Шпоры по статистической физике и термодинамике - файл n1.doc

приобрести
Шпоры по статистической физике и термодинамике
скачать (166 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc459kb.19.06.2009 02:04скачать

n1.doc


40. II НАЧАЛО ТЕРМОД-КИ

Первое начало термод-ки не дает никаких указаний относ. направления, в котором могут происходить процессы в природе. На основании I го начала нельзя выяснить, будут ли в изолир. сис-ме происходить какие-либо процессы. ВНЧ позволяет судить о направлении процессов, которые могут происходить в действитель­ности. Оно позволяет решить вопрос о коли­четсвенной мере температуры и построить рациональную темпера­турную шкалу, не зависящую от произвола выбора термометриче­ского тела и устройства термометра. Томсон предложил применить цикл Карно для по­строения температурной шкалы. ВНЧ совместно с первым началом, позволяет также установить множество точных количест­венных соотношений между различными макроскопич. параметрами тел в состоянии термодин-го равновесия. Невозможность построения вечного двигателя второго рода была возведена в постулат- постулат ВНЧ, является обобщением опытных фактов. Поэтому постулат второго начала термодинамики покоится на надежной экспериментальной основе. Томсон: невозможен круговой процесс, единствен. результатом которого было бы произв-во р-ты за счет уменьшения внутрен. энергии тепло­вого резервуара. Планк: «Невозможно построить периодич. действующую машину, един­ственным результатом которой было бы поднятие груза за счет охлажд. теплов. резервуара» Клаузиус: невозможно каким бы то ни было способом забрать тепло от тела менее нагре­того, целиком передать его телу более нагретому и притом так, чтобы в природе больше не произошло никаких изменений.

Приведенные формулировки второго начала эквивалентны, из одной неизбежно следует другая.
43. ТРЕТЬЕ НАЧАЛО ТЕРМОД. И ЕГО СЛЕДСТВИЯ

Новым фундаментальным законом, открытым Нернстом эмпирическим путем явл. тепловая т. Нернста. Т. Нернста не может быть логически выведена из остальных начал термодинамики, а потому ее называют третьим началом термодинамики. Содержание т. Нернста сводится к двум утверждениям. Первое: при приближении к абс. нулю энтропия стремится к определенному конечному пределу. Поэтому имеет смысл говорить об энтропии тела при абсолютном нуле температур. Термод. определение энтропии.

Первая часть т. Нернста как раз и состоит в утвержде­нии, что интеграл сходится. Вторая часть утверждает, что все процессы при абсолютном нуле температур, переводящие систему из одного равновесного состояния в другое равновесное состояние, происходят без изменения энтропии. Из этого утверждения следует, что предел, к которому стремится интеграл при Т->0 , не зависит от того, в каком конечном состоянии окажется система. Т.о. можно дать т. Нернста формулируется: при приближении к абсолютному нулю приращение энтропии S-S0 стремится к вполне определенному конечному пределу, не зависящему от значений, которые принимают все параметры, характеризующие состояние системы (p,V, агрегатного состояния).Т. Нернста относится только к термодин. равнове­сным состояниям систем. Рассмотрим следствия т. Нернста: Из первой части т. Нернста следует, что при приближении к абсолютному нулю теплоемкости СР и Cv всех тел должны стре­миться к нулю. В самом деле, допустим, например, что давление остается постоянным. Тогда ?Q = СРdT. Теорема Нернста требует, чтобы интеграл сходился. Но это было бы невозможно, если бы при Т=0 тепло­емкость СР не обращалась в нуль. Аналогично тепло­емкость Сv должна вести себя так же.

Полученные следствия доказывают, что теплоемкости вещества обязательно должны зависеть от температуры. Классическая теория теплоемкостей приводит к противоположному выводу о независи­мости теплоемкости от температуры. Cледствия из второй части теоремы Нернста. Воспользуемся термодинамическими соотноше­ниями Из т. Нернста следует, что при абсолютном нуле левые части этих соотношений обращаются в нуль. Должны быть равны нулю и правые части, а потому Это значит, что при приближении к абсолютному нулю для всех тел должны стремиться к нулю коэффициент теплового расширения и термический коэффициент давления.

41.ЭНТРОПИЯ. З-Н ВОЗРАСТ.Э-ПИИ

Второе начало установлено опытным путем.. Второе начало вводит новую функцию состояния - энтропию S, изменение которой для обратимых равновесных процессов равно приведенному теплу

Как мы знаем, ?Q не есть приращение какой-то функции, но после деления на температуру Т, оказывается, получается при­ращение некоторой функции (энтропии). В отличие от теплоты, энтропия такая же функция состояния как температура, внут­ренняя энергия или давление.

2. Энтропия - величина аддитивная: энтропия макроси­стемы равна сумме энтропии ее отдельных частей. 3. Одно из важнейших свойств энтропии заключается в том» что энтропия замкнутой (т.е. теплоизолированной) макроси­стемы не уменьшается - она либо возрастает, либо остает­ся постоянной. Принцип возрастания энтропии замкнутых систем пред­ставляет собой еще одну формулировку второго начала термод-ки. Величина возрастания энтропии в замкнутой макросис-ме может служить мерой необратимости процессов, протекаю­щих в системе. В предельном случае, когда процессы имеют об­ратимый характер, энтропия замкнутой макросистемы не ме­няется. Принцип возрастания энтропии со статистической точки зрения привел Больцмана к фундаментальному выводу: все замкнутые макросистемы стремятся переходить от состояний менее вероятных к более вероятным.

При этом сама энтропия S характеризует степень беспоряд­ка в макросистеме: состояниям с большим беспорядком отвеча­ет большая вероятность (или статистический вес ), чем у бо­лее упорядоченного состояния. S=kLn
45.РАВНОВЕСИЕ ФАЗ. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПЕРВОГО РОДА

Фазой называется макроскопическая физически однородная теть вещества, отделенная от остальных частей системы грани­цами раздела, так что она может быть извлечена из системы меха­ническим путем. Важнейшим вопросом является выяснение условий, при которых система, состоящая из двух или нескольких фаз, находится в равновесии. Это включает в себя механическое и тепловое равновесия. Для теплового равновесия необходимо, чтобы все фазы системы имели одну и ту же температуру. Необходи­мым условием механического равновесия является равенство дав­лений по разные стороны границы раздела соприкасающихся фаз. Равенство давлений и температур не означает, что система находится в равновесии, так как соприкасающиеся фазы могут превращаться друг в друга. Такие превращения называются фазо­выми превращениями. При фазовых превращениях одни фазы растут, другие уменьшаются и даже могут совсем исчезнуть. Состояние рав­новесия характеризуется тем, что массы всех фаз системы остаются неизменными. Следовательно, должно быть выполнено еще одно необходимое условие равновесия - равновесие по отношению к взаимным превращениям фаз. Примерами фазовых превращений могут служить изменения агрегатного состояния вещества.Вообще, фазовое равно­весие между любыми фазами 1 и 2 не есть статическое состояние, в котором полностью прекратились фазовые превращения, а харак­теризуется равенством средних скоростей двух взаимно противо­положных процессов: превращения фазы 1 в фазу 2 и обратного превращения фазы 2 в фазу. Фазовые превращения, при которых первые производные функции G(T,p) меняются скачкообразно, называются фазовыми превращениями первого рода. Фазовые переходы первого рода сопровождаются теплотой перехода. Фазовые переходы первого рода описываются уравнением Клапейрона-Клаузиуса q- удельная теплота фазового перехода, v1 и v2 – удельные объемы фазы 1 и фазы 2.


42. НЕРАВЕНСТВО КЛАУЗИУСА. ОБЩИЕ УСЛОВИЯ ТЕРМОДИН-ГО РАВНОВЕСИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ.

Второе начало установлено опытным путем.. Второе начало вводит новую функцию состояния - энтропию S, изменение которой для обратимых равновесных процессов равно приведенному теплу

Для произвольного (не квазиравновесного) процесса верно следующее неравенство Клаузиуса:

Термодинамич. равновесие — состояние изолированной термодинамической системы, при котором в каждой точке для всех химических, диффузионных, ядерных, и других процессов скорость прямой реакции равна скорости обратной. Исследование свойства энтропии даёт важное общее условие равновесия в изолированной системе - условие максимума энтропии. Максимум достигается, когда завершаются односторонние неравновесные процессы и система переходит в равновесное, наиболее вероятное состояние. В приложениях термодинамики к конкретным вопросам часто удобны два критерия. - Пусть система окружена средой, температура которой под­держивается постоянной. Кроме того, объем системы V также под­держивается постоянным. В этих условиях работа системы А всегда равна нулю. Если температура окружающей среды Т и объем системы V поддерживаются постоянными и в рассматриваемом состоянии потенциал Гельмгольца F=U-TS (изохорно-изотермич. потенциал) минимален, то состояние системы термодин. устойчиво. При этом должно

-Допустим что система со всех сторон окружена средой, температура и давление которой поддерживаются постоянными. Никакой работы, помимо работы против внешнего давления система совершать не может. И если потенциал Гиббса (изобарно-изотерм. потенциал) G=U-TS+pV в некотором равновесном состоянии достиг минимума, то рав­новесие будет устойчивым. При этом должно быть

- Если объем и энтропия системы поддерживаются постоянными и система в некотором равновесном состоянии достигла минимума внутренней энергии, то равновесие термодинамически устойчиво.

- Если давление и энтропия системы поддерживаются постоян­ными и система в некотором равновесном состоянии достигла мини-мима энтальпии, то равновесие термодинам. устойчиво.

Замкнутая (адиабатически изолированная) система — максимум энтропии.

Система с фиксированными температурой и объёмом — минимум свободной энергии.

Система с фиксированными температурой и давлением — минимум потенциала Гиббса.

Система с фиксированными энтропией и объёмом — минимум внутренней энергии.

Система с фиксированными энтропией и давлением — минимум энтальпии. Принцип Ле-Шателье-Брауна: Если система находится о устойчивом рштовесии, то всякий про­цесс, вызванный а ней внешним воздействием или другим первичным процессом, всегда бывает направлен таким образом, что он стремится уничтожить изменения, произведенные внешним воздействием или первичным процессом.
38. ПРОЦЕСС ДЖОУЛЯ-ТОМСОНА

Эффектом Джоуля-Томсона называется изменение температуры газа при адиабатическом дросселировании — медленном протекании газа под действием постоянного перепада давлений сквозь дроссель (пористую перегородку). Данный эффект является одним из методов получения низких температур. Данный процесс является изоэнтальпийным:

; ;; ; ;

;;;;

Для идеального газа икоэффициент - коэффициентом Джоуля-Томсона. Если при протекании газа через пористую перегородку температура возрастает (? < 0), то эффект называют отрицательным, и наоборот, если температура убывает (? > 0, то процесс называют положительным. Температура, при которой ? меняет знак, называют температурой инверсии.











48. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА. ТЕОРИЯ ЛАНДАУ

Фазой называется макроскопическая физически однородная теть вещества, отделенная от остальных частей системы грани­цами раздела, так что она может быть извлечена из системы меха­ническим путем.Фазовые переходы 2-го рода не сопровождаются выделением или поглощением тепла, а также изменением удельного объема вещества. При фазо­вых превращениях второго рода претерпевают разрыв все или неко­торые вторые производные удельного термодинамического потенци­ала. Это изменение кристаллической модификации, пе­реход в сверхпроводящее состояние, в сверхтекучее. Фазовые переходы второго рода происходят в тех случаях, когда меняется симметрия строения вещества (симметрия может полностью исчезнуть или понизиться). Описание фазового перехода второго рода как следствие изменения симметрии даётся теорией Ландау. Согласно теории Ландау, при фазовых переходах первого рода функция распределения по энергии должна быть бимодальной, то есть иметь два максимума. Наиболее высокий максимум отвечает наиболее выгодному, стабильному, состоянию системы, а второй максимум соответствует менее выгодному, метастабильному, состоянию. В самой точке перехода высоты максимумов становятся одинаковыми и система может одновременно сосуществовать в обоих состояниях. При фазовых переходах второго рода функция распределения всегда имеет только один максимум, который расширяется в точке перехода. Соответственно при переходах второго рода метастабильных состояний в принципе не существует. Но имеется очень мало систем, позволяющих провести строгое статистическое рассмотрение и проверить теорию Ландау. Однако удалось смоделировать фазовые переходы газ-жидкость. Оказалось, что в точке фазового перехода первого рода распределение плотности действительно бимодально. При этом чем больше число частиц в системе, тем выше и уже пики на бимодальной кривой. Наличие или отсутствие бимодальности у функции распределения служит важным критерием, позволяющим определить род перехода. Обычно речь идет о функциях распределения по энергии системы, или же по другому важному параметру, который называют параметром порядка системы – термодин. величина, характеризующая дальний порядок в среде, возникающий в результате спонтанного нарушения симметрии при фазовом переходе. Равновесный параметр порядка равен нулю в неупорядоченной фазе и отличен от нуля в упорядоченной.
1.ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.

I этап. 2 в до н.э. – Герон, первое упоминание о связи движ-ия и тплоты. 1598 Галилей изобрел термоскоп (прибор для опр-ия степени нагретости). 1602 Дреббель изобрел аналогич. прибор. 1641 Торричелли открывает атмосф. давление. 1655 Гюйгенс предложил использовать реперную точку (кипения воды).1657 во Флоренции Академия опыта (обнаружено тепл. излуч-ие). 1701 Ньютон предложил темпер. шкалу (градацию степени нагретости); реп. точки: т. таяния льда и т. чел. тела, этот т. интервал дел. на 12 ч. 1724 Фарингейт, темп. шкала (реп. точки: т. чел. тела (92є) и т. кипения воды (212є)). 1741 Цельсий: 0є кип. воды, 100є таяния льда; потом наоборот. 1641 Отто фон Гернке (изобретатель вакуумного насоса). 1660 Бойль: перв. газ.з-он (P и V нах-ся в обратном отношении). Нач. 18 в Вольф обобщил труды по теплоте, появл. понятие теплород. 1746 Ломоносов перевел одну из глав книги «Основы вольфианской философии» и наз. его «Основы эксперим. физики». Конец 18 в Лаплас и Лавуазье разраб. теорию теплоемкости, раздел-ся понятия теплота и температура. 1832 работы Карно (обоснов-ся 2 нач. термод-ки), Майер (сформулировал 1 начало). II эт. связан с Максвеллом и Больцманом, термодинамика обоснов-ся на основе МКТ. III эт. Гиббс, Планк, Паули, Шредингер, Дебай – основы стат. физики.
8.ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ. ФУНКЦИЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Т. Лиувилля гласит, что функция распределения в фазовом пространстве постоянна вдоль траекторий системы — плотность точек системы около данной точки системы, движущихся через фазовое пространство постоянно во времени. Ур-е Лиувилля описывает эволюцию во времени ф-ции расп-я в фазовом пространстве. Уравнение Лиувилля управляет эволюцией ?(p,q;t) во времени t:

Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы, теорема означает, что конвективная производная плотности d? / dt равна нулю, что следует из уравнения непрерывности, замечая, что поле скоростей в фазовом пространстве бездивергентно (это следует из гамильтоновых уравнений). Другая иллюстрация состоит в том, чтобы рассмотреть траекторию множества точек в фазовом пространстве. Легко показать, что множество траекторий растягивается в одной координате но сжимается по другой координате так, что произведение ?pi?qi остаётся константой. Ф-ция стат. распр-ия одно из основополагающих понятий статистической физики. Знание функции распределения полностью определяет вероятностные свойства рассматриваемой системы. Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства dw=?(q,p)dqdp

47. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ. УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА-ПЛАНКА

Броуновское движение тепловое беспорядочное дв-ние микроскопических, видимых, взвешенных в жидкости (или газе) частиц твёрдого вещества (пылинки, крупинки взвеси, частички пыльцы растения). Броуновское дв-ие происходит из-за того, что все жидкости и газы состоят из атомов или молекул, которые находятся в постоянном хаотическом тепловом движении, и потому непрерывно толкают частицу с разных сторон. Когда в среду погружено крупное тело, то толчки, происходящие в огромном количестве, усредняются и формируют постоянное давление. Если же тело мелкое, то становятся заметны флуктуации давления, которые создают заметную случайно изменяющуюся силу, приводящую к колебаниям частицы. Броуновские частицы обычно не тонут и не всплывают, а находятся в среде во взвешенном состоянии.

Уравнение Фоккера — Планка — одно из стохастических дифференциальных уравнений, описывает временну́ю эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц в процессах, где важна стохастическая природа явления. Впервые уравнение было использовано для статистического описания броуновского движения частиц в воде. Хотя броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены численно методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики, задачу в такой постановке часто трудно решить. И, вместо сложных численных схем, можно ввести функцию плотности вероятности W(v,t), описывающую вероятность того, что частица имеет скорость в интервале (v,v+dv) , если в момент времени 0 она имела начальную скорость v0 , и записать W(v,t) для уравнения Фоккера — Планка



Для броуновского движения соответствующее уравнение Фоккера – Планка:


27,28. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ И БОЗЕ. Согласно квантовой теории все микрочастицы подразделяют на два класса, которым соответствуют две квантовые статисти­ки:1) частицы с полуцелым спином, их называют фермионами; они подчиняются статистике Ферми-Дирака; 2) частицы с целым спином бозоны; они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Во всех трех статистиках (классической, Бозе-Эинштеина и Ферми-Дирака) допустимые микросостояния считаются равно­вероятными. Но различие их — в способах определения мик­росостояний и статистических весов. В статистике Больцмана считается, что даже тождественные частицы принципиально различимы. В квантовых же статистиках, наоборот, считается, что тождественные частицы принципиально неразличимы.

В статистике Ферми-Дирака в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (принцип Паули), а в статистике Бозе-Эйнштейна — любое число частиц.

Для описания состояния системы частиц рассматривают во­ображаемое шестимерное пространство, каждая точка которого

характеризуется шестью координатами: х, у, z, px ,py ,pz. Это так называемое фазовое пространство. Состояние системы определяется тем, как распределены в этом пространстве точ­ки, изображающие состояния всех N частиц системы. При этом нужно учесть присущий частицам корпускулярно-волновой ду­ализм, согласно которому неопределенности координаты х и со­ответствующей проекции импульса рх могут быть определены только с неопределенностью, произведение которых, согласно принципу неопределенностей Гейзенберга, ?x?px?h . Аналогично и для других пар: у и py , z и рг. Поэтому естественно считать, что данному состоянию части­цы в фазовом пространстве соответствует не точка, а фазовая ячейка, объем которой



Распределение частиц по таким фазовым ячейкам есть пре­дельно подробное квантовое описание состояния системы.

Квантовые распределения. Эти распределения представля­ют собой функции определяющие средние числа частиц в одной фазовой ячейке с энергией или функции заполнения ячеек:



Здесь ? — так называемый химический потенциал (некоторая характерная энергия, значение которой можно найти из усло­вия нормировки: суммарное число частиц во всех фазовых ячейках должно быть равно полному числу N частиц макроси­стемы).

52. КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ТЕРМОДИН. ФУНКЦИИ.

Наряду с энтропией можно пользоваться множеством других функций состояния. Если процесс квазистатический, то ?Q = TdS. Для такого процесса уравнение первого начала ?Q = dU + pdV; dU=TdS-pdV.Если ввести энтальпию I=U+pV то можно исключить U и получить dI=TdS+VdP. Так как TdS=?Q то при постоянном давлении dI=?Q. Отсюда видно, что энтальпия есть такая функция состояния, приращение которой в квазистатическом процессе при постоянном давлении дает количество тепла Q, полученное системой. По этой причине энтальпию называют тепловой функцией или теплосодержа­нием. Особенно важное значение имеют две функции состояния: свободная энергия F Гельмгольца, и тер­модинамический потенциал G, Гиббса. Эти функции состояния определяются выражениями F=U-TS, G=U-TS+pV. dF=-pdV-SdT, dG=Vdp-SdT. При изотермическом процесс dF=-?A, свободная энергия есть функция состояния системы, убыль которой в квазистатическом изотермическом процессе дает работу, произведенную систе­мой. Полученные соотношения позволяют рассматривать данные функции, как функции аргументов S,V,T,p: U=U(T,S), I=I(S,P), F=F(V,T), G=G(p,T). Такого рода соотношения называются каноническими уравнениями состояния вещества. Если известна функция U(S, V), то дифференцированием ее но S и V можно найти температуру и давление системы, т. е. полу­чить полные сведении о ее термических свойствах. Затем по фор­муле можно найти ?Q и соответствующие теплоемкости, т. е. получить полные сведения также и о калорических свойствах системы. То же самое можно сделать с помощью любого из оставших­ся трех канонических уравнений состояния.
44.СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЛИЧЕСТВОМ ВЕЩЕСТВА. ХИМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ.

Химический потенциал ? - один из термодинамических параметров системы, а именно энергия добавления одной частицы в систему без совершения работы. Определение химического потенциала можно записать в виде dE=TdS-PdV+ ?dN. Химический потенциал (?) компонента определяется как энергия, которую необходимо затратить для того, чтобы добавить в систему бесконечно малое молярное количество dN этого компонента. Тогда выражения для дифференциалов термодинамических потенциалов могут быть записаны так: dU=TdS-pdV+ ?dN; dI=TdS+VdP +?dN; dF=-SdT-pdV+ ?dN; dG=-SdT+Vdp+ ?dN. Поскольку термодинамические потенциалы должны быть аддитивными функциями числа частиц в системе, канонические уравнения состояния принимают такой вид (с учётом того, что S и V аддитивные величины, а T и P нет):

U=U(S,V,N)=N*f(S\N,V\N)=N*Um;I=I(S,p,N)=N*I(S\N,p)=N*Im,F=F(V,T,N)=N*f(V\N,T)=N*Fm;G=G(p,T,N)=N*f(p,T)=N*Gm; Так как , то G=N*?, то есть химический потенциал — это удельный потенциал Гиббса (на одну частицу). Если в системе имеется несколько разных типов частиц, есть столько же разных химических потенциалов.
37. ПОЛИТРОПИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ.

Так называют процессы, урав­нение которых в переменных р, V имеет вид (1) где п — произвольное число - показатель политропы, как положительное, так и отрица­тельное, а также равное нулю. Таким образом, любой процесс, уравнение которого можно свести к виду (1), является полит­ропическим. Соответствующую кривую называют политропой. Политропическими являются, в частности, процессы изохорический, изобарический, изотермический и адиабатический. Отличительной особенностью всех политропических процес­сов является то, что в ходе этих процессов теплоемкость систе­мы остается постоянной: С=const. В зависимости от процесса можно определить значение n: P=const, n=0;T=const, n=1;?Q=0, n=?, ?=Cp/Cv;V=const, n=?
2.ПРОСТЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. КОНФИГУРАЦИИ. МАКРОСОСТОЯНИЕ И МИКРОСОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ. ОДНОРОДНОЕ И НЕОДНОРОДНОЕ СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ

Сост-ие макрос-мы может быть охарактеризовано за­данием таких макропараметров как V, P, T и др. В этом случае говорят, что задано макросостояние. Сост-ие макрос-мы, охарактеризованное настолько детально, что оказываются заданными сост-ия всех молекул, наз. микросостоянием. Любое макросост-ие может быть реализовано различ. способами или различ. микросост-ми. Число раз­лич.микросост-ий, соответств-их данному макросо­ст-ию, называют статистическим весом макросостояния. Нарисовать прямоугольник с 4 точками, построить график вероятности, S~LnW










20.КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ МНОГОАТОМНОГО ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.

Основным отличием не одноатомных газов от одноатомных является наличие у них вращательных и колебательных степеней свободы. Считаем, что молекулы – это классические системы, подчиняющиеся законам Ньютона. Если молекулы газа не находятся во внешнем поле, то энергия их будет равна сумме энергии поступательного, вращательного и колебательного движений. Поступательное движение многоатомных молекул ничем не отличается от поступательного движения одноатомных молекул, поскольку оно сводится к движению центра тяжести системы.Для вращательного движения также оказывается, что на каждую степень свободы приходится энергия kT\2. Лишь при рассмотрении малых колебаний атомов в молекуле около равновесного расстояния между ними получается, что на одну колебательную степень свободы приходится в среднем энергия, вдвое большая, чем на одну степень свободы поступательного или вращательного движений. Смысл этого станет понятным, если вспомнить, что при колебательном движении средняя (за период) кинетическая энергия системы равна средней потенциальной энергии. Энергия колебательного движения состоит из 2-х слагаемых, имеющих одинаковую структуру квадратичного выражения относительно скоростей (импульсов) и координат. Для остальных степеней свободы (поступательное, вращательное движение) энергия выражается одним квадратичным (пропорциональным квадрату линейной или угловой скорости) членом на каждую степень свободы. Усреднение каждого квадратичного слагаемого в энергии колебаний приводит к средней энергии kT\2+kT\2=kT Таким образом, оказывается, что все степени свободы молекулы являются равноправными: каждое квадратичное слагаемое в энергии дает вклад в среднюю энергию молекулы, равный kT\2 (закон равномерного распределения по степеням свободы).Если в идеальном газе имеется N молекул, то средняя энергия газов равна i - общее число степеней свободы молекулы.А молярная теплоемкость Таким образом, теплоемкость идеальных газов оказывается не зависящей от температуры и определяется исключительно структурой молекулы - числом степеней свободы ее.Для одноатомных газов предсказания теории хорошо оправдываются на опыте. Но уже для 2-х атомных газов это не так; теплоемкость 2-х атомных газов должна быть равна Cv=7\2R Опыт показывает, что такой большой теплоемкостью они не обладают. Кроме того, оказывается, что теплоемкость 2-х атомных газов зависит от температуры. С понижением температуры она падает и стремится к значению 5\2R-это значение имел бы газ, состоящий из молекул с жесткими связями между атомами, при которых колебания атомов невозможны. Такое исчезновение колебательного движения, с точки зрения классической механики, является совершенно необъяснимым..Таким образом, опыт показывает, что закон равномерного распределения энергии по степеням свободы, который в частности основан на применимости представлений классической механики, выполняется только при высоких температурах
17. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Уравнение состояния - уравнение, связывающее между собой термодинамические (макроскопические) параметры системы, такие, как температура, давление, объём, химический потенциал и др. Уравнение состояния можно написать всегда, когда можно применять термодинамическое описание явлений. При этом реальные уравнения состояний реальных веществ могут быть крайне сложными. Уравнение состояния системы не содержится в постулатах термодинамики и не может быть выведено из неё. Оно должно быть взято со стороны (из опыта или из модели, созданной в рамках статистической физики). Термодинамика же не рассматривает вопросы внутреннего устройства вещества. Заметим, что соотношения, задаваемые уравнением состояния, справедливы только для состояний термодинамического равновесия. Идеальным наз. газ, уравнение состояния которого имеет вид: pV=vRT

его называют уравнением Клапейрона. Здесь v — количество вещества, измеряемое числом молей, R — универсальная газо­вая постоянная: R = 8,314 Дж/(моль*К). Моль — это количество вещества, содержащее число частиц, равное постоянной Авогадро: Na=6.022*10^23 моль^(-1). Молю соответствует масса — молярная масса, — разная для различных газов. С молекулярной точки зрения идеальный газ состоит из мо­лекул, взаимодействие между которыми пренебрежимо мало. Это присуще всем газам при достаточно большом разряжении. Простота модели идеального газа делает ее наиболее подхо­дящей для ознакомления с методами изучения макросистем и с соответствующими понятиями.


3.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ СЛУЧАЙНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Рассмот. произв-ую физич. с-му, кот. может нах-ся в различ. физич. состояниях. Обозначим любую величину (энергия, давление, ...), зависящую от состояния системы, через L. Пусть в течение длит. времени изменения состояния с-мы Т измер-ся знач-ие величины L. Величины, харак-щие состояние с-мы, пробегают непрерыв. ряд значений. Поэтому в каждом сост-ии, в кот. величина L имеет какое-то точной значение, с-ма будет проводить ? малое время . Поэтому необходимо говорить не о точном значении величины L, а некотором интервале ее значений, то есть о вероятности того, что величина L имеет значение, лежащее в интервале между L и L+dL. Эту вер-ть обозначают . По опред-ию где - время, в теч. кот. с-ма нах-ся в сост-ях соответствующих значениям L, лежащим между L и L + dL. Очевидно, что время , а следовательно, и вероятность , будут при прочих равных условиях пропорц-ны величине интервала dL. Поэтому удобно представить в виде , где f (L)- вероятность того, что значение L лежит в некотором “единичном” интервале. f (L) наз-ся плотностью вероятности или функцией распределения. Т. о сложении вер-ей: вер-ть нахождения с-мы в одном из двух исключающих друг друга состояний равна сумме вер-ей нахождения с-мы в каждом из них. След-е т.: вер-ть нахождения с-мы в произвольном допустимом состоянии равна единице. Его наз. условием нормировки. Т. умнож-ия вер-ей: пусть в с-ме одновременно измеряются две ФВ L и M (независ. друг от друга), и вер-ти того, что величина L имеет значение, лежащее между L и L+dL, а величина M соответственно между M и M+dM. Вероятности и являются независимыми друг от друга в том смысле, что измерения значений L никак не влияют на измерение величины M и обратно. Тогда вер-ть того, что одновременно в системе при измерении мы получим значение величины L, лежащей в интервале между L и L+dL и величины M, лежащей между M и M+dM, равны произведению вероятностей и , т.е.
15. БОЛЬШОЙ КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ -- отвечает физической системе, которая обменивается энергией с окружающей средой, но находится с ней в тепловом равновесии Системы с переменным числом частиц подчиняются большому каноническому распределению Гиббса. Чтобы его получить, снова рассматривают изолированную систему, состоящую из рассматриваемой системы 1 и термостата 2 - рис.4.3. Система находится в сосуде постоянного объема, через стенки которого происходит обмен энергией и частицами. Так как система в целом (1+2) изолированная, то она должна подчиняться микроканоническому распределению. Гиббсом установлено, что вероятность обнаружения открытой системы 1, содержащей N частиц, в элементе объема dГ(N) ее фазового пространства d = f(E,N) . dГ(N) где f(E,N) - функция распределения для большого канонического ансамбля (ансамбля открытых систем) имеет вид Здесь  - химический потенциал, отнесенный к одной частице, ( NА - химический потенциал в расчете на один моль вещества) Е - энергия системы, А - нормировочная постоянная. Условие нормировки Знак означает интегрирование по всему фазовому пространству системы, т.е. по всем значениям координат и импульсов при постоянном числе частиц в системе. Затем производится суммирование по всем возможным значениям числа частиц. Получим выражение для большой статистической суммы Z’

Функция распределения, которая характеризует большой канонический ансамбль, тогда имеет вид


4. ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И КВАДРАТИЧНАЯ ФЛУКТУАЦИЯ

Пусть в течение длительного времени изменения состояния системы Т измеряется значение величины L. Как уже отмечали из-за различных процессов, происходящих в системе, при неизменных внешних условиях ее состояние изменяется непрерывным образом. То есть, величины, характеризующие состояние системы, пробегают непрерывный ряд значений. Поэтому в каждом состоянии, в котором величина L имеет какое-то точной значение, система будет проводить бесконечно малое время . Поэтому необходимо говорить не о точном значении величины L, а некотором интервале ее значений, то есть о вероятности того, что величина L имеет значение, лежащее в интервале между L и L+dL. Эту вероятность обозначают . По определению где - время, в течение которого система находится в состояниях соответствующих значениям L, лежащим между L и L + dL. Очевидно, что время , а следовательно, и вероятность , будут при прочих равных условиях пропорциональны величине интервала dL. Поэтому удобно представить в виде где f (L)- вероятность того, что значение L лежит в некотором “единичном” интервале.

f (L) называется плотностью вероятности или функцией распределения. Если обозначить через число измерений, для которых физическая величина L попала в интервал между L и L+dL, а через N - полное число измерений за время T, то можно кроме временного определения вероятности дать и такое, эквивалентное ему Статистич. независимость означает, что состояние, в котором находится одна из подсистем, никак не влияет на вероятности различных состояний других подсистем.
p12 = p1 p2, где p12 – стат. распределение составной подсистемы, а p1 и p2 – отдельных подсистем.

Флуктуации – случ. отклонения динамич. переменных от средних значений.
(f)2 = f 2 – f 2 т.е. сред. квадратич. флуктуация определяется разностью между сред. квадратом величины и квадратом ее сред. значения.
13.МИКРОКАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ.

Статистический ансамбль опр-ся фун-ей распред-ия, кот. его хар-ет. Классиф-ия ансамблей в стат. физике соответ-ет классиф-ии систем в термодинамике. Изолированной с-ме в термодинамикесоответствует микроканонический ансамбль в статистике. Воображаемые границы, разделяющие системы, входящие в этот ансамбль, непроницаемы ни для каких физических воздействий - нет обмена ни энергией, ни веществом. Все системы ансамбля имеют одну и ту же энергию Е.

Энергия системы постоянна, так что ее можно положить равной величине Е с определенным отклонением в пределах Е. Этим задаются макроскопические внешние условия (E H(p,q) E + E). Совокупность микроскопических состояний, удовлетворяющих данным условиям, образует в фазовом пространстве тонкий слой, который при  Е = 0 вырождается в поверхность постоянной энергии. Только для этих состояний вероятность отлична от нуля и одинакова для всех - все микросостояния изолированной системы равновероятны. Это утверждение в статистике называют еще принципом или постулатом равновероятности. Так как d=f.dq.dp=fdГ, а f=const для микроканонического распределения, то И получаем, что вероятность обнаружения любой системы этого ансамбля в некотором элементе объема фазового пространства Г пропорциональна величине Г. Микроканоническое распределение само по себе применяется редко, так как вычисление объема фазового пространства, доступного для изолированной системы представляет большие трудности. И, конечно, на опыте изолированные системы встречаются не часто. Однако, теоретически микроканонический ансамбль важен и считается основным, исходным в статистике, потому что другие ансамбли можно свести к нему, включив изучаемую систему в другую большую систему, которую уже можно считать изолированной.











6.КЛАССИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА

Классич. механика позволяет рассчитать харак-ки движения взаимод-щих тел (частиц) на основе 2 з-на Ньютона. Частицы движутся по определенным траекториям. С траекториями связаны такие характеристики, как координаты, скорости частицы и ускорение. При извест-х силах, действующих на i-тую частицу, зад-ых нач. условиях (координаты и скорости частицы в нач. момент времени) в механике Ньютона нет места неопределенности, вероятности, случайности, потому что интегрирование уравнения движения однозначно позволяет найти скорости и координаты частицы в любой момент времени. Современная физика обычно использует не ньютоновское описание состояния в механике, а представление Гамильтона. При этом вводятся новые, обобщенные координаты (их обозначают ) и обобщенные импульсы().Они являются независимыми переменными. ,. Введение новых независимых переменных приводит к существенному упрощению уравнений движения. Центральная величина динамики в представлении Гамильтона - энергия системы, записанная в этих переменных. Для консервативных систем полная энергия системы Е равна сумме кинетической энергии, зависящей только от импульсов и потенциальной энергии, зависящей только от координат. Эту энергию называют функцией Гамильтона или гамильтонианом H. Для системы из N взаимодействующих частиц она равна Здесь V - потенциальная энергия взаимодействия i-той и j-той частицы, которые связаны между собой силами .Определение для скорости частицы и второй закон Ньютона эквивалентны следующим выражениям, Их называют уравнениями Гамильтона или каноническими уравнениями движения. При таком описании число независимых переменных и число уравнений удваивается, но сами уравнения движения упрощаются - это уравнение первого, а не второго порядка, как во втором законе Ньютона. Кроме того, решение уравнения удобно изображать фазовой точкой с координатами и в N - мерном пространстве, которое называют фазовым пространством и которым принято пользоваться при описании колебательных систем. С течением времени частицы системы, взаимодействуя друг с другом, меняют свое состояние, а фазовая точка будет двигаться в фазовом пространстве в соответствии с уравнениями движения (Д3). В силу теоремы о единственности решения дифференциальных уравнений траектория движения фазовой точки не пересекается сама с собой.
29.21 ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ. ТЕОРИЯ ЭЙНШТЕЙНА.

Классическая модель. В основе классической теории тепло­емкости твердых тел (кристаллов) лежит закон равнораспреде­ления энергии по степеням свободы. Твердое тело рассматрива­ют как систему N независимых друг от друга атомов, имеющих по три колебательных степени свободы. На каждую из них при­ходится в среднем энергия kT (kT/2 в виде кинетической и kT/2 в виде потенциальной). Имея в виду, что число колебате­льных степеней свободы равно 3N, получим, что внутренняя энергия одного моля атомов U = SNAkT = SRT. Отсюда моляр­ная теплоемкостьВ этом суть закона Дюлонга и Пти, который утверждает, что молярная теплоемкость всех хи­мически простых твердых тел одинакова и равна 3R. Этот закон выполняется достаточно хорошо только при сравнительно высо­ких температурах.

Модель Эйнштейна. Трудности, на которые натолкнулась классическая теория в вопросе о теплоемкости твердых тел, устранила квантовая теория. В первоначальной модели, разра­ботанной Эйнштейном, кристалл рассматривался как система.N атомов, каждый из которых является квантовым гармониче­ским осциллятором. Предполагалось, что колебания атомов происходят независимо друг от друга с одинаковой частотой v. Энергия квантового гармонического осциллятора дискретна: ?=(n+1\2)hv,n=0,1,2…Можно показать, что средняя энергия такого осциллятора

Первое слагаемое здесь — это так называемая нулевая энергия данного осциллятора. Она не зависит от T и не имеет отноше­ния к тепловому движению. Поэтому в теории теплоемкости тел ее можно опустить и выражение для внутренней энергии одного моля будет иметь вид:

Теперь можно найти молярную теплоемкость кристаллической решетки:

Это выражение называют формулой Эйнштейна.


7.ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО. ТОЧКА ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА. ОБЪЕМ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА. ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ.

Будем считать, что мгновенные значения каждой координаты (импульса) каждой частицы отклад-ся на своей корд. оси. С-ма координат, образ-ая этими осями, будет хар-вать нек. воображаемое математич. прост-во. Его наз. фазовым или Г-простр-вом. Его размерность равна удвоенному числу степеней свободы. Мгновенное состояние с-мы в ФП (микросостояние) изображается фаз. точкой, кот. задает в данный момент времени состояние всех частиц системы, т.е. положение их в простр-ве и их импульсы. Изменение состояния с-мы с теч. времени изобр-ся в ФП кривой qi(t), pi(t), кот. наз. фаз. траекторией. Т.о., микросостояния образуют непрерыв. совок-сть точек в ФП. Таким образом, в то время как при детальном динамическом описании состояние системы представляется одной точкой движущейся с фа­зовой скоростью в фазовом пространстве 2s измерений, где s число степеней свободы системы, в статистическом подходе состо­яние системы задается совокупностью точек в фазовом пространстве, причем каждая из них характеризуется определенным весом. Такую со­вокупность точек с весом называют статистическим ансамблем.

Т.е. статистический ансамбль - это множество копий рассма­триваемой системы, представляющих все ее различные возможные ми­кроскопические состояния, в данный момент времени t.
9.10.14 СТАТИСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА. КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ.

Закрытой системе в термодинамике, находящейся в тепловом равновесии с окружающими телами, в статистике соответствует канонический ансамбль.

Пусть система находится в тепловом контакте с термостатом, имеющим температуру Т. Поэтому температура системы постоянна и равна температуре термостата. Такой системой может быть часть большой изолированной системы. Представление о системе, находящейся в тепловом взаимодействии с термостатом, более соответствует реальным условиям, чем модель изолированной системы.

Ансамбль систем, соответствующий таким условиям, называется каноническим. Функция распределения для канонического ансамбля была найдена Гиббсом в 1901 г.

где Е(q,p) - энергия системы как функция его координат и импульсов всех частиц. Положительную величину Гиббс назвал модулем канонического распределения. Он характеризует свойства термостата и имеет размерность энергии. называют еще статистической температурой, потому что обладает такими же свойствами, как и абсолютная температура Т в термодинамике. Чтобы установить связь между и Т, нужно найти числовое выражение энергетических единиц через градусы: = kT, где k - переходный множитель, связывающий джоули с градусами. Этот множитель является универсальной постоянной, численное значение которой может быть получено только из опыта. Величина k получила название постоянной Больцмана,.Коэффициент пропорциональности А, независящий от (q, p) – координат и импульсов всех частиц системы, определим из условия нормировки. Отсюда . Обратная ей величина Z =1/A, занимает в статистической физике особое место. В классической статистике ее называют статистическим интегралом. (стат сумма тоже самое, тока сумма вместо интеграла)

ПРО СТАТ.СУММУ В классической статистической механике было бы некорректно определять статистическую сумму в виде суммы дискретных членов, как в приведённой выше формуле. В классической механике координаты и импульсы частиц могут меняться непрерывно, и множество микросостояний несчётно. В таком случае необходимо провести разбиение фазового пространства на ячейки, то есть два микросостояния считаются одинаковыми, если их различия в координатах и импульсах «не слишком велики». При этом статистическая сумма принимает вид интеграла Величина Z зависит кроме температуры Т от объема V. С учетом этого функция распределения для канонического ансамбля Гиббса запишется в таком виде Видно, что вероятность микросостояния для канонического ансамбля одна и та же для любых наборов значений q и p, реализующих данное значение энергии системы Е. Все состояния с данной энергией равновероятны. Но энергия может принимать различные значения.


24.26. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕ. ЧАСТИЦА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ЯЩИКЕ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ.

Квантовая статистика – это применение статистического метода Гиббса для описания квантовых систем. Суть статистического метода одинакова и для классических, и для квантовых систем: необходимо определить вероятность того, что система находится в данном микросостоянии. Для классической статистики микросостояние – это одновременное задание координат и импульсов (q, p) всех частиц системы. Для квантовой системы это невозможно из-за принципа неопределенности. Квантовая система может иметь только определенный набор дискретных значений энергий, называемый ее энергетическим спектром. Каждому значению энергии En соответствует одно или несколько различных квантовых состояний. Под n понимается совокупность квантовых чисел, которые и определяют состояние системы. Так что микросостояние квантовой системы – это задание полного набора квантовых чисел n (n1, n2, …) или соответствующих значений энергий En (E1, E2, …) системы. Пусть квантовая система находится в контакте с термостатом (окружающей средой) при температуре Т (заданы число частиц N, объем системы V и температура Т). Тогда, можно показать, что выражение для вероятности n того, что система находится в квантовом состоянии с энергией En, определяется соотношением, подобным каноническое распределение Гиббса в квантовой статистике. Z называется статистической суммой системы Она заменяет в квантовой статистике статистический интеграл. Важно отметить, что n – это именно вероятность данного состояния системы, а не вероятность системы иметь определенное значение энергии Еn, потому что при вырождении данной энергии может соответствовать не одно, а несколько различных состояний. С помощью распределения Гиббса можно вычислить среднее по ансамблю (статистическое среднее) любой физической величины, зависящей от состояния системы. Если L (En) – значение этой величины для состояний с энергией En, то по определению среднего значения . Матрица плотности (оператор плотности)один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так и смешанные состояния. Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора, при этом рассматривают не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию гармонического осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ?, выглядит так: Частица может двигаться по оси х в обоих направлениях, но не может находиться вне ящика, где U=?, а ?=0.. Уравнение Шредингера для одномерного движения внутри ящика Граничные условия:?(0)= ?(?)=0. Общее решение ?(x)=Asin(k*x)+Bcos(k*x) при Видно, что уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие граничным условиям только при дискретных значениях квантового числа n. Таким образом, энергия частицы в потенц. яме оказывается квантованной. Причем дискретность энергии возникла естественным образом, без каких-либо дополнительных предположений, как следствие граничных условий, налагаемых на волновую функцию. Оказывается, что состояние квантовой системы (электрон в потенциальной яме в нашем примере) определяется квантовым числом n.
35. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗА.

Теплоемкостью С тела (газа) называют количество тепла, ко­торое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин: C=?Q/dT (1) Особое значение имеют теплоемкости для двух процессов: при постоянном объеме Сv и при постоянном давлении Cp. При постоянном объеме dV = О, и согласно

?Q=dU+pdV (2) имеем (3) Запишем (1), учитывая (2) и (3): C=Cv+p(dV/dT) Если процесс изобарический (р = const), то из уравнения состо­яния pV=?RT следует, что p(dV/dT) = R, и соответствующая моляр­ная теплоемкость Cp=Cv+R







31. ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ

В статистической физике, в отличие от термодинамики, основным является предположение о структуре вещества: оно состоит из атомов, молекул,которые участвуют в хаотическом движении и взаимодействуют между собой. Главная принципиальная черта как самого теплового движения, так и его макроскопических (для всего вещества, тела) проявлений – это флуктуационный характер. Под этим понимаем абсолютную случайность движений, невозможность предсказания состояния молекул в будущем по известному состоянию молекул в данный момент времени. Для макроскопических проявлений степень случайности уменьшается, но полностью не исчезает никогда. В любом веществе (системе) постоянно происходят отклонения характеризующих его величин от их средних значений которые называют флуктуациями. Относительная флуктуация некоторой физической величины L, определяемая как отношение квадратного корня из дисперсии ее к среднему значению , равна где N- число частиц в системе.То есть, относительная флуктуация убывает обратно пропорционально квадратному корню из числа частиц, составляющих тело (систему), а поэтому при достаточно большом их числе сама величина L может считаться практически постоянной во времени и равной своему среднему значению. Чем больше число частиц в теле, тем меньше отклонение его термодинамических величин от средних. Не следует думать, что самопроизвольные отклонения физических величин от их средних значений вовсе ненаблюдаемы. Существуют явления, в которых флуктуации играют определяющую или существенную роль. Прежде всего – это броуновское движение, послужившее пробным камнем для основ молекулярно-кинетической теории. Электроны, находясь в непрерывном тепловом движении, создают случайные области с избытком или недостатком заряда. Флуктуации плотности электронов приводят к возникновению флуктуирующих магнитных полей, токов. И порог чувствительности особо точных измерительных приборов обусловлен именно этими шумовыми токами. Таким образом, в основе статистической физики лежит тот факт, что физические величины, характеризующие макроскопические тела в равновесных условиях с большой точностью равны своим средним значениям. Это равенство является все же приближенным. В действительности все физические величины испытывают малые беспорядочные отклонения от средних значений –флуктуации. Существование флуктуаций имеет принципиальное значение, так как прямо доказывают статистический характер термодинамических закономерностей. Можно сказать, что флуктуации около средних значений – это все, что остается в макроскопическом масштабе от молекулярного движения и от тех переменных, которые выпадают в результате сокращенного описания системы – от микросостояний к макросостоянию. Как ни малы отклонения от средних значений, возникает вопрос о нахождении распределения вероятностей флуктуаций. Функция распределения в методе Гиббса по определению зависит лишь от вида статистического ансамбля для данной системы. Выбирая ансамбль определенного вида, мы в соответствии с принятыми условиями (набор термодинамических и механических параметров, задаваемых внешним окружением; для канонического ансамбля это температура Т и объем V) учитываем флуктуации одних величин и пренебрегаем флуктуациями других. Например, в большом каноническом ансамбле постоянного объема мы принимаем во внимание флуктуации давления, числа атомов и энергии; в каноническом ансамбле рассматриваем лишь флуктуации энергии; в микроканоническом ансамбле пренебрегаем флуктуациями всех величин.

Эйнштейн предложил другой метод вычисления флуктуации термодинамических величин. Он обратил формулу Больцмана S=kLnW и показал, что вероятность флуктуации любых термодинамических величин определяет изменение энтропии системы при образовании флуктуации. Этот метод, развитый Ландау и Лифшицем, используется обычно при расчетах флуктуаций


32.ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ И РАВНОВЕСНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ТЕМПЕРАТУРА. НУЛЕВОЕ НАЧАЛО.

ТДС- это с-ма взаимод-их частиц. Число частиц велико. Состояние системы. Состояние макросистемы характеризу­ют величинами, которые называют термодинамическими пара­метрами (давление р, объем V, температура Т и др.). Если эти параметры имеют определенные и постоянные значения для любой части макросистемы, то ее состояние называют равновес­ным. Будучи выведена из состояния равновесия (система стано­вится неравновесной), система в дальнейшем возвращается в равновесное состояние. Это происходит за время, равное по по­рядку величины времени релаксации (?). Так называют время, за которое первоначальное отклонение какого-либо параметра состояния уменьшается в е раз. Для каждого параметра состоя­ния время ? имеет свое значение. Решающую роль играет то ?, которое является наибольшим. Его и считают за время релак­сации системы. Таким образом, состояние системы является равновесным, если все параметры ее имеют определенные и постоянные зна­чения при неизменных внешних условиях. Равновесное состояние можно представить точкой в про­странстве, по координатным осям которого откладываются зна­чения параметров состояния. Если независимыми являются всего две переменные (например, р и V), то равновесное состоя­ние изображают точкой на диаграмме р, V.

Температура. Это величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия макросистемы. Если при уста­новлении теплового контакта между телами одно из тел переда­ет энергию другому посредством теплопередачи, то считают, что первое тело имеет большую температуру, чем второе.

Функция состояния - величина, не зависящая от предыстории системы и однозначно определяемая независимыми параметрами системы. Состоянием термодинамического равновесия называется состояние, в которое приходит система, находящаяся при определенных внешних условиях. И если это состояние будет достигнуто, то система продолжает оставаться в том состоянии и все ее макроскопические (термодинамические) характеристики не будут меняться. Это утверждение называют еще нулевым законом термодинамики (если с-ма 1 нах. в тепловом равновесии с с-ой 2, а 2 с 3, то 1 нах. в теп. равн-ии с 3).

Нулевое начало термодинамики (общее начало термодинамики) — физический принцип, утверждающий, что вне зависимости от начального состояния изолированной системы в конце концов в ней установится термодинамическое равновесие, а также что все части системы при достижении термодинамического равновесия будут иметь одинаковую температуру. Тем самым нулевое начало фактически вводит и определяет понятие температуры. Процесс. Любой процесс, т.е. переход системы из одного со­стояния в другое (происходящий, например, благодаря внешне­му воздействию) проходит, вообще говоря, через последовате-льность неравновесных состояний. Но если такое воздействие осуществляется достаточно медленно, то можно ска­зать, что процесс проходит через по­следовательность равновесных состоя­ний. Такой процесс называют равно­весным или квазистатическим.
33.ИЗОПРОЦЕССЫ. РАБОТА.

Внутреннюю энергию макроси­стемы можно изменить, совершив над системой работу А' внеш­ними макроскопическими силами, либо путем теплопередачи.

Совершение работы сопровождается перемещением внешних тел, действующих на систему (так например ведет себя по­ршень в цилиндре с газом).

Если объем макроси­стемы (например, газа) получает приращение dV, а давление, оказываемое ею на соседние тела (стенки), равно р, то элемен­тарная работа сил, действующих со стороны газа на стенки: ?A=pdV;Работа, совершаемая газом при конечных изме­нениях объема, например от V1 до V2 должна быть представле­на в виде интеграла: P=const, A=p(V1-V2);T=const, A=p1V1ln(V2/V1);V=const, A=0;?Q=0,


34. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

ВАРИАНТ_1 одно из основных положений термодинамики, являющееся, по существу, законом сохранения энергии в применении к термодинамическим процессам. 1) Количество теплоты, полученное системой, идёт на изменение её внутренней энергии и совершение работы против внешних сил. 2) Изменение внутренней энергии системы при переходе её из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданного системе и не зависит от способа, которым осуществляется этот переход. Первый закон (первое начало) термодинамики можно сформулировать так:

«Изменение полной энергии системы в квазистатическом процессе равно количеству теплоты Q, сообщённого системе, в сумме с изменением энергии, связанной с количеством вещества N при химическом потенциале ?, и работы A', совершённой над системой внешними силами и полями, за вычетом работы A, совершённой самой системой против внешних сил» : ?U = Q ? A + ??N + A'. ВАРИАНТ_2:Первое начало термодинамики утверждает, что приращение внутренней энергии макросистемы при ее переходе из началь­ного состояния 1 в конечное 2 равно сумме совершенной над системой работы А? всех внешних макроскопических сил и ко­личества переданного системе тепла Q: U2-U1=Q+A?. Обычно рассматривают не работу А? над системой, а работу А, производимую самой системой над внешними телами. Имея в виду, что А? = -А, перепишем в виде Q=∆U+A, где ∆U = U2 — U1. Это уравнение и выражает первое начало тер­модинамики: количество теплоты Q, сообщенное макросисте­ме, идет на приращение ∆U её внутренней энергии и на совер­шение системой работы А над внешними телами. Если Q < 0, то это значит, что тепло отводится от системы, если А < О, то работа производится над системой. Приращение ∆U внутренней энергии может иметь любой знак, в частности быть равной нулю. Mожно говорить о приращении внутренней энергии U, но нельзя говорить о приращении рабо­ты или тепла. Говорят только о количестве последних двух ве­личин в том или ином процессе, т.е. А и Q являются функция­ми процесса. Первое начало термодинамики в дифференциальной форме имеет вид ?Q=dU+?A.
36. КРУГОВЫЕ ПРОЦЕССЫ. ЦИКЛ КАРНО.

Если в результате изменений макросистема возвращается в исходное состояние, то говорят, что она совершила круговой процесс или цикл. На диаграмме р, V такой процесс имеет вид замкнутой кривой. Работа, совершае­мая системой за цикл, численно рав­на площади внутри цикла. При этом, если точка, изображающая состояние сис­темы, описывает цикл по часовой стрелке (как на рисунке), то работа системы А > 0. Если же против часо­вой стрелки, то А < 0.

Цикл Карно. Рассмотренный Карно тепловой двигатель состоял из на­гревателя с температурой Т1( холоди­льника с Т2 и рабочего тела, т.е. устройства, способного получать тепло и совершать работу. Под ра­бочим телом пока будем понимать иде­альный газ в цилиндре с поршнем. Карно рассмотрел цикл из двух изотерм и двух адиабат. При изотермическом расширении 1-2 газ находится в контакте с нагревателем. Пусть при этом газ получает теп­ло. На изотерме 3-4 газ отдает тепло холодильнику. КПД двигателя n=1-T2\T1=1-Q2\Q1. Данный цикл является обратимым (если его проводить бес­конечно медленно). Он может быть проведен в обратном на­правлении, и при этом газ совершает отрицательную работу, нагреватель получает обратно тепло Q, холодильник отдает газу тепло Q. которое он получил в прямом цикле. Именно так в принципе работает любой бытовой холодильник. Знаменитая теорема Карно: КПД обратимых двигателей, работающих по циклу Карно, зависит только от температур нагревателя и хо­лодильника, но не зависит ни от устройства двигателя, ни от рода рабочего вещества.









51.ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА. УРАВНЕНИЕ ФУРЬЕ. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

Явления переноса: диффузия, внутреннее трение (вязкость) и теплопроводность. Во всех трех явлениях происходит выравнивание свойств газа, если это свойство было первоначально неодинаковым в различных местах. Во всех трех случаях это осуществляется переносом некоторой величины из одной части газа в другую.

Если какую-то часть газа нагреть, то равновесие будет нарушено - возникнет поток тепла.

Опытным путем установлен закон Фурье - тепло течет в направлении убывания температуры. ?- коэффициент теплопроводности. Общим для всех явлений является то, что они протекают медленно, хотя все они происходят благодаря быстрым движениям молекул; явления в широких пределах не зависят от давления. Уравнение диффузии или уравнение теплопроводности представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным. Математически уравнение диффузии и уравнение теплопроводности не различаются, и применение того или иного названия ограничено только конкретным приложением, причем второе представляется более частным, так как можно говорить, что в этом случае речь идет о диффузии тепловой энергии. В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные с временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности, относящееся к классу эллиптических уравнений. Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение. Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие диффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности.


5.РАВНОВЕСНОЕ И НЕРАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ. ФЛУКТУАЦИИ. НЕОБРАТИМОСТЬ. ЭНТРОПИЯ.

Состояние макросистемы характеризу­ют величинами, которые называют термодинамическими пара­метрами (р, V, Т и др.). Если эти параметры имеют опред-ые и постоянные значения для любой части макросистемы, то ее состояние называют равновес­ным. Будучи выведена из состояния равновесия, система в дальнейшем возвращается в равновесное состояние. Это происходит за время, равное по по­рядку величины времени релаксации (?). Для каждого параметра состоя­ния время ? имеет свое значение. Таким образом, состояние системы является равновесным, если все параметры ее имеют определенные и постоянные зна­чения при неизменных внешних условиях. Равновесное состояние можно представить точкой в про­странстве, по координатным осям которого откладываются зна­чения параметров состояния. Если независимыми являются всего две переменные (например, р и V), то равновесное состоя­ние изображают точкой на диаграмме р, V.

По существу все про­цессы в макросистемах являются необратимыми. Необратимым называется процесс, который нельзя провести в противоположном направлении через все те же самые промежуточные состояния. Все реальные процессы необратимы.Примеры необратимых процессов: диффузия, термодиффузия, теплопроводность, вязкое течение и др.Возникает вопрос в чем причина необра­тимости! Это выглядит особенно странно, если учесть, что все законы механики обратимы во времени.Решение этой сложной проблемы пришло с открытием но­вой термодинамической величины - энтропии - и раскры­тием ее физического смысла.Второе начало вводит новую функцию состояния - энтропию S, изменение которой для обратимых равновесных процессов равно приведенному теплу dS=?Q/T Если тепловой обмен между системой и термостатом исключен (?Q=0), то dS=0. В изолированных системах это условие является критерием равновесия. В статистической физике, в отличие от термодинамики, основным является предположение о структуре вещества: оно состоит из атомов, молекул,которые участвуют в хаотическом движении и взаимодействуют между собой. Главная принципиальная черта как самого теплового движения, так и его макроскопических (для всего вещества, тела) проявлений – это флуктуационный характер. Под этим понимаем абсолютную случайность движений, невозможность предсказания состояния молекул в будущем по известному состоянию молекул в данный момент времени. Для макроскопических проявлений степень случайности уменьшается, но полностью не исчезает никогда. В любом веществе (системе) постоянно происходят отклонения характеризующих его величин от их средних значений которые называют флуктуациями. Флуктуации – случ. отклонения динамич. переменных от средних значений. (f)2 = f 2 – f 2 т.е. сред. квадратич. флуктуация определяется разностью между сред. квадратом величины и квадратом ее сред. значения.


23.25. КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ. У.Ш. РАССЧЕТ ЧИСЛА ВОЗМОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ ИД.ГАЗА.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга ∆x∆p?h устанавливает различия в описании состояния систем в квантовой и классической механике. Состояние частицы в классической механике описывается с помощью координат и импульсов (точка в фазовом -пространстве). Квантовая же частица в состоянии с определенными координатами (x, y, z) не обладает определенным импульсом. То есть, для квантовой частицы не существует состояний, в которые ее координаты и импульсы имели бы одновременно точные значения. Состояние квантовой системы описывает главная величина в квантовой механике – волновая функция (x, y, z, t). Шредингер установил соответствующее уравнение для волновой функции. Его следует понимать как один из постулатов квантовой механики, и оно играет в ней такую же роль, как 2-ой закон Ньютона в классической механике. Для стационарных состояний, в которых вероятности измерения физических величин не зависят от времени, уравнение Шредингера имеет вид Для нахождения волновой функции должны быть еще заданы граничные условия, которые сводятся к требованию однозначности и непрерывности волновой функции и ее первой производной. Как и в любой теории, дающей вероятностное описание, в квантовой механике сопоставление с опытом производится для средних значений физических величин.

Рассмотрим общие свойства решений уравнения Шредингера на простом примере движения электрона в прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме,

Видно, что уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие граничным условиям только при дискретных значениях квантовых чисел. n1, n2 и n3 образуют фазовое пр-во.

ЧИСЛО СОСТОЯНИЙ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ФАЗОВЫМ ОБЪЕМОМ. ТОГДА ЭТА ЗАДАЧА СВОДИТСЯ К НАХОЖДЕНИЮ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА ОБЛАСТИ EчE+dE. Объем слоя dE=dV=4pi*R^2/8dR=4*pi(n1^2+n2^2+n3^2)

Значит





Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации