Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике - файл n1.doc

приобрести
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике
скачать (3829.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3830kb.10.09.2012 14:34скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32

Глава 2. Матрицы и определители




§ 2.1. Операции над матрицами



Определение 1. Матрицей (точнее, числовой матрицей) называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Размером матрицы называется пара чисел т, п, где т — число строк, a n — число столбцов в таблице.
Например,

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Матрица размера п х п называется квадратной матрицей порядка п. Матрицу размера 1 х п (одна строка) называют обычно матрицей-строкой, а размера m х 1 (один столбец) — матрицей-столбцом. Матрица-строка 1 х п — это фактически вектор из Rn, а матрица т х 1 — вектор из Rm. Например,

Для сокращенной записи матриц будем использовать заглавные буквы: А, В,.... Например, А = или, скажем, В = .
Над матрицами можно производить ряд операций. Прежде всего матрицы одинакового размера можно складывать. Сложить две матрицы означает сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

Далее, матрицу можно умножить на число. Это означает, что все элементы матрицы следует умножить на данное число. Например,

Однако главные применения матриц связаны с другой операцией — умножением матриц. Это очень своеобразная операция, лежащая в основе целого раздела линейной алгебры — алгебры матриц.
Пусть даны две матрицы:
А — размера т х п;

В — размера п х k.
Как видно, число столбцов в матрице А по условию равно числу строк в матрице В, или, выражаясь свободнее, длина строки в матрице А совпадает с высотой столбца в матрице В. В этом случае можно определить матрицу С = АВ, которая будет иметь размеры т х k (правило для запоминания: = ). Элемент матрицы С, расположенный в произвольной i-ой строке (i = 1, ..., т) и произвольном j-ом столбце (j = 1, ..., k), по определению равен скалярному произведению двух векторов: i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.
Например:

Соглашение. Элементы матрицы в общих рассуждениях принято обозначать буквами с двумя номерами (индексами). Если, например, матрица обозначена А, то ее элемент, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце, обозначается aij. Скажем,

— общая запись матрицы размера 2 х 3.

В таких обозначениях правило умножения матриц запишется следующим образом:

Свойства умножения матриц
Умножение матриц в некоторых отношениях сходно, но в других отношениях отличается от умножения чисел.

1. ab = ba для чисел, но АВ ? ВА (в общем случае) ддя матриц.

Например,

2. Важнейшее свойство умножения матриц заключается в том, что умножение матриц, подобно умножению чисел, подчиняется сочетательному закону:

Доказательство в общем виде требует довольно громоздких записей, поэтому ограничимся только случаем квадратных матриц.

Пусть А, В, С — квадратные матрицы одного и того же размера, скажем, 2 х 2. Запишем их так:

Имеем:

Сравнивая полученные выражения для матриц (АВ)С и А(ВС), убеждаемся в их полном совпадении. Например, элемент матрицы (АВ)С, расположенный в первой строке и втором столбце, равен

но точно такое же выражение имеет и элемент матрицы А(ВС), расположенный в том же месте.

3. Любой матрице А размера т х п можно сопоставить матрицу АT (читается: матрица, транспонированная к A) размера п х т. Строки матрицы АT это столбцы матрицы А с сохранением их порядка.

Например,

Предоставляем читателю проверить следующее свойство умножения матриц самостоятельно:

Пример. Предприятие выпускает три вида продукции П1, П2, П3, используя два вида сырья S1,S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей

(Буквы S1, S2, П1, П2, П3 представлены для пояснения. Например, число a21 = 3 в матрице А означает, что на выпуск единицы продукции П1 расходуются 3 единицы сырья S2). Определить затраты сырья, необходимые для осуществления следующего выпуска товаров:

Решение. Затраты S1 составляют: 5 • 150 + 0 • 120 + 4 • 80 ед., а затраты S2 составляют: 3 • 150 + 1 • 120 + 4 • 80 ед. Отсюда видно, что вектор-столбец = (s1, s2)T затрат сырья может быть записан в виде произведения

Допустим, что кроме этих данных указаны еще и стоимости каждого вида сырья (в расчете на единицу сырья):

Тогда стоимость всего затраченного сырья будет

или, в матричной записи

Разумеется, если будет необходимо решить другую подобную задачу, то можно, не повторяя рассуждений, сразу записать ответ в виде A.

§ 2.2. Матричная запись системы линейных уравнений



Одно из важных применений матриц связано с рассмотрением систем линейных уравнений.

Пусть дана система т х п:

Введем в рассмотрение матрицы:

Тогда систему (2.1) можно заменить единственным уравнением

Действительно, матрицы АХ и В имеют один и тот же размер т х 1, т. е. каждая из них представляет собой столбец «высоты» т. Приравнивая друг другу первые элементы этих столбцов, получим

что в точности совпадает с первым уравнением системы (2.1). Аналогичный результат дает сравнение вторых элементов, третьих и т. д. В итоге получаем, что уравнение (2.2) равнозначно системе уравнений (2.1).

Уравнение (2.2) называют матричной записью системы (2.1).

Например, система

в матричной записи выглядит так:


1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32


Глава 2. Матрицы и определители
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации