Электродинамика и оптика - файл n1.doc

приобрести
Электродинамика и оптика
скачать (2557 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2557kb.13.09.2012 18:46скачать

n1.doc

  1   2   3
  1. Электродинамика и оптика.


3.1Электростатическое поле. Закон Кулона. Теорема Гаусса. Мультипольное разложение потенциала.

– заряд, источник поля, связанный с мат. носителем, – объемная плотность заряда. плотность тока, – скорость объемной структуры зарядов.

, – ток зарядов через ограничивающую их поверхность.

Закон Кулона: сила взаимодействия 2 точечных покоящихся зарядов определяется как:

,

где – сила, действующая на заряд. Напряженность , создаваемая зарядом в точке , равна .

Рассмотрим поток электрического поля, создаваемого зарядом через произвольную ограничивающую его поверхность :

.

– следствие из теоремы Кулона.

Из теоремы Гаусса: , поэтому

.

Равенство выполнено для любого объема , следовательно:

дифференциальный закон Кулона.

Мультипольное разложение потенциала.

В электростатике уравнение для потенциала:

Решение этого уравнения через запаздывающий потенциал: ,

где – потенциал в точке , созданный объемной структурой зарядов . – переменная интегрирования, пробегающая область расположения распределенного заряда . малый параметр. Разложим в ряд по малому параметру до квадратичного члена:

Потенциал принимает вид: ,

где , – дипольный момент, - тензор квадрупольного момента.
3.2Статическое магнитное поле. Закон Био-Савара-Лапласа. Электромагнитная индукция.

Приближение линейного проводника ( – квадрат длины, – площадь поперечного сечения, – элементарный участок проводника).

Закон Био-Савара-Лапласа:



Ток в линейном проводнике: , где – сечение проводника. Отсюда

.

Пусть . Тогда .



т.е. , следовательно, выражение для напряженности магнитного поля принимает вид:


– поле, создаваемое круговым током с плотностью в точке .

Электромагнитная индукция.

Эксперимент Фарадея: , где – незамкнутая поверхность, натянутая на контур .

По формуле Стокса , и, в силу произвольности ,


3.3Уравнения Максвелла в вакууме. Скалярный и векторный потенциал. Калибровочная инвариантность.



Вихревое магн. поле создается меняющимися электрическими токами, вихревое электрическое создается меняющимися магнитными и направлено так, чтобы скомпенсировать изменение магнитного поля.

Магнитных зарядов не существует, а электрическое поле создается электрическими зарядами.

Т.к. , то , где наз. векторным потенциалом.



скалярный потенциал.

Подставим уравнения для потенциалов в уравнения Максвелла:

а)



Произведем калибровку Лоренца: , отсюда

.

б) Подействуем оператором на уравнение для скалярного потенциала :

, следовательно



Таким образом, уравнения для потенциалов имеют вид:



Калибровочная инвариантность



определен с точностью до градиента :

.

Тогда .

Обозначив , получим .

Таким образом, преобразование ничего не меняет: потенциалы и определяют те же поля, что и потенциалы и :



Это свойство называется калибровочной инвариантностью.
3.4Энергия электромагнитного поля. Вектор Умова-Пойнтинга.





Подставляя сюда выражения из ур-й Максвелла, получаем:



плотность энергии электромагнитного поля.

вектор Умова-Пойнтинга.

Таким образом, закон сохранения энергии поля принимает вид: (1)

Энергия уходит на совершение работы и на излучение .

Вектор Умова-Пойнтинга – суть энергия, проходящая в ед. времени через ед. площади. Пусть система из зарядов заключена в объеме , тогда . ,сила Лоренца. ,

– кинетическая энергия заряженной частицы. Интегрируя закон сохранения энергии по объему, получим:

, где – энергия поля в объеме .

3.5Излучение э/м волн в электрическом дипольном приближении.



Уравнения для потенциалов:

,где .

Решение в виде запаздывающих потенциалов:

.

Приближения: , ( – длина волны, – характерный размер области, в которой содержатся заряды). Случай излучения в волновой зоне:

В выражениях для потенциалов разложим подынтегральные части в ряд: .

, где . Тогда:



Здесь , – локальное запаздывание внутри зоны зарядов, – период колебания зарядов.

Обозначим .

Тогда:

монополь

дипольное приближение

квадрупольный член разложения

.

Из выражения для потенциалов: .

Итак, для излучения в дипольном приближении:





Здесь , , – малая по сравнению с величина.



Здесь .

Итак, в случае дипольного приближения:



Интенсивность излучения


.

угловое распределение интенсивности.
Полная интенсивность: .
.
3.6Уравнения Максвелла в среде. Материальные уравнения. Комплексная диэлектрическая проницаемость и показатель преломления, их пространственная и временная дисперсия.

Микроскопические уравнения для вакуума:



Закон сохранения заряда:

,где и – плотность тока и собственно плотность свободных зарядов. Для каждой отдельной частицы:

.

Усредним:

Введем обозначения:

Представление в виде вихря: .

Итак,

Векторы и связаны с наличием вещества, но сами определены неоднозначно. Положим вне вещества .

плотность тока поляризации

плотность тока намагниченности

Усредним уравнения Максвелла:



Обозначим





Введя обозначения , получим



Материальные уравнения



При неизменных внешних условиях: , разлагая в ряд, получим:

В наиболее распространенных случаях .

Условия применимости:

1) Неподвижность вещества;

2) Постоянство внешних параметров;

3) Малость внешних полей по сравнению с полями внутри атомных систем;

4) Однородность и изотропность вещества.

Комплексная .



Пусть .

Тогда: , комплексную часть можно формально включить в ток смещения:



Пусть в одноатомном нейтральном газе распространяется плоская монохроматическая волна:



Происходит поляризация атомов среды и в ней возникает переменный электрический дипольный момент – возникает вектор поляризации:





Определим , исходя из осциллирующей модели атома:



Обозначим :

,

где .



Рассмотрим частное решение в установившемся режиме: .




Пусть .

Вспоминая, что

,

обозначим



пространственная и временная дисперчия и показатель преломления?
3.7Диэлектрики, магнетики, проводники, сверхпроводники и их электромагнитные свойства.

1. Диэлектрики

При помещении диэлектрика во внешнее электростатическое поле происходит поляризация – внутри объема диэлектрика и на его поверхности может возникнуть ненулевая плотность связанных зарядов. Поэтому при взаимодействии связанных зарядов между собой и со внешним электростатическим полем возникает объемная электрическая сила, которая стремиться деформировать диэлектрик и сместить его в пространстве. Данная объемная сила вычисляется по формуле:

,

где массовая плотность вещества: , – сила, действующая со стороны поля на свободные заряды, – сила, действующая в результате неоднородности диэлектрика, – неоднородность внешнего поля.

Силу можно выразить через тензор натяжений Максвелла:

.

Тогда .

Полная сила получается интегрированием по объему диэлектрика:


(при выводе использовалась формула Остроградского-Гаусса-Стокса, третье равенство).



2. Проводники

В электростатике на границе=0 , т.к. тока нет и , – нормаль. Обычно стрикционный член после интегрирования вклада не дает:





На поверхности проводника



Тогда

.

3. Магнетики

Аналогично диэлектрикам, объемная сила, действующая на магнетик, вычисляется по формуле:


Тензор натяжений в этом случае:



Полная сила:



4. Сверхпроводники

Пусть сверхпроводник помещен в поле . Тогда внутри него поля нет (сверхпроводник его вытесняет), поэтому магнитные линии не проникают внутрь сверхпроводника, а огибают его по касательной. Также как было сделано для обычного проводника в -поле, имеем:

при малой стрикции:

Огибание полем проводника:



Отсюда поверхностная сила:



и полная сила

, т.е. ,
где – нормаль из сверхпроводника.
3.8Квазистационарное приближение. Скин-эффект.

– вообще говоря, зависят от времени, т.е. имеют некоторое характерное время изменения . Этой зависимостью можно пренебречь при определенных ограничениях (квазистационарное приближение):

1. Характерный размер области, в которой рассматривается процесс, значительно меньше длины волны поля:

В этом случае во всех точках области поле будет иметь одинаковую фазу.



– время запаздывания поля мало по сравнению с периодом .

2. Частота изменения поля достаточно мала, так что можно пренебречь зависимостью характеристик среды от частоты:

.

Данное условие выполнено, когда время свободного пробега электрона в среде значительно меньше периода изменения поля..

3. Ток проводимости существенно превосходит ток смещения:



Оценим , отсюда

.

Таким образом, уравнения Максвелла в квазистационарном приближении:





(из закона сохранения заряда)


, , .
Это уравнения для поля в квазистационарном приближении. Причем, для решения задач достаточно вычислить только одну из величин (остальные выводятся из найденного).
Скин-эффект.
Рассмотрим скин-эффект на примере среды, половина которой заполнена вакуумом, а вторая половина – проводящим веществом.


Пусть из вакуума падает волна
.
Граничные условия: .

Ищем решение в среде II в виде . Так как подчиняется уравнению поля в квазистационарном приближении, то . Гр. условия:

Будем искать решение в виде: .




После подстановки в уравнение оказывается, что , где , тогда

.
Если предположить, что в среде есть поглощение, то . Учитывая гр. условия:

Волна заметна только в граничном слое толщиной . Вектора и находятся следующим образом:

3.9Основы СТО. Преобразования Лоренца.

Пусть есть две системы координат, которые были совмещены в начальный момент времени: .

В момент времени отправляем систему в путешествие вдоль оси со скоростью ; одновременно из общего начала координат выпускаем сферическую волну. В системе («неподвижная») мы увидим сферическую волну, поверхность постоянной фазы которой удовлетворяет уравнению: .

В движущейся с.к. видна та же сферическая волна, но ее поверхность постоянной фазы определяется уравнением: .

Найдем нелинейное преобразование координат-времени, которое будет сохранять величину :

a) так как движется вдоль оси , то вдоль других осей изменений не происходит: .

б) координата плоскости в системе равна , можно искать преобразование в самом общем виде: ;

в) линейное преобразование времени: .

Интервал должен сохраняться:

.

Так как это тождество (выполняется при всех и ), то:



Итак, преобразования Лоренца:

.

Преобразование длины: в системе покоится линейка длины .

.

При одновременном измерении в , , тогда

– линейка укорачивается.

Запаздывание времени: пусть в системе в одной и той же точке произошли последовательно два события в моменты времени и . Собственное время

,

при этом . Тогда , т.е. время растягивается.

Преобразование скоростей: пусть частица движется со скоростью , а скорость системы K' равна .

Преобразования Лоренца в дифференциальной форме: ,

тогда, так как , то

.
  1   2   3


Электродинамика и оптика
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации