Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике - файл n1.doc

приобрести
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике
скачать (3829.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3830kb.10.09.2012 14:34скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   32

§ 2.5. Решение системы n х n с помощью обратной матрицы



Рассмотрим произвольную систему п линейных уравнений с n неизвестными.

В матричной записи (§ 2.2):

где А — матрица п х п, — столбец неизвестных, столбец свободных членов.

Пусть матрица А является невырожденной. Умножим обе части уравнения (2.10) слева на матрицу А-1. Получим

или

Формула (2.11) дает единственное решение системы (2.10) в случае невырожденной матрицы А.

Формулу (2.11) можно использовать для нахождения столбца . Однако для этого необходимо уметь находить матрицу A-1. Изложенный выше способ нахождения А-1 есть, по существу, тот же метод Гаусса применительно к матрицам. Но методом Гаусса можно решить и саму систему (2.10), не прибегая к использованию A-1. С этой точки зрения формула (2.11) становится практически бесполезной. Ее следует рассматривать как средство нахождения матрицы A-1.

В одном из следующих параграфов (§ 2.9) мы ознакомимся со способом нахождения матрицы А-1, не имеющим прямого отношения к методу Гаусса. В этом случае приобретает смысл и использование формулы (2.11). Впрочем, упомянутый второй способ нахождения А-1 пригоден только при небольших значениях п (скажем, при n = 2 или 3). При п > 3 этот способ становится громоздким и трудно осуществимым. Тогда для нахождения A-1 применяется все тот же метод Гаусса.

Однако существует случай, когда формула (2.11) становится эффективной, а именно, когда надо решать много систем уравнений с одной и той же матрицей системы, но с разными правыми частями. Например, так обстоит дело при рассмотрении модели Леонтьева (см. гл. 3).

§ 2.6. Понятие определителя порядка n. Основная теорема об определителях



Каждой квадратной матрице п х n по определенному закону ставится в соответствие некоторое число |А|, называемое определителем матрицы А или просто определителем п-го порядка.

Следующие четыре параграфа посвящены определению и свойствам определителя, а также применениям определителей к различным задачам линейной алгебры.

Определитель 2-го порядка вводится при помощи формулы:

а определитель 3-го порядка — формулой

Запомнить формулу (2.13) можно с помощью двух схем:

На левой схеме соединены линиями каждые три элемента определителя, произведение которых входит в правую часть (2.13) со знаком «+»; на правой схеме показаны произведения, входящие со знаком «-».

Чтобы подметить общую закономерность в выражениях (2.12) и (2.13) и на этой основе сформулировать определение определителя любого порядка п, необходимо ввести понятие минора и алгебраического дополнения.

Рассмотрим определитель п-го порядка:

Выделим в нем какой-то определенный элемент aij. Вычеркнем из определителя строку и столбец, в которых расположен элемент aij, т. е. i-ю строку и j-й столбец. Останется некоторый определитель (n - l)-гo порядка. Этот определитель называется минором элемента aij в определителе |А| и обозначается Мij.

Например, в случае определителя 4-го порядка

имеем

Разумеется, определение минора можно признать пока только условным, поскольку само понятие определителя порядка п введено только для случаев п = 2 и п = 3.
Определение 1. Алгебраическим дополнением элемента аij в определителе |А| называется число

Например,

Если воспользоваться понятием алгебраического дополнения, то формулы (2.12) и (2.13) можно записать в следующем виде:

Равенства (2.12') и (2.13') проверяются непосредственно, поскольку при n = 2 имеем A11 = а22,, А12 = а21, а при п = 3

Формулы (2.12') и (2.13') подсказывают, каким должно быть определение определителя любого порядка п.
Определение 2. Определителем матрицы А называется сумма произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения:

Поскольку определители 2-го и 3-го порядков уже определены, формула (2.14) позволяет находить определители 4-го порядка, затем 5-го и т. д.

Например,



В данном выше определении определителя первая строка играет особую роль. Между тем если обратиться к выражению (2.13) для определителя 3-го порядка, то увидим, что его можно записать и в таком виде:

а также в виде

Это делает правдоподобной гипотезу: определитель равен произведению элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

Оказывается, что такая гипотеза не только правдоподобна, но и просто верна. Справедлива следующая теорема.
Основная теорема об определителях. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.
Иначе говоря, для определителя п-го порядка при любом i (i = 1, 2 ,.. ., п) справедливо равенство

Доказательство основной теоремы не приводится.

Равенство (2.15) называется разложением определителя по i-й строке. С его помощью нахождение определителя |А| п-го порядка сводится к нахождению ряда миноров, т. е. определителей (n - l)-гo порядка. Каждый из последних выражается через определители (п - 2)-го порядка и т. д. В целом получается все же громоздкая процедура. Однако ее можно сильно упростить, если воспользоваться знанием свойств определителей.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   32


§ 2.5. Решение системы n х n с помощью обратной матрицы
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации