Лебедев С.К. Математические основы теории автоматического управления - файл n1.doc

приобрести
Лебедев С.К. Математические основы теории автоматического управления
скачать (2089 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2089kb.14.09.2012 22:57скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8

Лекция 9

Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев

При рассмотрении и сравнение частотных характеристик амплитудных и фазочастотных для устройств различных видов возникает проблема их компактного представления, так как значения амплитуд и частот (см. рис. 1) существенно различаются друг от друга. Кроме того, и сама величина диапазона частот, в котором характеристики конкретного устройства представляют интерес, может быть весьма значительна, от долей герц до десятков мегагерц.



Рис. 1

Решение этой проблемы лежит в использовании логарифмических масштабов в частотных характеристиках.

Впервые обратились к логарифмическим масштабам в технике связи, так как там рассматриваются объекты, как с большими коэффициентами усиления, так и объекты которые характеризуются существенным затуханием сигналов.

В технике связи используют понятие коэффициента передачи по мощности для четырехполюсника, показанного на рис. 2,



Рис. 2

.

Значительный диапазон изменения этого коэффициента и заставил использовать логарифмическое представление, логарифмический коэффициент передачи по мощности –



(1)

Логарифмический коэффициент усиления по мощности измеряют специальными единицами, которые носят название Белл (Б).

1 Белл соответствует усилению мощности в 10 раз.

Чаще используют единицу в десять раз меньшую – децибел (дБ).

.

При определении логарифмического коэффициента в децибелах, выражение (1) принимает вид –

.

Логарифмический коэффициент усиления можно выразить через отношение выходного и входного напряжений при одинаковых нагрузочных сопротивлениях

.

Такое представление коэффициента усиления используют в теории автоматического управления для измерения амплитуды частотной характеристики в децибелах –



(2)

По оси частот в теории автоматического управления так же используют логарифмический масштаб на основе десятичного логарифма частоты.

При этом ось частот будет иметь следующий вид –



Рис. 3

Изменение частоты в десять раз называют декадой. Причем на оси частот, при ее логарифмическом масштабе, принято обозначать значения частоты в рад/с, иногда в герцах, особенно это принято в радиотехнике и в инженерной практике.

Особо отметим, что логарифмическая шкала не имеет нуля и может пересекаться вертикальной осью в любом месте, что особенно важно тем, что дает возможность рассматривать частотные свойства динамических звеньев и конкретных устройств в необходимом диапазоне изменения частот, где характеристика представляет интерес для исследователя.

Теперь дадим определение логарифмическим частотным характеристикам.

Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) динамического звена называют такое представление амплитудной частотной характеристики (АЧХ), в котором модуль (амплитуда) частотной характеристики выражен в децибелах, а частота – в логарифмическом масштабе.

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) динамического звена называют такое представление фазочастотной характеристики (ФЧХ) , в котором частота выражена в логарифмическом масштабе.

Довольно часто ЛАЧХ И ЛФЧХ строятся на одном графике, чтобы давать полное представление о свойствах объекта, покажем на рис. 4 примерный вид и оформление ЛАЧХ и ЛФЧХ некоторого инерционного объекта.



Логарифмические частотные характеристики элементарных динамических звеньев

Безынерционное звено

Передаточная функция –

.

Частотная характеристика –

,

АЧХ и ФЧХ

.

Логарифмические характеристики





Дифференцирующее звено

Передаточная функция –

.

Частотная характеристика –

,

АЧХ и ФЧХ

.

Логарифмические характеристики



Для удобства построения определим точку, где ЛАЧХ пересекает ось частот –

.

Определим наклон ЛАЧХ

,

то есть, получаем, что ЛАЧХ получает приращение 20 децибел на интервале частот в 1 декаду.



Интегрирующее звено

Передаточная функция –

.

Частотная характеристика –

,

АЧХ и ФЧХ

.

Логарифмические характеристики



Для удобства построения определим точку, где ЛАЧХ пересекает ось частот –

.

Определим наклон ЛАЧХ

,

то есть, получаем, что ЛАЧХ получает уменьшение на 20 децибел на интервале частот в 1 декаду.



Контрольные вопросы и задачи

  1. Дайте определение величине в 1 Белл.

  2. Каким образом вычисляется логарифмический коэффициент усиления по мощности для четырехполюсников?

  3. Что определяет понятие "декада" применительно к логарифмическим частотным характеристикам?

  4. Дайте определение логарифмической амплитудной частотной характеристике.

  5. Дайте определение логарифмической амплитудной частотной характеристике.

  6. Перечислите основные достоинства логарифмических частотных характеристик по сравнению с обычными частотными характеристиками.

  7. Передаточная функция звена –

,

как зависит от частоты ЛАЧХ этого звена? Определите ЛАЧХ этого звена.

Ответ:

ЛАЧХ не зависит от частоты,

.

  1. Передаточная функция звена –

,

определите значение ЛАЧХ этого звена при частоте .

Ответ:

.

  1. Передаточная функция звена –

,

определите наклон ЛАЧХ этого звена.

Ответ:

Наклон ЛАЧХ этого звена составляет .

Лекция 10

Логарифмические частотные характеристики систем автоматического управления

Апериодическое звено

Передаточная функция –

.

Частотная характеристика –

,

АЧХ и ФЧХ

.

Логарифмические характеристики



В этом случае, при частоте –



имеем

.

Рассмотри для апериодического звена два характерных диапазона:



(1)






(2)

,

.

Выражения (1) и (2) представляют собой уравнения прямых линий – асимптот, к которым стремиться ЛАЧХ при удалении от точки их сопряжения . Как мы увидим в дальнейшем, при синтезе и анализе систем бывает удобнее пользоваться не точными, а асимптотическими характеристиками.



Как мы увидели при работе с простейшими типовыми звеньями, частотные характеристики могут быть получены по передаточной функции. В более сложных случаях, при решении задач синтеза и анализа САУ возникает потребность в получении характеристик САУ по известным характеристикам звеньев, входящих в САУ.

Наиболее часто используется случай, когда звенья в САУ включаются последовательно, как это показано на рис. 1.



Рис. 1

В соответствии с правилами эквивалентных преобразований передаточная функция всей САУ будет иметь вид –

.

Получим частотную характеристику САУ



Следовательно,

АЧХ САУ –



(3)

ФЧХ САУ



(4)

Получим по выражениям (3) и (4) логарифмические характеристики САУ:

ЛАЧХ –



(5)

ЛФЧХ –



(6)

Таким образом, логарифмические частотные характеристики САУ могут быть определены, как сумма логарифмических частотных характеристик последовательно включенных составляющих САУ звеньев. Логарифмические масштабы и использование асимптот позволяет осуществить суммирование графически.

В ТАУ так же используются свойства логарифмических частотных характеристик динамических звеньев, передаточные функции которых взаимообратные –

.

Пусть частотные характеристики звена известны:

Частотная характеристика –

,

ЛАЧХ –

,

ЛФЧХ –

.

Тогда частотные характеристики звена имеют вид:

Частотная характеристика –

,

ЛАЧХ –

,

ЛФЧХ –

.

Таким образом, ЛАЧХ и ЛФЧХ взаимообратных динамических звеньев расположены симметрично относительно оси частот, подтверждением чему служат полученные ранее ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференцирующего и интегрирующего звеньев.

Пример

Для САУ была определена передаточная функция. Следует определить ЛАЧХ САУ.

.

Решение

Представим САУ в виде последовательно включенных динамических звеньев



Получим асимптотические ЛАЧХ для каждого апериодического звена



Используя свойства ЛАЧХ взаимообратных звеньев, получим асимптотические ЛПЧХ форсирующих звеньев .



Получим асимптотическую ЛАЧХ САУ выполнив графическое суммирование ЛАЧХ звеньев

.

Задачу существенно упрощает то, что асимптотические графики звеньев имеют участки с целочисленным наклоном.



Получим ЛАЧХ и ЛФЧХ типовых звеньев, используя рассмотренное выше.

Реальное дифференцирующее звено

Передаточная функция

.

Представим звено в следующем виде



Тогда ЛАЧХ и ЛФЧХ имеют вид –

,

.



Интегрирующее звено с запаздыванием

Передаточная функция

.

Представим звено в следующем виде



Тогда ЛАЧХ и ЛФЧХ имеют вид –

,

.



Пропорционально-интегральное звено

Передаточная функция

.

Представим звено в следующем виде



Тогда ЛАЧХ и ЛФЧХ имеют вид –

,

.



Контрольные вопросы и задачи

  1. Как можно использовать для получения частотных характеристик системы то, что систему можно представить в виде параллельно включенных типовых динамических звеньев?

  2. Как соотносятся ЛАЧХ и ЛФЧХ динамических звеньев, передаточные функции которых являются взаимообратными?

  3. На какие последовательно включенные типовые динамические звенья следует разбить реально дифференцирующее звено, чтобы получить его асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ?

  4. На какие последовательно включенные типовые динамические звенья следует разбить интегрирующее звено с запаздыванием, чтобы получить его асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ?

  5. На какие последовательно включенные типовые динамические звенья следует разбить пропорционально интегрирующее звено, чтобы получить его асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ?

  6. Передаточная функция звена –

,

При какой частоте ЛФЧХ будет иметь значение .

Ответ:

При частоте.

  1. Передаточная функция звена –

,

Как при частоте будут отличаться точная и асимптолическая ЛАЧХ этого звена?

Ответ:

Асимптотическая ЛАЧХ будет меньше точной на .

  1. Передаточная функция объекта имеет вид –

,

Постройте асимптотическую ЛАЧХ объекта?

Ответ:



Лекция 11

Временные и частотные характеристики колебательного звена

Колебательное звено является элементарным динамическим звеном второго порядка, обладает тремя варьируемыми параметрами. Поэтому его характеристикам уделим более пристальное внимание. Тем более, что колебательным звеном описываются достаточно сложные элементы электромеханических систем и электроприводов, на пример, такой распространенный элемент как электродвигатель постоянного тока.

Передаточная функция колебательного звена –



(1)

где – коэффициент усиления, – постоянная времени, – коэффициент затухания.

Отличительной особенностью колебательного звена является то, что оно меняет не только свои свойства, но и название в зависимости от величины коэффициента затухания:

Получим временные характеристики колебательного звена. Для этого преобразуем его передаточную функцию (1), вводя обозначения –

– показатель затухания,

– угловая частота колебаний,



(2)

Из таблиц преобразования Лапласа имеем –



Теперь мы можем определить импульсную характеристику колебательного звена –



(3)

Примерный вид импульсной характеристики показан на рис. 1.



Рис. 1

Определим переходную характеристику колебательного звена –



(4)

Примерный вид переходной характеристики показан на рис. 2.



Рис. 2

По рис. 1 и 2 можно легко судить, как влияют параметры колебательного звена временные характеристики.

Подвергнем более подробному анализу временные характеристики колебательного звена для случая , то есть, определим временные характеристики консервативного звена.

Передаточная функция консервативного звена имеет вид –

,

– угловая частота колебаний,

– показатель затухания.

тогда выражения временных характеристик (3) и (4) примут следующий вид –



(5)






(6)

Примерный вид характеристик консервативного звена показан на рис. 3 и 4.



Рис. 3



Рис. 4

Определим частотную характеристику колебательного звена.



(6)

ВЧХ –



(7)

МЧХ –



(8)

АЧХ –



(9)

ФЧХ –



(10)

Построим ВЧХ и МЧХ на одном графике, примерный вид характеристик показан на рис. 5.



Рис. 5

Примерный вид АФЧХ показан на рис. 6.



Рис. 6

Примерный вид АЧХ и ФЧХ показан на рис. 7 и 8, функция АЧХ имеет экстремум () при

.



Рис. 7



Рис. 8

Рассмотрим частотные характеристики консервативного звена ().

.

При характеристики (см. рис. 9) имеют разрыв

.



Рис. 9

Определим ФЧХ консервативного звена –



Примерный вид ФЧХ показан на рис. 10.



Рис. 10

Определим логарифмические характеристики колебательного звена.



(11)

Определим асимптотическую ЛАЧХ колебательного звена



Наклон асимптоты –

.

Максимальное отклонение асимптотической ЛАЧХ от точной –

.

Примерный вид ЛАЧХ и ЛФЧХ показан на рис. 11.



Рис. 11

Для получения временных характеристик инерционного звена второго порядка () пригодны и выражения (3) и (4), полученные выше для колебательного звена. Но они могут быть получены и иначе.

Если , можно преобразовать передаточную функцию звена –



(12)

где

.

Звено с передаточной функцией в виде (12), можно представить в идее двух апериодических звеньев, включенных последовательно, как это показано на рис. 12.



Рис. 12

Импульсные характеристики этих звеньев имеют вид –

.

Тогда импульсная характеристика инерционного звена второго порядка может быть получена с использованием теоремы преобразования Лапласа об умножении изображений –



(13)

Переходную характеристику получим, интегрируя (13) –



(14)

Примерный вид временных характеристик инерционного (апериодического) звена второго порядка показан на рис. 13.



Рис. 13

Получим асимптотическую ЛАЧХ для инерционного звена второго порядка, представляя его в виде двух последовательно включенных апериодических звеньев, (см. рис. 12).



На рис. 14 и 15 показаны ЛАЧХ инерционного звена второго порядка.



Рис. 14



Рис. 15
1   2   3   4   5   6   7   8


Лекция 9Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации