Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике - файл n1.doc

приобрести
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике
скачать (3829.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3830kb.10.09.2012 14:34скачать

n1.doc

1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   32

§ 2.7. Свойства определителей



Ниже речь будет идти о свойствах двоякого рода. С одной стороны, мы укажем ряд действий над определителем, которые не меняют его величины или умножают его на -1; с другой стороны, будут указаны некоторые признаки равенства определителя нулю.
Свойство 1. Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.
Для доказательства достаточно разложить определитель по элементам данной строки.
Свойство 2. При перестановке любых двух строк определитель умножается на -1.
Ограничимся рассмотрением определителя 3-го порядка. Возможны два случая:

1) Переставляются две соседние строки, например, первая и вторая. Положим

Необходимо доказать, что ?' = -?. Для этого разложим определитель ? по первой строке, а ?' — по второй строке. Получим

Итак, ?' = -?.

2) Переставляются две несоседние строки, а именно, первая и третья. Такую перестановку можно осуществить в три шага: сначала переставить первую строку со второй; затем вторую строку с третьей; наконец, снова первую строку со второй. При каждом шаге определитель умножается на -1. Так как шагов — три, т. е. нечетное число, то в итоге получаем ?' = -?.
Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.
Действительно, пусть в определителе ? i-я строка совпадает с j-й. Поменяв эти строки местами, получим определитель ?', ничем не отличающийся от ?, т. е. ?' = ?. С другой стороны, в силу свойства 2 должно быть ?' = -?. Отсюда ? = -?, т. е. ? = 0.
Свойство 4. Общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя.
Например,

Для доказательства свойства 4 достаточно разложить по первой строке определитель, стоящий слева.
Свойство 5. Если элементы некоторой строки определителя ? представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух определителей ?1 и ?2. В определителе ?1 указанная строка состоит из первых слагаемых, в ?2из вторых слагаемых. Остальные строки определителей ?1 и ?2те же, что и в ?.
Например,

Для доказательства разложим определитель, стоящий слева, по первой строке. Получим сумму

или, после раскрытия скобок,

Первая из этих двух сумм равна первому из определителей справа, вторая сумма равна второму определителю.
Свойство 6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк прибавить другую строку, умноженную на какое угодно число.
Например,

Для доказательства применим к определителю, стоящему слева, свойство 5. Найдем, что этот определитель равен

Второй из этих определителей равен нулю, так как после вынесения за знак определителя общего множителя k элементов первой строки получается определитель с двумя одинаковыми строками.
Свойство 7. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равна нулю.
Например, в случае определителя третьего порядка

справедливо равенство

Слева стоит сумма произведений элементов второй строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам первой строки. Для доказательства (2.16) рассмотрим определитель

который равен нулю в силу свойства 3.

Разлагая его по элементам первой строки, получим:

где А'11,А'12,А'13 — алгебраические дополнения для элементов первой строки в определителе ?'. Но, очевидно, что A'11 = A11, А'12 = А12, А'1313, откуда и следует равенство (2.16).
Свойство 8. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы АТ:

т. е. определитель не меняется при транспонировании.

Доказательство не приводится.

Из свойства 8 следует, что любое из свойств определителя остается справедливым, если в его формулировке заменить всюду слово «строка» словом «столбец». В частности, справедлива следующая теорема-аналог основной теоремы для столбцов.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любого столбца на их алгебраические дополнения.
Это означает, что при любом i = 1, 2, ..., п, где п — порядок определителя, справедливо равенство

называемое разложением определителя по i-му столбцу.

§ 2.8. Практический способ вычисления определителей



Практическое вычисление определителей основано на формуле разложения определителя по строке (2.15)

или на аналогичной формуле разложения по столбцу (2.17). Последнее равенство принимает особенно простой вид, если в i-й строке определителя все элементы равны нулю, кроме одного, скажем aij.

Тогда получаем

Вычисление определителя n-го порядка |А| сводится к вычислению одного определителя (п - 1)-го порядка Мij. Хотя в наперед заданном определителе может не оказаться строки с нужным количеством нулей, тем не менее всегда можно, не изменяя величины определителя, преобразовать его так, чтобы в выбранной по желанию строке все элементы, кроме одного, оказались нулями. Это преобразование основано на свойстве 6 § 2.7 определителя. При этом, «делая нули» в строке, следует использовать «столбцевой» вариант свойства 6, т. е. определитель не изменится, если к одному из столбцов прибавить другой, умноженный на какое угодно число. Напротив, «обнуляя» элементы столбца, используем свойство 6 § 2.7 в «строчной» формулировке.

Способ преобразования определителя к нужному виду приведен в следующем примере.
Пример. Вычислить определитель

Решение. Во второй строке уже имеется один нуль, поэтому займемся именно этой строкой. Постараемся, не изменяя величины определителя, преобразовать его так, чтобы во второй строке все элементы оказались равными нулю, кроме, скажем, a24 = 1 (что-то вроде «разрешающего элемента» в методе Гаусса). Для этого оперируем со столбцами: ко второму столбцу прибавляем четвертый столбец, умноженный на 2, и к третьему столбцу — четвертый, умноженный на -2. Получаем определитель

по-прежнему равный ?.

Разлагаем этот определитель по второй строке:

Получившийся определитель 3-го порядка можно уже вычислить непосредственно, но можно и с ним поступить аналогично: к третьему столбцу прибавить первый столбец, умноженный на 1. Получим


1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   32


§ 2.7. Свойства определителей
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации