Лекции по физике - файл n1.doc

Лекции по физике
скачать (329.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc5022kb.20.09.2001 20:08скачать

n1.doc

1   2   3   4

II. Квантовые свойства электромагнитного излучения

Лекция 7. Тепловое излучение и его характеристики

7.1. Равновесное тепловое излучение

Тепловым излучением называется электромагнитное излучение, испускаемое телами за счет их внутренней энергии.

В этом случае энергия внутренних хаотических тепловых движений частиц непрерывно переходит в энергию испускаемого электромагнитного излучения.

В обычных условиях, при комнатной температуре (Т=300 К), тепловое излучение тел происходит в инфракрасном диапазоне длин волн ( 10 мкм), недоступным зрительному восприятию глаза. С увеличением температуры светимость тел быстро возрастает, а длины волн смещаются в более коротковолновую область. Если температура достигает тысяч градусов, то тела начинают излучать в видимом диапазоне длин волн (=0.40.8 мкм).

Нагретое тело за счет теплового излучения отдает внутреннюю энергию и охлаждается до температуры окружающих тел. В свою очередь, поглощая излучение, могут нагреваться холодные тела. Такие процессы, которые могут происходить и в вакууме, называют радиационным теплообменом.

Если излучающее тело окружить оболочкой с идеально отражающей поверхностью, то через некоторое время эта система придет в состояние теплового равновесия.

Равновесным тепловым излучением называют излучение, при котором расход энергии тела на излучение компенсируется энергией поглощенного им излучения для каждой длины волны.

Из всех видов излучения только тепловое излучение может находиться в равновесии с излучающими телами.

Следует отметить, что равновесное тепловое излучение не зависит от природы тел, а зависит только от его температуры.

7.2. Энергетическая светимость. Испускательная и поглощательначя способности. Абсолютно черное тело

Энергетическая светимость тела RТ, численно равна энергии W, излучаемой телом во всем диапазоне длин волн (0<<) с единицы поверхности тела, в единицу времени, при температуре тела Т, т.е.

(1)

Испускательная способность тела r численно равна энергии тела dW, излучаемой телом c единицы поверхности тела, за единицу времени при температуре тела Т, в диапазоне длин волн от до +d, т.е.

(2)

Эту величину называют также спектральной плотностью энергетической светимости тела.

Энергетическая светимость связана с испускательной способностью формулой

(3)

Поглощательная способность тела ,T - число, показывающее, какая доля энергии излучения, падающего на поверхность тела, поглощается им в диапазоне длин волн от до +d, т.е.

. (4)

Тело, для которого ,T=1 во всем диапазоне длин волн, называется абсолютно черным телом (АЧТ).

Тело, для которого ,T=const<1 во всем диапазоне длин волн называют серым.

7.3. Закон Кирхгофа

Отношение испускательной способности тела rк его поглощательной способности ,T не зависит от природы тела и является для всех тел универсальной функцией длины волны и температуры, равной испускательной способности АЧТ, т.е.

. (5)

Отсюда следует, что тело, которое сильнее поглощает какие-либо лучи, будет сильнее эти лучи и испускать.

7.4. Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела

Абсолютно черных тел в природе не существует. Его функции может выполнять малое отверстие в почти замкнутой полости (см. рис. 1). Излучение, прошедшее внутрь этого отверстия, прежде чем выйти обратно из отверстия претерпевает многократные отражения и практически полностью поглощается. Поэтому поглощательная способность для него ,T=1 и по закону Кирхгофа (5) испускательная способность r такого устройства очень близка к испускательной способности АЧТ r0. r0 4



3


2


Рис.2

1

Рис. 1

0 1 3

Таким образом, если стенки полости поддерживать при некоторой температуре Т, то из отверстия выйдет излучение, весьма близкое к излучению AЧТ.

Разлагая полученное излучение в спектр с помощью дифракционной решетки и измеряя интенсивность разных участков спектра, можно найти экспериментально вид функции r 0 от (рис.2). Площадь, охватываемая кривой, дает энергетическую светимость АЧТ [см. формулу (3)]. Из рис.2 следует, что энергетическая светимость АЧТ сильно возрастает с ростом температуры, а длина волны, соответствующая максимуму испускательной способности АЧТ, с ростом температуры сдвигается в сторону более коротких волн.

7.5. Закон Стефана-Больцмана

Энергетическая светимость АЧТ пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры

, (6)

где =5.6710-8 Вт/(м2К4) - постоянная Стефана - Больцмана.

7.6. Закон смещения Вина

Длина волны, соответствующая максимальному значению испускательной способности АЧТ, с ростом температуры смещается в сторону меньших длин волн:

, (7)

где b=2.910-3 мК - постоянная Вина.

7.7. Формула Релея-Джинса. Гипотеза Планка. Формула Планка

Релей и Джинс, исходя из классической теории о равном распределении энергии по степеням свободы, и представляя тело как набор осцилляторов, получили следующую формулу для испускательной способности АЧТ

, (8)

где k - постоянная Больцмана, kT -энергия колебаний осцилляторов на длине волны .

Формула (8) удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах волн (см. рис. 2, штриховую кривую) и резко расходится с опытом для малых длин волн: при 0. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, находится в противоречии с опытом.

Устранить противоречие удалось Планку. В 1900 г. он показал, что выражение для , согласующееся с опытом, может быть получено, если предположить, что излучение испускается не непрерывно, а в виде отдельных порций. Энергия такой порции - кванта излучения, пропорциональна частоте излучения v (v=c/).

=hv, (9)

где h=6.610-34 Джс - постоянная Планка.

В результате получилось, что средняя энергия колебаний осцилляторов на частоте v не равна  =kT как в классической статистической физике, а

< > =hv/[exp(hv/kT)-1]. (10)

Исходя из этого предположения, Планк получил формулу для испускательной способности АЧТ

(11)

Выражение (11) носит название формулы Планка, она согласуется с экспериментом.

Из нее следует закон Стефана-Больцмана

. (12)

Для получения закона смещения Вина необходимо исследовать (11) на максимум. Для этого следует взять производную d/d и приравнять нулю, тогда получим

, где

7.8. Оптическая пирометрия

Оптической пирометрией называют совокупность оптических (бесконтактных) методов измерения температуры. При этом используются законы теплового излучения.

Лекция 8. Квантовые свойства электромагнитного излучения

1. Фотоны, энергия, масса и импульс фотона

Чтобы объяснить распределение энергии в спектре теплового излучения Планк допустил, что электромагнитные волны испускаются порциями (квантами). Эйнштейн в 1905 г. пришел к выводу, что излучение не только испускается, но и распространяется и поглощается в виде квантов. Этот вывод позволил объяснить все экспериментальные факты (фотоэффект, эффект Комптона, и др.), которые не могла объяснить классическая электродинамика, исходившая из волновых представлений о свойствах излучения.

Таким образом, распространение света следует рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток локализованных в пространстве дискретных частиц, движущихся со скоростью с распространения света в вакууме. Впоследствии (в 1926 г.) эти частицы получили название фотонов. Фотоны обладают всеми свойствами частицы (корпускулы).

1. Энергия фотона

=hv= , (1)

где h=6.610-34 Джс - постоянная Планка,=h/2=1.05510-34 Джс также постоянная Планка, =2v - круговая частота.

В механике есть имеющая размерность "энергиявремя" величина, которая называется действием. Потому постоянную Планка иногда называют квантом действия. Размерность , совпадает, например, с размерностью момента импульса (L=r mv).

Как следует из (1) энергия фотона увеличивается с ростом частоты (или с уменьшением длины волны), и, например, фотон фиолетового света (=0.38 мкм) имеет большую энергию, чем фотон красного света (=0.77 мкм).

2. Масса фотона определяется исходя из закона о взаимосвязи массы и энергии (Е=mc2)

(2)

3.Импульс фотона. Для любой релятивиской частицы энергия ее Поскольку у фотона m0=0, то импульс фотона

(3)

т.е. длина волны обратно пропорциональна импульсу.
8.2. Давление света

сdt Пусть на прощадку dS падает и поглощается свет. За время dt

dS на площадку dS попадут все фотоны находящиеся в объеме dV=cdtdS. Их число N=ndV =n cdtdS, где n - oбъемная плотность

фотонов (число фотонов в единице объема). Эти фотоны

передадут площадке импульс dР=pN=(hv/c) n cdtdS и создадут давление

Па (5)

где w- объемная плотность падающей электромагнитной энергии, измеряется в Дж/м3 (Дж/м3м/м3=Н/м2=Па).

При полном отражении света давление удваивается Р=2w, при отражении с коэффициентом =(1+ )w. (6)

8.3.Внешний фотоэффект и его законы. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

Испускание электронов веществом под действием света называется внешним фотоэффектом.

C А.Г. Столетов (1988 г.) экспериментально исследовал фотоэффект.


-
Схема опыта представлена на рис.1. Плоский конденсатор, одной из пластин,которого служила медная сетка С, а в качестве второй

цинковая пластина К, был включен через гальванометр G в цепь

аккумуляторной батареи. Напряжение между пластинами

Рис.1. измерялось вольтметром. При освещении отрицательно заряженной пластины К светом, в цепи возникал электрический ток, называемый фототоком.

На рис. 2. приведены зависимости фототока I от напряжения U между электродами при различных интенсивностях света (энергетической освещенности E) .

Столетов установил следующие закономерности внешнего фотоэффекта:

I 1. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов

Iнас1 E2 определяется частотой света и не зависит от его

интенсивности.

Iнас2 2. Для каждого вещества (катода) cуществует красная

граница фотоэффекта, т.е. минимальная частота

v0, при которой еще возможен фотоэффект.

-U0 Рис.2 U 3.Фототок насыщения пропорционален

энергетической освещенности Е катода.

Первые два закона не удается объяснить на основе классической теории, согласно которой вырывание электронов из катода является результатом их "раскачивания" электромагнитной волной, которое должно усиливаться при увеличении интенсивности света.

Внешний фотоэффект хорошо объясняется квантовой теорией. Согласно этой теории, электрон получает сразу целиком всю энергию фотона =hv, которая расходуется на совершение работы выхода электрона из вещества (катода) и на сообщение электрону кинетической энергии:

. (7)

Это уравнение называется уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.

Из (7) следуют все законы Столетова. В частности, максимальная начальная скорость электронов определяется из соотношения , т.е зависит только от частоты v и материала катода ВЫХ).

Красная граница v0 соответствует vmax=0

hv0=AВЫХ, v0=AВЫХ/h (8)

При v>v0 (или при <0) фотоэффект наблюдается, при v0 (или при >0) - фотоэффект не наблюдается.

8.4. Эффект Комптона

Заключается в увеличении длины волны рентгеновского излучения при его рассеянии веществом. Изменение длины волны

=к(1-cos)=2кsin2(/2), (9) '

г

де к=h/(mc) - комптоновская длина волны,

m - масса покоя электрона. к=2.4310 -12 м=

=0.0243 (1 A=10-10 м). Рис. 3

Все особенности эффекта Комптона удалось объяснить, рассматривая рассеяние как процесс упругого столкновения рентгеновских фотонов со свободными электронами, при котором соблюдается закон сохранения энергии и закон сохранения импульса.

Согласно (9) изменение длины волны  зависит только от угла рассеяния и не зависит ни от длины волны рентгеновского излучения, ни от вида вещества.

8.5. Корпускулярно- волновой дуализм электромагнитного излучения

Итак, изучение теплового излучения, фотоэффекта, эффекта Комптона показало, что электромагнитное излучение (в частности, свет), обладает всеми свойствами частицы (корпускулы). Однако большая группа оптических явлений - интерференция, дифракция, поляризация свидетельствует о волновых свойствах электромагнитного излучения, в частности, света.

Что же представляет собой свет - непрерывные электромагнитные волны, излучаемые источником или поток дискретных фотонов, беспорядочно испускаемых источником? Необходимость пользоваться при объяснении экспериментальных фактов различными и как будто исключающими друг друга представлениями кажется искусственной.

Одним из наиболее значительных достижений современной физики служит постепенное убеждение в ошибочности противопоставления волновых и квантовых свойств света (излучения). Свойства непрерывности, характерные для электромагнитной волны, не исключают свойств дискретности, характерных для фотонов.

Свет (электромагнитное излучение) одновременно обладает свойствами непрерывных электромагнитных волн и свойствами дискретных фотонов. В этом заключается корпускулярно-волновой дуализм (двойственность) электромагнитного излучения.

Ниже будет показано, что корпускулярно-волновыми свойствами обладают и элементарные частицы.

III. Элементы квантовой механики и атомной физики

Лекции 9,10. Элементы квантовой механики

Известны 4 механики: классическая или ньютоновская механика, релятивиская механика (теория относительности), квантовая механика и релятивиская квантовая механика. Первые две механики изучались в I - ой части курса физики, а сейчас переходим к изучению квантовой механики.

Квантовая механика - это механика микромира, механика движения микрочастиц в микрополях - атомах, молекулах, кристаллах. Ее можно рассматривать как основную теорию атомных явлений.

Опытные факты, на которых она основывается, отражают физические процессы, почти полностью лежащие за пределами непосредственного человеческого восприятия. Поэтому нет ничего удивительного в том, что теория содержит физические понятия, чуждые повседневному опыту.

Начало создания последовательной теории атомных явлений можно отнести к 1924 г., когда Луи де Бройль предположил, что природа вещества также является двойственной (корпускулярной и волновой).

9.1. Гипотеза де Бройля. Опытное обоснование корпускулярно-волнового дуализма материи. Опыт Девиссона- Джермера

В 1924 г. де Бройль выдвинул гипотезу (предположение), что дуализм (двойственность) не являются особенностью одних только оптических явлений (см. лекцию 8), а имеет универсальное значение, т.е. де Бройль выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю каждой частице, независимо от ее природы, следует поставить в соответствии волну, длина которой связана с импульсом частицы соотношением (формула де Бройля)

(1)

а частота

v=E/h или =2v=E/ (2)

т.е. определяется энергией Е частицы.

Найдем длину волны де Бройля, соответствующую движущемуся электрону. Кинетическая энергия, приобретенная электроном в ускоряющем поле равна

(3)

и скорость

(4)

Из (1) и (4) следует (учитывая, что е=1.610-19 Кл, m=9.110-31 кг, напряжение U выражается в вольтах )

(5)

В обычных электронных приборах используют напряжение 110 4 В.

Соответствующие длины волн летящих электронов составляют 100.1 , т.е. изменяются в диапазоне длин волн обычных рентгеновских лучей (см. параграф 2.5).

По гипотезе де Бройля не только фотоны [см.(8.4)], но и все "обыкновенные частицы" (электроны, протоны, нейтроны и др.) обладают волновыми свойствами, которые, в частности, должны проявляться в явлениях интерференции, дифракции.

Гипотеза де Бройля вскоре была подтверждена экспериментально. Девиссон и Джермер в 1927 г. наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля.

источник е Узкий пучок электронов направлялся на поверхность

монокристалла никеля. Отраженные электроны

улавливались цилиндрическим электродом (см. рис.1),

Ni присоединенным к гальванометру. Интенсивность

Рис. 1 отраженного пучка оценивалась по силе тока, текущего

через гальванометр. Ожидали получить дифракционную

картину, аналогичную картине возникающей при дифракции рентгеновских лучей на том же кристалле, поскольку длина волны де Бройля для электронов изменялась в диапазоне длин волн рентгеновских лучей. Ожидание подтвердилось.

Согласно формуле Вульфа-Брегга [ см. лекции 4, 5 формула (13) ] условие дифракционного максимума имеет вид

2dsin=m , (6)

где d - расстояние между атомными плоскостями, - угол скольжения, m=1, 2, 3...

Для никеля d=2.03 , опыт проводился при =80; с учетом этого и формулы (5) из (6) следует

(7)

Все это подтвердилось на опыте, особенно при больших значениях m (m=6, 7, 8). При определенных дискретных напряжениях, определяемых согласно (7), гальванометр фиксировал максимальный ток (рис.2). I

Итак, опыт Девиссона-Джермера подтвердил Рис.2

гипотезу де Бройля - движущиеся электроны ведут

с
U, B1/2
ебя как волны. Позднее были поставлены другие

опыты, подтверждающие волновые свойства микромира.

Заметим, что волны де Бройля имеют специфическую квантовую природу, не имеющую аналогии с волнами в классической физике. т.е. они "не похожи ни на что из того, что вам когда-нибудь приходилось видеть" (Фейнман).

В классической физике "понять" означало составить себе наглядный образ объекта или процесса. Квантовую физику нельзя понять в таком смысле слова и поэтому следует отказаться от попыток строить наглядные модели поведения квантовых объектов.

9.2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Попытаемся определить значение координаты х

X Рис.3 свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути

щель шириной х, расположенную перпендикулярно

х р к направлению движения частицы.


р
До прохождения частицы через щель рх имеет

точное значение, равное 0, так что неопределенность

импульса рх=0, зато координата х частицы является

совершенно неопределенной. В момент прохождения

частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределенность х, но это достигается ценой утраты определенности значения рх. Действительно, вследствии дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах некоторого угла 2, где - угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Таким образом, появляется неопределенность импульса

рх=рsin . (8)

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающемуся от щели шириной х соответствует угол , для которого [ cм. (4.8) при b=х и m=1]

sin=/ х. (9)

Cледовательно

рх/ х. (10)

Отсюда с учетом (1) получается соотношение

хрх=h (11)

В общем случае соотношение

хрх h, yрy h, zрz h (12)

называют соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Из него следует, что чем точнее определена координата (х мало, т.е. узкая щель), тем больше неопределенность в импульсе частицы рх h/х. Точность определения импульса будет возрастать с увеличением ширины щели х [ cм. (9), (8)] и при х не будет наблюдаться дифракционная картина, и поэтому неопределенность импульса рх будет такой же, как и до прохождения частицы через щель, т.е. рх=0. Но в этом случае не определена координата х частицы, т.е. х.

Невозможность одновременно точно определить координату и импульс (скорость) не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов. Соотношение неопределенности является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Выразим (11) в виде

хvх h/m. (13)

Из (13) следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости. Для пылинки массой 10-12 кг и линейными размерами 10-6 м, координата которой определена с точностью до 0.01 от ее размеров (т.е. х=10-8 м) неопределенность скорости согласно (13) vх=6.6210-31/(10-810-12)=6.6210-14 м/c, т.е. будет ничтожно малой. Т. о. для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли, координата и скорость макротел могут быть измерены достаточно точно.

В квантовой механике рассматривается также соотношение неопределенностей между энергией частицы Е и временем t нахождения частицы в данном энергетическом состоянии (или времени наблюдения за состоянием частицы). Оно аналогично (11) и имеет вид

Еth (14)

Из (14) следует, что частота излучения фотона также должна иметь неопределенность

v Е/h (15)

т.е. линии спектра должны характеризоваться частотой vv. Действительно, опыт показывает, что все спектральные линии размыты.

9.3.Волновая функция и ее статистический смысл

Мы привыкли к тому, что физически реальное - измеримо. Бор и Гейзенберг сделали обратное высказывание: " Принципиально неизмеримое - физически нереально." Поэтому "не надо говорить о вещах, которые невозможно измерить" (Фейнман). Поскольку из соотношения неопределенностей следует, что частица не имеет одновременно импульс и координату, то не следует об этом и говорить. А "говорить" следует о волновой функции, которая описывает микросостояние системы, ее волновые свойства.

Де Бройль связал со свободно движущейся частицей плоскую волну. Известно [cм. (1.5), (1.6)], что плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х описывается уравнением

S=Acos(t- kх+О)

или в экспоненциальной форме

S=АOехр[i(t- kх+О)].

Заменив в соответствии с (1) и (2) и k=2/ через Е и p, уравнение волны де Бройля для свободной частицы пишут в виде

=АOехр[(-i/)(Еt- pх)]. (16)

(в квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет  2, то это [cм.(16)] несущественно).

Функцию называют волновой функций или пси-функцией. Она, как правило, бывает комплексной.

Интепретацию волновой функции дал в 1926 г. Борн: квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того , что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

dP= 2 dV=*dV (17)

где * - комплексно - сопряженная волновая функция.

Величина  2=* = dP/ dV - имеет смысл плотности вероятности.

Интеграл от (17), взятый по всему пространству, должен равняться единице (вероятность достоверного события Р=1).

(18)

Выражение (18) называют условием нормировки.

Отметим еще раз, что волновая функция описывает микросостояние частицы, ее волновые свойства и она позволяет ответить на все вопросы, которые имеет смысл ставить. Например, найти энергию и импульс частицы. Для этого следует вычислить следующие частные производные по координате х и времени t:



откуда

(19)
9.4.Уравнение Шредингера для стационарных состояний

В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах частиц Шредингер в 1926 г. получил уравнение

(20)

где m - масса частицы, - мнимая единица, U - потенциальная энергия частицы, - оператор Лапласа [ см. (1.10)].

Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию (x, y, z, t) частицы, которая описывает микросостояние частицы и ее волновые свойства.

Если поле внешних сил постоянно во времени (т.е. стационарно), то U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения (20) распадается на два множителя

(x, y, z, t) =(x, y, z) exp[-i(E/)t] (21)

где E/=.

В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид

(22)

где Е, U - полная и потенциальная энергия, m - масса частицы.

Следует заметить, что исторически название "волновой функции" возникло в связи с тем, что уравнение (20) или (22), определяющее эту функцию, относится к виду волновых уравнений.

9.5. Собственные функции и собственные значения. Свободная частица

Функции , удовлетворяющие уравнению Шредингера при данных U, называются собственными функциями.

Значения Е, при которых существуют решения уравнения (22), называются собственными значениями.

В качестве примера определим и Е для свободной частицы.

Свободной называют частицу, на которую не действуют силы, т.е. . Cледовательно, U(x)=const и ее можно принять равной нулю. Таким образом, в случае свободного движения частицы, ее полная энергия совпадает с кинетической, а скорость . Направим ось Х вдоль вектора . Тогда (22) можно записать в виде

. (23)

Прямой подстановкой можно убедится, что частным решением этого уравнения является функция (х)=Аexp(ikx), где А=сonst, k=const c собственным значением энергии

Е= . (24)

C учетом (21) волновая функция

(х)=Аexp(-it+ ikx)= Аexp[-(i/)(Еt- рxх)]. (25)

здесь =Е/, k=рx/

Функция (25) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля [cм. (16)].

Из (24) следует, что зависимость энергии от импульса

Е=2k2/(2m)=Рх2/(2m)=mv2/2 (26)

оказывается обычной для нерелятивиских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения, т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства

 2=*=A2,

т.е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

9.6. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме"

Такая "яма" описывается потенциальной энергией вида

U= U=0 U=

0 l х При таком условии частица не проникает за

пределы "ямы", т.е. (0)= (l)=0. (27)

В пределах ямы (0 уравнение (22) сведется к уравнению

или (28)

где k2=. Общее решение (28)

(х)=Аsinkx+Bcoskx (29)

Так как согласно (27) ?(0)=0, то В=0, тогда

(х)=Аsinkx . (30)

Условие (27) (l)=Аsinkl=0 выполняется только при kl=n, где n=1,2...целые числа, т.е. необходимо, чтобы

k=n/l. (31)

Из (29) и (31) следует, что

(32)

Таким образом, энергия в "потенциальной яме" принимает лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еn называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни, называется главным квантовым числом.

Заметим, что n=1 cоответствует минимальная энергия Е10.

Подставив в (30) значения k из (31), найдем собственные функции



Постоянную А найдем из условия нормировки (18), которое для данного случая имеет вид



В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид


а)

б)
n(x) n n(x)2 n (33)


3
Графики этих функций, соответствующие


2
уровням энергии при n=1, 2, 3, приведены на рис. 5 (а). На рис. 5 (б) изображены плотности

в
1
ероятности обнаружения частицы на различных


0 х

0

Рис. 5
х расстояниях от "стенок" ямы

Из рис. следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находится в середине "ямы", в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траектории частицы в квантовой механике несостоятельны.

9.7. Квантовый осциллятор

Классическим осциллятором в классической механике называли частицу массой m, колеблющуюся с частотой 0=k/m под действием упругой силы F=-kx.

Потенциальная энергия такой частицы U=kx2/2=mx2/2; в точках с координатами хmax она равна полной энергии Е. Т.о., энергия частицы могла принимать любые значения, т.е. изменяться непрерывно (рис.6). E

В квантовой механике понятие силы не используется, U Т

поэтому квантовый осциллятор следует определить как

частицу с потенциальной энергией

U=kx2/2=mx2/2, (34) Рис.6

Подставляя (34) в (22) и учитывая, что частица движется только вдоль одной прямой (вдоль оси х), получим

(35)

Решая уравнение (35), можно получить, что энергия (энергетический уровень) частицы принимает только дискретные значения (квантуется).

(36)

n=0,1,2... квантовые числа.

Наименьшее значение энергии E0=0/2 определяется только собственной частотой 0 и ее невозможно отнять у частицы никаким охлаждением, она сохранилась бы и при Т=0 К.

Из (36) следует, что уровни находятся на равных расстояниях друг от друга

(37)

т.е. уровни эквидистантны [см. рис. 7, где на границе с потенциальной кривой U(x) U(хmax)=Еn]. При больших квантовых числах

n Е/Еn=1/(n+12)0, т.е. происходит

относительное сближение энергетических уровней

и получаются результаты, близкие к результатам

классического рассмотрения, когда энергия

частицы может изменяться непрерывно, и,


0
x следовательно, может иметь любые значения.

Рис. 7 В этом заключается принцип соответствия,

сформулированный Бором в 1923 г.:

При больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответсвовать выводам и результатам классической механики.

Более общая трактовка принципа соответствия заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения. Причем в определенных, предельных случаях, новая теория переходит в старую.
1   2   3   4


II. Квантовые свойства электромагнитного излучения
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации