Курсовая работа - математические методы в исследовании экономики - файл n1.doc

Курсовая работа - математические методы в исследовании экономики
скачать (953 kb.)
Доступные файлы (6):
n1.doc900kb.07.06.2009 23:42скачать
n2.doc719kb.11.04.2006 17:16скачать
n3.doc701kb.11.04.2006 17:16скачать
n4.doc325kb.11.04.2006 17:16скачать
n5.doc731kb.11.04.2006 17:16скачать
n6.doc25kb.08.06.2009 00:01скачать

n1.doc

  1   2   3   4



Математические модели и методы

исследования экономических систем

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ


    1. Виды и способы математического моделирования систем

Современная экономическая теория, как на микро-, так и на макроуровне, включает как естественный, необходимый элемент математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов. Во-вторых, методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики и статистики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте. Наконец, в-четвертых, использование методов математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы.

Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями.

Модель – это материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Процесс построения, изучения и применения моделей называется моделированием.

Моделирование это метод научного познания, инженерных и научных исследований, при которых исследуемый сложный объект заменяется более простым ― моделью.

По форме представления можно выделить три способа моделирования:

1)Мысленное моделирование (или интуитивное моделирование). Человек принимает любое решение и приступает к его реализации после моделирования рассматриваемой ситуации на мысленном или интуитивном уровне. Особенностью данного моделирования является то, что модель носит «виртуальный» характер, т.е. ее невозможно увидеть и зафиксировать.

2)Физическое моделирование (ФМ). Принцип ФМ заключается в том, что при этом изучение исследуемых процессов производится на моделях одной физической природы с оригиналом или на моделях, использующих принцип аналогий.

ФМ позволяет исследовать, в частности, такие процессы, которые не поддаются или с трудом поддаются математическому описанию. Например, аэродинамические характеристики самолета до сих пор чаще всего определяются путем исследования его физически подобной модели в аэродинамической трубе, так как обоснованных и надежных математических методов определения этих характеристик пока не существует. Недостатками ФМ является высокая стоимость и то, что для каждого исследуемого объекта надо создавать свою модель.

3)Математическое моделирование. В процессе математического моделирования каждому изучаемому объекту ставится в соответствие его математическое описание – различного рода уравнения, равенства, неравенства, логические условия, - называемые математической моделью (ММ).

Достоинством ММ по сравнению с ФМ является желаемая скорость и низкая стоимость моделирования, простота перебора вариантов и выбора оптимальных параметров модели и управления. Недостатком ММ по сравнению с ФМ является меньшая адекватность модели.


    1. Экономико-математические модели

При изучении экономических процессов математические модели рассматриваются в тесной связи с целевыми системами и представляют собой некоторые целостные структуры, называемые экономико-математическими моделями (ЭММ).

ЭММ – смешанные модели, включающие в себя совокупность математических зависимостей, логических построений, схем, графиков и т.д., связанных в некоторую единую систему, имеющую экономический смысл.

Экономико-математическое моделирование является одним из современных подходов анализа развития народного хозяйства, его отраслей и предприятий, разработки эффективных методов планирования и управления ими. Основной задачей экономико-математического моделирования являются построение модели (ее структуры, связей, т.е. синтез модели), определение параметров разработанной модели (идентификация или «настройка» под конкретный реальный экономический объект) и применение этих моделей для решения экономико-хозяйственных проблем. При этом точность и обоснованность анализа, прогнозирования и, соответственно, планирования и управления зависят от того, насколько адекватно в разработанных моделях отражены реальные процессы и связи между показателями развития экономических объектов (ограничения, накладываемые на развитие системы объектов; достоверность информации, используемой при моделировании, и др.)

Поэтому в настоящее время при разработке методов математического моделирования экономических объектов и систем все большее внимание уделяется адекватности структуры моделей реальным процессам, идентификации их параметров и учету достаточно широкого спектра требований, предъявляемых к разработке вариантов планов и развитию народного хозяйства.

ЭММ подразделяются на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария: модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статистические и динамические.

Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: ВНП, потребление, инвестиции, занятость, процентную ставку, количество денег и другие. Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики, либо поведение отдельной такой составляющей в рыночной среде. Вследствие разнообразия типов экономических элементов и форм их взаимодействия на рынке, микроэкономическое моделирование занимает основную часть экономико-математической теории.

Теоретические модели позволяют изучать общие свойства экономики и ее характерных элементов дедукцией выводов из формальных предпосылок. Прикладные модели дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и сформулировать рекомендации для принятия практических решений. К прикладным относятся прежде всего эконометрические модели, оперирующие числовыми значениями экономических переменных и позволяющие статистически значимо оценивать их на основе имеющихся наблюдений.

В моделировании рыночной экономики особое место занимают равновесные модели. Они описывают такие состояния экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести ее из данного состояния, равна нулю. В нерыночной экономике неравновесие по одним параметрам (например, дефицит) компенсируется другими факторами (черный рынок, очереди и т.п.). Равновесные модели носят дескриптивный (описательный) характер. В нашей стране долгое время преобладал нормативный подход в моделировании, основанный на оптимизации. При нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а как она должна быть устроена и как должна действовать в смысле определенных критериев. В теории рыночной экономики оптимизация присутствует в основном на микроуровне (максимизация прибыли, минимизация затрат); на макроуровне результатом рационального выбора поведения экономическими объектами оказывается некоторое состояние равновесия.

В статистических моделях функциональные соотношения не зависят или слабо зависят от времени. Если свойства объекта неизменны или мало меняются со временем на некотором интервале наблюдения, то для описания этого объекта можно использовать данную модель. В статических моделях обычно фиксируются значения ряда величин, например, капитальные ресурсы, цены и т.п. Статистические модели обычно имеют вид систем линейных или нелинейных алгебраических равенств и неравенств и описывают состояние объекта в некоторый фиксированный момент времени. Примером такой модели является статический межотраслевой баланс.

В динамических моделях присутствует взаимосвязь выходных и входных переменных во времени. Динамические модели, как правило, описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, разностными уравнениями.

ММ подразделяются на детерминированные и стохастические.Error: Reference source not found

Детерминированная модель – такое математическое описание исследуемого объекта или явления, которое для заданных исходных данных позволяет получить вполне определенные числовые значения интересующих исследователя выходных величин; т.е. предполагаются жесткие функциональные связи между переменными модели.

Стохастические модели допускают, что функциональные соотношения между входными и выходными параметрами зависят от случайных величин. Для описания и изучения стохастических ММ используют аппарат теории вероятностей и математической статистики. С помощью моделей этого типа определяют распределение вероятностей для выходных случайных величин и их числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсии, ковариации, доверительные интервалы.


    1. Адекватность модели

Важнейшим понятием при экономико-математическом моделировании, как и при всяком моделировании, является понятие адекватности модели, т. е. соответствие модели моделируемому объекту или процессу. Адекватность модели – в какой-то степени условное понятие, так как полного соответствия модели реальному процессу быть не может, что характерно и для ЭММ. При моделировании имеется в виду не просто адекватность, но соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для исследования. Проверка адекватности ЭММ является весьма серьезной проблемой, тем более, что ее осложняет трудность измерения экономических величин. Однако без такой проверки применение результатов моделирования в управленческих решениях может не только оказаться мало полезным, но и принести существенный вред.

С понятием адекватности связаны свойства изоморфизма и гомоморфизма моделей и систем.

Рассмотрим две системы А и В с векторами входов ХА(х1А, х2А, ..., хmА) и ХВ(х1В, х2В, ..., хmВ), и векторами выходов YА(y1А, y2А, ..., ynА) и YВ(y1В, y2В, ..., ynВ) соответственно. Говорят, что системы А и В изоморфны, если

y1В (t) = y1А (t), y2В (t) = y2А (t), . . . , ynВ(t) = ynА(t) (1.3.1)

при х1В(t) = х1A(t), х2В(t) = х2A(t), . . . , хmВ(t) = хmA(t) для любого момента времени. Изоморфные системы неотличимы друг от друга для наблюдателя, следящего только за их входами и выходами. Поведение данной системы ничем не отличается от поведения всех изоморфных ей систем, и любая из совокупности таких систем может рассматриваться как оригинал или модель остальных.

Наличие изоморфизма не является необходимым условием соответствия модели оригиналу. Система В может служить моделью поведения системы А также и тогда, когда их сходство не столь полно, как это требуют условия (1.3.1). Частным важным соотношением «оригинал ― модель» является отношение гомоморфизма, при котором существует однозначное соответствие между состоянием систем А и В и неоднозначно-обратное соответствие. Так система В, полученная из системы А при ее упрощении (за счет уменьшения числа рассматриваемых переменных путем их объединения), является гомоморфной моделью системы А. Иначе говоря, пользуясь системой В как гомоморфной моделью системы А, мы можем не «различить» некоторые состояния системы А, для нас они как бы сольются в одно.
1.4. Понятие «черного ящика» в теории управления

В процессе моделирования различают понятия «простых» и «сложных» объектов.

«Простые» объекты – поддаются математической формализации с использованием известных формул, уравнений и законов природы. Таким образом, моделирование полета самолета или движения автомобиля относится к моделированию динамики «простых» объектов.

«Сложными» будем называть объекты, которые не поддаются или плохо поддаются математическому описанию с использованием известных законов природы. Примерами являются социальные, экономические, политические и другие системы и объекты.

Для моделирования поведения «сложных» объектов часто используются имитационные модели построенные на основе использования модели «черного ящика» (ЧЯ). Понятие ЧЯ ввел отец кибернетики Норберт Винер. ЧЯ представляет собой объект исследования, процессы внутри которого остаются для исследователя неизвестными, но зато с ним можно экспериментировать, изучая реакцию черного ящика Y на входные воздействия X


X

Y


«Черный ящик»


Рис.1

По результатам экспериментов строится имитационная модель, отражающая функциональную зависимость

Y = F( X )

Для определения функции F(X) чаще всего применяются методы экспертных оценок, имитационного и стохастического моделирования.
1.5. Последовательность процесса моделирования

Построение математической модели включает несколько этапов:

  1. Постановка задачи. На этом этапе необходимо уяснить, что мы хотим получить в результате исследований, а также предварительно оценить, нельзя ли получить эти результаты другим путем.

  2. Определение задачи и построение концептуальной модели. Здесь выбирается задача исследования, которая позволяет решить вопросы оптимизации, сравнения, оценки, прогноза, анализа чувствительности, выявления функциональных соотношений и т.д.

  3. Составление математической модели. Вид ММ в значительной степени зависит от целей исследования. Вначале следует поискать подходящую модель в литературе или использовать те или иные известные закономерности экономики в виде функций, связывающих переменные и постоянные факторной модели между собой. Следующим этапом построения ММ является формирование ММ, включающее в себя несколько видов работ: математическую формализацию, численное представление, анализ модели и выбор метода ее решения.

  4. Вычисления. Пои решении задачи необходимо тщательно разобраться с размерностью всех величин, входящих в ММ, и определить границы (пределы), в которых должна лежать искомая целевая функция, а также требуемую точность вычислений.

  5. Выдача результатов. Результаты должны включать в себя кратаое описание объекта исследования, цель исследования, выбранную математическую модель, допущения и ограничения, основные результаты вычислений, выводы и обобщения.


Глава 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
2.1. Понятие системы

Структура системы управления. Термин «система» широко используется в литературе и повседневной жизни, когда говорят о совокупности взаимосвязанных объектов, рассматриваемых как единое целое: система производства, экономическая система, техническая система, система образования и т.п. Для обеспечения жизнедеятельности и функционирования любая система требует правильного управления, т.е. должна быть управляемой системой.

В любой системе управления (СУ) можно выделить объект управления и регулятор (управляющую систему), формирующий управляющее воздействие:
СУ= Объект + Регулятор

Регулятор

Y

Х
Объект











Рис.2
Здесь: Y(t) – выход объекта управления,

X(t) – управляющее воздействие.

Обе части СУ взаимодействуют с внешней средой и между собой с помощью конечного числа информационных связей. Функционирование системы как единого целого обеспечивается связями между ее элементами. В технической системе эти связи формируются при ее проектировании, в биологической они возникают естественным путем в процессе зарождения и развития организма. В экономических системах связи могут организовываться в плановом порядке или складываться стихийно под воздействием рыночного механизма. Состав элементов и способ их объединения определяют структуру системы. Структурой системы назовем расчленение ее на группы элементов с указанием связей между ними, неизменное на все время рассмотрения и дающее представление о системе в целом. Таким образом, природа понимается как взаимодействующие друг с другом, взаимообуславливающие явления и объекты. С этой точки зрения весьма важным является системный подход к пониманию и изучению реального мира.

Большая и сложная системы. Возможно, что структура системы превосходит возможности анализа и синтеза всех ее элементов и связей между ними. Такая система для исследователя будет «большой системой». Итак, «большой» назовем систему, включающую значительное число однотипных элементов и однотипных связей.

При комплексном изучении систем, особенно общественных, оказывается необходимым исследовать не одно, а несколько их структурообразующих свойств и признаков, рассмотреть взаимосвязь этих свойств. Так, любое предприятие является одновременно производственно-технологической системой, преобразующей ресурсы в продукты, социальной системой, в которой происходит развитие членов трудового коллектива, организационно-хозяйственной системой, в которой координируется их производственная деятельность. Все эти стороны функционирования предприятия органически связаны. Иными словами, при выделении системы задается не одна, а множество взаимодействующих структур. Такая система характеризуется неоднородностью, разнокачественностью выделенных элементов и связей, структурным разнообразием. Ее называют «сложной системой». Деление на простые и сложные системы связано со способом моделирования и с идеализацией реальных объектов. Иначе в природе нельзя найти объект, который не оказался бы сложным.

В отличие от больших систем, сложные системы состоят из элементов разных типов и обладают разнородными связями между ними.

Для изучения сложных систем обычно применяются вероятностные подходы, методы массового обслуживания, имитационное моделирование, а также способы декомпозиции и агрегирования. Одним из основных признаков сложной системы отличающей ее от простой является наличие множества решений или вариантов реализаций.

Приведенная характеристика сложности системы существенно обогащает понимание иерархии и разложения систем. Множество элементов в простых (моноструктурных) системах последовательно объединяется в подмножества, соответственно структура системы образуется как иерархия ее подструктур. Сложная (полиструктурная) система представляет собой пересечение нескольких условно-простых систем, каждая из которых образует определенный структурно-функциональный срез сложной системы.

Народное хозяйство как сложная система может быть разбито на подсистемы: отраслевые (по технологической структуре), региональные (по территориальной структуре), ведомственные (по организационно-хозяйственной структуре). Предприятие как элемент производственно-хозяйственной системы входит во все эти подсистемы.

При макроподходе объектом изучения является некоторая конкретная система S как часть системы более высокого ранга, а предметом изучения ― ее входы и выходы. При микроподходе объектами исследования становятся внутренняя структура и функционирование элементов системы S.

В рационально организованной иерархической управляющей системе каждый ее уровень m осуществляет управление ступенью (m–1) и одновременно управляется уровнем (m+1). Все уровни информационно связаны между собой.
2.2. Устойчивость динамических систем

Понятие устойчивости. На любую систему всегда действуют различные возмущения, которые могут нарушить ее нормальную работу. Хорошая система должна устойчиво функционировать при всех действующих на нее возмущениях.

В простейшем случае понятие устойчивости системы связано с ее способностью возвращаться (с определенной точностью) в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Если система неустойчива, то она не возвращается в состояние равновесия, из которого ее вывели, а либо удаляется от него, либо совершает вокруг него возрастающие по амплитуде колебания.

Очевидно, что система с расходящимся процессом была бы неработоспособной. Следовательно, устойчивость является необходимым условием работоспособности любой системы.

На рис 3 представлены примеры графики движения устойчивых и неустойчивых систем при воздействии постоянного (ступенчатого) входного сигнала Х(t) =Const или постоянного возмущения.


Устойчивые СУ

Неустойчивые СУ



Y

Y

Экспоненциальная

неустойчивость





Колебательная

неустойчивость


t
t

t




Рис. 3
Устойчивость по Ляпунову. Впервые строгое определение устойчивости было дано русским ученым А.М.Ляпуновым в 1892г. Отсутствие такого определения часто приводило к недоразумениям, так как динамические системы, устойчивые в одном смысле, могут оказаться неустойчивыми при другом понимании этих слов, и наоборот. Определение устойчивости А.М.Ляпунова оказалось настолько удачным и наилучшим образом удовлетворяющим многим задачам динамики, что оно в настоящее время принято как основное.

Введем новые переменные

х(t)= Y(t) – Y*(t)

равные разности переменных Y в возмущенном Y(t) и невозмущенном Y*(t) движении. Под возмущенным движением мы понимаем движение системы при измененных начальных условиях.

Движение называется устойчивым по Ляпунову, если при небольших изменениях начальных значений переменных Y(t), что соответствует малым начальным возмущениям, возмущенное движение в моменты времени t>t0 будет отличаться от невозмущенного движения сколь угодно мало.

Другими словами, невозмущенное движение называют устойчивым по отношению к переменным x, если для любого произвольно заданного числа ?>0, как бы мало оно ни было, можно подобрать другое такое число ?(?) >0, что при всяких возмущениях x0, удовлетворяющих условию

|x0| ? ?

и при любом t ? t0 будет выполняться неравенство

|х(t)| < ?.

В противном случае движение неустойчиво.

На рис.4 представлена графическая иллюстрация определения устойчивости по Ляпунову для устойчивой Y1(t) и неустойчивой Y2(t) систем. В устойчивой системе переходный процесс не должен выходить из трубки радиуса ? образованной вокруг невозмущенной траектории Y*(t).


Y2(t)


Y





Y*(t)



Y1(t)







x1(t)





?

?

?

?


x01



t





t0


Рис. 4
Множество значений параметров объекта, в том числе и начальных условий, при которых исследуемый процесс устойчив, называется областью устойчивости системы.

Система (или движение) называется асимптотически устойчивой, если имеет место равенство

lim [Y(t) – Y*(t)] = 0,

t? ?

т.е. возмущенное и невозмущенное движение неограниченно сближаются с течением времени.

Если движение является асимптотически устойчивым при любых отклонениях начальных условий, т.е. при любых возмущениях, то такая система называется асимптотически устойчивой в целом.

Отметим некоторые особенности определения устойчивости по А.М.Ляпунову. Во-первых, предполагается, что возмущения налагаются только на начальные условия, т.е. возмущенное движение в системе происходит при тех же силах, что и невозмущенное движение. Во-вторых, устойчивость рассматривается на бесконечно большом промежутке времени. И в-третьих, возмущения предполагаются малыми. Несмотря на эти ограничения, определение устойчивости движений систем по А.М.Ляпунову является эффективным и плодотворным в приложениях.
2.3. Равновесие в экономических системах

В экономической теории важным является понятие равновесия, то есть такого состояния объекта, которое он сохраняет при отсутствии внешних воздействий. Задачи экономической динамики включают как описание процессов выхода к состоянию равновесия, так и процессов трансформации самого этого состояния под воздействием внешних сил.

Аналогами понятий статического и динамического равновесия в экономике являются статическая и динамическая сбалансированности. Сбалансированный рост экономической системы, при котором все пропорции ее развития остаются неизменными (стационарными), также можно трактовать как равновесный и анализировать равновесную траекторию с помощью модели, не содержащей времени в явном виде. Проблема равновесия рыночной экономики является объектом многочисленных исследований, пока не давших фундаментального ответа на вопрос о его существовании в реальных условиях.

Цены рыночного равновесия. Рассмотрим пример рыночного равновесия цены на рынке чистой конкуренции. В качестве частного случая рассмотрим паутинообразную модель, в которой функции спроса и предложения линейные функции цены:

(2.3.1)

где p – цена товара; yD – величина спроса; yS – величина предложения, ?0, ?1, ?0, ?1 – некоторые экзогенные факторы (коэффициенты модели), влияющие на спрос (demand)и предложение (supply). Обычно ?1<0; ?1>0.

Определим сначала равновесную цену p* и равновесный объем производства y*. Они должны удовлетворять уравнениям



откуда получаем координаты равновесной точки А (см. рис. 5):

(2.3.2)

Далее необходимо исследовать поведение цен и объемов производства в том случае, если начальная точка не совпадает с равновесной. Эту задачу можно решить графически, получив рисунок типа «паутины». Задав некоторое первоначальное количество товара и цену p0, не совпадающие с точкой равновесия, будем последовательно наносить точки в соответствии с процедурой расчета по модели, соединяя их прямыми пунктирными линиями.


p0

p*

у

у

у

а

б

в


yS

yS

yS







  1   2   3   4


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации