Контрольная работа по эконометрике для предприятия легкой промышленности - файл n1.doc

Контрольная работа по эконометрике для предприятия легкой промышленности
скачать (1467.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1468kb.14.09.2012 16:39скачать

n1.doc



Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический институт
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант № 7
Исполнитель:

Специальность:

Группа:

№ зачетной книжки:

Руководитель:

Курск

2009

ЗАДАЧИ

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)

Требуется:

  1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

  2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

  3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

  4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

  5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

  6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

  7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.

  8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

Привести графики построенных уравнений регрессии.

  1. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.






36

28

43

52

51

54

25

37

51

29



85

60

99

117

118

125

56

86

115

68



РЕШЕНИЕ


1. Уравнение линейной регрессии имеет вид: .

Составим таблицу исходных и расчетных данных (табл. 1):
Таблица 1

t

y

x




y ∙ x





()2





()2

1

85

36

1296

3060

-7,9

62,4

-4,6

21,2

2

60

28

784

1680

-32,9

1082,4

-12,6

158,8

3

99

43

1849

4257

6,1

37,2

2,4

5,8

4

117

52

2704

6084

24,1

580,8

11,4

130

5

118

51

2601

6018

25,1

630

10,4

108,2

6

125

54

2916

6750

32,1

1030,4

13,4

179,6

7

56

25

625

1400

-36,9

1361,6

-15,6

243,4

8

86

37

1369

3182

-6,9

47,6

-3,6

13

9

115

51

2601

5865

22,1

488,4

10,4

108,2

10

68

29

841

1972

-24,9

620

-11,6

134,6

Сумма

929

406

17586

40268

0

5940,9

0

1102,4

Ср. знач.

92,9

40,6

1758,6

4026,8




594,1




110,2

Найдем параметры уравнения линейной регрессии:

b = 2,314.

a = 92,90 – 2,314 ∙ 40,60 = -1,048.

Итак, уравнение линейной регрессии имеет вид:



Коэффициент регрессии b=2,314 показывает, что при увеличении объема капиталовложений (X) на 1 млн. руб. объем выпуска продукции (Y) увеличивается в среднем на 2,314 млн. руб.

Рассчитаем коэффициент линейной корреляции:



Таким образом, можно считать, что связь между y и x весьма тесная.

2. Для вычисления остатков построим табл. 2:

Таблица 2


t

y

x







2

1

85

36

82,3

2,7

7,29

2

60

28

63,7

-3,7

13,69

3

99

43

98,5

0,5

0,25

4

117

52

119,3

-2,3

5,29

5

118

51

117,0

1

1

6

125

54

123,9

1,1

1,21

7

56

25

56,8

-0,8

0,64

8

86

37

84,6

1,4

1,96

9

115

51

117,0

-2

4

10

68

29

66,1

1,9

3,61

Сумма

929

406

929

-0,2

38,94


Остаточная сумма квадратов: ?e2 = 38,94.

Дисперсия остатков: = 

График остатков представлен на рис. 1:



Рис. 1. График остатков

3. Проверим выполнение предпосылок МНК. Для оценки адекватности модели исследуют остатки ei.

Составим таблицу на основе остатков уровней ряда (табл. 3):

Таблица 3

t

y



 

 2

 p

et •et-1

et -et-1

(et -et-1)2

 

1

85

82,3

2,7

7,29













3,18

2

60

63,7

-3,7

13,69

1

-9,99

-6,4

40,96

6,17

3

99

98,5

0,5

0,25

1

-1,85

4,2

17,64

0,51

4

117

119,3

-2,3

5,29

1

-1,15

-2,8

7,84

1,97

5

118

117,0

1

1

0

-2,3

3,3

10,89

0,85

6

125

123,9

1,1

1,21

1

1,1

0,1

0,01

0,88

7

56

56,8

-0,8

0,64

1

-0,88

-1,9

3,61

1,43

8

86

84,6

1,4

1,96

1

-1,12

2,2

4,84

1,63

9

115

117,0

-2

4

1

-2,8

-3,4

11,56

1,74

10

68

66,1

1,9

3,61




-3,8

3,9

15,21

2,79

Сумма

929

929

-0,2

38,94

7

-22,79

-0,8

112,56

21,1

а) случайность уровней ряда et проверим по критерию поворотных точек  p:

p > (2 ∙ );  2.

p= 7 > 2. Т.к. p > 2, то свойство случайности выполняется.

б) Независимость (отсутствие автокорреляции) уровней ряда et  проверим по критерию Дарбина-Уотсона:

d = 2,89.

Т.к. d >2, то используем =4 – d = 4 – 2,89 = 1,11;

Учитывая, что d(1)=1,08; d(2)=1,36, получим > d(1), но < d(2), следовательно d-критерий не используется.

Независимость (отсутствие автокорреляции) уровней ряда et проверим по первому коэффициенту корреляции:

|r(1)| =  |- 0,59| = 0,59.

Т.к. по модулю r(1) >0,36, то свойство независимости выполняется.

в) Соответствие нормальному закону распределения проверим по RS-критерию:

RS

Учитывая, что полученное значение RS критерия попадает в интервал от 2,7 до 3,7, то гипотеза о НЗР уровней ряда et подтверждается.

г) Проверка гипотезы о M(ei)=0.

Se=

t =

;? = n-1) =  = 2,26.

tтабл , отсюда гипотеза о  M(ei)=0 принимается.

д) Обнаружение гетероскедастичности (тест Голдфельда- Квандта):

Таблица 4

 x

 y

 

 e=y -

 e2

25

56

55,2

0,8

0,64

28

60

63,1

-3,1

9,61

29

68

65,7

2,3

5,29

36

85

84,1

0,9

0,81

37

86

86,8

-0,8

0,64

 

 S1 =?e12 =

16,99

 x

 y

 

 e=y -

 e2

43

99

98,6

0,4

0,16

51

118

116,6

1,4

1,96

51

115

116,6

-1,6

2,56

52

117

118,8

-1,8

3,24

54

125

123,3

1,7

2,89

 

 S2 =?e22 = 

10,81



Fтабл =9,28 (для ?=0,05; ?1 =n1-k=5-2=3; ?1 =n-n1 -k=10-5-2=3).

Т.к. , то с вероятностью 95% гипотеза о гетероскедастичности отклоняется, остатки гомоскедастичны.

4. Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента:





Найдем стандартную ошибку параметров.

стандартная ошибка параметра ;  стандартная ошибка параметра .







(для .

Т.к. , то с вероятностью 95% параметр a данного уравнения регрессии не значим.

А т.к. , то с вероятностью 95% параметр b данного уравнения регрессии значим.

5. Рассчитаем коэффициент детерминации:



Из этого следует, что вариация признака у на 99,4% объясняется вариацией признака х и на 0,6% прочими факорами.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:





Т.к., то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:



В среднем расчетные значения ( отличаются от фактических значений (y) на 2,11%.

Дадим оценку качества модели:

Таким образом, полученная модель адекватна.

6. Прогнозирование среднего значения У.

Прогнозное значение x составляет 80 % относительно максимального значения ():





Границы доверительного интервала прогноза:







Интервальный прогноз:

Нижняя граница прогноза 

Верхняя граница прогноза 

94,56.

7. Представим графически фактические и модельные значения Y, точки прогноза на рис. 2:


Рис. 2. График фактических и модельных значений у

8. Составление уравнений нелинейной регрессии.

а) гиперболическая модель: 

Уравнение гиперболической модели у=а+b линеаризуется при замене: X=. Тогда у=a+bX.

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализа модели (табл.5):

Таблица 5

t

y

x





y∙X



e=y-

e2



1

85

36

0,028

0,00077

2,361

88,8

-3,8

14,44

4,47

2

60

28

0,036

0,00128

2,143

63,2

-3,2

10,24

5,33

3

99

43

0,023

0,00054

2,302

103,4

-4,4

19,36

4,44

4

117

52

0,019

0,00037

2,250

116,4

0,6

0,36

0,51

5

118

51

0,020

0,00038

2,314

115,2

2,8

7,84

2,37

6

125

54

0,019

0,00034

2,315

118,7

6,3

39,69

5,04

7

56

25

0,040

0,00160

2,240

49,4

6,6

43,56

11,79

8

86

37

0,027

0,00073

2,324

91,3

-5,3

28,09

6,16

9

115

51

0,020

0,00038

2,255

115,2

-0,2

0,04

0,17

10

68

29

0,034

0,00119

2,345

67,2

0,8

0,64

1,18

Cумма

929

406

0,265

0,00759

22,849

929




164,26

41,47

Cр.зн.

92,90

40,60

0,0265

0,0008

2,285













Найдем параметры модели по формулам, используемым в первой (линейной) модели:



a=92,90-(-2490,14)•0,0265=158,89.

Составим уравнение гиперболической модели:



График гиперболической модели представлен на рис. 3:



Рис. 3. График гиперболической модели
б) степенная модель:  = a ∙ 

Для построения этой модели необходимо произвести ли­неаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирова­ние обеих частей уравнения:

lg y=lg a+b∙lg x

Обозначим: Y = lg у, X = lg х, А = lg а.

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения 

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализа модели (табл.6):


Таблица 6

t

y

x

Y = lg (у)

X = lg (х)



Y∙X



e=y-

e2



1

85

36

1,929

1,556

2,421

3,002

82,3

3

9

3,53

2

60

28

1,778

1,447

2,094

2,573

63,7

-3,4

11,56

5,67

3

99

43

1,996

1,633

2,667

3,259

98,5

0,5

0,25

0,51

4

117

52

2,068

1,716

2,945

3,549

119,3

-2,6

6,76

2,22

5

118

51

2,072

1,708

2,917

3,539

117,0

0,7

0,49

0,59

6

125

54

2,097

1,732

3,000

3,632

123,9

0,6

0,36

0,48

7

56

25

1,748

1,398

1,954

2,444

56,8

-0,4

0,16

0,71

8

86

37

1,934

1,568

2,459

3,033

84,6

1,6

2,56

1,86

9

115

51

2,061

1,708

2,917

3,520

117,0

-2,3

5,29

2,00

10

68

29

1,833

1,462

2,137

2,680

66,1

2,3

5,29

3,38

Cумма

929

406

19,516

15,928

25,511

31,230

929




41,72

20,95

Cр.зн.

92,9

40,6

1,9516

1,5928

2,5511

3,1230













Найдем параметры модели по формулам, используемым в линейной модели:





Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 0,3142 + 1,028X.

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потен­цирование данного уравнения:

.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

.

График построенной модели представлен на рис.4:




Рис. 4. График степенной модели
в) показательная модель: 

Произведем логарифмирование данного уравнения:

lg y=lg a+x•lg b

Обозначим: Y=lg y, B=lg b, А=lg a

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения 

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализ модели (табл. 7):

Таблица 7

t

y

Y=lg (y)





Y∙x



e=y-

e2



1

85

1,929

36

1296

69,44

79,2

5,8

33,62

6,82

2

60

1,778

28

784

49,78

64,1

-4,1

16,72

6,81

3

99

1,996

43

1849

85,83

95,3

3,7

13,53

3,72

4

117

2,068

52

2704

107,54

121

-4

15,68

3,38

5

118

2,072

51

2601

105,67

117,8

0,2

0,04

0,17

6

125

2,097

54

2916

113,24

127,5

-2,5

6,43

2,03

7

56

1,748

25

625

43,70

59,2

-3,2

10,22

5,71

8

86

1,934

37

1369

71,56

81,3

4,7

21,85

5,44

9

115

2,061

51

2601

105,11

117,8

-2,8

7,84

2,44

10

68

1,833

29

841

53,16

65,8

2,2

4,81

3,22

сумма

929

19,516

406

17586

805,03

929




130,74

39,74

ср.знач.

92,9

1,9516

40,60

1758,6

80,5028

 

 

 

 

Найдем параметры модели по формулам, используемым в первой (линейной) модели:





Получим линейное уравнение:

Произведём потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:.

График построенной модели представлен на рис.5:



Рис. 5. График показательной модели
9. а) Для гиперболической модели :

Рассчитаем индекс корреляции:



Следовательно, что связь между у и х весьма тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:



Таким образом, вариация признака у на 97,2% объясняется вариацией признака х.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:





Т.к., то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:



В среднем расчетные значения ( отличаются от фактических значений (y) на 4,15%.

Вычислим коэффициент эластичности:

Э =
б) Для степенной модели :

Рассчитаем индекс корреляции:



Можно считать, что связь между у и х весьма тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:



Иначе говоря, вариация признака у на 99,2% объясняется вариацией признака х.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:





Т.к., то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:



В среднем расчетные значения ( отличаются от фактических значений (y) на 2,11%.

Вычислим коэффициент эластичности для степенной модели:

Э=b=1,028.

в) Для показательной модели :

Рассчитаем индекс корреляции:



Итак, связь между у и х весьма тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:



Таким образом, вариация признака у на 97,8% объясняется вариацией признака х.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:





Т.к., то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:



В среднем расчетные значения ( отличаются от фактических значений (y) на 3,97%.

Вычислим коэффициент эластичности для показательной модели:

Э=

Сравним модели по полученным характеристикам. Для этого построим сводную таблицу результатов (табл. 8):

Таблица 8

Модель

Индекс корреляции

r

Коэффициент детерминации



F-критерий Фишера,

F

Ср. относит. ошибка



Линейная

0,997

0,994

1325,33

2,11

Гиперболическая

0,986

0,972

277,71

4,15

Степенная

0,996

0,993

1134,86

2,11

Показательная

0,989

0,978

355,55

3,97


Все модели сравнительно одинаково описывают процесс, но большее значение F-критерия Фишера и большее значение коэффициента детерминации R2 имеет линейная модель, из нелинейных – степенная.




Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации