Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике - файл n1.doc

приобрести
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике
скачать (3829.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3830kb.10.09.2012 14:34скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32

§ 1.4. Система линейных уравнений и ее решение методом Гаусса



Система т линейных уравнений с п неизвестными или, как будем дальше говорить, система т х и, запишется в общем виде так:

Для сокращения этой записи можно использовать следующую таблицу, которая содержит всю информацию о системе (1.8).

Решением системы (1.8) является любой набор значений неизвестных:

удовлетворяющий всем уравнениям системы. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Две системы уравнений с одними и теми же неизвестными x1, ..., хn называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Забегая вперед, отметим, что для любой системы (1.8) возможны только три случая:

1) система не имеет ни одного решения;

2) система имеет единственное решение;

3) система имеет бесчисленное множество решений.

Множество всех решений системы (1.8) называется ее общим решением. Решить систему (1.8) означает найти ее общее решение.

Опишем некоторые действия над системой (1.8), называемые элементарными преобразованиями. Это:

1) перестановка уравнений;

2) вычеркивание из системы (1.8) уравнения вида

или, проще, 0 = 0;

3) умножение обеих частей одного из уравнений системы на число ? ? 0;

4) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число. Например, пусть дана система

К обеим частям второго уравнения прибавим соответствующие части первого уравнения, умноженные на 2, получим систему

Предоставим читателю проверить самостоятельно, что любое из элементарных преобразований, совершенное над системой уравнений, приводит к системе, равносильной исходной системе.

При выполнении элементарных преобразований над системой может возникнуть уравнение вида

где b ? 0.

Ясно, что это уравнение не имеет решений; будем называть такое уравнение противоречивым. Система, содержащая противоречивое уравнение, несовместна; заниматься решением такой системы нет смысла.

Для нахождения общего решения системы (1.8) имеется простой и удобный метод Гаусса. Суть метода заключается в том, что с помощью элементарных преобразований системы (1.8) либо получают систему, содержащую противоречивое уравнение (и тогда система (1.8) оказывается несовместной), либо система (1.8) приводится к некоторому специальному виду. Особенность этого вида заключается в том, что для каждого уравнения имеется неизвестное, которое входит в это уравнение с коэффициентом, не равным нулю, а в остальные уравнения — с коэффициентом 0. Если для каждого уравнения зафиксировано такое неизвестное, то это неизвестное называется базисным, а весь набор базисных неизвестных — базисом неизвестных. Остальные неизвестные (если они имеются) называются свободными.
Пример:

Здесь х2, x4, х5 — базисные неизвестные, х1, х3, х6 свободные неизвестные. Заметим, что коэффициенты при базисных неизвестных в соответствующих уравнениях системы (1.9) равны 1. В общем случае это необязательно, но можно этого добиться с помощью элементарного преобразования типа 4.

Переписав систему (1.9) в виде:

(в левых частях системы стоят базисные неизвестные, в правых частях — свободные неизвестные), получаем фактически общее решение. Действительно, уравнения (1.10) показывают, что вместо свободных неизвестных x1, x3, х6 можно подставить любые числа и затем найти из уравнений (1.10) значения базисных неизвестных х2, х4, х5. Например, взяв х1 = 0, х3 = 1, x6 = 2, найдем х2 = 10, х4 = 13, x5 = 0, а значит, получим конкретное (частное) решение

Таким образом, запись системы в виде (1.10) позволяет непосредственно получить любое частное решение системы; в этом смысле запись (1.10) можно считать общим решением.

Очевидно, при наличии хотя бы одного свободного неизвестного система имеет бесчисленное множество решений. Если свободных неизвестных нет (все неизвестные — базисные), то решение единственно.

Изложим теперь алгоритм метода Гаусса. Для этого дадим описание очередного k-гo шага (k = 1, 2,...).

Итак, очередной k-й шаг состоит из следующих действий:

1. Из системы, полученной ранее (после k - 1 предыдущих шагов) удаляем уравнения 0 = 0. Если в оставшейся системе имеется хотя бы одно противоречивое уравнение, то система несовместна — работа с ней прекращается.

2. Пусть противоречивых уравнений не оказалось. Тогда одно из уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвестных за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются следующие два требования:

• на предыдущих шагах это уравнение не было разрешающим;

• в разрешающем уравнении коэффициент при разрешающем неизвестном должен быть отличен от нуля; этот коэффициент называют разрешающим элементом.

3. Из всех уравнений, кроме разрешающего, исключаем разрешающее неизвестное. Для этого к каждому из таких уравнений прибавляем разрешающее уравнение, умноженное на подходящее число.

Процесс заканчивается, если ни одно из уравнений уже нельзя выбрать за разрешающее (т. е. все уравнения перебывали в этой роли). Тогда для каждого уравнения имеется свое базисное неизвестное, входящее в это уравнение с коэффициентом, отличным от нуля, а в остальные уравнения — с коэффициентом 0. Таким образом, процесс прекращается после получения базиса неизвестных. Из полученной системы находим (как в указанном примере) общее решение.

Разберем несколько примеров.

В каждом примере весь процесс решения записан в виде вертикальной последовательности таблиц. Каждому шагу метода Гаусса соответствует переход от очередной таблицы к следующей. Разрешающие элементы обводятся овалом. Конкретные действия по исключению неизвестных снабжаются пояснениями в виде стрелок.
Пример 1.


Последней таблице соответствует система

Ответ: решение единственно, x1 = -1, х2 = 0, х3 = 1.
Пример 2.



Последней таблице соответствует система

с базисными неизвестными x1, х2, х4 и свободным x3.

Общее решение дается формулами

Система имеет бесчисленное множество решений, которые м ожно охватить записью

где x3 — любое число.
Пример 3.

Предоставляем читателю убедиться, что после двух шагов с разрешающими элементами a11 и a22 получится система, в которой третье уравнение будет противоречивым. Система несовместна.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32


§ 1.4. Система линейных уравнений и ее решение методом Гаусса
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации