Реферат - Основные направления математики. История математики - файл n1.doc

Реферат - Основные направления математики. История математики
скачать (71 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc71kb.05.06.2012 07:05скачать

n1.doc

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ДО 19 в.

Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в 6—5 вв. до н. э. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6—5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение этих двух первых периодов математические исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших еще на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам и т. п. Первые шаги механики и физики [за исключением отдельных исследований греческого учёного Архимеда (3 в. до н. э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых] могли еще удовлетвориться этим же запасом основных математических понятий. Единственной наукой, которая задолго до широкого развития математического изучения явлений природы в 17—18 вв. систематически предъявляла математике свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, например, раннее развитие тригонометрии. Запас понятий, с которым имела дело М. до начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе.

В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить своё внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрических фигур (при проектировании и т. п.). С употребления переменных величин в аналитической геометрии французского учёного Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин, который можно условно назвать также периодом «высшей математики». Естественно, впрочем, что ни в этот, ни в следующий период не прекращалось и дальнейшее развитие элементарной математики.

Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, привело в начале 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание русским математиком Н. И. Лобачевским его «воображаемой геометрии», получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строение математики столь важные новые черты, что математику в 19 и 20 вв. естественно отнести к особому периоду современной математики.
1. Зарождение математики.

Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметических действий (из которых только деление еще долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом, накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии — начатки тригонометрии.

2. Период элементарной математики.

Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приёмов арифметических вычислений, способов определения площадей и объёмов и т. п. возникает математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия её метода и необходимости систематического развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре возможно, что этот процесс начался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном построении основ математической науки, в Древней Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперёд сделалась образцом дедуктивного построения математической теории. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел. Создаётся систематическое учение о величинах и измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа оказывается, как будет видно из дальнейшего, весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного числа относятся к тем более сложным математическим абстракциям, которые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрические фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в до-научном общечеловеческом опыте. Даже в наше время, когда их реальное содержание и практическая польза общепризнанны, эти математические понятия воспринимаются начинающими не без труда и обычно только в результате систематического школьного обучения. Естественно, что их формирование потребовало от человечества больших усилий.

Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого двухтысячелетнего периода. Специальные обозначения для неизвестных появляются у греческого математика Диофанта (вероятно, 3 в.) и более систематически — в Индии в 7 в., но обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в 16 в. французским математиком Ф. Виетом.

Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке тригонометрии как плоской, так и сферической.

Период элементарной математики заканчивается (в Западной Европе в начале 17 в.), когда центр тяжести математических интересов переносится в область математики переменных величин. Естественно, что этот переход был подготовлен предшествующим развитием математики. Еще в математике древнего мира на материале изучения тригонометрических функций и при составлении их таблиц формируются представления о функциональной зависимости. Но, например, представление об угловом аргументе, изменяющемся от 0 до + 8, и тригонометрич. функциях от такого аргумента возникает только в 16 в. (у Виета). Греческие математики (особенно Архимед) подходят к идеям анализа бесконечно малых, но это течение не получает развития; интерес к нему после неясных попыток англ. математика Т. Брадвардина (14 в.) и итал. математика Николая Кузанского (15 в.) возобновляется лишь в конце 16 в. (фламандский учёный С. Стевин). Таким образом, весь период до 17 в. остаётся в основном периодом элементарной М.

Начало рассматриваемого периода развития М. (греческая, эллинистическая и римская М.) относится к эпохе рабовладельческого общества, вторая же половина — к эпохе феодального (в Китае, Индии, Средней Азии, на Ближнем Востоке ив Зап. Европе). После бурного расцвета, греч. и эллинистич. М., всё более отрываясь от практики в условиях господства рабовладельческих отношений и подчиняясь ограничительным тенденциям идеалистич. философии, приходит к окончательному упадку. В средние века в странах Востока с их большими гидротехнич. сооружениями, развитием мировых торговых центров, возросшими потребностями в крупных геодезич. работах и более практич. тенденциями чиновничьей бюрократии, тесно сращивающейся с купечеством, особенное развитие получает вычислительная сторона М.

В конце рассматриваемого периода на темпы роста западноевропейской М. оказывает влияние процесс зарождения в недрах феодализма нового буржуазного общества. В эпоху Возрождения (15—16 вв.) быстро возрастают запросы к М. со стороны инженеров, строителей, художников, военных, мореплавателей и географов. Вместе с тем создание в университетах возможности более свободной научной критики и научной конкуренции стимулирует решение трудных, казавшихся ранее неразрешимыми задач и более смелое развитие теории.
3. Период создания математики переменных величин.

С 17 в. начинается существенно новый период развития математики. Ф. Энгельс но этому поводу писал: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение р диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым диференциальное и интегральное исчисление» (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1952, стр. 206). Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь М., уже не исчерпывается числами, величинами и геометрич. фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в М. идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако, чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным предметом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математич. анализа, вводящим в М. в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создаётся анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач М. Разыскание неизвестных функций, определённых другого рода условиями, составляет предмет вариационного исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в к-рых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в к-рых неизвестны и подлежат определению функции.

Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Одно и то же движение или одно и то же преобразование может перемещать или преобразовывать самые различные фигуры. Поэтому геометрия начинает изучать движение и преобразования сами по себе. Напр., в проективной геометрии одним из основных предметов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к концу 18 в. и началу 19 в. Гораздо раньше, с созданием в 17 в. аналитической геометрии, принципиально изменилось отношение геометрии к остальной М.: был найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраич. и аналитич. методами, а с другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраич. и аналитич. фактов геометрически, напр. при графич. изображении функциональных зависимостей. Эта обратная возможность была, однако, ограничена трёхмерностью пространства. Такое положение привело к склонности рассматривать арифметику, алгебру и анализ с теорией функций как части «чистой» М., определяемой в качестве науки о числах, величинах и зависимостях между изменяющимися величинами, геометрию же считать первой частью (предшествующей, напр., механике) «прикладной» М., применяющей результаты «чистой» М. и вырабатывающей свои методы для специального изучения геометрич. фигур и геометрич. преобразований. На следующем этапе развития такое подчинённое положение геометрии было вновь устранено.

Алгебра 17 и 18 вв. в значительной мере посвящена следствиям, вытекающим из возможности изучать левую часть уравнения F(x)=0 как функцию переменного х. Этот подход к делу позволил изучить вопрос о числе действительных корней, дать методы их отделения и приближённого вычисления, в комплексной же области привёл франц. математика Ж. Д'Аламбера к не вполне строгому, но для математиков 18 в. достаточно убедительному доказательству «основной теоремы алгебры» о существовании у любого алгебраич. уравнения хотя бы одного корня. Достижения «чистой» алгебры, не нуждающейся в заимствованных из анализа понятиях о непрерывном изменении величин, в 17—18 вв. были тоже значительны (достаточно указать здесь на решение произвольных систем линейных уравнений при помощи определителей, разработку теории делимости многочленов, исключения неизвестных и т. д.), однако сознательное отделение собственно алгебраич. фактов и методов от фактов и методов математич. анализа типично лишь для более позднего времени (2-я половина 19 в.— 20 в.). В 17—18 вв. алгебра в значительной мере воспринималась как первая глава анализа, в к-рой вместо исследования произвольных зависимостей между величинами и решения произвольных уравнений ограничиваются зависимостями и уравнениями алгебраическими.

Создание новой М. переменных величин в 17 в. было делом учёных передовых стран Зап. Европы. В 18 в. одним из основных центров научных математич. исследований становится также Петербургская академия наук, где работал ряд крупнейших математиков того времени иностранного происхождения (Л. Эйлер, Д. Бернулли), и постепенно складывается русская математическая школа, блестяще развернувшая свои исследования с начала 19 в.
4. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА.

Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математич. анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за эти века и круг их применений к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако, помимо этого количественного роста, с последних лет 18 в. и в начале 19 в. в развитии М. наблюдается и ряд существенно новых черт.
5. История математики в 19 и 20 вв.
Начало и середина 19 в. В начале 19 в. происходит новое значительное расширение области приложений математич. анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математич. аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред, из к-рых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости была создана еще в 18 в. Д. Бернулли, Эйлером, Д'Аламбером и Лагранжем. Быстро растут и математич. запросы техники. В начале 19 в. — это вопросы термодинамики паровых машин, технич. механики, баллистики. В качестве основного аппарата новых областей механики и математич. физики усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и особенно теория потенциала. В этом направлении работает большинство крупных аналитиков начала и середины века [нем. математик К. Гаусс, франц. математики Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, нем. математик П. Дирихле, англ математик Дж. Грин, русский математик М. В. Остроградский]. Остроградский заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных, нашел (1828, опубликовано в 1831) знаменитую формулу преобразования тройных интегралов в двойные и её n-мерное обобщение (1834, опубликовано в 1838), усовершенствовал теорию замены переменных в кратных интегралах (1836, опубликовано в 1838), получив по существу те результаты, к-рые были для общего n-мерного случая компактно формулированы позднее (1841) нем. математиком К. Якоби (см. Якобиан). В результате исследований по уравнениям математич. физики в работах англ. математиков Дж. Стокса и др. возникает векторный анализ (одной из основных формул к-рого, впрочем, являлась по существу и упомянутая формула Остроградского).

Несмотря на господствовавшее в естествознании начала 19 в. механистич. убеждение в возможности описать все природные явления дифференциальными уравнениями, под давлением запросов практики получает значительное дальнейшее развитие теория вероятностей. Лаплас и Пуассон создают с этой целью новый мощный аналитич. аппарат. В России применением теории вероятностей к приёмочному контролю и статистике занимаются М. В. Остроградский и В. Я. Буняковский; П. Л. Чебышев даёт строгое обоснование элементов теории вероятностей и доказывает свою знаменитую теорему (1867), объединившую в одной общей формулировке известные ранее формы больших чисел закона.

Как уже отмечалось, наряду с развитием работ, возникших из новых запросов естествознания и техники, чрезвычайное внимание математиков с самого начала 19 в. привлекают вопросы строгого обоснования анализа. Коши опубликовал в 1821 и 1823 читанные в Политехнической школе лекции, содержащие строгое изложение теории пределов, теории рядов, определение понятия непрерывности функции и основанное на теории пределов изложение дифференциального и интегрального исчисления (в частности, теорему о существовании интеграла от непрерывной функции). Нек-рые дополнения к этому изложению, а также теорема о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений были опубликованы позднее. Лобачевский (1834) и, позднее, Дирихле (1837) отчётливо сформулировали определение функции, как совершенно произвольного соответствия. Дирихле доказал (1829, 1837) изобразимость любой функции с конечным числом максимумов и минимумов рядом Фурье; перекрывающиеся (в смысле общности) условия сходимости рядов Фурье дал Лобачевский (1834—35). Выше уже отмечалась работа датского землемера Весселя, содержавшая геометрич. интерпретацию комплексных чисел, но она осталась незамеченной. В 1799 Гаусс опубликовал первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного многочлена на действительные множители первой и второй степени) Лишь значительно позже (1831) Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел. Тем временем Арган опубликовал в 1806 теорию комплексных чисел с их геометрич. интерпретацией и доказательством леммы Д'Аламбера, а в 1815 — доказательство основной теоремы алгебры, близкое по идее к доказательству Коши (1821).

На основе ясного понимания природы комплексных чисел возникает теория функций комплексного переменного. Гаусс очень много знал в этой области, но почти ничего не опубликовал. Общие основы теории были заложены Коши, теория эллиптич. функций была развита Абелем и Якоби. Уже на этом этапе характерно, в отличие от чисто алгоритмич. подхода 18 в., сосредоточение внимания на выяснении своеобразия поведения функций в комплексной области и основных господствующих здесь геометрич. закономерностей (начиная с зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от расположения особых точек, открытой Коши). Этот в известном смысле слова «качественный» и геометрич характер теории функций комплексного переменного ещё усиливается в середине 19 в. у нем. математика Б. Римана (см.). Здесь оказывается, что естественным геометрич. носителем аналитич. функции в случае её многозначности является не плоскость комплексного переменного, а соответствующая «риманова поверхность» — образование, природа к-рого может быть понята лишь в рамках нового понимания геометрии, о к-ром говорилось выше. Хотя нем. математик К. Вейерштрасс достигает той же общности, что и Риман, оставаясь на почве чистого анализа, геометрич. идеи Римана оказываются в дальнейшем всё более определяющими весь стиль мышления в области теории функций комплексного переменного.

В период увлечения теорией функций комплексного переменного крупнейшим представителем интереса к конкретным вопросам теории функций в действительной области является П. Л. Чебышев. Наиболее ярким выражением этой тенденции явилась созданная (начиная с 1854) Чебышевым, исходившим из запросов теории механизмов, теория наилучших приближений.

В алгебре после уже упомянутого доказательства неразрешимости в радикалах общего уравнения пятой степени (Руффини и Абель) франц. математик Э. Галуа показал, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах зависит от свойств связанной с уравнением группы Галуа. Задача общего абстрактного изучения групп ставится Кэли. Следует отметить, что даже в алгебре всеобщее признание значения теории групп произошло только после работ франц. математика К. Жордана в 70-х гг. От работ Галуа и Абеля берёт своё начало также понятие поля алгебраич. чисел, приведшее к созданию новой науки — алгебраич. теории чисел.

На существенно новую ступень поднимается в 19 в. и разработка старых задач теории чисел, связанных с простейшими свойствами обычных целых чисел. Гаусс разрабатывает (1801) теорию представимости чисел квадратичными формами, Чебышев получает (1848, 1850) основные результаты о плотности расположения в натуральном ряде простых чисел, Дирихле доказывает (1837) теорему о существовании бесконечною числа простых чисел в арифметич. прогрессиях, и т д.

Дифференциальная геометрия поверхностей создаётся К. Гауссом (1827) и русским математиком К. М. Петерсоном (1853). Для выработки новых взглядов на предмет геометрии основное значение, как уже было указано, имело создание Лобачевским неэвклидовой геометрии. Построив неэвклидову тригонометрию и аналитич. геометрию, он дал по существу всё необходимое для установления совместности и полноты системы аксиом этой новой геометрии. Параллельно развивалась, долгое время независимо от неэвклидовой геометрии, проективная геометрия (франц. математик Ж. Понселе, швейцарский математик Я. Штейнер, нем. математик X. Штаудт и др.), также связанная с существенным изменением старых взглядов на пространство. Нем. математик Ю. Плюккер строит геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые, нем. математик Г. Грасман создаёт аффинную и метрич. геометрию n-мерного векторного пространства.

Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхностей дифференциальная геометрия по существу также освобождается от неразрывной связи с геометрией Эвклида: то, что поверхность лежит в трёхмерном эвклидовом пространстве, является для этой теории случайным обстоятельством. Исходя из этого, Риман создаёт (1854, опубликовано 1866) концепцию n-мерного многообразия с метрич. геометрией, определяемой дифференциальной квадратичной формой ds2=Уaikdxidxk Этим было положено начало общей дифференциальной геометрии n-мерных многообразий. Риману же принадлежат и первые идеи в области топологии многомерных многообразий.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ДО 19 в
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации