами ………….. 58

4.2. Компьютерное моделирование систем с цифровыми управляющими устройствами …………………………………………………………………………… 60

4.3. Однородные модели цифровых систем управления …………………………. 61

4.3.1. Дискретные модели систем цифрового управления ………………… 61

4.3.2. Непрерывные модели цифровых систем управления ……………….. … 63

4.4. Способы синтеза алгоритмов цифрового управления ....................................... 65

4.4.1. Дискретизация аналогового регулятора .............................................. 65

4.4.2. Синтез дискретного регулятора по дискретной модели объекта.

Метод размещения собственных значений …………………………… 67

4.4.3. Аналитическое конструирование дискретных регуляторов ……… 67

4.5. Пример дискретизации аналогового регулятора, полученного

операторным методом ……………………………………………………………… 68

4.6. Дискретизация аналогового регулятора, полученного методом

пространства состояний…………………………………………………….. 69

4.7. Дискретизация аналоговых регуляторов, полученных частотным методом ...71

4.8. Синтез дискретного регулятора по дискретной модели объекта .................... 73
Список литературы ............................................................................................................... 77

ПРЕДИСЛОВИЕ
Вузовские курсы теории автоматического управления завершаются изложением методов синтеза, интегрирующих знания студентов о принципах управления, математических моделях объектов и элементов систем, о качестве процессов управления и методах анализа. Задания на курсовое проектирование обычно ориентируются на синтез следящих систем или/и систем подавления возмущений. Вместе с тем, задачи стабилизации объектов, хотя исторически возникли первыми, и по сей день занимают исключительно важное место в теории и практике автоматического управления. Предлагаемое учебное пособие дает ряд примеров синтеза систем стабилизации неустойчивых объектов, как методами пространства состояний, так и традиционными методами.

Задача стабилизации верхнего неустойчивого положения равновесия маятника относится к числу классических задач механики и теории управления. Многозвенные перевернутые маятники служат примерами шагающих роботов, ракет на старте, нескольких барж, которых толкает буксир и т. д. и т. п. Невозможно перечислить работы, посвященные этой тематике (см., например, [3, 9, 12, 13, 16, 18, 24, 25, 26, 32, 33, 34, 36, 39, 42, 43, 44]). Особый интерес представляют те из них, в которых число управляющих воздействий меньше числа степеней свободы [49]. Популярность механических объектов связана с их наглядностью и относительной простотой построения математических моделей на базе законов движения Ньютона и формализма Лагранжа.

Динамические модели перевернутых маятников используются при сравнении методов синтеза алгоритмов автоматической стабилизации. Приводятся примеры синтеза систем стабилизации подобными объектами как классическими, так и современными методами, а также способы стабилизации, когда алгоритмы принятия решений реализуются на базе нейронных сетей (см., например, [29, 30, 32, 34, 35, 40, 46]) или являются экспертными, основанными на нечетких множествах [31, 35, 41, 44]. Ряд фирм предлагает лабораторные макеты систем компьютерного управления механическими объектами упомянутого выше типа.

Огромное количество публикаций посвящено анализу, компьютерному моделированию и синтезу систем управления механическими объектами в программной среде MATLAB фирмы The MathWorks, Inc. [34, 41, 51].

В методических указаниях даны краткие сведения по классическим и современным методам синтеза систем автоматической стабилизации, а также приводятся примеры анализа и синтеза в программной среде MATLAB/Simulink.

Предполагается, что Читатель знаком с основами теории управления, а также имеет начальную практику работы в среде MATLAB.

Материал методических указаний основан на многолетнем опыте проведения занятий по курсовому проектированию на кафедре Автоматики и процессов управления СПбГЭТУ “ЛЭТИ” и в Институте Автоматики и информатики Политехники г. Ополе (Польша).

Предлагаемое учебное пособие может быть полезным преподавателям при составлении заданий на курсовое проектирование по дисциплинам “Теория автоматического управления”, “Основы теории управления”, а также студентам как помощь при их выполнении.

1. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

1.1. Задачи теории управления

Основными задачами теории являются анализ и синтез систем управления с целью выявления и формирования свойств поведения: устойчивости движений, инвариантности к возмущениям и робастности (грубости, малой чувствительности) к изменениям свойств элементов.

Анализ имеет целью констатацию и количественную оценку свойств систем. В общем случае к задаче анализа относится объяснение, почему система, образованная элементами с известными характеристики и данным способом их взаимосвязи, обладает именно такими свойствами.

Синтез означает формирование желаемого (заданного, оптимального) поведения систем управления. Синтез включает выбор множества элементов, их характеристик и параметров, а также структуры взаимодействия элементов. Синтез является задачей, обратной по отношению к анализу.

Построение моделей сигналов, объектов и систем управления также относится к задачам теории управления и смежных с ней дисциплин. Решение задач анализа и синтеза на реальных объектах возможно в редких случаях. Как правило, это требует много времени, дорого, опасно и не всегда осуществимо. Действительно, управляемый процесс может быть очень длительным (печи и другие тепловые объекты), эксперименты — дорогими (запуск космических ракет) и опасными (ядерные реакторы). Кроме того, современные объекты управления, как правило, проектируются вместе с системами управления.

Теория управления имеет дело с математическими (символьными) моделями. Математические модели позволяют решать задачи анализа и синтеза аналитически (расчетным путем), а также являются основным этапом построения компьютерных моделей для численного решения задач, в частности, для имитации поведения систем управления.

Более общей по сравнению с синтезом является задача проектирования систем управления. Хотя требования к поведению систем управления являются доминирующими, при проектировании необходимо удовлетворять и другим условиям и ограничениям, содержащимся в технических заданиях. Это требования надежности систем, их приемлемой стоимости, условия энергетического характера, ограничения, связанные с типом сигналов, массой и габаритами систем, компоновкой элементов и трассировкой связей и т.д. Для расчетов систем по таким требованиям привлекаются соответствующие модели и методы, отличные от рассматриваемых в традиционных курсах теории управления.

Для решения задач анализа — проверки соответствия поведения системы требованиям — необходимо иметь описание системы , среды и требований . Если система не удовлетворяет требованиям, то принимается решение о необходимости синтеза. Анализ условно иллюстрируется на рис. 1.1, а, где блок Y затемнен, что означает необходимость выяснения того, удовлетворены ли требования к процессам достижения цели системы.



Рис. 1.1. Иллюстрация задач теории управления: анализ (а); синтез управлений (б);

синтез системы (в)
Целью синтеза является построение математической модели системы управления, удовлетворяющей требованиям к поведению: ковариантности с заданием, инвариантности к возмущениям, устойчивости и грубости (робастности).

Синтез управлений означает поиск воздействий на систему с известными свойствами из условия получения заданных характеристик ее реакции (см. рис.1.1, б). Постановка задачи синтеза должна содержать описание требований к поведению, т. е. задания модели среды на выходе системы .

Синтез системы, взаимодействующей со средой, предполагает выбор элементов и связей таким образом, чтобы система требуемым образом реагировала на известное воздействие (см. рис. 1.1, в). Средствами решения задачи синтеза являются: выбор структур систем, т. е. элементов и топологии причинно-следственных связей между ними, структур операторов элементов, в частности, алгоритмов управляющих устройств и значений их параметров.

Заметим, что задача идентификации объектов и синтеза системы имеют подобную иллюстрацию.

Удовлетворению требований к поведению систем обычно препятствуют динамические свойства объектов управления и других элементов неизменяемой части, недоступность полной априорной информации о свойствах элементов системы и среды, невозможность получения всей текущей информации о состоянии объекта и возмущениях, ограничения на переменные системы и управляющие воздействия.
1.2. Общая схема построения моделей

объектов и систем управления
Попытки формализации исследований и систематизации знаний о вновь создаваемых объектах и системах относятся к этапу системного анализа. Исследование объектов и систем управления начинается с их обособления, выделения из окружающей среды, что, вообще говоря, приводит к искажению изучаемых процессов, так как в природе все явления в той или иной степени взаимосвязаны и взаимообусловлены. На рис. 1.2 иллюстрируется упрощенная схема построения моделей объектов управления.


Рис. 1.2. Схема построения моделей систем управления
Рассмотрение взаимодействия системы со средой начинается с выделения собственно системы S , а также ее связей со средой, т. е. определения переменных входа f и выхода y (рис. 1.3, а). Следующий этап заключается в разрывании предположительно слабых обратных связей с выхода системы на ее вход.

Система оказывается звеном в искусственно разорванной цепи причинно-следственных отношений “среда-система-среда”. В результате среда разделяется на две части — “источник” и “приемник” сигналов.

В теории и расчетной практике объектами исследований оказываются модели собственно систем , модели систем со связями со средой и модели расширенных систем (см. рис. 1.3, б) [7, 8]. Модели содержат информацию о свойствах свободных движений систем, — о свойствах каналов передач от входов к выходам, а модели привлекаются для изучения вынужденных движений переменных выхода y(t) при адекватных моделях воздействий f(t).

Рис. 1.3. Взаимодействие системы со средой

Анализ собственно систем (автономных систем с неизменными во времени свойствами, т. е. систем, не испытывающих воздействия среды) проводится при заданном начальном состоянии. Начальное состояние автономной системы является следствием исчезнувших воздействий среды. Сигналы на выходах автономных систем (источников или генераторов сигналов) являются результатом процессов, происходящих в них в силу накопленной ранее энергии (ресурсов).

При анализе системы и расширенной системы (см. рис. 1.3, б) определяют качественные и количественные характеристики каналов передач воздействий и реакции выхода на конкретные сигналы входа .

В зависимости от характера и объема априорной информации об объекте исследования выделяют два способа построения моделей систем управления в формах, принятых в теории управления: 1 — аналитический; 2 — экспериментальный.

Аналитический способ применяется для построения моделей объектов хорошо изученной природы. В этом случае имеется вся необходимая информация о свойствах объекта, но она представлена в другой форме. В результате идеализации физических объектов появляются структурные модели в виде схем с сосредоточенными компонентами (см. рис. 1.2). Типичными представителями физических систем, допускающих такое представление, являются электрические и механические объекты. Подобные схемы являются символьными моделями, в которых информация об интересующих свойствах объекта представлена с использованием графических образов, отражающих физическую природу явлений, устройство и параметры объектов.

Методы теории управления абстрагируются от конкретной природы объектов и оперируют еще более общими — математическими (также символьными) моделями.

Аналитический способ моделирования складывается из этапа построения схемы объекта и ее дальнейшего преобразования в математическое описание требуемой формы (см. рис. 1.2). При этом принципиальные проблемы моделирования решаются на первом — неформальном этапе. Второй этап при этом оказывается процедурой преобразования форм представления моделей. Это позволяет разработать различные компьютерные программы, позволяющие автоматизировать составление уравнений по схемам.

Если свойства объекта познаны в недостаточной степени, либо происходящие явления слишком сложны для аналитического описания, для построения математических моделей реально существующих объектов применяется экспериментальный способ. Этот способ заключается в активных экспериментах над объектом или в пассивной регистрации его поведения в режиме нормальной эксплуатации. В результате обработки данных наблюдений получают модели в требуемой форме (см. рис. 1.2). Совокупность этих операций объединяется термином идентификация объекта.

Особенностью математических моделей систем управления является то, что они не только содержат априорную информацию о динамических свойствах, необходимую для изучения поведения системы в целом, но также отражают процессы получения и обработки текущей информации о цели системы, состоянии объекта и воздействиях среды для принятия решения по оказанию на объект надлежащего управляющего воздействия. При построении моделей систем управления и выборе форм их представления учитываются не только динамические, но и информационные, а также алгоритмические аспекты проблемы. Поскольку модели элементов и систем являются основным материалом в задачах анализа и синтеза (исходными данными и результатами), то им и алгоритмам их преобразования в теории управления отводят важное место.
1.3. Формы представления линейных стационарных моделей



Рассмотрим различные формы представления конечномерных линейных непрерывных стационарных детерминированных моделей систем управления. Отметим, что в англоязычной технической литературе линейные стационарные модели, как непрерывные, так и дискретные, принято обозначать аббревиатурой LTI — Linear Time-Invariant.


1.3.1. Непрерывные модели
Если все сигналы в системе непрерывны по уровню и во времени, то имеют место непрерывные (аналоговые) системы. Математическими моделями генераторов непрерывных сигналов являются однородные (без правых частей) дифференциальные уравнения, а фильтров (преобразователей) — неоднородные дифференциальные уравнения.

Основными формами представления операторов преобразования непрерывных переменных f(t) в переменные y(t) являются: дифференциальные уравнения и передаточные функции.

Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами обычно записывается так:

.

(1.1)

Если ввести символ оператора дифференцирования по времени






то уравнение (1.1) запишется в компактном виде



(1.2)

где: ;  — операторные полиномы с постоянными коэффициентами. Дифференциальное уравнение дополняется начальными условиями

Передаточная функция по определению равна отношению изображений по Лапласу переменных выхода и входа при нулевых начальных условиях

,

где s — комплексный аргумент. Преобразуя дифференциальное уравнение (1.1) при нулевых начальных условиях, получаем алгебраическое уравнение для изображений



Отсюда следует, что передаточная функция легко записывается по дифференциальному уравнению



(1.3)

и, наоборот, по передаточной функции немедленно записывается дифференциальное уравнение.

Передаточную функцию можно задать коэффициентом и множествами нулей (корней полинома числителя) , и полюсов (корней полинома знаменателя) , передаточной функции (1.3)



(1.4)

В отличие от полиномиальной формы (1.3), форму (1.4) задания передаточных функций называют факторизованной.

Кодирование информации о дифференциальных уравнениях или передаточных функциях в среде MATLAB не различается и сводится к перечислению коэффициентов полиномов в порядке убывания степени аргумента. Например, для ввода передаточной функции



достаточно перечислить коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции (соответственно — коэффициенты операторных полиномов в правой и левой частях дифференциального уравнения):

>>num=1;

>>den=[1 3 2];

Можно также декларировать имя вводимого объекта и форму представления модели:

>>plant=tf(1,[1 3 2]);

Система дифференциальных уравнений первого порядка в так называемой форме пространства состояний (стандартизованной вектoрно-матричной форме Коши) записывается следующим образом:



(1.5)

где f — P-мерный вектор входа; y — K-мерный вектор выхода; A — матрица состояний; B — матрица входа; C - матрица выхода; D — матрица обхода соответствующих размеров. Первую векторно-матричную строку в системе уравнений (1.5) называют уравнениями состояний, а вторую — уравнениями выхода.

Для ввода модели второго порядка в матричной форме (1.5) в рабочее пространство MATLAB следует описать четверку матриц, например:

>>A=[0 1;-3 -2];

>>B=[0 1]’; % знак (‘) означает транспонирование матрицы

>>C=[1 0];

>>D=0;

Можно также декларировать имя вводимого объекта и форму представления модели:

>>plant=ss([0 1;-3 -2],[0 1]’,[1 0],0);

В приведенных командах приняты следующие сокращения англоязычных терминов: num: numeratorчислитель; den: denominatorзнаменатель; tf: transfer function — передаточная функция; ss: state-space — пространство состояний.

Временные характеристики являются одной из форм представления оператора преобразования переменной f(t) в переменную y(t). Переходная характеристика h(t) — реакция системы на единичную ступенчатую функцию 1(t) при нулевых начальных условиях строится по команде

>> step(plant)

Частотные характеристики элементов и систем представляют собой зависимость параметров установившихся реакций на гармонические сигналы всех частот и единичных амплитуд. В линейных системах форма и частота установившейся реакции совпадают с входом. Комплексная частотная характеристика W(j) дает возможность определить амплитуду R() и фазу () гармонического сигнала на выходе системы по значению частоты:






где R() = modW(j) и () = argW(j) — амплитудная и фазовая частотные характеристики.

Амплитудно-частотные характеристики удобно представлять в логарифмическом масштабе:



Если частота изменяется в логарифмическом масштабе, то логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) во многих практически важных случаях мало отличаются от прямолинейных асимптот с наклонами, кратными 20 дБ/дек. Диаграмма Боде или ЛАЧХ строится по команде

>> bode(plant)

Хотя любая из форм представления операторов может быть принята за основу задания динамических свойств систем, в конкретных исследованиях та или иная форма оказывается более рациональной или предпочтительней. Возникает необходимость перехода от одной формы к другой. Программа MATLAB/Control System Toolbox содержит богатый набор команд преобразования форм представления моделей.
1.3.2. Дискретные модели
Системы, генерирующие и преобразующие сигналы дискретного времени, т. е. числовые последовательности, описываются математическими моделями в форме разностных уравнений.

Однородное (без правой части) линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами обычно записывают так:

; k = 0, 1, 2, … . (1.6)

Для удобства дискретный аргумент записан как нижний индекс.

Введем в рассмотрение так называемый оператор сдвига ; , и т. д. Оператор сдвига позволяет записать разностное уравнение (1.6) в компактной форме:

,

где операторный полином

.

Неоднородное (с правой частью) разностное уравнение описывает преобразование последовательностей, т.е. систему с входным воздействием:

, (1.7)

где операторный полином при воздействии

.

Система разностных уравнений в векторно-матричной форме пространства состояний записывается так:

(1.8)

где: vn-мерный вектор состояния; — начальное состояние; y, f — cкалярные выход ивход (для одномерных систем); — матрицы соответствующих размеров.

Дискретная передаточная функция системы равна отношению -изображений выхода к входу при нулевых начальных условиях:

,

где z — комплексный аргумент.

Если имеем разностное уравнение - го порядка (1.7), то в результате -преобразования при нулевых начальных условиях получим:

.

Отношение изображений оказывается равным отношению полиномов:

.

Таким образом, как и в случае дифференциальных уравнений, по разностному уравнению в операторной форме сразу записывается дискретная передаточная функция путем формальной замены символа оператора сдвига на комплексный аргумент . Собственный операторный полином оказывается знаменателем, а оператор при воздействии — числителем передаточной функции.

Как легко заметить, разностные уравнения и дискретные передаточные функции “напоминают” дифференциальные уравнения и непрерывные передаточные функции; во многих случаях совпадает не только терминология, но также методы, алгоритмы и программы вычислений.

Ввод дискретных моделей класса LTI в рабочее пространство MATLAB не отличается от кодировки непрерывных моделей.


1.4. Классические методы синтеза систем управления
Традиционно используются для синтеза систем с одним входом и одним выходом (англоязычная аббревиатура SISO — Single-Input-Single Output). Они оперируют моделями в форме дифференциальных уравнений, передаточных функций, частотных характеристик и корневых годографов.

В предлагаемом учебном пособии рассматриваются задачи стабилизации неустойчивых состояний механических модельных объектов классическими методами. Применение развитых компьютерных программ анализа, синтез и имитации существенно усиливает возможности классических методов, устраняет некоторые присущие им недостатки, в полной мере сохраняя их достоинства.

Пусть анализ модели объекта выявил, что состояние равновесия неустойчиво. Математически этот факт выражается в том, что характеристический полином (матрица состояния) дифференциального уравнения имеет корни (собственные значения) с положительными действительными частями. В случае разностных уравнений условием устойчивости является принадлежность корней единичному кругу. Если корни имеют модули более единицы, то ставится задача стабилизации неустойчивого режима дискретной системы.

Необходимым условием изменения корней характеристического полинома является образование контура, содержащего объект управления. Кроме того, передаточная функция объекта по выбранному каналу вход-выход должна быть полной, ее числитель и знаменатель должны быть взаимно простыми, и не иметь нулей, равных перемещаемым полюсам (так называемых, диполей). Используя современную терминологию, можно сказать, что условием разрешимости задачи синтеза является управляемость и наблюдаемость объекта. В противном случае никакая обратная связь не сможет переместить корни неполной части.

В зависимости от формы представления модели объекта и требований к собственным движениям системы могут быть применены различные методы синтеза.

1.4.1. Операторный метод
Допустим, что требования к системе представлены в форме желаемого множества корней характеристического полинома. Необходимо найти алгоритм регулятора, размещающего корни в назначенных местах комплексной плоскости. Корни характеристического полинома — это полюсы передаточной функции системы; по этой причине иногда говорят о задаче размещения полюсов. Поскольку корням соответствуют составляющие собственных движений  — так называемые моды — то задачу размещения корней иногда называют управлением модами или модальным управлением.

Запишем дифференциальное уравнение объекта в операторной форме

.

(1.9)

Положим, что степень полинома выше степени полинома . Кроме того, положим, что полиномы и взаимно просты, т. е. описание вход-выход объекта (1.9) является полным. Для системы с одним входом и одним выходом полнота равносильна полной управляемости и наблюдаемости. Без потери общности примем, что коэффициент при старшей степени полинома равен единице.

Искомое дифференциальное уравнение стабилизирующей отрицательной обратной связи (регулятора) также запишем в общем виде в операторной форме

.

(1.10)

Однородное дифференциальное уравнение замкнутой системы получим, если исключим переменную из уравнений (1.9) и (1.10):

.

(1.11)

Потребуем тождества характеристического полинома желаемому полиному

,

(1.12)

построенному по заданным корням

.

(1.13)

Из тождества (1.13) необходимо найти операторные полиномы регулятора и . Это значит, что следует искать структуру регулятора — степени и , а также параметры регулятора — коэффициенты полиномов:



Полиномиальные уравнения вида (1.13) называют диофантовыми, так как полиномы, как и целые числа, образуют кольцо — алгебраическую структуру с операциями сложения, вычитания и умножения (без деления).

Для конкретизации структуры регулятора воспользуемся условием реализуемости регулятора:

;

(1.14)

для упрощения задачи примем степени равными: . Тогда число неизвестных параметров регулятора равно .

Из условия равенства коэффициентов полиномов и имеем систему уравнений для определения коэффициентов полиномов и .

Степень полинома равна сумме степеней полиномов и , т. е. порядок системы равен сумме порядков объекта и регулятора. Такой же должна быть и степень желаемого характеристического полинома . В силу того, что полиномы и имеют единичные старшие коэффициенты, а степень полинома меньше степени полинома , старший коэффициент полинома также равен единице. Как видно из (1.12), полином имеет единичный старший коэффициент. Таким образом, из тождества (1.13) следует уравнений.

Число неизвестных параметров должно равняться числу уравнений:

;

откуда получим порядок регулятора:

.

(1.15)

Порядок системы равен

;

таково же и число неизвестных параметров регулятора.

Далее записывается система уравнений относительно искомых параметров. Матрица системы формируется из коэффициентов полиномов и ; она оказывается так называемой матрицей Сильвестра (Sylvester). Ее определитель — результант полиномов и  — отличен от нуля, если полиномы взаимно просты. Таким образом, задача размещения корней разрешима, если характеристика вход-выход объекта является полной.

Подбором полиномов и можно получить любой желаемый характеристический полином системы и даже добиться понижения степени за счет взаимного уничтожения старших коэффициентов. При этом часть корней полинома уходит в бесконечность. Поскольку неточная компенсация может дать полиномы с малыми отрицательными коэффициентами, то часть корней переходит в правую полуплоскость. Системы, полученные таким образом, оказываются негрубыми — при малейшей неточности в реализации регулятора или несоответствии объекта модели система будет катастрофически неустойчивой — характеристический полином будет иметь большие по модулю правые корни.

Примеры синтеза операторным методом приводятся далее.
1.4.2. Частотные методы
Классические графоаналитические методики на базе логарифмических частотных характеристик, были развиты применительно к синтезу сервомеханизмов — электромеханических следящих систем. Методики, использующие амплитудно-фазовые характеристики на комплексной плоскости, преимущественно ориентированы на расчет настроек типовых регуляторов промышленного назначения.

Пусть модель синтезируемой системы представлена в виде одноконтурной системы с единичной отрицательной обратной связью. Передаточная функция описывает динамические свойства неизменяемой (силовой) части системы — собственно объекта управления с управляющим органом, исполнительного механизма и усилителей. Сюда же отнесем измерительные и преобразовательные элементы.

Характеристический полином замкнутой системы равен сумме



(1.16)

полиномов знаменателя и числителя передаточной функции разомкнутой системы

Не все корни характеристического полинома при замыкании контура перемещаются в одинаковой степени. Это зависит от усиления контура, т.е. значения амплитудно-частотной характеристики на частотах, равных модулям корней. Усиление контура на конкретной частоте зависит как от коэффициента передачи, так и от взаимного расположения нулей и полюсов. Практически если дБ, если дБ.

Укажем на некоторые приближенные соотношения между корнями характеристического полинома (1.16) замкнутой системы и нулями и полюсами передаточной функции , вытекающие из рассмотрения логарифмических амплитудно-частотных характеристик . Корни характеристического полинома замкнутой системы приближенно равны нулям передаточной функции разомкнутой системы, модули которых принадлежат множеству частот, где амплитудно-частотная характеристика разомкнутого контура много больше единицы. Корни характеристического полинома замкнутой системы приближенно равны полюсам передаточной функции разомкнутой системы, модули которых принадлежат множеству частот, где амплитудно-частотная характеристика разомкнутого контура много меньше единицы. Это и понятно, на этих частотах контур фактически разомкнут.

Взаимосвязь корней характеристического полинома замкнутой системы (1.16) с коэффициентом передачи, полюсами и нулями передаточной функции разомкнутого контура особенно удобно исследовать по асимптотическим ЛАЧХ. Точкам сопряжения асимптот соответствуют модули нулей и полюсов передаточной функции разомкнутой системы.

Синтез системы стабилизации начинается с анализа ЛАЧХ объекта (разомкнутой системы) на диапазоне частот , которому относятся модули перемещаемых корней. Если необходимо, то усиление следует повысить для обеспечения подвижности корней. Повышение усиления контура на частотах приводит к сильному перемещению тех полюсов передаточной функции , модули которых лежат в области . Исключение составляют диполи. Если в области нет нулей передаточной функции , то корни характеристического полинома замкнутой системы будут большими по модулю, чем относительно низкие частоты диапазона .

После этого переходят к этапу коррекции — формирования характеристики контура из условия устойчивости замкнутой системы и желаемого расположения корней.

В области высоких частот контур должен иметь малое усиление. Это способствует подавлению высокочастотных помех и обеспечивает невмешательство в область, где модель не адекватна описываемым элементам и объекту (область немоделируемой динамики). Малое усиление контура в области высоких частот приводит к тому, что характеристический полином замкнутой системы будет иметь корни, близкие к большим по модулю полюсам передаточной функции . Желаемая передаточная функция обычно содержит большие по модулю устойчивые полюсы исходной передаточной функции. Нули передаточной функции объекта, модули которых принадлежат области малого усиления на высоких частотах, не влияют на корни характеристического полинома замкнутой системы.

Таким образом, формирование желаемой передаточной функции сводится к выбору средних по модулю полюсов и нулей. Именно они определяют желаемые корни характеристического полинома и, в основном, вид переходных процессов. В области средних частот усиления контура близки к единице, а ЛАЧХ пересекает ось абсцисс. Типовому расположению корней характеристического полинома замкнутой системы отвечает типовое соотношение усиления, нулей и полюсов передаточной функции , а следовательно, типовой вид среднечастотного участка ЛАЧХ . Им отвечают типовые асимптотические ЛАЧХ, изображенные на рис. 1.4. Все ЛАЧХ образуются тремя отрезками прямых, имеющих наклоны: -40, -20, -40 дБ/дек; -40, -20, -60 дБ/дек; -60, -20, -40 дБ/дек; -60, -20, -60 дБ/дек.

Средняя асимптота имеет наклон -20 дБ/дек, а левая и правая — различные наклоны, определяемые числом сильно перемещаемых малых по модулю полюсов и слабо перемещаемых больших по модулю полюсов передаточной функции разомкнутой системы.

Типовые ЛАЧХ характеризуются частотой среза и двумя параметрами и . Они выбираются таким образом, что, безусловно, обеспечивают устойчивость замкнутой системы и достаточное относительное затухание переходных процессов. Частота среза определяет масштаб на плоскости корней — среднегеометрическое корней, имеющих типовое расположение. Чем больше , тем больше модули корней и тем более быстродействующей является система. В зависимости от соотношения параметров, , может быть различным тип расположения корней характеристического полинома замкнутой системы.


Рис. 1.4. Типовые асимптотические ЛАЧХ


Разработаны различные методики выбора типа и параметров среднечастотного участка желаемых асимптотических ЛАЧХ, его “стыковки” с низкочастотным и высокочастотным участками, т. е. формирования желаемой передаточной функции разомкнутого контура.

Если ставится задача формирования свободных движений, то среднечастотная область желаемых ЛАЧХ формируется по методике, базирующейся на специальных диаграммах связи корней характеристического полинома замкнутой системы с нулями и полюсами передаточной функции разомкнутой системы [8].

В условиях применения программных средств для автоматизации синтеза систем управления роль диаграмм снижается, и, быть может, сводится к выбору по ним начальных значений параметров. Далее в режиме оперативного взаимодействия с компьютером эти параметры уточняются.

Коррекция контура сводится к дополнению передаточной функции объекта вновь вводимыми нулями и полюсами так, чтобы получить ЛАЧХ типового вида и параметров.

Достоинство частотного метода заключается в учете собственных свойств объекта, как это следует из процедуры формирования желаемой ЛАЧХ. Естественным образом выбирается область существенных частот, как правило, путем минимального вмешательства в динамику объекта. Хотя частотные методы имеют ряд ограничений, в условиях применения современных программных средств могут успешно решать большинство задач стабилизации неустойчивых режимов объектов различной природы.

Целесообразно воспользоваться весьма развитыми средствами MATLAB/SISO Design Tool, позволяющими автоматизировать синтез и коррекцию систем в частотной области. Можно рекомендовать программу CLASSiC, разработанную специально для анализа и структурного синтеза линейных систем на кафедре Автоматики и процессов управления СПбГЭТУ «ЛЭТИ» [1, 20].

Примеры синтеза систем стабилизации частотным методом приводятся далее.
1.5. Методы пространства состояний
1.5.1. Размещение собственных значений матриц
Пусть объект описан дифференциальными уравнениями в форме пространства состояний

.

(1.17)

Анализ выявил, что среди собственных значений матрицы A есть правые и/или сильно колебательные. Следовательно, такие собственные значения необходимо переместить.

В предположении, что измеряются все переменные состояния, скалярное управляющее воздействие формируется как их линейная функция:

,

(1.18)

где K — матрица-строка. Соответствующее управляющее устройство имеет предопределенную структуру; оно безынерционно, следовательно, не повышает порядка системы. Здесь решается задача параметрического синтеза — определения значений элементов матрицы обратной связи по состоянию K .

Дифференциальные уравнения системы получаются в результате подстановки выражения (1.18) в уравнение (1.17):

.

(1.19)

Матрица замкнутой системы должна иметь заданные собственные значения . Сформируем желаемую сопровождающую матрицу:

,

в которой элементами последней строки являются коэффициенты желаемого характеристического полинома (1.12) с обратными знаками.

Пусть объект полностью управляем; примем, что уравнение (1.17) записано в управляемом каноническом базисе — матрица A имеет форму Фробениуса, а матрица-столбец B состоит из нулей кроме единицы в последней строке



Тогда матрица системы также имеет форму Фробениуса

.

Искомые коэффициенты регулятора легко находятся из равенства матриц и :

.

(1.20)

В случае обратной связи по состоянию порядок системы совпадает с порядком объекта. Но это не говорит о простоте технического решения задачи стабилизации — измерение переменных состояния часто является проблемой.

Произвол в выборе желаемых корней и простота определения значений коэффициентов обратных связей по соотношениям (1.20) может привести к неверному выводу о том, что в замкнутой системе можно добиться любого качества процессов управления. В рамках линейных математических моделей это, разумеется, так. Однако линейные модели адекватны реальным системам только для малых отклонений переменных состояния и управления и ограниченных диапазонов частот. Стремление к быстрому затуханию процессов — выбор больших по модулю желаемых корней, т. е. увеличение степени устойчивости (быстродействия), приводит к тому, что некоторые из переменных состояния и переменная управления за время процесса изменяются с большой скоростью и принимают очень большие значения. Для объяснения быстрых движений исходные модели оказываются не вполне адекватными системе — в них не учтены малые инерционности объекта, измерителей, исполнительных механизмов, ставшие теперь существенными. Поэтому при назначении желаемых собственных значений матрицы системы следует ориентироваться на границы области адекватности . Кроме того, необходим анализ процессов в синтезированной системе при типовых и других начальных условиях с целью проверки допустимости отклонений переменных состояния и управления .

Проблема выбора желаемых корней — это и есть основная проблема синтеза в описанной методике. Она должна решаться с учетом комплекса условий. При значительной априорной неопределенности о поведении объекта и системы задача решается путем итераций, и, по существу, результатом синтеза одновременно являются коэффициенты обратных связей и окончательно установленные желаемые корни.
1.5.2. Аналитическое конструирование регуляторов
Требования устойчивости и качества процессов можно описывать в неявной форме как экстремали тех или иных функционалов. Наиболее часто применяют интегральные квадратичные функционалы. В случае, когда объект описан в форме пространства состояний, интегральный квадратичный функционал записывается в виде

,

(1.21)

где: v — вектор состояния; u — скалярное управление; Q — неотрицательно-определенная весовая матрица; r — весовой коэффициент. Безусловная экстремаль функционала (1.21) отвечает желаемому поведению и зависит от выбора весовых коэффициентов. Дополнение функционала членом означает косвенное ограничение энергии управления.

Задачей синтеза является определение матрицы коэффициентов обратной связи по состоянию K, доставляющей минимум функционалу (1.21). Минимизация (1.21) при динамических ограничениях в виде дифференциальных уравнений объекта (1.17) дает условную экстремаль.

Матрица K коэффициентов обратных связей находится из соотношения

,

где матрица является решением нелинейного матричного уравнения Риккати (Riccati)

.

(1.22)

Уравнения такого вида решаются численно.
1.5.3. Синтез наблюдателя состояния

При построении регуляторов предполагалось, что все переменные состояния объекта управления могут быть измерены непосредственно. Однако, как правило, измеряются только переменные выхода, число которых меньше порядка модели объекта. Уравнения состояния (1.17) в этом случае дополняются уравнением выхода:



(1.23)

Если объект наблюдаем полностью, то по измеренным значениям переменной выхода y можно вычислять текущее состояние объекта. При этом управляющее воздействие на объект формируется по оценкам вектора состояния

.

Наблюдатель состояния представляет собой модель объекта, охваченную обратной связью по отклонению выходов модели и объекта y (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Система с наблюдателем состояния

Оценка вектора состояния отличается от состояния v объекта из-за различия начальных условий, действующих на объект возмущений, а также неточности описания объекта. Однако при правильном выборе матрицы обратной связи наблюдателя L оценка должна асимптотически стремиться к состоянию объекта.

Задача синтеза наблюдателя — определения матрицы L — является дуальной по отношению к задаче синтеза регулятора — определения матрицы . Поэтому матрицу наблюдателя можно найти теми же методами, если вместо пары матриц принять пару .

При назначении желаемых собственных значений матрицы или весовых коэффициентов функционалов вида (1.21) необходимо стремиться к большему быстродействию контура наблюдателя.

Отметим в заключение, что недостатком синтезированного наблюдателя является его избыточность. Поскольку одна из переменных состояния измеряется, то следует синтезировать наблюдатель, порядок которого меньше порядка модели объекта.

Если объединить регулятор состояния и наблюдатель, то получится динамический регулятор, порядок которого равен порядку модели объекта.


1.6. Синтез систем управления по нелинейным моделям
1.6.1. Нелинейные модели объектов и систем управления
Расчет систем управления по нелинейным моделям значительно сложнее, чем по линейным. Это объясняется большим разнообразием движений, описываемых нелинейными уравнениями. Переход от линейных моделей к нелинейным, т.е. их усложнение — мера вынужденная; необходимость расширения и углубления знаний о поведении систем управления должна быть обоснована.

Относительная простота анализа линейных моделей объясняется возможностью раздельного анализа вынужденных и свободных движений, а также тем, что известна форма решения, т. е. искомое решение параметризовано. Построение решения сводится к алгебраическим задачам вычисления корней характеристического полинома и решения системы линейных уравнений относительно коэффициентов.

Вместе с тем разнообразия движений, описываемых линейными уравнениями, может оказаться недостаточным. Повышая порядок n уравнений и подбирая коэффициенты, не всегда удается объяснять реальные процессы на больших интервалах времени и в широких диапазонах амплитуд переменных.

Нелинейные математические модели появляются вследствие учета естественных (сопутствующих) эффектов, присущих объекту или элементам системы управления и обусловленных нелинейным характером законов природы, которым подчиняются исследуемые явления. Нелинейности могут вводиться и специально с целью компенсации нежелательных эффектов от естественных нелинейностей или для придания системе управления особых свойств, которые принципиально недостижимы линейными средствами.

В общем случае дифференциальные уравнения, описывающие элементы систем или сами системы, являются нелинейными

. (1.24)

Иногда они разрешаются относительно старшей производной переменной выхода

. (1.25)

Классическими примерами служат дифференциальные уравнения математического маятника



и уравнение Ван дер Поля

.

Далее будут рассмотрены и другие, более сложные, нелинейные модели в форме нелинейных дифференциальных уравнений.

Часто дифференциальные уравнения представляются в форме Коши:

(1.26)

где: v ― вектор переменных состояния; ― вектор-функция; ―функция выхода. В уравнениях (1.24) — (1.26) предполагается, что нелинейные функции заданы аналитически.

Развитие теории и практики аппроксимации многомерных нелинейных зависимостей в виде искусственных нейронных сетей и механизмов вывода на основе логики на нечетких множествах позволяет параметризовать широкий класс нелинейных зависимостей. Использование таких универсальных аппроксиматоров, а также специальных алгоритмов настройки весовых коэффициентов нейронов, параметров функций принадлежности и так называемых дефаззификаторов [32, 34, 35, 41, 44] дает возможность идентифицировать правые части (1.25), (1.26) путем обработки данных экспериментов. Примерами программных систем такого рода являются MATLAB/Neural Network Toolbox и MATLAB/Fuzzy Logic Toolbox фирмы The MathWorks, Inc.

Сказанное выше в полной мере относится и к нелинейным дискретным системам.
1.6.2. Синтез систем управления по линеаризованным моделям
Если модель объекта представлена нелинейными дифференциальными/разностными уравнениями произвольного вида, то нет общих аналитических методов анализа и синтеза. Единственной возможностью исследования оказывается компьютерное моделирование. Это мощное и достаточно универсальное средство обладает тем недостатком, что результаты его применения слишком конкретны — дают частное поведение для назначенных начальных условий и воздействий. Конечное множество результатов численного решения нелинейных уравнений не позволяет с полной уверенностью вывести суждения качественного характера о динамике систем. Синтез на базе компьютерной имитации может быть успешным только при малой исходной неопределенности, когда выполняется этап подстройки небольшого числа параметров из достаточно узких интервалов.

Применение даже весьма развитых и хорошо зарекомендовавших численных методов решения нелинейных уравнений не гарантирует получение точного решения на всем интервале времени. Всегда остается вопрос о существовании и единственности решения. Совершенно необходимо иметь определенные средства проверки результатов, проверять их с помощью повторных решений по другим методам.

Практика проектирования, как правило, прибегает к предварительному анализу и синтезу систем по линеаризованным моделям. В подавляющем большинстве случаев линеаризация гладких нелинейностей производится при условии малых отклонений переменных от выбранных состояний равновесия. Теоретическим обоснованием служит известный факт о том, что характер процессов в окрестности точек равновесия (так называемых особых точек) тот же, что и в линеаризованной системе. Как следует из первого метода Ляпунова, об устойчивости “в малом” положения равновесия нелинейной системы можно судить по корням характеристического полинома линеаризованной системы.

Далее будем пользоваться приемом линеаризации, как для анализа устойчивости “в малом” положений равновесия, так и для синтеза линейных регуляторов стабилизации неустойчивых состояний механических объектов по исходным нелинейным моделям.

На рис. 1.6 приведена упрощенная схема синтеза регуляторов для нелинейных объектов.

Если компьютерное моделирование исходной нелинейной системы выявляет, что процессы не удовлетворяют требованиям, например, отклонения переменных от положения равновесия неустойчивы, то приступают к уточнению положений равновесия и линеаризации моделей. Для каждой линейной модели строится локальный линейный регулятор, обеспечивающий устойчивость “в малом”. Если имитационные исследования покажут, что область притяжения полученной системы достаточна, то синтез завершается. При необходимости из множества линейных регуляторов выбирают один компромиссный или конструируют нелинейный регулятор путем переключения линейных.




Рис. 1.6 . Схема синтеза регуляторов для нелинейных объектов

  1   2   3   4   5   6


Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации