Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике - файл n1.doc

приобрести
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике
скачать (3829.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3830kb.10.09.2012 14:34скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32

§ 1.5. Применения метода Гаусса



Определение 1. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной.
Общий вид однородной системы т уравнений с п неизвестными:

Однородная система всегда совместна: одно из ее решений есть

Это решение называется нулевым. Особую важность представляет вопрос, имеет ли данная однородная система ненулевые решения. Частичный ответ дает следующая теорема.
Теорема. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.
Доказательство. Применим к данной системе метод Гаусса. В процессе преобразований не могут появиться противоречивые уравнения 0 ∙ x1 +...+ 0 ∙ хn = b, где b ? 0, поскольку все свободные члены уравнений — нули. Значит, после некоторого числа шагов получим систему, где каждому уравнению будет соответствовать свое базисное неизвестное. Поскольку число уравнений меньше числа п неизвестных, то и число базисных неизвестных должно быть меньше n. Следовательно, обязательно имеются свободные неизвестные. Система имеет бесчисленное множество решений, в том числе — ненулевые решения.

Доказанная теорема имеет многочисленные применения. В частности, докажем с ее помощью теорему, анонсированную в конце §1.3. Напомним ее формулировку.
Теорема. В пространстве Rn любая система из s векторов, где s > п, линейно зависима.
Доказательство. Для сокращения записей рассмотрим случай п = 2, s = 3, т. е. систему из трех векторов в R2. Те же рассуждения можно повторить в общем случае. Итак, пусть

— три вектора из R2. Наша цель — показать, что система 1, 2, 3 линейно зависима, т. е. что уравнение

имеет ненулевые решения.

Координатами вектора x1a1 + x2a2 + х3а3 являются числа ?1x1 + ?2x2 + ?3x3; ?1x1 + ?2x2 + ?3x3, поэтому мы должны показать, что система

имеет ненулевые решения. Но это прямо следует из предыдущей теоремы.

По поводу общего случая (п и s — любые, s > n) заметим, что соответствующая однородная система будет содержать п уравнений (столько, сколько координат у вектора из Rn) и s неизвестных (столько, сколько векторов в системе). Поскольку п < s, ненулевые решения существуют.

В заключение отметим, что метод Гаусса может быть с успехом использован для решения вопроса о том, является ли данная система векторов 1, 2, …, s линейно зависимой. В этом случае вопрос заключается в том, имеет ли уравнение

ненулевые решения.

Уравнение (1.11) в координатной записи означает систему п линейных уравнений с s неизвестными. Для решения системы можно воспользоватьсяметодом Гаусса. Если окажется, что решение единственное (т.е. нулевое), то система 1, 2, …, s линейно независима; в противном случае эта система линейно зависима.
Пример. Дана система из четырех векторов в R5:

Выяснить, является ли эта система линейно зависимой.
Решение. Пишем уравнение

или, в координатной записи, — систему уравнений

Если эта система имеет только нулевое решение, то система векторов (1.12) линейно независима. Если же имеются и ненулевые решения, то система (1.12) линейно зависима.

Применим к системе уравнений (1.13) метод Гаусса:

Процесс преобразований закончен. Получилась система уравнений с базисными неизвестными x1, х2, х4 и свободным неизвестным x3. Наличие свободного неизвестного означает, что решений — бесчисленное множество. Значит, система векторов (1.12) — линейно зависима.

§ 1.6. Ортогональные векторы



Определение. Векторы и называются ортогональными (друг к другу), если их скалярное произведение равно нулю: (, ) = 0.

В случае пространства R3 ортогональность векторов и означает перпендикулярность вектора вектору .

Рассмотрим экономический пример на ортогональность векторов.

Одним из способов определения индекса цен и уровня инфляции является расчет стоимости «потребительской корзины», состоящей из 300 видов товаров и услуг, получаемых городскими (или сельскими) потребителями. В следующей таблице приведен условный пример того, как можно вычислять индекс цен для определенного месяца по отношению к предыдущему месяцу.

Расчет индекса цен: 40 000 / 37 500 • 100 = 106,7%. Таким образом, индекс инфляции составил 6,7%.

Обозначим через (3; 10; 2) — вектор количества потребляемых товаров, (4000; 2000; 4000) — вектор цен в текущем месяце, пр (3500; 1800; 4500) — вектор цен в предыдущем месяце. Тогда индекс цен вычисляется по формуле

откуда (100 , ) = р (пр, ) или (100 - pпр, ) = 0.

Таким образом, индекс цен можно определить как численный коэффициент р, который делает вектор ортогональным вектору 100 - рпр.

Индекс инфляции рассчитывается по формуле


§ 1.7. Базис пространства Rn



В пространстве R3 для любых векторов 1, 2 существует ненулевой вектор , ортогональный как 1, так и 2 (рис. 1.2). Этот очевидный факт может быть обобщен в виде следующей теоремы.
Теорема. Пусть в пространстве Rn задан набор из s векторов 1, ..., s,причем s < п. Тогда существует ненулевой вектор , ортогональный каждому из векторов i (i = 1,..., s).
Доказательство. Пусть 1 = 11, p12, ..., p1n). Условие ортогональности вектора = (x1, х2, ..., xn) вектору 1 имеет вид

т. е. представляет собой линейное однородное уравнение относительно неизвестных х1, х2, ...,хn. Поэтому ортогональность вектора каждому из векторов 1, ...,s записывается в виде системы s однородных уравнений с n неизвестными x1, x2, …, xn. Поскольку s < п, такая система обязательно имеет ненулевое решение, что и требовалось доказать.


Обратимся теперь к основному понятию параграфа — понятию базиса.
Определение. Система векторов из Rn называется базисом пространства Rn, если:

1) эти векторы линейно независимы;

2) любой вектор из Rn является линейной комбинацией векторов данной системы.
Примером базиса в Rn может служить система из п векторов

Действительно, векторы 1, 2, …, n образуют лестничную систему и потому линейно независимы. Если = (a1, а2,..., an) — произвольный вектор из Rn, то очевидное равенство

показывает, что есть линейная комбинация 1, 2, …, n.

В приведенном примере базис состоял из п векторов. Это не случайно, как показывает следующая теорема.
Теорема. Линейно независимая система векторов в Rn тогда и только тогда является базисом, когда число этих векторов равно п.
Доказательство. Пусть система

является базисом в Rn; покажем, что s = п.

Прежде всего ясно, что не может быть s > п, ибо в этом случае система 1, 2,…, s по теореме § 1.5 была бы линейно зависимой. Покажем, что не может быть и s < п.

Рассуждая от противного, предположим, что s По условию любой вектор Rn должен линейно выражаться через 1, 2,..., s, т. е. уравнение

обязательно должно иметь решение. Поскольку s < п, то по предыдущей теореме должен найтись ненулевой вектор , ортогональный каждому из векторов 1, 2,..., s.

В частности, взяв в качестве вектор , получим (, ) = 0, что противоречит условию ? 0. Итак, равенство s = п доказано.

Обратно, пусть линейно независимая система в Rn состоит из п векторов 1, 2,..., n . Докажем, что эта система — базис, т.е. что любой вектор линейно выражается через 1, 2,..., n. Это непосредственно следует из свойства 4 линейной зависимостив § 1.3. Теорема доказана полностью.
Пример 1. Система

является базисом в R3. Действительно, векторы 1, 2, 3 образуют лестничную систему и потому линейно независимы; поскольку их число равно 3, то эти векторы образуют базис.
Пример 2. Векторы

образуют базис в R4. Действительно, расположив эти векторы в другой последовательности, а именно:

получим лестничную систему векторов в R4. Следовательно, эта система — базис.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32


§ 1.5. Применения метода Гаусса
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации