Белых С.А. Планковская физика - файл n1.doc

приобрести
Белых С.А. Планковская физика
скачать (2296.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2297kb.13.09.2012 18:38скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7

ОПРЕДЕЛЕНИЯ:

1) Квазитригонометрия - это раздел математики, в котором рассматривается полное расширение тригонометрических соотношений для пространства Минковского на плоскости.


2) Под пространством Минковского будем понимать сечения -мерного пространства плоскостью, в котором линии равного потенциала образуют кривые Минковского, в свою очередь представляющие распространение кривых Ферма для первого квадранта симметрично и на три других квад­ранта (рис. к.1) [19].



Рис. к.1. Кривые Минковского и Ферма

3) Радиус единичной окружности в пространстве Минковского в декартовых координатах имеет обозначение R(2), в полярных - примем обозначение (2)(). Так как далее будем рассматривать только плоские геометрии, то для упроще­ния написания принадлежность радиусов к плоскости опустим и введем обо­значения: R(2) = R, (2)() = (), R = ().

КВАЗИТРИГОНОМЕТРИЯ. В основе плоской тригонометрии лежит уравне­ние окружности или тригонометрического круга единичного радиуса с центром в начале прямоугольных координат на плоскости  (см. рис. к.1):

(к.1)                2 + 2 = 1, 0    1, 0    1.

Вводя на плоскости переменных  полярные координаты ,  по формулам

(к.2)                 = ()cos(),  = ()sin(), 0    /2,           

кривую (1) можно задать параметрическими уравнениями

(к.3)                () = ()cos(), () = ()sin(),

где ,  - полярные координаты точки (, ) кривой

(к.4)                2() + 2() = 1.

Подставив уравнение (3к) в уравнение (4к), найдем полярное уравнение кривой (1)

 (к.5)               () = (sin2 + cos2)-1/2, 0    /2.

Рассмотрим при каждом вещественном положительном  более общее урав­нение, в которое уравнение (1к) входит как частный случай,

(к.6)                 +  = 1, 0    , 0    1, 0    1.

Вводя на плоскости переменных полярные координаты ,  по формулам (к.2) кривую (6к) можно задать параметрическими уравнениями (к.3), но чтобы не было совпадения этих уравнений для случаев, когда   2, введем общую форму написания пара­метрических уравнений с индексом  при переменных, который указывает на их связь с уравнением         -степени в прямоугольных координатах, то есть

(к.7)                () = ()cos(), () = ()sin(),

где ,  - полярные координаты точки (, ) кривой

(к.8)                () + () = 1, 0    , 0    1, 0    1, 0    /2.

Форма написания уравнения (к.8) является смешанной - полярно-прямоуголь­ной, исключающей по сравнению с уравнением (к.6) наличие для данного угла  более одного решения. Подставляя (к.7) в (к.8), получим поляр­ное уравнение кривой (к.6)

(к.9)                () = (sin + cos)-1/, 0    /2.

При  = /4 из (к.9) следует   

(к.10)              () = 2(-2)/2.

Обозначив разность проекций и радиусов как ∆ =  - 2, ∆ =  - 2, ∆ =  - 2, получим, что при 0    /2

(к.11)                = 2 ± ∆ = 1 ± (∆2 + ∆2)1/2,

 (при  < 2 будем иметь минус, а при  > 2 - плюс).

Следующее выражение


(к.12)              () = [(1 +  /) + (1 + /)),

является другим представлением () через катеты  и .

Функцию (к.7), в которой () вычисляется по формуле (к.9), предлагается называть  квазитригонометрической и обозначать

(к.13)              sin() = sin()/(sin() + cos)1/2, cos() = cos()/()/(sin() + cos)1/2

ввиду того, что из (к.7) и (к.13) следует

(к.14)              sin2() + cos2() = 2(),

или

(к.15)              () + () = 2(),

При  = 2 имеем

(к.16)              sin()  = sin(), cos() = cos(), () = 1.

Важный вывод:

Уравнение любой степени с двумя неизвестными на плоскости сводится к уравнению второй степени.

Расстояние из начала координат до точек кривых (кроме  = 2) является вели­чиной переменной, назовем это расстояние функциональным радиусом (рис. к.2).



Рис. к.2. Изменение функционального радиуса

Показатель степени  может принимать любое вещественное значение. При  = 0, 1/2, 1, 2,  функциональный радиус описывает ряд кривых Минковского, которые отметим как частные решения уравнения (к.6), а между ними при 0    /2, будем иметь последовательно изменения ():

от 0 до 21/2/4, от 21/2/4 до 21/2/2, от 21/2/2 до 1, от 1 до 21/2.                      

Если 0 ? ? ? 1, 0 ? ? ? 1, то для каждого  кривая (к.8) уникальна, если же в уравнение (к.8) ввести переменные больше 1, то для каждой кривой меньше 1, будем иметь семейства кривых больше 1.

Положим ?? = а/с, ?? = ??2(?), тогда из (к.7), (к.8), (к.15) следует

(к.17)              a?2(?) + b?2(?) = с?2(?) · ??2(?),

где: a?, b?, с? - числа ? 1; a? = ?? ; b? = ??·с?.

Числа a?, b?, с? при каждом вещественном положительном  являются реше­ниями уравнения    

(к.18)              a(?) + b(?) = с(?) ,

в котором 1  а , 1  b , 1  c . Отметим, что кривая (к.18) тождественна кривой (к.17). На плоскости переменных аb пересечение луча из начала координат с кри­выми (к.14) и (к.17) дают точки (??, ??), (?2, ?2), (a, b), (а2, b2). Эти точки нахо­дятся в свойстве подобных треугольников (рис. к.3), в которых

(к.19)              ?(?)/?2(?)=?(?)/?2(?)=а(?)/а2(?)=b(?)/b2(?)=c(?)/c2(?)=??(?)/?2(?)=??(?).



Рис. к.3. Решения меньше и больше единицы.

Лемма 1. Значение функционального радиуса ??(?) для кривой (к.17) иррациональ­но для любого  > 2, если принять, что а и b целые числа и угол ? изменяется от 0 до /2.

Доказательство. Из (к.9) и (к.16) при  > 2 следует, что ??2(?) число не целое, следовательно, оно может быть рациональным или иррациональным. Для опре­деления вида ??2(?) используем то, что в левой части уравнения (к.17) представ­лена сумма квадратов целых чисел. В работе [19] для них дан красивый вывод давно известных соотношений

(к.20)              b = m2 - n2, с = m2 + n2, а = 2mn,

где m и n - целые числа.

На плоскости ab (рис. к.4, к.5, к.6) точки (amn, bmn) лежат на определенных пересечениях прямых, выходящих из начала координат,

(к.21)              b = a·n(n + 2) / 2(n + 1)

и гипербол

(к.22)              b = 2m2·(n + l)·(n + 2) / а·n ,

совместное решение уравнений, для которых дает новые зависимости

(к.23)              а = 2(1 + 1/na)   и   b = 2(1 + 1/nb),

(к.24)              [na(na + 2)]2 + [2(na + 1)]2 = с2 · na2 / m2 ,

где:      m - целое число большее 0, n = m;

na - все целые от 1 до 2mn, на которые целочисленно делится число 2m, и дробные больше 21/2, у которых знаменатель, умноженный на 2, - одно из целых na, и числитель и знаменатель - простое из целых na, (см. табл. к.1);

(к.25)              nb = 2 / na.

Зависимость (к.24) по форме совпадает с (к.17). Если принять, что

(к.26)              a2(?)  = [na(na + 2)]2, b2(?)  = [2(na + l )]2, c2(?)  = с2,

тогда

(к .27)             ??2(?) = na2 / m2 ,

и остается рассмотреть действительные пересечения областей ??2(?) и na2/m2. Так как по условию леммы 1 а и b целые числа, то из (к.26) следует, что n -целое. Таким образом, отношение na/m будет состоять из na = 2m, m, ... , 2,1; m = 1, 2, 3, ....



Рис. к.4. Поле целых чисел с = (a2 + b2)1/2

 



Рис. к.5. Большое поле целых чисел



Рис. к.6. Логарифмическое поле целых чисел

Таблица к.1



Рассмотрение значений ??2(?)  начнем с максимальных значений na, содержа­щих m:

1) при na1 = 2m: ??2(?) = 4m2/m2 = 4, что больше максимального значения ??2(?)|? = 45 = 2;

2) при na2 = m: ??2(?) = m2/m2 = 1, что соответствует ?22(?)|? = 45 = 1 (по условию  = 2 исключено из рассмотрения).

В итоге, в пределах 2 <  < ? функциональный радиус ??2(?)  лежит вне целых и рациональных значений na2/ m2, то есть ??2(?)  иррационально.

Лемма 2. Значение функционального радиуса ??(?)  для кривой (к.20) иррацио­нально для любого  в пределах 1<<2, если принять, что а и b целые числа и что угол ? изменяется от 0 до /2.

Доказательство. В лемме 1 определены значения ??2(?)  для n1 с результатом 4, а для n2 с результатом 1. И для продолжения доказательства необходимо определить n3 - следующее ближайшее к n. Эмпирически из таблицы 1 для n3 найдено выражение

(к.28)              n3 = 2m / Н ,

где Н - наименьшее число натурального ряда чисел, являющееся делителем числа 2m, до получения целого числа, меньшего чем m.

При использовании зависимости (к.28) будем иметь:

3)   при Н = 1: ??2(?) = (2m/n)2 /m2 = 4 - рассмотрено в лемме 1;

при Н = 2: ??2(?) = (2m/n)2 /m2 = 1, - рассмотрено в лемме 1;

при Н = 3: ??2(?) = (2m/n)2/m2 = 4/9, что меньше значения ??2(?) )|? = 45 = 1/2, то есть      внутри области изменения  ??2(?) при 1 <  < 2 не имеется ни одного рационального значения дроби n2/ m2.

В итоге, в пределах 1 <  < 2 функциональный радиус ??2(?) иррациона­лен, |??(?)| = [??2(?)]1/2, тем более иррационально, что и требовалось для доказа­тельства.

В леммах 1 и 2 доказано, что функциональный радиус ??2(?)  в уравнениях (к.14) и (к.17) при изменении  в пределах 1    может принимать следующие значения:

при  = 1,  = 2,  = ? - рациональные и иррациональные;

при 1<  <2, 2 <  < ? - только иррациональные.

И если принять за аксиому утверждение о наличии обратной степенной симметрии решений (к.14) и (к.17) относительно решений при степени  = 1, то будем иметь, что функциональный радиус ??2(?) при изменении  в пределах 0 <  < 1 может принимать следующие значения: при  = 0,  = 1/2,  = 1 - рациональные и иррациональные;

Таким образом, частные решения (к.17) для значений ??2(?) разграничи­вают первый квадрант на 10 областей целых, рациональных и иррациональных числовых значений имеющих связь с конусными сечениями (рис. к.7) и с кривизной пространства (табл. к.2).

Модель конусных сечений через одну точку оказалась удобной для опи­сания вещественных и полевых объектов еще и потому, что совместила в себе траектории пространств разной кривизны: эллипсные - положительной (Римана), гиперболические - отрицательной (Лобачевского), параболические - нулевой кривизны или евклидова пространства (рис. к.7). И вследствие применения этой модели точка зрения на кванты является конусной.

Результаты квазитригонометрии распространяются на спектры атомов, золотое сечение в виде наклонов линий (на рис. к.8 они показаны в виде сплошных линий, а это не что иное, как пифагоровы числа, более сложное на этом рисунке и менее проявленное - это другие кривые, которые распространяются на строение ядер атомов), т.е. имеем те же синусы и косинусы обычной тригонометрии.

Таблица к.2





Рис. к.7. Конусные пространства кривизны и решения уравнения вида |a| + |b| = 1



Рис. к.8. Поле целых  чисел в 4-х квадрантах

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Французский математик Пьер Ферма сформулировал теорему: Диофантово уравнение  х + у = z, где  - целое число, большее двух, не имеет решений в целых и положительных числах. Еще раз отметим связь кривых Ферма с постановкой теоремы. Аппарат квазитригонометрии позволяет доказать ее следующим образом.

Уравнение х + у = z, x  1 и целое, y  1 и целое, z  1 и являющееся реше­нием, как выше установлено, тождественно уравнению второй степени

x?2(?) + y?2(?) = z?2(?) · ??2(?),

где  ??2(?) при  > 2, 0 < ? < /2 иррационально согласно леммы 1. Левая часть уравнения - это сумма целых квадратов, следовательно остается рассмотреть только правую часть. Из уравнений (к.17) и (к.19) с учетом того, что       х = а, y = b, z = c, имеем    

 z22(?) = z?2(?) · ??2(?),

где z22(?) - целое число и ??2(?) - число иррациональное. В таком сочетании z?2(?) является числом иррациональным, дополняющим в произведении так же число иррациональное до целого числа z22(?). Тогда и z?(?) = |[z?2(?)]1/2| есть число иррациональное, как корень квадратный из иррационального же числа. В итоге, в уравнении х + у = z при  > 2 число z - всегда иррационально, то есть не целое, что и требовалось для доказательства теоремы Ферма.

Спектры атомов

Уравнение х + у = z, как выше было установлено, тождественно уравнению второй степени

x?2(?) + y?2(?) = z?2(?) · ??2(?).

Вариант 1. Для спектра атома водорода это уравнение в комплексных координатах имеет следующий вид

x?2(?) + i2y?2(?) = z?2(?) · ??2(?),

где:      I = (-1)1/2  (Природа по-видимому решила задачу Ферма целочисленно, добавив в нее мнимость. Равенство  i2 = -1 исследовалось, начиная с середины 16 века, как раз в то время, когда жил Ферма..);

            примем, что z?2(?) = x?2(?)· y?2(?), тогда ??2(?) = 10-8R·?Z;

            R - постоянная  Ридберга;

            ?Z  - длина волны.

Вариант 2. Имеем следующие уравнения пифагоровых чисел

b = m2 – n2, с = m2 + n2, а = 2mn.

а/b = 2mn / (m2 – n2)  - коэффициент наклона линии, в котором примем, что 2=mn, 3=mn, 4=mn .., тогда получаем следующее общее уравнение

?Z = [m№линии в серии2·n№серии2 / (m№линии в серии 2-n№серии2)] / (10-8 · R?).

            Упростим формулу до вида

?Z = [j2 / (j 2-i2)] · i2 / (10-8 · R?),

где:      I – номер серии; i=1, 2, 3, .. ;

j>I, j=2, 3, 4, .. – номер линии в серии.

            Обозначим [j2 / (j 2-i2)] = kл , коэффициент линии в своей серии, тогда будем иметь  ?Z = kл · i2 / (10-8· R?), при kл = 1 будем иметь нижнюю границу серии  I [33].

            Для водорода расчет энергии кванта W? производится по формуле

W?  = 13,6[eV] / kл,

расчет энергии ионизации кванта Ɛиониз? производится по формуле,

Ɛиониз? = 13,6[eV] / kиониз.,

где kиониз. – коэффициент ионизации,  kиониз. = j2 / (j 2- 1).

            И здесь наблюдаются интересные соотношения, когда степень меняется на единицу

(WH?1=13,6эВ)3,61055168983981  = ch / q

(WH?1=13,6эВ)2,61055168983981 = 108 / R?

(WH?1=13,6эВ)1  = chR? / 108q

Водород 1Н

Логарифмический спектр атома водорода, цифрами указана линия начала серии



*Красным цветом обозначены табличные линии, в каждой серии по 36 линий, зеленым цветом линии отсутствующие в таблице спектральных линий. Данные сопоставления исходных и расчетных линий приведены в таблице к.3.

Таблица к.3





*Следует отметить, что в серии Бальмера присутствует 34 линии – это очень много (видимый спектр).

** Отметим, что отклонение в каждой серии почти одинаково и по теории Бора введено много поправочных коэффициентов, один из них соответствует отношению         (1836+1)/1836=1,000544, и другое отношение 

(1836·2+1)/(1836·2)=1,000272, учитывающих массы протона и электрона в атоме [33, 24].

Гелий 4He    

Логарифмический спектр атома гелия, цифрами указана линия  начала серии для ионизированного атома гелия с одним электроном как у водорода



* Данные сопоставления исходных и ближайших расчетных линий (в формулы вводится коэффициент равный атомному номеру элемента в квадрате, для гелия это будет четыре [33])  для электрона II приведены в таблице к.4.

Таблица к.4





Логарифмические укороченные спектры (до 8 линий в серии) водородоподобных атомов первых 36 элементов таблицы Менделеева



Зависимость энергии кванта от длины волны (до 8 линий в серии) водородоподобных атомов первых 36 элементов таблицы Менделеева



Укороченные линейные спектры (до 8 линий в серии) первых 5 элементов таблицы Менделеева с проявленным коэффициентом линии kл в виде ее ширины



 Следует отметить, что серии первого элемента 1H проходят чище, т.к. первые две серии линий более сжаты, а на третью уже заходят линии с четвертой серии, последующие серии расширяются, захватывая пространство предыдущих серий.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

В литературе [18] показано, что золотое сечение лежит в основе скульптуры, архитектуры, музыки, биологии, искусства, творчества и представляет собой фундаментальный закон гармонии.

Золотое сечение в физике является продолжением рассмотрения свойств пространства, как свойств взаимозаменяемости круга  полярной системы координат или времени, и длины  прямоугольной системы координат.

Представим полярную и декартову систему координат одним квадрантом в золотом сечении следующим видом, показанном на рисунке из  [18, с. 307] (это построение идет из глубокой древности).

Имеем пересечение единичной окружности и квадрата, в котором отрезок b = 2а. Для точки пересечения квадрата и окружности имеем соотношение а2 + b2 = с2 = R2 =1, если в это уравнение вставим b = 2а, получим (рис. z.1)





Рис. z.1. Круговая квадратура круга и золотое сечение

Угол  составляет



Задача состояла в том, чтобы найти зависимость золотого сечения для линейной и круговых координат, или в согласовании длины и градусов.

Рассмотрим диагональную симметрию площади квадрата, вычисляемую через половину его диагонали (рис. z.2). Первое, что проявилось в этом построении  это наклон линий сGh-сектора, для линий квантов 1/4, для линий масс покоя 1/3 и для линий черных дыр 1/2. Из этого следовало, что это не простое построение, а содержащее в себе элемент логарифмического пространства.



Рис. z.2. Линейная квадратура круга или физическая линия

Физическая линия с виду конечна, хотя в своем построении бесконечна. Здесь все наоборот. Не в бесконечности линии элементарность точки, а в бесконечности точки элементарность линии.



Некоторые числовые соотношения Ф и S



Число S определяется числом Ф, деления окружности на сектора, наименьший сектор определяет размер 1 градуса.

где:      Ф  градусная система измерения (полярная система координат);

2S2  два элементарных квадрата образующих золотое сечение;

S  элемент элементарной длины (прямоугольной системы координат).

На следующих рисунках отметим квадратичную аналогию физической точки с таблицей Менделеева.



Физическая точка
1   2   3   4   5   6   7


ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации