Козлова И.С., Щербакова Ю.В. Начертательная геометрия. Конспект лекций - файл n1.rtf

Козлова И.С., Щербакова Ю.В. Начертательная геометрия. Конспект лекций
скачать (2293.6 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.rtf2294kb.12.09.2012 09:12скачать

n1.rtf

1   2   3   4   5

Лекция № 10. Пересечение поверхностей тел вращения дважды проецирующей плоскостью
1. Общие сведения
При пересечении поверхности тела вращения плоскостью Р обычно получают в сечении некоторую кривую линию. Основными задачами являются определение проекции линии, строение натурального вида сечения и развертка рассеченной поверхности тела вращения.


Как правило, кривая линия, полученная в сечении данного тела плоскостью, относится к лекальным кривым. Значит, для точного ее построения необходимо довольно много точек. Чтобы найти точки кривой, применяют метод проведения вспомогательных плоскостей. На рисунке 102 изображен конус, поверхность которого пересекается некоторой фронтальной плоскостью Р . Для получения нескольких точек, которые принадлежат линии сечения (гиперболе), нужно провести вспомогательную горизонтальную плоскость Q . Данная плоскость будет пересекать конус по окружности, а плоскость Р – по прямой линии. Точки, в которых полученная прямая пересекает окружность, принадлежат искомой линии пересечения.

Проведя таким же образом еще несколько вспомогательных горизонтальных плоскостей, будем получаться каждый раз по две точки искомой линии. При получении достаточного числа таких точек, следует соединить их плавной кривой, которая будет являться проекцией искомой линии пересечения.

Следовательно, метод проведения вспомогательных плоскостей заключается в нижеследующем.

1. Проводят вспомогательную плоскость Q так, чтобы линию пересечения ее с данной поверхностью можно было легко построить.

2. Приступают к построению этой линии, а также прямой пересечения плоскостей Р и Q , где Р является данной секущей плоскостью. Здесь общие точки линий пересечения плоскости Q с поверхностью и с данной плоскостью Р относятся к искомому сечению.

3. Выполнив несколько вспомогательных плоскостей, определяют необходимое количество точек сечения таким образом, чтобы искомую кривую можно было строить с помощью лекала.

Для поверхностей вращения любая плоскость, перпендикулярная оси вращения, будет пересекать данную поверхность по окружности. При выполнении чертежа все построения, связанные с нахождением отдельных точек кривой, нужно тонко выполнять карандашом, а после обводки кривой тушью вспомогательные построения удаляются. Благодаря этим линиям можно понять способ получения отдельных точек.

Построение развертки в этом случае возможно только в тех отдельных случаях, когда поверхность относится к числу развертывающихся, т. е. таких поверхностей, которые, будучи разрезаными вдоль какой-нибудь линии, могут быть совмещены с плоскостью (как, например, поверхность цилиндра или конуса). Однако многие поверхности, например шаровая, не могут быть совмещены с плоскостью, в связи с этим построение развертки может выполняться только приближенно.
2. Гипербола как сечение поверхности конуса фронтальной плоскостью
Пусть требуется построить сечение поверхности конуса, стоящего на горизонтальной плоскости, плоскостью Р , которая параллельна плоскости V .

На рисунке 103 показана фронтальная плоскость Р , параллельная оси конуса и пересекающая его поверхность по гиперболе. Данная кривая проецируется на плоскость V без искажения.

Выполняя построение проекций сечения, вначале нужно найти секции характерных точек. В данном случае эти характерные точки представляют собой самые нижние и самые верхние ее точки.


Нижние точки сечения. На рисунке 103а показаны две самые нижние точки сечения, они лежат в горизонтальной плоскости проекций и отмечены цифрой 1. Эти точки лежат на пересечении окружности основания с горизонтальным следом секущей плоскости P h. На эпюре рисунке 103б изображены их горизонтальные проекции 1, а их фронтальные проекции 1́ лежат на оси х .

Верхняя точка сечения (вершина гиперболы). На этом же рисунке дана профильная проекция 3˝ вершины гиперболы, которая непосредственно видна на профильной проекции конуса как пересечение его контура со следом Pw .

Следует отметить, что если профильная проекция конуса отсутствует, то, чтобы найти проекции вершины гиперболы (линии сечения), нужны некоторые вспомогательные построения. При этом любая горизонтальная плоскость Q пересекает конус по окружности, которая проецируется на горизонтальную плоскость Н без искажения. Эта окружность проектируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка, который равен ее диаметру и который заключен между контурными образующими конуса. Если провести горизонтальную плоскость Q достаточно близко к основанию конуса, то часть данной окружности будет отсечена плоскостью Р (окружностью 2–2). Если провести такую плоскость несколько ближе к вершине, тогда окружность целиком сохранится (окружность 4). Требуется найти такое положение горизонтальной плоскости, которое даст самую большую целую окружность (окружность 3). Эта плоскость будет касаться гиперболы в вершине, она же определит положение искомой точки 3́.

Горизонтальная проекция этой окружности касается следа P h, а ее радиус равен оа. Поэтому для нахождения проекций вершины гиперболы нужно:

а) повернуть радиус оа на 90° до положения оb ;

б) затем найти фронтальную проекцию точки В на контурной образующей конуса;

в) после этого из точки провести прямую, параллельную оси х, до встречи с осью симметрии фронтальной проекции конуса в точке .

Промежуточные точки гиперболы. Чтобы найти проекции промежуточных точек гиперболы, проводят вспомогательные горизонтальные плоскости Q между вершиной гиперболы и основанием конуса. При этом каждая такая плоскость Q определит по паре точек гиперболы. Это построение выполняется следующим образом:

1) сначала проводят фронтальный след Qv секущей горизонтальной плоскости, которая пересекает контур проекции тела в некоторой точке с́ ;

2) затем находят горизонтальную проекцию с ;

3) после чего радиусом оси проводят окружность. При этом точки, в которых след P h пересекает эту окружность, представляют собой горизонтальные проекции 2 тех точек гиперболы, которые лежат в плоскости Q , поскольку они отделяют сохранившуюся часть окружности от отсеченной плоскостью Р ;

4) в завершение находят фронтальные проекции 2́ точек гиперболы на следе Q v.

Данное построение указано на рисунке стрелками. После того как проведено несколько вспомогательных плоскостей и построено достаточное количество точек гиперболы, следует соединить их при помощи лекала.

Лекция № 11. Пересечение поверхности тел вращения проецирующей плоскостью
1. Сечение поверхности цилиндра
Бывают следующие случаи сечения поверхности прямого кругового цилиндра плоскостью:

1) окружность, если секущая плоскость Р перпендикулярна оси цилиндра, причем она параллельна основанию цилиндра (рис. 104а);

2) эллипс, если секущая плоскость Р не перпендикулярна и не параллельна оси цилиндра (рис. 104б);

3) пара прямых, если секущая плоскость Q содержит ось цилиндра или параллельна ей (рис. 104в).


Особый интерес представляет случай, когда наклонная секущая плоскость пересекает основание цилиндра (плоскость Р 1 на рис. 104б). Здесь часть эллипса может быть неверно принята за параболу или гиперболу. Нужно знать, что ни парабола, ни гипербола не могут быть получены как сечение поверхности кругового цилиндра плоскостью.

На рисунке 105 показано пересечение поверхности цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью Р . Здесь для цилиндра рассмотрено решение всех трех основных задач, связанных с сечением тела плоскостью, т. е. отыскание проекций сечения, его натурального вида и построение развёртки.

Проекции сечения. На рисунке 105а рассмотрено наглядное изображение сечения, а отсюда видно, что большая ось эллипса представлена хордой 0–6, которая пересекает ось цилиндра в точке С . При этом малая ось направлена по горизонтали, перпендикулярной в плоскости V . Следовательно, малая ось проектируется без искажения на горизонтальной и профильной плоскости (рис. 105б), а центр эллипса находится на оси цилиндра (точка С ). Следует отметить, что на рисунке 105б ось симметрии проходит через точки 0–6.


Получающийся в горизонтальном сечении эллипс проецируется на плоскость в виде окружности основания, а на профильную плоскость – в виде эллипса. При этом большая ось эллипса 3˝-9˝ является проекцией малой оси 3–9 исходного эллипса, а малая ось 0˝-6˝ представляет собой проекцию большой оси 0–6. На фронтальной плоскости проекция эллипса есть отрезок 0́-6́, который равен большой оси самого эллипса.

Следовательно, в самом начале построения можно получить две готовые проекции сечения: горизонтальную и фронтальную. После этого нужно построить только профильную проекцию. Следует заметить, что точки 3˝ и 9˝ отделяют видимую часть кривой от невидимой на профильной проекции. Если секущая плоскость Р наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 45°, то профильная проекция эллипса является окружностью. На рисунке 105 угол наклона секущей плоскости меньше 45°, вследствие этого профильная проекция большой оси представляет собой малую ось профильной проекции эллипса. В том случае, если бы угол наклона секущей плоскости был больше 45°, проекция большой оси была бы большой осью профильной проекции эллипса.

Построение натурального вида сечения. Сначала нужно отметить цифрами ряд точек на проекциях эллипса (на рис. 105 отмечено 12 таких точек), после чего следует начинать построение натурального вида сечения. Выполнить это можно двумя способами:

1) построением совмещения плоскости Р с горизонтальной плоскостью путем вращения ее около горизонтального следа P h. На рисунке 105 совмещение построено слева от P h и соответствующие точки отмечены цифрами с чертой сверху;

2) указанием 12 точек эллипса. При этом хорды, параллельные P h, проецируются без искажения на горизонтальную плоскость, а расстояния между этими хордами проектируются на фронтальную плоскость. Вследствие этого проводят через точки следа P v, которые отмечены цифрами, прямые, перпендикулярные P v. Затем перпендикулярно этим линиям проводят ось симметрии данного эллипса. Вместе с крайними вспомогательными прямыми ее пересечение определит точки эллипса 0 и 6, т. е. концы большой оси. После этого от точек А, В и С следует отложить в обе стороны половины соответствующих хорд (Al = а1, В 2 = b 2, C 3 = с 3).

В данном случае хорда 3–9 является малой осью эллипса.

Развертка. На рисунке 106 показано построение развертки боковой поверхности неусеченного цилиндра. Эта боковая поверхность в развернутом состоянии является прямоугольником, основание которого равно длине окружности (?D ), а высота – образующей цилиндра.


В данном случае длина окружности заменена периметром вписанного правильного 12-угольника (рис. 106), после чего через соответствующие точки делений спрямленной окружности проведены образующие. При этом на каждой образующей отмечена ее точка встречи с плоскостью Р .
2. Сечение поверхности конуса
В общем случае круговая коническая поверхность включает в себя две совершенно одинаковые полости, которые имеют общую вершину (рис. 107в). Образующие одной полости представляют собой продолжение образующих другой полости. На практике мы имеем дело не с бесконечно расширяющимися двумя полостями конической поверхности, а с телом, которое ограничено одной полостью этой поверхности и плоскостью, что является обычным круговым конусом.

Бывают различные случаи сечения поверхности кругового конуса плоскостью.

1. Эллипс , если секущая плоскость не параллельна ни одной образующей (рис. 107б). Здесь секущая плоскость пересекает поверхность только одной полости конуса. Угол наклона секущей плоскости по отношению к основанию конуса меньше угла, который образующая конуса составляет с основанием конуса (рис. 108б). Здесь угол является углом, который образующая составляет с основанием.


В том случае, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса (? = ?), окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.

2. Парабола , если секущая плоскость параллельна только одной образующей (рис. 107в). Здесь секущая плоскость не пересекает вторую полости конуса, а угол наклона v1? секущей плоскости по отношению к основанию конуса равен углу (рис. 108в).

На рисунке 108в плоскость Q параллельна образующей SA , а ось параболы параллельна этой образующей.

3. Гипербола , если секущая плоскость параллельна двум образующим (рис. 107а). При этом секущая плоскость пересекает обе полости конуса. Угол наклона секущей плоскости по отношению к основанию конуса больше угла (рис. 108а). На этом рисунке для указания двух образующих, которым параллельна секущая плоскость R , нужно провести через вершину конуса плоскость R 1, которая параллельна плоскости R . Плоскость R 1 должна пересечь поверхность конуса по образующим SA и SB , которым будет параллельна плоскость R .


Заметим, что лишь в случае гиперболы секущая плоскость будет пересекать обе полости конуса. Значит любая плоскость, которая пересекает обе полости конуса, обязательно будет пересекать его поверхность по гиперболе.

4. Пара прямых , если секущая плоскость проходит через вершину конуса и угол ее наклона к основанию конуса больше угла (рис. 107 г). Этот случай иногда рассматривают как частный случай гиперболы.

Анализируя рисунок 108, заметим, что фронтально-проецирующая плоскость может давать сечения всех рассмотренных выше видов.
3. Сечение поверхности шара
Любое сечение поверхности шара плоскостью является окружностью, которая проецируется без искажения только в том случае, если секущая плоскость параллельна плоскости проекций. В общем же случае мы будем получать эллипс. В том случае, если секущая плоскость перпендикулярна плоскости проекций, на этой плоскости проекцией окружности является отрезок прямой, который равен диаметру этой окружности.

На рисунке 109 показано пересечение поверхности шара горизонтально-проектирующей плоскостью Р . На горизонтальную плоскость сечение будет проецироваться в виде отрезка проекции р плоскости Р , который заключён между контуром шара и равен диаметру окружности сечения. На фронтальной плоскости мы получим эллипс. О 1 является центром окружности, который получен в сечении шара. Он расположен на одной высоте с центром шара О . Горизонтальная проекция о 1 центра О 1 окружности располагается посредине отрезка ab . Перпендикуляр, который опущен из точки о на прямую ab , попадает в точку о 1, являющуюся горизонтальной проекцией центра окружности сечения. Фронтальная проекция о́ 1центра окружности является центром интересующего нас эллипса.


Если рассматривать эллипс как проекцию некоторой окружности, то его большая ось всегда будет проекцией того диаметра окружности, который параллелен плоскости проекций, а малая ось эллипса будет представлять собой проекцию диаметра, перпендикулярного ему. Вследствие этого большая ось эллипса проекции всегда равна диаметру проецируемой окружности. Здесь диаметр окружности CD перпендикулярен плоскости Н и проецируется без искажения на фронтальную плоскость. Для нахождения концов большой оси эллипса необходимо отложить вниз и вверх от центра о 1 эллипса (по перпендикуляру к прямой о́о́ 1) отрезки о́ 1с́ и о́ 1 , которые равны половине диаметра окружности сечения о́ 1с́ = о́ 1 = 1/2(ab ). При этом диаметр АВ окружности параллелен горизонтальной плоскости, а его фронтальная проекция а́b́ представляет собой малую ось рассматриваемого эллипса.

Точки, отделяющие видимую часть эллипса от невидимой. Начнем с проведения фронтальной плоскости Q , которая делит шар пополам. Плоскость Q будет пересекать поверхность шара по окружности, проецирующейся на фронтальную плоскость в виде контура. Тогда часть линии сечения, расположенную на передней части шара, будет видно, если смотреть на шар спереди, а остальная её часть не будет видна. Плоскость Q пересечет плоскость Р по фронтали Ф 1. Пересекаясь с контуром, ее фронтальная проекция Ф определит точки 1 , которые отделяют видимую часть кривой от невидимой. Промежуточные точки 2́ эллипса можно найти с помощью вспомогательной фронтальной плоскости R, пересекающей поверхность шара по окружности радиуса r 2, а плоскость Р – по фронтали Ф2.
4. Косые сечения
Пусть требуется построить натуральный вид сечения фронтально-проецирующей плоскостью тела. На рисунке 110а рассматривается тело, ограниченное тремя цилиндрическими поверхностями (1, 3 и 6), поверхностью конуса (7) и сферой (5). При этом цилиндры 1 и 6 ограничены сверху плоскостью 8, а цилиндр 3 ограничен с двух сторон плоскостями 2 и 4. Следовательно, кроме кривых поверхностей, тело также ограничено тремя плоскостями (2, 4 и 8), причем плоскость 8 не затрагивается секущей плоскостью.

На рисунке 110б показана фронтальная проекция сечения, которая совпадает со следом плоскости. Построим натуральную величину сечения, ограничиваясь лишь одной его половиной.

Построение делают следующим образом:

1) цилиндр 1 пересекается секущей плоскостью по дуге эллипса, большая полуось которого имеется без искажения на главном виде áf́ . Здесь центр эллипса располагается на оси симметрии главного вида (точка ), а отрезок FG является малой полуосью эллипса, которая равна радиусу окружности рассматриваемого цилиндра 1.

Для дуги этого эллипса в сечении мы строили четыре точки: А – конец большой оси (вершина эллипса), G – конец малой оси, С – промежуточная точка и К – точка, в которой заканчивается дуга эллипса;

2) линия пересечения в точке К переходит с поверхности цилиндра 1 на верхнее основание цилиндра 3 (на плоскость 2).

Отрезок KL прямой, по которой секущая плоскость пересечет плоскость 2, изображена в натуральную величину на плане (KL = kl );

3) от точки L до точки R мы располагаем небольшой дугой эллипса, которая соответствует пересечению с боковой поверхностью цилиндра 3;

4) затем пересечение проходит по прямой RN , которая принадлежит плоскости 4 (RN = rn );


5) далее с плоскости 4 линия пересечения переходит на поверхность шара 5, центр которого находится в точке О , а центр окружности, по которой секущая плоскость пересекает поверхность шара, 1 в точке Q . При этом радиус этой окружности равен q́ṕ = QP , им нужно провести дугу из центра Q до встречи с прямой RM в точке N (MN = mn );

6) соответственно от пересечения секущей плоскости с поверхностью цилиндра 6 должна получиться дуга эллипса BE . Здесь цилиндры 1 и 6 имеют общую ось, вследствие чего у обоих эллипсов один и тот же центр находится в точке F ;

7) линия пересечения переходит в точке Е на поверхность конуса 7, тогда наклон секущей плоскости по отношению к основанию конуса оказывается больше наклона образующей. Следовательно, мы получаем гиперболу с вершиной в точке Н , а слева от горизонтальной проекции на рисунке 110 построен натуральный вид этого сечения.

Лекция № 12. Следы прямой на поверхности геометрических тел
1. Пирамида
Чтобы найти следы прямой на поверхности некоторого геометрического тела, нужно провести через прямую вспомогательную плоскость, затем найти сечение поверхности тела этой плоскостью. Искомыми будут точки пересечения найденного сечения и данной прямой (рис. 111).

Для нахождения точек М и N , в которых прямая I встречает поверхность пирамиды, проделаем следующее.

1. Через данную прямую I нужно провести фронтальнопроектирующую плоскость Р .


2. Затем найти точки А 1, В 1 и С 1, в которых ребра пирамиды встречают плоскость Р . Вследствие этого получим треугольник сечения поверхности пирамиды плоскостью Р.

Прямая I и треугольник А 1В 1С 1 лежат в одной и той же плоскости Р, поэтому точки М и N пересечения прямой I со сторонами треугольника А 1В 1С 1 являются искомыми.
2. Конус
Пусть нужно найти точки М и N , в которых прямая I встречает поверхность конуса. Для этого рассмотрим рисунке 112, на котором показано нахождение следов прямой на поверхности конуса. Через вершину S и данную прямую I проводят плоскость Р , что показано на рисунке 112, б, причем плоскость Р будет пересекать конус по двум образующим: AS и BS . Упомянутые образующие встретят данную прямую в искомых точках М и N . Тогда найдём проекции точек пересечения (рис. 112, а):


1) плоскость Р определяется точкой S и прямой I, тогда найдем ее след Р h. При этом одна точка следа P h определяется следом h 1 прямой I. Вторая точка искомого следа P h находится путем проведения в плоскости Р произвольной прямой до встречи с горизонтальной плоскостью. С этой целью соединим точку S с любой точкой С этой прямой и найдем след h 2 прямой SC . Прямая, соединяющая точки h 1 и h 2, будет представлять собой след P h;

2) затем нужно приступать к нахождению горизонтальных проекций а и b точек пересечения А и В следа P h с окружностью основания конуса;

3) после этого проводят горизонтальные проекции as и bs , образующих AS и BS , причем их фронтальные проекции не нужны;

4) далее отмечают точки пересечения m и n горизонтальных проекций образующих as и bs с горизонтальной проекцией данной прямой, они будут горизонтальными проекциями искомых точек М и N ;

5) в заключение остается найти фронтальные проекции и на фронтальной проекции Í данной прямой.
1   2   3   4   5


Лекция № 10. Пересечение поверхностей тел вращения дважды проецирующей плоскостью
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации