Ответы на вопросы к зачету - Экономико-математические модели - файл n1.doc

приобрести
Ответы на вопросы к зачету - Экономико-математические модели
скачать (436.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc437kb.13.09.2012 11:02скачать

n1.doc

1Понятие модели. Классификация эк-мат моделей

Модель - одно из самых популярных понятий в экономико-математических методах. Почти все экономические проблемы многофакторны и сложны по своему содержанию, поэтому здесь могут использоваться только числовые, т.е. математические модели.

Математическая модель вообще - математическое описание какого-либо процесса. Экономико-математическая модель - это математическое описание производственно-экономического процесса. При составлении экономико-математической модели отбираются самые существенные факторы, поэтому такая математическая модель не отображает с абстрактной точностью производственно-хозяйственную деятельность.

Таким образом, правильность действия модели и правильность полученных с ее помощью выводов обеспечивается настолько верно, насколько верно составлена модель.

С другой стороны, правильность действия модели определяется тем, насколько точно уравнения и неравенства описывают сущность процесса и насколько верен математический метод решения такой модели.

Следует отметить, что не для всякой экономической задачи нужна своя модель. Многие процессы с математической точки зрения однотипны и поэтому могут описываться одинаковыми моделями. В линейном программировании существует четыре основные группы моделей, к которым с некоторыми допущениями приводится множество конкретных производственно-экономических задач.

В каждую группу включаются различные по своему содержанию задачи, но одинаковые по форме экономико-математической модели.

По целевому назначению экономико-математические модели делятся на:

Экономико-математические модели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства (производственно-технологической, территориальной) и его отдельных частей.

При классификации моделей по исследуемым экономическим процессам и содержательной проблематике выделяются модели народного хозяйства в целом и его отдельных подсистем-отраслей, регионов и т.д., комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т. д.

В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные или структурно-функциональные модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем. Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании.

Различают дескриптивные и нормативные модели. Дескриптивные модели объясняют наблюдаемые факты или дают вероятностный прогноз. Нормативные отвечают на вопрос: как это должно быть?, т. е. предполагают целенаправленную деятельность. Примером нормативной модели являются модели оптимального планирования, формализующие тем или иным способом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.

Дескриптивный подход применяется для установления статистических закономерностей экономических процессов, изучение вероятных путей развития каких-либо процессов при не изменяющихся условиях или протекающих без внешних воздействий. Примерами дескриптивных моделей являются производственные функции и функции покупательного спроса, построенные на основе обработки статистических данных.

По характеру отражения причинно-следственных связей различают модели жестко детерминистские и модели, учитывающие случайность и неопределенность. В результате накопления опыта использования жестко детерминистских моделей были созданы реальные возможности успешного применения более совершенной методологии моделирования экономических процессов, учитывающих стохастику и неопределенность: проведение многовариантных расчетов и модельных экспериментов с вариацией конструкции модели и ее исходных данных; изучение устойчивости и надежности получаемых решений, выделение зоны неопределенности, включение в модель резервов; применение приемов, повышающих приспособляемость(адаптивность) экономических решений к вероятным и непредвиденным ситуациям. Получают распространение модели непосредственно отражающие стохастику и неопределенность экономических процессов и использующие соответствующий математический аппарат: теорию вероятностей и математическую статистику, теорию игр и статистических решений, теорию массового обслуживания, теорию случайных процессов.

По способам отражения фактора времени экономико-математические модели делятся на: статистические и динамические. В статистических моделях все зависимости относятся к одному моменту времени. Динамические модели характеризуют изменение экономических процессов во времени.

Общая классификация экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификаций, осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.
2 Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Условные максимум и минимум называются условными экстремумами.

Для функции двух переменных задачу о нахождении точек условного экстремума решают одним из следующих двух способов.

1.  Если это возможно, из уравнения связи F(x, у) = 0 находят и затем подставляют в функцию z=(x, у). В результате

становится функцией одной переменной х, для которой задача решается известными методами.

В противном случае для нахождения точек экстремума применяется метод множителей Лагранжа, который заключается в следующем.

2. Составляют функцию Лагранжа

(12.1)

гдеR — множитель Лагранжа. Очевидно, что на множестве L второе слагаемое обращается в нуль вследствие выполнения условия F(x, у) = 0. Таким образом, на L выполнено и поэтому задача в случае функции двух переменных, как и в п. 1, сводится к поиску экстремума функции одной переменной х.

Формально процедура решения такова. Приравниваем к нулю все частные производные функции Лагранжа:



и отсюда находим решение

Пусть— любое из решений этой системы.

Подставляя внайденный из

уравнения связи дифференциали обозначая

(в опорном конспекте № 12записано в виде определителя), получаем Тогда, еслиимеет в т.

условный максимум, если> 0 — то условный минимум.


3 Выпуклые множества

Множество  -- выпуклое, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка, соединяющего в пространстве точку с точкой . Заметим, что отрезок, состоящий из точек , можно параметризовать следующим образом: Тогда при будет получаться точка , при  -- точка , а при  -- промежуточные точки отрезка, так что обозначения точек отрезка как будут согласованы с обозначениями его концов.

На следующем рисунке изображены два множества на плоскости : одно выпуклое, а другое нет.



Рис.7.17.

Выпуклыми в пространстве являются, например, такие множества: всё пространство , его положительный октант и неотрицательный октант , любой шар, как открытый , так и замкнутый , любая гиперплоскость (заданная некоторым уравнением вида , а также открытое и замкнутое полупространства, заданные, соответственно, условиями и .
4 Выпуклые функции
Введем обозначение: x=(x1,x2,:,xn) - n-мерный вектор.

Определение:n мерная функция f(x), определенная на выпуклом множестве D, называется выпуклой функцией тогда и только тогда, когда для любых двух точек x(1) и x(2) принадлежащих D, и любого числа L (0<=L<=1) выполняется неравенство:

f(Lx(1) +(1-L)x(2))<=Lf(x(1))+(1-L)f(x(2))

Проиллюстрируем определение выпуклой функции для случая одной переменной:



Свойства выпуклых функций:Хорда, соединяющая две любые точки кривой графика выпуклой функции, всегда проходит над (или выше) кривой в интервале между двумя этими точками. Выпуклая функция лежит над своими касательными Тангенс угла наклона касательной, или первая производная f(x), возрастает или, по крайней мере, не убывает при увеличении x.

Вторая производная f(x) всегда не отрицательна на рассматриваемом интервале.

Для выпуклой функции локальный минимум всегда является глобальным минимумом.


5 Задача выпуклого программирования

Представляет собой совокупность методов решения нелинейных экстремальных задач с выпуклыми функциями — раздел нелинейного программирования (т. е. дисциплины, занимающейся решением таких задач, в которых действуют не только линейные, но и другие, более сложные зависимости). Выпуклым этот вид математического программирования называется потому, что имеет дело с выпуклыми целевыми функциями (они минимизируются) и выпуклыми системами ограничений (рис. 2.4, в, г).

Общая задача выпуклого программирования состоит в отыскании такого вектора х (т. е. такой точки выпуклого допустимого множества), который доставляет минимум выпуклой функции или максимум вогнутой функцииДля второго случая

(выпуклая область допустимых значений и максимум вогнутой функции) ряд авторов используют термин «вогнутое программирование». Выпуклость (вогнутость) важна тем, что гарантирует нахождение оптимального решения задачи, так как здесь соответственно локальные и глобальный экстремумы обязательно совпадают. Критериями оптимальности в первом случае могут быть, например, издержки при различных сочетаниях факторов производства, во втором — величина прибыли при этих сочетаниях. Как видим, есть большое сходство между задачами выпуклого (вогнутого) и линейного программирования (последнее можно рассматривать как частный случай первого). Но нелинейность зависимостей делает задачу намного сложнее задачи линейного программирования, где результаты изменяются пропорционально (линейно) по отношению к затратам.

Рассмотрим задачу нелинейного программирования

(6)

при ограничениях

, (7)

. (8)

Для решения сформулированной задачи в такой общей постановке не существует универсальных методов. Однако для отдельных классов задач, в которых сделаны дополнительные ограничения относительно свойств функ­ций f(x) и , разработаны эффективные методы их решения.

Говорят, что множество допустимых решений задачи (6) - (8) удов­летворяет условию регулярности, или условию Слейтера, если существует, по крайней мере, одна точка , принадлежащая области допустимых ре­шений такая, что . Задача (6) - (8) называется задачей выпуклого программирования, если функция является во­гнутой (выпуклой), а функции - выпуклыми. Функцией Лагранжа задачи выпуклого программирования (6) - (8) называется функция

,

где - множители Лагранжа.
6 Теорема Куна--Таккера (необходимые и достаточные условия оптимальности решения задачи выпуклого программирования)

Определение 1.   называется направлением убывания функции в точке , если (малого) . Множество всех направлений убывания функции в точке обозначается .

Определение 2.   называется возможным направлением в точке относительно , если для любого малого точка . Множество всех возможных направлений -- .

Рассмотрим общую задачу оптимизации:



Теорема 1. (Критерий оптимальности общей задачи оптимизации)   пусть -- локальное решение задачи. Тогда .

Теорема 2.   Пусть -- выпуклое множество, определена на , дифференцируема в точке . Тогда

  1. если -- локальное решение, то ;

  2. если -- выпуклая на и выполнено условие 1, то -- глобальное решение.

Рассмотрим задачу математического программирования



Пусть -- допустимое множество. Пусть . Введем функцию Лагранжа для задачи математического программирования:



Теорема 3. (Принцип Лагранжа)   Пусть -- выпуклое, -- определены на и дифференцируемы в точке , -- непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки . Тогда если -- локальное решение задачи, то существует , не равные нулю одновременно, такие что

  1. ;

  2. .

Теорема 4.   Пусть -- выпуклое, -- выпуклые на и дифференцируемые в точке , -- линейные. Тогда если существует такой, что условия 1 и 2 принципа Лагранжа выполнены при , то является глобальным решением.

Теорема 5. (Условие регулярности в задаче математического программирования)   Пусть в задаче математического программирования множество -- выпуклое, -- дифференцируема в точке , -- выпуклые на и дифференцируемые в точке , -- линейные и пусть выполнено хоть одно из двух условий:

  1. и .

  2. -- полиэдр, -- линейны. Тогда если -- локальное решение задачи математического программирования, то такие, что условия 1 и 2 в теореме Лагранжа выполнены при .

Определение 3.   Задача математического программирования называется задачей выпуклого программирования, если целевая функция выпукла и допустимое множество задачи выпукло.

Теорема 6. (Куна--Таккера в дифференциальной форме)   Пусть в дополнение к условиям теоремы 5. -- выпукла на . Тогда является глобальным решением задачи выпуклого программирования такой, что условия 1 и 2 в теореме Лагранжа выполнены при .

7 Отношение предпочтения.Функция полезности

Потребитель здесь может сравнить полезность отдельных товаров или их набора и упорядочить их по степени предпочтения. Теория оптимального выбора потребителя исходит из того, что он осуществляет право сравнения и свободного выбора на некотором множестве X потребительских наборов, в каждый из которых включаются все виды продукции, являющиеся предметами потребления для данной группы семей. Не умаляя общности, можно считать, что всякий такой набор состоит из фиксированного числа ( n ) элементов и имеет вид:

x = (x1, . . . , xj, . . . , xn) ,

где элементы xj ? 0 , поскольку они выражают количество потребляемой продукции.

Далее предполагается, что сравнительная оценка различных наборов данным потребителем с точки зрения его вкусов, привычек, традиций и т.д., может быть выражена при помощи т.н. бинарного отношения слабого предпочтения.

Это отношение определено на множестве потребительских наборов X , выражается формулой «предпочтительнее чем …или равноценен», записывается при помощи знака «=« .

Формула «x=y» , где x и y суть потребительские наборы означает, что данный потребитель (группа семей) в равных условиях либо предпочтет набор x набору y, либо не видит различия между ними, т.е. считает их равноценными. На базе отношения слабого предпочтения вводится отношение безразличия (равноценности): два набора x и y безразличны для потребителя, если одновременно выполняются условия «x=y» и «y=x». Факт равноценности двух наборов обычно записывается при помощи «y ~ x». Понятие строгого (сильного) предпочтения определяется следующим образом: «x y» тогда и только тогда, когда «x=y», а соотношение «y= x» не имеет места.

В теории потребления обычно исходят из того, что отношение слабого предпочтения удовлетворяет важным предположениям, которые называются аксиомами теории потребления. Таким образом, основой служит использование следующих аксиом:

Транзитивности: если первая величина сравнима со второй, а вторая – с третьей, то первая сравнима с третьей; Полной или совершенной упорядоченности. Согласно ей, потребитель способен упорядочить всевозможные товары или их наборы с помощью отношений предпочтения и безразличия; Ненасыщения: если к любому набору товаров добавить дополнительную единицу товара, то полученный набор всегда предпочтительнее прежнего, так как обладает большей полезностью.

существует непрерывная скалярная функция u(x), определенная на связном множестве X потребительских наборов и являющаяся индикатором предпочтения, поскольку она обладает следующим характеристическим свойством:

«x = y» тогда и только тогда, когда u(x) u(y).

Таким образом, если потребитель слабо предпочитает набор x набору y, то значение функции u в точке x будет иметь не меньшее значение, чем в точке y, и наоборот, если значение индикатора для некоторого набора x не меньше, чем для набора y, то потребитель слабо предпочитает набор x набору y.

Индикатор предпочтения функции – функция u(x) – обычно называется функцией полезности потребительских наборов. Нетрудно видеть, что любое монотонное преобразование функции полезности, например функции , или (где a>0), опять являются функциями полезности, поскольку они обладают указанным характеристическим свойством. Таким образом, функция полезности не является измерителем какой-то конкретной «полезности», но лишь дает представление о ранжировании (порядке) различных наборов, почему она и называется часто функцией порядковой или ординальной полезности.
8 Задача потребительского выбора

Содержательно эту задачу можно сформулировать так: потребителю нужно приобрести (купить) на рынке необходимые ему виды товаров в таком количестве, чтобы их потребление доставило максимальное удовлетворение (пользу); при этом суммарная стоимость купленных товаров не должна превышать его дохода (бюджета).

Последнее условие называется бюджетным ограничением и оно подчеркивает всегда ограниченные покупательские возможности потребителя.

В начале § 3.1 мы перечислили те важнейшие факторы, которые будучи формализованы и связаны подходящими математическими соотношениями и дают требуемую модель. Это товар и его цена, цель и бюджет потребителя, его покупательская способность.

Приведем сначала необходимые обозначения, хотя некоторые из них уже были введены в §§ 3.1 , 3.2. Пусть
- набор товаров, где xi - количества товара вида i, n - число видов товаров, - пространство товаров;
- вектор цен товаров, где pi - цена единицы товара вида i;
K - доход (бюджет) потребителя.

Мы рассматриваем статическую задачу, поэтому эти величины не зависят от фактора времени. Параметры pi и K считаются постоянными величинами, причем цены считаются рыночными, а доход не структуризуется, то есть нас не интересует из каких частей он складывается. Компоненты xi вектора являются неизвестными переменными. Модель составляется как раз для определения "оптимальных" значений этих переменных для данного потребителя. Цель потребителя будем описывать с помощью функции полезности (см. § 3.2 и определение 3.1 ), относительно которой будем предполагать выполнение условий (3.2.1) и (3.2.2) . Наконец, мы рассматриваем некоторого "обобщенного" потребителя, никак не характеризуя его индивидуальные особенности, за исключением априорного предложения о существовании функции полезности, отражающей его индивидуальные предпочтения в (см. Теорему 3.1 ).

С учетом всего сказанного выше, модель задачи потребительского выбора имеет вид:



Обозначим через множество всевозможных товаров, допустимых потребителю при ценах p и доходе K:



называемое бюджетным множеством. Графическое изображение этого множества показано на рис.3.6.



Граница



множества называется бюджетной линией.

Оптимальным решением задачи (3.4.1)-(3.4.2) называется такой вектор , что



Определение 3.3. Оптимальное решение задачи (3.4.1) - (3.4.2) называется спросом потребителя.

9 Производственые функции

Экономико-математическая зависимость в форме связи между количеством производимой продукции и использованными при ее создании факторами производства, в качестве которых в этой функции рассматриваются труд и капитал. Производственная функция чаще всего используется в виде функции Кобба—Дугласа — степенной зависимости между объемом производства Q и факторами производства в виде капитала К и труда L, имеющей вид Q=A х Ка х Lв, где А — постоянный коэффициент; а,в — показатели степени, характеризующие отдачу, использование каждого из двух основных видов ресурсов.

Технически эффективными называют варианты производства, которые нельзя улучшить ни увеличением производства продукта без увеличения расхода ресурсов, ни сокращением затрат какого-либо ресурса без снижения выпуска и без увеличения затрат других ресурсов. Производственная функция учитывает только технически эффективные варианты. Ее значение - это наибольшее количество продукта, которое может произвести предприятие при данных объемах потребления ресурсов.

Рассмотрим вначале простейший случай: предприятие производит единственный вид продукции и расходует единственный вид ресурса. Пример такого производства довольно трудно найти в действительности. Даже если рассмотреть предприятие, оказывающее услуги на дому у клиентов без применения какого-либо оборудования и материалов (массаж, репетиторство) и затрачивающее только труд работников, нам пришлось бы допустить, что работники обходят клиентов пешком (не используя услуг транспорта) и договариваются с клиентами без помощи почты и телефона.

Итак, предприятие, затрачивая ресурс в количестве х, может произвести продукт в количестве q. Производственная функция

q = f(x)

(1)

устанавливает связь между этими величинами. Заметим, что здесь, как и в других лекциях, все объемные величины - это величины типа потока: объем затрат ресурса измеряется количеством единиц ресурса в единицу времени, а объем выпуска - количеством единиц продукта в единицу времени.

На рис. 1 приведен график производственной функции для рассматриваемого случая. Все точки, лежащие на графике, соответствуют технически эффективным вариантам, в частности точки А и В. Точка С соответствует неэффективному, а точка D - недостижимому варианту.

Производственная функция вида (1), устанавливающая зависимость объема производства от объема затрат единственного ресурса, может использоваться не только в иллюстративных целях. Она полезна и тогда, когда может изменяться расход лишь одного ресурса, а затраты всех остальных ресурсов по тем или иным причинам должны рассматриваться как фиксированные. В этих случаях интерес представляет зависимость объема производства от затрат единственного переменного фактора.

Значительно большее разнообразие появляется при рассмотрении производственной функции, зависящей от объемов двух потребляемых ресурсов:

q = f(x1, x2)

10 Неоклассические производственые функции

Неоклассическая модель (Р.Солоу)

Существуют базовые достаточно простые модели, объясняющие суть и возможность применения макроэкономических производственных функций.

Помимо той или иной комбинации факторов производства гибкость производственной функции обеспечивают специальные коэффициенты. Их называют коэффициентами эластичности. Это степенные коэффициенты факторов производства, показывающие, как возрастёт объём продукции, если фактор производства увеличится на единицу. Коэффициент эластичности находят эмпирически, решая для этого специальную систему уравнений, полученную из исходной модели производственной функции.

В литературе различаются производственные функции как с постоянными коэффициентами эластичности, так и с переменными. Постоянные коэффициенты означают, что продукт растёт в той же пропорции, что и факторы производства.

Простейшая модель двухфакторная: капитал – К и труд – L.

Если коэффициенты эластичности постоянны, то функция записывается так:

,

где Y - национальный продукт;
L - труд (человекочасы или численность работников);
К - капитал всего общества (машиночасы или количество оборудования);
- коэффициент эластичности;
А -постоянный коэффициент (находится расчётным путём).

Запишем функцию производительности труда от капиталовооружённости, и разделим параметры функции Y=F(K,L) на величину L, получим Y/L=F(K/L;1), или y=f (К;1), где y=Y/L –производительность общественного труда; K=K/L – объём используемого в обществе капитала, приходящегося на одного работника.

Данная функция, по неоклассическим представлениям, должна иллюстрировать следующее: если объём используемого общественного капитала на одного рабочего возрастает, то растёт, но в меньшей степени, продукт на одного рабочего (предельная производительность труда).

Графически это означает, что функция f(K) имеет первую производную, которая больше нуля f (K)>0. Вторая производная функции - f (К)<0. Это означает, что хотя функция и является положительной, она убывает по мере прироста продукта и производительности труда (рис.35.1).



Рис. 35.1 Неоклассическая производственная функция

Капитал и труд вознаграждаются на основе соответствующих предельных производительных факторов. Вознаграждение капитала определяется тангенсом угла наклона к кривой f(K) в точке Р – предельная производительность капитала. Тогда, WN – доля капитала в общем продукте; OW – доля заработной платы в продукте; OW - весь продукт.
11 Таблица межотраслевого баланса

Межотраслевой анализ базируется на использовании статистических таблиц, называемых «межотраслевыми». Таблица межотраслевого баланса описывает потоки товаров и услуг между всеми секторами народного хозяйства в течение фиксированного периода времени (как правило, 1 год). Таблицу межотраслевого баланса, выраженную в стоимостных показателях, можно интерпретировать как систему национальных счетов. Вы можете легко представить себе структуру такого рода таблиц, взглянув на пример.



В межотраслевом балансе для страны или региона, осуществляющих торговлю с зарубежными странами, экспорт может быть представлен положительными, а импорт отрицательными – компонентами конечного спроса.

Строки приведенной таблицы показывают распределение выпуска (output) каждого вида продукции. Каждая строка характеризуется следующим балансом:

Выпуск данного вида продукции = Промежуточный спрос + Конечный спрос

что математически может быть записано как:



(9-1)

Промежуточный спрос есть часть общего спроса, представляющая собой закупки данного вида продукции отраслями 1, 2, 3 и так далее в качестве исходных материалов, т.е. в качестве промежуточных продуктов. Напротив, конечный спрос – это продукт, направленный в область конечного использования, т.е. он распределяется в непромышленные секторы экономики. Сюда включается личное потребление населения, расходы на содержание государственного аппарата, просвещение, здравоохранение и так далее.

Столбцы таблицы показывают структуру затрат (input) или структуру используемых ресурсов, необходимых для каждой отрасли. Для столбцов устанавливается следующий баланс:

Расходы отрасли = Промежуточные затраты + Добавленная стоимость,

что в математической записи выглядит так:



(9-2)

Промежуточные затраты представляют собой исходные материалы, закупленные отраслью у секторов 1, 2, 3 и так далее. Добавленная стоимость есть факторные затраты отрасли, то есть вновь созданная стоимость, распадающаяся на доход работающих по найму (заработную плату) и предпринимательский доход (прибыль).

Для строк и столбцов таблицы межотраслевого баланса имеют место следующие тождества:

Выпуск отрасли = Расходы отрасли

Общая сумма конечного спроса = Общая сумма добавленной стоимости,

которые математически записываются так:



(9-3)



(9-4)

Теперь рассмотрим схему баланса с точки зрения его крупных составных частей. Выделяют несколько блоков с различным экономическим содержанием – квадранты баланса.

Таблица межотраслевого баланса на национальном уровне составляется в настоящее время приблизительно в восьмидесяти странах. Также составляется много межотраслевых балансов на уровне регионов и крупных городов. Число секторов, которые описывают экономическую систему, в последнее время значительно увеличилось. Некоторые из наиболее детализированных таблиц описывают национальную экономику в разрезе 500-600 отдельных секторов.

Таблица межотраслевого баланса позволяет изучать структуру потоков ресурсов
12 Модель Леонтьева

Подставляя технологические коэффициенты , для каждой отрасли получаем балансовое соотношение



С помощью технологической матрицы



эту систему уравнений можно написать в векторной форме:



Уравнение (6.2.1), где A - постоянная технологическая матрица, - известный вектор спроса, - неизвестный вектор выпуска, называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение Ax как затраты, эту систему часто называют моделью "Затраты-выпуск".

Модель Леонтьева призвана ответить на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос? Ответ на этот вопрос сводится к существованию решения системы



относительно переменных . Условия существования и единственности решения такой системы хорошо известны из курса алгебры. Однако здесь речь идет о решении этой системы, имеющем подходящий экономический смысл. А именно, все элементы модели Леонтьева по их определению являются неотрицательными величинами, в том числе переменные . Поэтому мы должны говорить о существовании неотрицательных решений системы (6.2.1).

Определение 6.1. Модель Леонтьева называется продуктивной, если система (6.2.1) имеет неотрицательное решение , .
13 Свойства неотрицательных матриц

Особенность матрицы A в модели В.В. Леонтьева состоит в том, что все элементы этой матрицы неотрицательны. Неотрицательные квадратные матрицы обладают рядом особых свойств. Изучению этих свойств посвящен специальный раздел теории матриц, основные сведения из которого приведены в данной главе. Изучение свойств неотрицательных матриц позволяет, в частности, дать ответ на поставленный в главе 1 вопрос: каковы условия существования неотрицательного решения системы уравнений (0.2) при заданном и A ? 0? Доказательство теорем, приведенных в данном разделе, можно найти, например, в [1, 2 ].

2.1. Критерии продуктивности неотрицательных матриц.


Определение 2.1. Матрица удовлетворяющая условию dij ? 0; при всех i ? j, называется продуктивной, если существует такой, что .

Определение 2.2. Матрица удовлетворяющая условию dij ? 0 при всех i ? j, называется прибыльной, если существует такой что .

Замечание 2.1. Для модели (0.1) D = E - A.

14 Понятие продуктивности матрицы коэффициентов прямых затрат. Понятие коэффициентов полных затрат

Рассмотренная таблица МОБ всего лишь форма представления статистической информации о взаимосвязи отраслей. Перейдем теперь к построе­нию математической модели. Для этого введем понятие коэффициентов прямых материальных затрат:
                                  (1)
Коэффициент aij показывает, какое количество i-го продукта затрачивается на производство единицы j-го продукта.
Поскольку продукция измеряется в стоимостных единицах, коэффици­енты прямых затрат являются величинами безразмерными. Кроме того, из (1) следует, что
                                 (2)
Считая коэффициенты прямых материальных затрат постоянными, запишем систему балансовых соотношений

следующим образом:

Перенося yi в правую часть, а xi в левую и меняя знаки на противопо­ложные, получаем

В матричной форме эта система уравнений выглядит следующим обра­зом:
X - AX = Y  или  (E - A) X = Y,
где Е - единичная матрица n-го порядка;
 - матрица коэффициентов прямых материальных затрат.
Итак, мы получили систему уравнений межотраслевого баланса, кото­рую называют моделью Леонтьева. Используя эту модель, можно ответить на основной вопрос межотраслевого анализа - каким должно быть валовое производство каждой отрасли для того, чтобы экономическая система в целом произвела заданное количество конечной продукции?
Следует отметить одно важное свойство матрицы А - сумма элементов любого ее столбца меньше единицы:
                                 (3)
Для доказательства разделим обе части балансового соотношения

на хj и, выполнив простейшие преобразования, полу­чим

где vj / xj= - доля условно-чистой продукции в единице валового выпуска.
Очевидно, что >0, так как в процессе производства не может не создавать­ся новой стоимости. Из этого следует справедливость соотношения (3).
Свойства (2) и (3) матрицы А играют ключевую роль в доказательстве ее продуктивности, т. е. в доказательстве того, что при любом неотрицатель­ном Y система
X - AX = Y  или  (E - A) X = Y, !!!!!! 16!!!!!
имеет единственное и неотрицательное решение Х=(Е-А)-1Y. Матрицу (Е-А)-1 обозначают через В и называют матрицей коэффициентов полных материальных затрат, или обратной матрицей Леонтьева. Коэф­фициент bij этой матрицы показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить производство единицы конечного продукта j-й отрасли. Используя матрицу В, можем записать
Х = ВY
или в развернутом виде

Преимущество такой формы записи балансовой модели состоит в том, что, вычислив матрицу В лишь однажды, мы можем многократно использовать ее для вычисления Х прямым счетом, т.е. умножением В на Y. Это гораздо проще, чем каждый раз решать систему линейных уравнений.
15 Нахождение объемов валовой продукции отраслей в модели Леонтьева

Рассмотрим модель межотраслевого баланса, называемую еще моделью Леонтьева или моделью «затраты-выпуск».

Предположим, что производственный сектор народного хозяйства разбит на n отраслей (энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.д.).

Рассмотрим отрасль i, i = 1, 2,…, n. Она выпускает некую продукцию за данный промежуток времени (например, за год) в объеме xi, который еще называют валовым выпуском. Часть объема продукции xi , произведенная i-ой отраслью используется для собственного производства в объеме xii , часть – поступает в остальные отрасли j = 1, 2,…, n для потребления при производстве в объемах xij , и некоторая часть объемом yi – для потребления в непроизводственной сфере, так называемый объем конечного потребления. Перечисленные сферы распределения валового продукта i-ой отрасли приводят к соотношению баланса

, i = 1, 2,…, n .

Введем коэффициенты прямых затрат aij , которые показывают, сколько единиц продукции i-ой отрасли затрачивается на производство одной единицы продукции в отрасли j. Тогда можно записать, что количество продукции, произведенной в отрасли i в объеме xij и поступающей для производственных нужд в отрасль j, равно



Считаем сложившуюся технологию производства во всех отраслях неизменной (за рассматриваемый период времени), означающую, что коэффициенты прямых затрат aij постоянны. Тогда получаем следующее соотношение баланса, называемого моделью Леонтьева

, i = 1, 2,…, n . (1)

Введя вектор валового выпуска X, матрицу прямых затрат A и вектор конечного потребления Y
модель Леонтьева (1) можно записать в матричном виде

X = AX + Y (2)

Матрица A ? 0, у которой все элементы aij ? 0 (неотрицательны), называется продуктивной матрицей, если существует такой неотрицательный вектор X ? 0, для которого выполняется неравенство

X > AX.

Это неравенство означает, что существует хотя бы один режим работы отраслей данной экономической системы, при котором продукции выпускается больше, чем затрачивается на ее производство. Другими словами, при этом режиме создается конечный (прибавочный) продукт Y = X – AX > 0.

Модель Леонтьева с продуктивной матрицей A называется продуктивной моделью.

Для проверки продуктивности матрицы A достаточно существования обратной матрицы B = (E – A)-1 с неотрицательными элементами, где матрица E – единичная матрица

.

С помощью модели Леонтьева (2) можно выполнить три вида плановых расчетов, при условии соблюдения условия продуктивности матрицы A:

1) Зная (или задавая) объемы валовой продукции всех отраслей X можно определить объемы конечной продукции всех отраслей Y

Y = (E – A)X

2) Задавая величины конечной продукции всех отраслей Y можно определить величины валовой продукции каждой отрасли

X = (E – A)-1Y (3)

3) Задавая для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

Матрица

B = (E – A)-1

называется матрицей полных материальных затрат. Ее смысл следует из матричного равенства (3), которое можно записать в виде X = BY. Элементы матрицы B показывают, сколько всего необходимо произвести продукции в i-ой отрасли, для выпуска в сферу конечного потребления единицы продукции отрасли j.

16 Модель равновесных цен

В современной экономической теории (которую, к сожалению, никак назвать единой) получили распространение две основные теории (модели) ценообразования - это теория цен спроса и предложения и теория предельных затрат (предельных издержек). Соответственно, и равновесные цены могут трактоваться в рамках этих двух разных теорий.

Две теории цен

Теория цен спроса - предложения приближена к реалиям товарных рынков; теория предельных издержек в большей мере, чем теория спрос - предложение, учитывает процесс производства товаров, формирования затрат и эффективность. Важно отметить, что исследуемые в указанных теориях формы кривых спроса, предложения, предельных затрат и предельной выручки выведены из практических наблюдений тенденций рынка и производства и не имеют абстрактно-теоретической природы. Построенные на основе этих теорий модели цен (или модели анализа и прогнозирования цен) широко используются для решения практических макро- и микроэкономических задач - задач государственного регулирования цен, ценового и затратного анализа и прогноза на уровне конкретных предприятий и отраслей, в маркетинговых исследованиях. Данные теории (модели) дополняют друг друга и сложно пересекаются, сложно пересекаются и множества решений по этим моделям.

В экономической теории в обобщенном виде еще не выяснена и не исследована область указанного пересечения (область общих решений, определяющих конкретные значения цен), а это крайне важно сделать для выработки конкретных мер регулирования цен на микро- и макроуровнях экономики. На макроуровне это важно еще и потому, что равновесные цены по указанным моделям являются также важнейшими элементами общеэкономического равновесия и оптимума. Поэтому исследование свойств решений по моделям ценообразования крайне важно для выработки рациональной экономической политики государства, возможны также рекомендации по ценовой политике для частного бизнеса.

С точки зрения теории существование двух разных (не сведенных воедино) теорий ценообразования "разрывает" экономическую теорию на две части, сдерживает ее развитие и продвижение к созданию стройной единой экономической теории. Известны локальные попытки исследования связи решений по этим двум моделям (например, Raymond Barre, 1955), однако это были попытки косвенного исследования частных случаев.

1. Модель "спрос - предложение" в самом общем и наиболее простом случае, но постоянно наблюдаемом на практике, где:

Q - продукция в натуральном выражении (шт., кг и т. п.);

P - цена за единицу продукции (руб.);

Q = S (P) - функция зависимости предложения от цены (в натуральном выражении);

Q = D (P) - функция зависимости спроса от цены (в натуральном выражении);

Po - равновесная цена;

Qo - равновесный объем продукции.

В реальности каждая переменная зависит и от времени t.

Точка пересечения кривых S и D - точка (Po, Qo) - называется точкой равновесия, т. е. равенства спроса и предложения. Эта точка характеризует некую равновесную, в определенном смысле оптимальную ситуацию сочетания интересов продавца и покупателя, когда продавцу и покупателю равновыгодно осуществить акт купли-продажи по равновесной цене Ро. Если цена будет ниже Ро, то это не выгодно продавцу, сократит его доходы, что потом скажется негативно на производстве. Покупателю же это неоправданно выгодно за счет продавца, ведет к быстрой скупке товара, к дальнейшей его спекулятивной продаже уже по равновесной цене, к образованию дефицита товаров и избытку "свободных" денег, что влечет за собой инфляцию.

2. Модель "предельные затраты - предельный эффект" в самом общем и наиболее простом случае, наблюдаемом на практике в ситуации ограниченности экономических ресурсов (то есть - почти всегда, ведь все ресурсы ограничены, даже объем воспроизводимых ресурсов ограничен временем, необходимым для воспроизводства), где:

Z - удельные затраты на единицу продукции (руб. на шт., и т. п.);

Z = E (Q) - функция зависимости предельного эффекта от выпуска продукции, например, предельной выручки за единицу продукции. Предельной выручкой называется выручка, которую можно получить от производства и реализации дополнительной единицы продукции, то есть это и есть цена дополнительной единицы продукции, объем продукции прирастает дискретно, минимальный прирост равен единице товара;

Z = J (Q) - функция зависимости предельных затрат от выпуска продукции. Предельными затратами называются затраты, которые необходимо осуществить для производства и реализации дополнительной единицы продукции, то есть это - затраты на дополнительную единицу продукции. Например, в некоей точке Q1 функция J (Q1) равна затратам на производство и реализацию единицы продукции.

Точка пересечения кривых E и J - точка (Zo, Qo) - точка равновесия, равенства предельных затрат и предельного эффекта.

Эта точка также характеризует равновесную, в определенном смысле оптимальную ситуацию сочетания интересов производителя и покупателя, когда производителю и покупателю равновыгодно осуществить производить и покупать по цене Zo (это давно известно и доказано в теории). При этом если производить и продавать меньше Qo, то разница между выручкой и издержками составит положительную прибыль производителя, и он сможет наращивать выпуск продукции. Если же производить больше Qo, то разница между E и J - меньше нуля - производитель несет убытки, производить невыгодно. В точке равновесия предельный эффект (предельная выручка) равен предельным затратам, то есть предельная прибыль равна нулю - значит, со следующей (но еще не с ныне произведенной) единицы продукции появятся убытки. То есть здесь точка равновесия является рациональной границей объемов производства. Но не только рациональной, а и оптимальной (!), так как по сути в теории упомянутая выше прибыль всегда является сверхнормальной - в теории в совокупные затраты (издержки) включается и нормальная (по общей для всей экономики норме эффективности) прибыль, идущая в затраты будущих периодов через инвестиции и т. п., то есть необходимая для процесса воспроизводства.

Итак, если построение единой экономической теории для реальной экономики возможно, то должно выполняться равенство цен по первой и второй модели в точках равновесия (Po, Qo) и (Zo, Qo), то есть в точке равновесия существует единая равновесная цена, равная Zo = Po, или Z (Qo) = Po.

Ясно, что в реальной экономике это довольно узкая область для существования равновесия и вовсе не произвольная, а достаточно жестко заданная. Таким образом, изучая реальные значения показателей предложения, спроса, эффекта, издержек и соответствующих эластичностей, можно вырабатывать обоснованные предложения по макроэкономическому регулированию в целях достижения экономического равновесия.

Простейший анализ моделей на практике сразу дает интересные результаты. Например, ясно, что в реальной экономике используемые в моделях зависимости вовсе не такие красивые, правильные и линейные. В действительности они нелинейные, временами неправильные, точечные и кусочно-линейные зависимости с элементами размытости (стохастики), поэтому они в принципе не могут пересекаться все в одной точке и пересекаются всегда в нескольких точках, которые и ограничивают собой область равновесных значений цен и параметров экономики. Эту область из-за ее размытости можно назвать уже областью квазиравновесия. Конечно, в реальной экономике не может быть абсолютно точного равновесия, да еще при этом и динамического. Можно сказать поэтому, что объем области квазиравновесия определяет размер реального дисбаланса в экономике и задает некий неустранимый уровень структурной инфляции. Но неустранимый не в смысле невозможности его устранения, а в смысле нецелесообразности устранения. То есть это неизбежно целесообразный минимальный уровень инфляции в конкретных экономических условиях.

Попытка искусственного занижения инфляции по сравнению с данным минимальным уровнем, безусловно, будет вредна для экономики. Так как в данном случае через инфляцию выправляются некие локальные диспропорции, что позволяет приближаться через инфляционные процессы к равновесной траектории экономического роста. Ведь иначе государство будет искусственно, принудительно, через экономические регуляторы, искажать величины спроса и предложения, эффективности и затратоемкости, что чревато еще большим нарушением сбалансированности. Да, макрорегулирование - дело тонкое…
17.Динамическая модель Леонтьева

Процессе совершенствования и усложнения модели «затраты--выпуск» был создан динамический вариант системы, учитывавший технический прогресс, перестройку промышленности, изменения ценовых пропорций. Модель была переведена на гибкие коэффициенты. Эта работа оказалась весьма успешной еще и потому, что параллельно с научным поиском совершенствовалось компьютерное обеспечение.

В отличие от статических динамическая модель призвана отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить непосредственную взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической системы.

В рассматриваемой динамической модели (которая является развитием статической межотраслевой модели) производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуется их структура и влияние на рост объёма производства. В основе построения модели в виде динамической системы уравнений лежит математическая зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции. Решение системы, как и в случае статической модели приводит к определению уровней производства, но в динамическом варианте в отличие от статистического эти искомые уровни зависят от объёмов производства в предшествующих периодах.

Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации