Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике - файл n1.doc

приобрести
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике
скачать (3829.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3830kb.10.09.2012 14:34скачать

n1.doc

1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   32

§ 2.9. Применения определителей



1. Необходимое и достаточное условие невырожденности матрицы
Напомним, что квадратную матрицу А мы назвали невырожденной, если ее строки линейно независимы, и вырожденной в противном случае. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Матрица А (квадратная) невырождена тогда и только тогда, когда ее определитель |А| не равен нулю.
Доказательство. Пусть |A| ? 0, докажем, что А невырождена. Предположим, рассуждая от противного, что А — вырожденная матрица. Тогда между ее строками а1, а2, ..., аn имеется линейная зависимость, т. е. одна из строк линейно выражается через другие.

Пусть, например,

Прибавив тогда к первой строке определителя вторую строку, умноженную на -3, и затем третью, умноженную на 5, получим определитель с первой строкой

который равен нулю. Так как при указанных преобразованиях величина определителя не изменилась (свойство 6 § 2.7), то имеем |А| = 0, что противоречит условию. Итак, в одну сторону теорема доказана.

Пусть теперь матрица А невырождена. Докажем, что |A| ? 0. Рассуждая от противного, допустим, | = 0. Как мы уже видели (см. доказательство теоремы из § 2.4), невырожденную матрицу с помощью элементарных преобразований над строками можно привести к единичной матрице Е. В данном случае речь идет о следующих преобразованиях:
а) перестановка строк;

б) умножение строки на число ? ? 0;

в) прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число.
Еще один вид элементарных преобразований, а именно — вычеркивание нулевой строки, здесь невозможен (в невырожденной матрице не может быть нулевых строк). Рассмотрев каждое из преобразований а), б), в), нетрудно убедиться, что при любом из них определитель остается равным нулю. Следовательно, |Е| = 0. Но это невозможно, так как определитель единичной матрицы равен 1. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
2. Формула для обратной матрицы
Мы уже располагаем некоторым способом нахождения обратной матрицы (§ 2.4). Но можно указать и формулу для А-1.

Для краткости рассмотрим матрицу A размера 3 х 3:

Составим новую матрицу

где Aij, как и раньше, обозначает алгебраическое дополнение для элемента aij в определителе |А|.

Матрицу А* называют обычно присоединенной для А.
Теорема. Если |A| ? 0, то матрица

является обратной для А.
Доказательство. Необходимо проверить, что AQ = Е.

Имеем:

Произведение двух матриц, записанных справа, обозначим временно через С и покажем, что С= |А|Е. Действительно, подсчитаем любой из «диагональных» элементов матрицы С, например c11:

Полученная сумма дает разложение определителя |А| по первой строке и потому c­11 = |А|. В то же время любой «недиагональный» элемент матрицы С равен нулю. Например, c12:

но последняя сумма равна нулю на основании свойства 7 § 2.7 определителей. Итак, мы видим, что С = |А| Е, следовательно,

Теорема доказана.
Пример. Проверить, что матрица

является невырожденной, и найти по формуле (2.18) матрицу A-1.
Решение. Приведем без комментариев соответствующие выкладки:

3. Формулы Крамера для системы nхn
Для сокращения записей рассмотрим случай п = 2. Итак, пусть дана система

или в матричной записи:

где

Предположим, что матрица А является невырожденной: |А| ? 0. Тогда существует обратная матрица A-1, равная

Умножив обе части уравнения (2.19) слева на A-1 , получим:

т. е.

Полученные выражения для неизвестных допускают интересную интерпретацию. Рассмотрим наряду с матрицей А еще две матрицы:

— каждая из них получается из А заменой соответствующего столбца столбцом В. Тогда будем иметь:

(разложение определителя 1| по первому столбцу) и

(разложение по второму столбцу). Таким образом,

Написанные формулы носят название правила Крамера для системы 2 х 2. Аналогичным путем можно получить правило Крамера для системы п х n.
Правило Крамера для системы n х п
Пусть дана система АХ = В п линейных уравнений с п неизвестными. Если |А| ? 0, то система имеет единственное решение:

где Аi означает матрицу, полученную из А заменой i-го столбца столбцом В (i = 1, 2,..., п).

Формулы Крамера (2.20) имеют скорее теоретическое, чем практическое значение, так как для нахождения x1, ….., xn требуется вычислить п + 1 определителей: |А|, |А1|,..., |Аn|, что при достаточно больших п является громоздким делом.
4. Необходимое и достаточное условие существования ненулевого решения однородной системы п х п
В § 1.5 уже говорилось о важности решения такого вопроса: имеет ли данная однородная система линейных уравнений ненулевые решения? Для однородной системы п х п справедлива следующая теорема.
Теорема. Однородная система п х п:

имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда |A| = 0, т. е. когда матрица А — вырожденная.
Доказательство. Пусть система имеет ненулевое решение, докажем, что |A| = 0. Если бы это было не так, то по правилу Крамера система должна была бы иметь единственное решение Х = 0, что противоречит условию.

Пусть |А| = 0. Докажем, что существует ненулевое решение. Для сокращения записей положим п = 2, т. е. рассмотрим систему

Так как |A| = 0, то и T| = 0 (свойство 8 определителей § 2.7), а значит, матрица

тоже является вырожденной. Но в таком случае между строками матрицы AT, a значит, между столбцами А имеется линейная зависимость. Обозначим указанные столбцы 1, 2. Итак, существуют числа x01, х02, неравные одновременно нулю и такие, что

В подробной записи это означает

что, в свою очередь, означает существование ненулевого решения системы (2.21). Теорема доказана.

1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   32


§ 2.9. Применения определителей
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации