Орлов А.И. Теория принятия решений - файл n14.doc

приобрести
Орлов А.И. Теория принятия решений
скачать (846.6 kb.)
Доступные файлы (17):
n1.doc105kb.10.03.2008 13:56скачать
n2.doc115kb.10.03.2008 13:58скачать
n3.doc155kb.10.03.2008 14:00скачать
n4.doc222kb.10.03.2008 14:01скачать
n5.doc265kb.10.03.2008 14:02скачать
n6.doc204kb.10.03.2008 14:03скачать
n7.doc122kb.10.03.2008 14:05скачать
n8.doc347kb.10.03.2008 14:10скачать
n9.doc297kb.10.03.2008 14:11скачать
n10.doc482kb.11.03.2008 13:44скачать
n11.doc244kb.11.03.2008 13:45скачать
n12.doc411kb.10.03.2008 14:16скачать
n13.doc201kb.10.03.2008 14:17скачать
n14.doc359kb.10.03.2008 14:17скачать
n15.doc308kb.10.03.2008 14:18скачать
n16.doc463kb.10.03.2008 14:18скачать
n17.doc102kb.10.03.2008 14:20скачать

n14.doc

1   2   3
Оптимальный план. Найдем наилучший план поставок. План, для которого запас равен 0 (т.е. y(t) = 0) в моменты доставок очередных партий, назовем напряженным.

Утверждение 1. Для любого плана поставок, не являющегося напряженным, можно указать напряженный план, для которого средние издержки меньше.

Покажем, как можно от произвольного плана перейти к напряженному, уменьшив при этом издержки. Пусть с течением времени при приближении к моменту t1 прихода поставки Q1 уровень запаса не стремится к 0, а лишь уменьшается до (где знак «минус» означает предел слева функции y(t) в точке t1). Тогда рассмотрим новый план поставок с теми же моментами поставок и их величинами, за исключением величин поставок в моменты t = 0 и t = t1. А именно, заменим Q0 на Q01 = Q0 - y(t1-), а Q1 на Q11 = Q0 + y(t1-). Тогда график уровня запаса на складе параллельно сдвинется вниз на интервале (0; t1), достигнув 0 в t1, и не изменится правее точки t1. Следовательно, издержки по доставке партий не изменятся, а издержки по хранению уменьшатся на величину, пропорциональную (с коэффициентом пропорциональности s) площади параллелограмма, образованного прежним и новым положениями графика уровня запаса на интервале (0; t1) (см. рис.2).
y

Q2

Q0 Q1 Q3

Q01




0 t1 t2 t3 t

Рис. 2. Первый шаг перехода к напряженному плану

Итак, в результате первого шага перехода получен план, в котором крайний слева зубец достигает оси абсцисс. Следующий шаг проводится аналогично, только момент времени t = 0 заменяется на t = t1. Если есть такая возможность, второе наклонное звено графика уровня запаса на складе параллельно сдвигается вниз, достигая в крайней правой точке t2 оси абсцисс.

Аналогично поступаем со всеми остальными зубцами, двигаясь слева направо. В результате получаем напряженный план. На каждом шагу издержки по хранению либо сокращались, либо оставались прежними (если соответствующее звено графика не опускалось вниз). Следовательно, для полученного в результате описанного преобразования напряженного плана издержки по хранению меньше, чем для исходного плана, либо равны (если исходный план уже являлся напряженным).

Из утверждения 1 следует, что оптимальный план следует искать только среди напряженных. Другими словами, план, не являющийся напряженным, не может быть оптимальным.

Утверждение 2. Среди напряженных планов с фиксированным числом поставок минимальные издержки имеет тот, в котором все интервалы между поставками равны.

При фиксированном числе поставок затраты на доставку партий не меняются. Следовательно, достаточно минимизировать затраты на хранение.

Для напряженных планов размеры поставок однозначно определяются с помощью интервалов между поставками:



Действительно, очередная поставка величиной Qi-1 совпадает с размером запаса на складе в момент ti-1, расходуется с интенсивностью единиц товара в одну единицу времени и полностью исчерпывается к моменту ti прихода следующей поставки.

Для напряженного плана издержки по хранению равны



где Ясно, что - произвольные неотрицательные числа, в сумме составляющие Т. Следовательно, для минимизации издержек среди напряженных планов с фиксированным числом поставок достаточно решить задачу оптимизации



где n = n(T).

Полученная задача оптимизации формально никак не связана с логистикой, она является чисто математической. Для ее решения целесообразно ввести новые переменные Тогда



Поскольку то следовательно, с учетом предыдущего равенства имеем



Сумма квадратов всегда неотрицательна. Она достигает минимума, равного 0, когда все переменные равны 0, т.е. при Тогда



При этих значениях выполнены все ограничения оптимизационной задачи. Итак, утверждение 2 доказано.

Для плана с равными интервалами между поставками все партии товара имеют одинаковый объем. Для такого плана издержки по хранению равны



Средние издержки (на единицу времени) таковы:



Итак, минимизация средних издержек – это задача дискретной оптимизации. На третьем этапе построения оптимального плана необходимо найти натуральное число n(T) – самое выгодное число поставок.

Поскольку к моменту Т запас товара должен быть израсходован, то общий объем поставок за время T должен совпадать с общим объемом спроса, следовательно, равняться Т. Справедливо балансовое соотношение (аналог закона Ломоносова-Лавуазье сохранения массы при химических реакциях):



Из балансового соотношения следует, что



Средние издержки (на единицу времени) можно выразить как функцию размера партии Q:

(1)

Задача состоит в минимизации f1(Q) по Q. При этом возможная величина поставки принимает дискретные значения,

Изучим функцию f1(Q), определенную при Q>0. При приближении к 0 она ведет себя как гипербола, при росте аргумента – как линейная функция. Производная имеет вид

(2)

Производная монотонно возрастает, поэтому рассматриваемая функция имеет единственный минимум в точке, в которой производная равна 0, т.е. при

(3)

Получена знаменитая «формула квадратного корня». В литературе иногда без всяких комментариев рекомендуют использовать напряженный план, в котором размеры всех поставляемых партий равны Q0. К сожалению, получаемый таким путем план почти всегда не является оптимальным, т.е. популярная рекомендация неверна или не вполне корректна. Дело в том, что почти всегда

Всегда можно указать неотрицательное целое число n такое, что

(4)

Утверждение 3. Решением задачи оптимизации





является либо Q1, либо Q2.

Действительно, из всех часть лежит правее Q0, из них наименьшим является Q2, а часть лежит левее Q0, из них наибольшим является Q1. Для построения оптимального плана обратим внимание на то, что производная (2) отрицательна левее Q0 и положительна правее Q0, следовательно, функция средних издержек f1(Q) убывает левее Q0 и возрастает правее Q0. Значит, минимум по достигается при Q = Q2, а минимум по - при Q = Q1 Последнее утверждение эквивалентно заключению утверждения 3.

Итак, алгоритм построения оптимального плана таков.

1. Найти Q0 по формуле квадратного корня (3).

2. Найти n из условия (4).

3. Рассчитать f1(Q) по формуле (1) для Q = Q1 и Q = Q2, где Q1 и Q2 определены в (4).

4. Наименьшее из двух чисел f1(Q1) и f1(Q2) является искомым минимумом, а то из Q1 и Q2, на котором достигается минимум – решением задачи оптимизации. Обозначим его Qopt .

Оптимальный план поставки – это напряженный план, в котором объемы всех поставок равны Qopt.

Замечание. Если f1(Q1) = f1(Q2), то решение задачи оптимизации состоит из двух точек Q1 и Q2. В этом частном случае существует два оптимальных плана.

Пример 1. На складе хранится некоторая продукция, пользующаяся равномерным спросом. За 1 день со склада извлекается 5 т продукции. Плата за хранение 1 т. продукции в день – 50 руб. Плата на доставку одной партии – 980 руб. Горизонт планирования – 10 дней. Найти оптимальный план поставок.

В рассматриваемом случае =5 (т/день), s=50 (руб./т.день), g=980 (руб./партия), Т = 10 (дней). По формуле (3) рассчитываем



Множество допустимых значений для Q имеет вид



Следовательно, Q1 = 12,5 и Q2 = 16,67. Первое значение определяет напряженный план с четырьмя одинаковыми зубцами, а второе – с тремя. Поскольку



то



и



Поскольку f1(Q1) < f1(Q2), то Qopt = Q1 = 12,5. Итак, оптимальным является напряженный план с четырьмя зубцами.

Как уже отмечалось, часто рекомендуют применять план поставок с Q=Q0. Каков при этом проигрыш по сравнению с оптимальным планом?

Для плана с Q=Q0 интервал между поставками составляет дня. Следовательно, партии придут в моменты t0 = 0; t1= 2,8; t2 = 5,6; t3 = 8,4. Следующая партия должна была бы придти уже за пределами горизонта планирования Т =10, в момент t4 = 11,2. Таким образом, график уровня запаса на складе в пределах горизонта планирования состоит из трех полных зубцов и одного не полного. К моменту Т =10 пройдет 10 – 8,4 = 1,6 дня с момента последней поставки, значит, со склада будет извлечено т продукции и останется 14 – 8 = 6 т. План с Q=Q0 не является напряженным, а потому не является оптимальным для горизонта планирования Т =10.

Подсчитаем общие издержки в плане с Q=Q0. Площадь под графиком уровня запаса на складе равна сумме площадей трех треугольников и трапеции. Площадь треугольника равна трех треугольников – 58,8. Основания трапеции параллельны оси ординат и равны значениям уровня запаса в моменты времени t3 = 8,4 и Т =10, т.е. величинам 14 и 6 соответственно. Высота трапеции лежит на оси абсцисс и равна 10 – 8,4 = 1,6, а потому площадь трапеции есть Следовательно, площадь под графиком равна 58,8 + 16 = 74,8, а плата за хранение составляет руб.

За 10 дней доставлены 4 партии товара (в моменты t0 = 0; t1= 2,8; t2 = 5,6; t3 = 8,4), следовательно, затраты на доставку равны руб. Общие издержки за 10 дней составляют 3740+3920 = 7660 руб., а средние издержки – 766 руб. Они больше средних издержек в оптимальном плане в 766/704,5 = 1,087 раза, т.е. на 8,7%.

Отметим, что



т.е. меньше, чем в оптимальном плане. Таким образом, из-за дискретности множества допустимых значений средние издержки возросли на 4,5 руб., т.e. на 0,64%. При этом оптимальный размер партии (12,5 т) отличается от Q0 = 14 т на 1,5 т, т.е. Qopt/ Q0 = 0,89 – различие на 11%. Достаточно большое различие объемов поставок привело к пренебрежимо малому изменению функции f1(Q). Это объясняется тем, что в точке Q0 функция f1(Q) достигает минимума, а потому ее производная в этой точке равна 0.

Оба слагаемых в f1(Q0) равны между собой. Случайно ли это? Покажем, что нет. Действительно,



Таким образом, составляющие средних издержек, порожденные различными причинами, уравниваются между собой.

Средние издержки с плане с Q=Q0 равны . Интервал между поставками при этом равен

.

Издержки в течение одного интервала между поставками таковы:

,

при этом половина (т.е. g) приходится на оплату доставки партии, а половина – на хранение товара.

Асимптотически оптимальный план. Из проведенных рассуждений ясно, что напряженный план с Q=Q0 является оптимальным тогда и только тогда, когда горизонт планирования Т приходится на начало очередного зубца, т.е. для

(5)

Для всех остальных возможных горизонтов планирования Т этот план не является оптимальным. Оптимальным будет напряженный план с другим размером поставки. Для дальнейшего весьма существенно, что при изменении горизонта планирования Т оптимальный план меняется на всем интервале [0; T].

Как происходит это изменение? При малых Т делается лишь одна поставка (при Т = 0), график уровня запаса на складе состоит из одного зубца. При увеличении Т размер зубца плавно увеличивается. В некоторый момент Т(1) происходит переход от одного зубца к двум. В этот момент оптимальны сразу два плана поставки – с одним зубцом и с двумя. При переходе планам с двумя зубцами размер зубца скачком уменьшается. При дальнейшем увеличении горизонта планирования оптимальный план описывается графиком с двумя одинаковыми зубцами, размер которых плавно растет. Далее в момент Т(2) становится оптимальным план с тремя зубцами, размер которых в этот момент скачком уменьшается (в компенсацию за увеличение числа скачков). И т.д.

Проблема состоит в том, что в реальной экономической ситуации выбор горизонта планирования Т весьма субъективен. Возникает вопрос, какой план разумно использовать, если горизонт планирования не известен заранее. Проблема горизонта планирования возникает не только в логистике. Она является общей для любого перспективного планирования, поэтому весьма важна для стратегического менеджмента [7, 13]. Для решения проблемы горизонта планирования необходимо использование конкретной модели принятия решения, в рассматриваемом случае – классической модели управления запасами.

Ответ можно указать, если горизонт планирования является достаточно большим. Оказывается можно использовать план, в котором все размеры поставок равны Q0. Для него уровень запаса на складе описывается функцией y0(t), , состоящей из зубцов высоты Q0. Предлагается пользоваться планом, являющимся сужением этого плана на интервал [0; T). Другими словами, предлагается на интервале [0; T) использовать начальный отрезок этого плана. Он состоит из некоторого количества треугольных зубцов, а последний участок графика, описываемый трапецией, соответствует тому, что последняя поставка для почти всех горизонтов планирования не будет израсходована до конца. Такой план иногда называют планом Вильсона [7].

Ясно, что этот план не будет оптимальным (для всех Т, кроме заданных формулой (5)). Действительно, план Вильсона можно улучшить, уменьшив объем последней поставки. Однако у него есть то полезное качество, что при изменении горизонта планирования его начальный отрезок не меняется. Действительно, планы поставок для горизонтов планирования Т1 и Т2 планы, определенные с помощью функции y0(t), , задающей уровень запасов на складе, совпадают на интервале [0; min {Т1, Т2}).

Определение. Асимптотически оптимальным планом называется план поставок – функция такая, что



где yopt(T) – оптимальный план на интервале [0; T).

В соответствии с определениями и обозначениями, введенными в начале раздела, - средние издержки за время Т для плана yopt(T), определенного на интервале [0; T), а f(T;y) - средние издержки за время Т для плана .

Теорема 1. План y = y0 является асимптотически оптимальным.

Таким образом, для достаточно больших горизонтов планирования Т планы y0(t), 0<t<T, все зубцы у которых имеют высоту Q0, имеют издержки, приближающиеся к минимальным. Следовательно, эти планы Вильсона, являющиеся сужениями одной и той же функции на интервалы [0; T) при различных Т, можно использовать одновременно при всех достаточно больших Т.

Замечание. Согласно [7] решение проблемы горизонта планирования состоит в использовании асимптотически оптимальных планов, которые близки (по издержкам) к оптимальным планам сразу при всех достаточно больших Т.

Доказательство. По определению оптимального плана

(6)

Найдем нижнюю границу для рассматриваемого отношения. При фиксированном Т можно указать неотрицательное целое число n такое, что



Так как Tf(T; yopt(T)) и - общие издержки на интервалах (0; Т) и (0; nQ0) соответственно при использовании оптимального на (0; Т) плана, то, очевидно, поскольку второй интервала – часть первого (или совпадает с ним), первые издержки больше вторых, т.е.

Tf(T; yopt(T)) > .

Далее, т.к. на интервале (0; nQ0), включающем целое число периодов плана у0, оптимальным является начальный отрезок этого плана у0(nQ0), то

>

В правой части последнего неравенства стоит (здесь использована формула для минимального значения средних издержек f(T; y) при Т, кратном nQ0). Из проведенных рассуждений вытекает, что

Tf(T; yopt(T)) > . (7)

Для общих издержек на интервалах (0; Т) и (0; (n + 1)Q0) при использовании плана у0, очевидно, справедливо следующее неравенство

Tf(T; y0(T)) <

Следовательно,

Tf(T; y0 (T)) < (8)

Из неравенств (7) и (8) вытекает, что



Так как при Т ? ?, то, учитывая неравенство (6), из последнего неравенства выводим справедливость заключения теоремы 1. Таким образом, асимптотическая оптимальность плана у0 доказана.

При небольшом Т средние издержки в плане Вильсона могут существенно превышать средние издержки в оптимальном плане. Превышение вызвано скачками функции f(T; y0(T)), связанными с переходами через моменты прихода очередных поставок (и увеличением общих издержек скачком на величину платы за доставку партии). Величину превышения средних издержек в плане Вильсона по сравнению с оптимальными планами можно рассчитать.

Пусть горизонт планирования T = tk + ?, где tk – момент прихода (k+1)-й поставки в плане Вильсона, ? > 0. Тогда, как можно доказать,



Таким образом, затраты в плане Вильсона являются минимальными (относительно оптимального плана) при T = tk, k = 1, 2, … , где tk – моменты прихода поставок. Напомним, что план Вильсона является оптимальным при указанных Т. Однако при Т, бесконечно близком к tk, но превосходящем tk, затраты увеличиваются по сравнению с затратами в оптимальном плане в {1+1/(2k)} раз. При дальнейшем возрастании Т отношение издержек (средних или общих) в плане Вильсона к аналогичным издержкам в оптимальном плане постепенно уменьшается, приближаясь к 1 при приближении (снизу) к моменту tk+1 прихода следующей поставки. А там – новый скачок, но уже на меньшую величину {1+1/(2k+2)}. И т.д.

Сразу после прихода первой поставки отношение затрат составляет 1,5 (превышение на 50%), после прихода второй – 1,25 (превышение на 25%), третьей – 1,167 (превышение на 16,7%), четвертой – 1,125 (превышение на 12,5%), пятой – 1,1 (превышение на 10%), и т.д. Таким образом, при небольших горизонтах планирования Т превышение затрат может быть значительным, план Вильсона отнюдь не оптимальный. Но чем больше горизонт планирования, тем отклонение меньше. Уже после сотой поставки оно не превышает 0,5%.

Влияние отклонений от оптимального объема партии. В реальных производственных и управленческих ситуациях часто приходится принимать решения об использовании объемов партии, отличных от оптимальной величины Q0, рассчитанной по формуле квадратного корня (3). Например, при ограниченной емкости склада или для обеспечения полной загрузки транспортных средств большой вместимости. Это возможно также в ситуации, когда величина партии измеряется в целых числах (штучный товар) или даже в десятках, дюжинах, упаковках, ящиках, контейнерах и т.д., а величина Q0 не удовлетворяет этому требованию и, следовательно, не может быть непосредственно использована в качестве объема поставки.

Поэтому необходимо уметь вычислять возрастание средних издержек при использовании напряженного плана с одинаковыми поставками объема Q, отличного от Q0, по сравнению со средними издержками в оптимальном плане. Будем сравнивать средние издержки за целое число периодов. Как показано выше, они имеют вид

,

где Q- объем партии. Тогда

(9)

Это тождество нетрудно проверить с помощью простых алгебраических преобразований.

Пример 2. Пусть используется план с Q = 0,9 Q0. Тогда



Таким образом, изменение объема партии на 10% привело к увеличению средних издержек лишь на 0,56%.

Пример 3. Пусть используемое значение объема поставки Q отличается от оптимального не более чем на 30%. На сколько могут возрасти издержки?

Из формулы (9) вытекает, что максимальное возрастание издержек будет в случае Q = 0,7 Q0. Тогда



Таким образом, издержки могут возрасти самое большее на 6,43%.

На первый взгляд представляется удивительным, что сравнительно большое отклонение значения переменной Q от оптимального (на 10%) приводит к пренебрежимо малому возрастанию значения оптимизируемой функции. Этот факт имеет большое прикладное значение. Из него следует, что область «почти оптимальных» значений параметра весьма обширна, следовательно, из нее можно выбирать для практического использования те или иные значения, исходя из иных принципов. Можно, например, минимизировать какую-либо иную целевую функцию, тем самым решая задачу многокритериальной оптимизации. Можно «вписаться» в действующую дискретную систему возможных значений параметров. И т.д.

Важное замечание 1. Обширность области «почти оптимальных» значений параметра – общее свойство оптимальных решений, получаемых путем минимизации гладких функций. Действительно, пусть необходимо минимизировать некоторую функцию g(x), трижды дифференцируемую. Пусть минимум достигается в точке х0. Справедливо разложение Тейлора-Маклорена



Однако в х0 выполнено необходимое условие экстремума (в данном случае – минимума)



Следовательно, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка (по сравнению с (х-х0)2) справедливо равенство

(10)

Это соотношение показывает, что приращение значений минимизируемой функции – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с приращением независимой переменной. Если

х = х0 + ?,

то

g(x) - g(x0) = С?2,

где



Вернемся к классической модели управления запасами. Для нее надо рассматривать f1(Q) в роли g(x). С помощью соотношения (10) заключаем, что



с точностью до бесконечно малых более высокого порядка. Вычислим вторую производную f1(Q). Поскольку



то



Теперь заметим, что



Следовательно,



с точностью до бесконечно малых более высокого порядка. Отличие этой формулы от точной формулы (9) состоит только в том, что Q в знаменателе одной из дробей заменено на Q0.

1   2   3


Оптимальный план
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации