Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике - файл n1.doc

приобрести
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике
скачать (3829.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3830kb.10.09.2012 14:34скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32

§ 2.3. Умножение квадратных матриц. Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная матрица



Условимся дальше рассматривать квадратные матрицы размера п х п, где п — фиксированное число. Тогда произведение АВ имеет смысл для любых матриц А и В.

Отметим ряд новых свойств умножения матриц, возникающих при рассмотрении квадратных матриц.

1. Матрица

на «главной диагонали» которой стоит число 1, а вне диагонали 0, называется единичной матрицей (порядка п).

Для любой матрицы А имеем

что проверяется непосредственно. Например, при п = 2 имеем

2. Известно, что для любого числа а ? 0 существует обратное число a-1, для которого

Оказывается, ничто подобное имеет место и для матриц, причем роль условия а ? 0 играет своеобразное условие невырожденности матрицы А.
Определение 1. Пусть А — квадратная матрица п х п. Матрица В (того же размера) называется обратной для А, если

Обратную матрицу А обычно обозначают А-1.

Определение 2. Матрица А (квадратная) называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, и вырожденной в противном случае.

Понятно, что строки матрицы А — это арифметические векторы (из Rn), поэтому можно ставить вопрос об их линейной зависимости или независимости.

Очевидно, в невырожденной матрице не может быть нулевых строк. Это непосредственно следует из того, что любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Отметим одно важное свойство невырожденных матриц. Предварительно условимся, что элементарным преобразованием над строками матрицы называется любое из следующих действий:

1) перестановка строк;

2) вычеркивание нулевой строки (если таковая имеется);

3) умножение любой строки на число ? ? 0;

4) прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число.

Иначе говоря, речь идет о тех же самых элементарных преобразованиях, используемых в методе Гаусса, с той лишь разницей, что теперь эти преобразования производятся не над уравнениями системы, а над строками матрицы.
Лемма. Если над строками невырожденной матрицы А проделать элементарное преобразование, то получим снова невырожденную матрицу.
Доказательство. Чтобы убедиться в справедливости леммы, нужно рассмотреть все виды элементарных преобразований и в каждом случае убедиться, что матрица остается невырожденной.
Преобразование вида 1) не меняет по существу системы строк, и в этом случае доказывать попросту нечего. Преобразование 2) невозможно, так как в невырожденной матрице не может быть нулевых строк. Столь же очевидным является случай преобразования 3). Остается случай преобразования 4), который мы предлагаем читателю рассмотреть самостоятельно. Например, для матрицы А размера 3 х 3 необходимо проверить, что если векторы (строки) a1, a2, a3 линейно независимы, то векторы 1 + k2, 2, 3 (где k — любое число) тоже линейно независимы. Эта проверка представляет собой простое упражнение на линейную зависимость.

§ 2.4. Способ нахождения обратной матрицы



Теорема. Для любой невырожденной матрицы А существует обратная матрица А-1.
Докажем теорему и одновременно дадим способ нахождения обратной матрицы.

Рассмотрим теорему с более общих позиций: будем решать матричное уравнение

где А и В — две данные матрицы, а Х — неизвестная матрица. В частном случае, когда В = Е, матрица Х будет обратной к А.
Способ решения уравнения АХ=В
Пусть А — невырожденная матрица. Приведем ее с помощью элементарных преобразований над строками к единичной матрице Е (возможность такого приведения будет доказана). Если затем те же самые преобразования применить к строкам матрицы В, то получим искомую матрицу X.

Заметим, что нет необходимости специально запоминать преобразования, совершенные над А, чтобы проделать их над В. Вместо этого можно приписать к А (например, справа) матрицу В:

и выполнять преобразования сразу над «сдвоенной» матрицей. После того как левая половина приведется к Е, правая приведется к искомой матрице X.
Доказательство. Для сокращения записей будем считать п = 3. Обозначим столбцы матрицы В через 1, 2, 3 и рассмотрим каждую из следующих трех систем уравнений:

где обозначает матрицу-столбец .

Будем решать эти системы поочередно одну за другой, применяя метод Гаусса.

Начнем с первой системы:

Исходная таблица Гаусса для этой системы имеет вид

В процессе преобразований не может появиться противоречивое уравнение

ибо при элементарных преобразованиях над строками матрицы А она должна оставаться невырожденной (см. лемму § 2.3 ), а в невырожденной матрице, как уже говорилось, не может быть нулевых строк. По тем же причинам не может появиться уравнение

т. е. число уравнений в системе меняться не будет. Но в таком случае мы должны после ряда шагов прийти к системе из трех уравнений, где каждому уравнению соответствует свое базисное неизвестное, т. е. к системе вида

Заметим, что матрица из коэффициентов при неизвестных в этой системе есть единичная матрица Е. Отметим этот факт особо: невырожденная матрица А приводится к Е с помощью элементарных преобразований над строками.

Обозначим столбец свободных членов в системе (2.5) через 1. Поскольку система (2.5) равносильна исходной системе (2.4), имеем:

Обратимся ко второй из систем (2.3):

Если те же самые элементарные преобразования, что использовались для решения системы (2.4), применить и здесь, то получим решение системы (2.6), т. е. такой столбец 2, что А2 = 2. Аналогично получим столбец 3, А3 = 3.

Итак, имеем:

Составим из столбцов 1, 2, 3 матрицу С:

Тогда вместо трех равенств (2.7) можно записать одно:

т. е. С — искомая матрица. Причем, как видно из наших рассуждений, каждый ее столбец i получается из соответствующего столбца i с помощью тех же самых элементарных преобразований, что переводят матрицу А в единичную.

Итак, мы обосновали указанный способ нахождения матрицы Х и тем самым доказали существование обратной матрицы А-1 для любой невырожденной матрицы А. Сформулируем отдельно способ нахождения матрицы А-1.
Способ нахождения обратной матрицы
Пусть А — невырожденная матрица. Припишем к ней (например, справа) единичную матрицу Е. Далее с помощью элементарных преобразований над строками «сдвоенной» матрицы (А | Е) приводим А («левую половину») к единичной матрице Е. Тогда на месте первоначально приписанной матрицы Е окажется матрица A-1.

Заметим, что из самого способа нахождения матрицы А-1 легко следует, что матрица, обратная для А-1 есть А. Действительно, проделав преобразования, переводящие А в Е, в обратном порядке из матрицы E получим A, а из A-1 — матрицу Е. Это означает, что А есть обратная матрица для А-1, т. е. А-1 А = Е.
Пример 1.

Для матрицы

найти обратную матрицу А-1.

Воспользуемся описанным выше способом нахождения A-1. При этом нет необходимости специально проверять невырожденность матрицы А. Это будет вытекать из самой возможности приведения А к Е. Действительно, если элементарные преобразования, приводящие А к Е, проделать в обратном порядке, то из матрицы Е получим А. Но матрица Е — невырожденная (это очевидно). Следовательно, и матрица А — невырожденная.

Итак, составим матрицу

С помощью элементарных преобразований приведем ее левую «половину» А к матрице Е:

(закончен 1-й этап преобразований: первый столбец матрицы, стоящий левее вертикальной черты, принял вид первого столбца матрицы Е);

(закончен 2-й этап преобразований);

Правее вертикальной черты получилась обратная матрица A-1:

Пример 2.

Решить уравнение

где Х — неизвестная матрица 3 х 3.
Решение.

Имеем

Правее вертикальной черты получилась искомая матрица

До сих пор мы ничего не сказали о возможности существования обратной матрицы в случае вырожденной матрицы А, Для этого случая справедливо следующее предложение.

Для вырожденной матрицы А не существует обратной матрицы.

Кратко наметим доказательство. Если матрица А вырождена, то между ее строками существует линейная зависимость. Но тогда, как следует из правила умножения матриц, точно такая же зависимость имеется и между строками матрицы АВ, где В — какая угодно матрица.

Действительно, пусть, например, между строками 1, 2, ..., n матрицы А существует такая зависимость:

Обозначая столбцы матрицы В через 1, 2, ……, n и умножая скалярно обе части равенства (2.8) на вектор j, где j — любое из чисел 1, 2 , .. ., п, будем иметь

т. е.

где cij — элементы матрицы С = АВ. Наличие равенства (2.9) при всех j = 1, 2 , .. ., п означает, что между строками матрицы С существует зависимость

т. е. точно такая же зависимость, что и между строками матрицы A.

Если теперь предположить, что существует матрица А-1, то это означало бы, что точно такая же зависимость, какая существует между строками матрицы А, существует и между строками АА-1, т. е. между строками единичной матрицы Е. Между тем строки матрицы Е линейно независимы.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32


§ 2.3. Умножение квадратных матриц. Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная матрица
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации