Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике - файл n1.doc

приобрести
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике
скачать (3829.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3830kb.10.09.2012 14:34скачать

n1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32

§ 1.2. Скалярное произведение векторов



Начнем с примеров.

Пример 1. Группа студентов совершила туристическую поездку по ряду европейских столиц. К концу путешествия обнаружилось, что в их кошельках накопились остатки валюты: 15 французских франков, 10 британских фунтов стерлингов, 20 голландских гульденов и 25 немецких марок. Остатки составили «валютный» вектор
= (15, 10, 20, 25).
Посоветовавшись, студенты решили обратить валюту в рубли и организовать банкет. На обменном пункте они узнали курсы валют:
1 французский франк — 1000 руб.,

1 британский фунт стерлингов — 7500 руб.,

1 голландский гульден — 3000 руб.,

1 немецкая марка — 3500 руб.
Таким образом, появился еще один четырехмерный вектор — вектор обменных курсов валют:
= (1000; 7500; 3000; 3500).
Чтобы определить, сколько рублей имеется на банкет, нужно выполнить следующий расчет:
15 • 1000 + 10 • 7500 + 20 • 3000 + 25 - 3500 = 237 500 руб.
Пример 2. Коммерческий банк, участвующий в строительстве многоэтажных автомобильных стоянок в центре Москвы, предпринял усилия по получению кредитов в трех коммерческих банках: «Мост-банке», «Мосбизнесбанке», «Столичном банке сбережений». Каждый из них предоставил кредиты в размерах соответственно 20, 40 и 40 млрд руб. под годовую процентную ставку 40, 25 и 30%.

В данном примере речь идет о двух векторах: трехмерном векторе кредитов = (20; 40; 40) и векторе процентных ставок = (40; 25; 30).

Используя простой расчет, управляющий коммерческим банком, может определить, сколько придется платить по истечении года за кредиты, взятые у трех банков:
20 • 1,4 + 40 • 1,25 + 40 • 1,3 = 130 млрд руб.
На этих примерах мы можем видеть возникновение своеобразной операции над векторами из Rn, называемой скалярным умножением векторов.
Определение 1. Скалярным произведением двух векторов = (a1, а2,.... аn) и = (b1, b2, ,..., bn) называется число

Перечислим основные свойства скалярного произведения (проверку предоставляем читателю провести самостоятельно).

Как известно из школьного курса, для векторов из R3 справедливо равенство

и, как следствие,


(равенство (1.2) справедливо при ? 0, ? 0).

Равенства (1.1), (1.2) подсказывают нам, как разумным способом определить для векторов из Rn, где п >3, понятие модуля вектора и угла между векторами.
Определение 2. Для векторов из Rn (п - любое) модуль || вектора и косинус угла ? между двумя ненулевыми векторами и определяются с помощью формул (1.1) и 1.2).
Впрочем, формула (1.2) нуждается в некотором комментарии. Дело в том, что уравнение cos ? = с (где ? — неизвестное число) имеет решение только при -1 ? с ? 1. Поэтому, чтобы данное нами определение угла между векторами было корректным, необходимо сначала убедиться, что число заключено между -1 и 1. Это вытекает из следующего важного неравенства.
Неравенство Коши-Буняковского. Для любых двух векторов u из Rn справедливо неравенство

Доказательство. Возьмем какое-либо число t и составим вектор = t + .

Имеем

или, обозначая (, ) = ?, (, ) = ?, (, ) = ?,

Квадратный трехчлен ?t2 + 2?t + ?, получившийся справа, при любом значении t неотрицателен (ибо (, ) ? 0), следовательно, его дискриминант ? 0. Таким образом, ?2 - ? • ? ? 0, или

что равнозначно неравенству (1.3).

§ 1.3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов



Операции сложения векторов и умножения вектора на число лежат в основе обширного и богатого приложениями раздела математики, называемого линейной алгеброй. Одним из центральных понятий линейной алгебры является понятие линейной зависимости.

Сначала заметим следующее: если при рассмотрении некоторого вопроса приходится иметь дело с несколькими векторами, то, как правило, их обозначают одной и той же буквой с разными индексами: 1, 2,.... Весь набор {1, 2,...} называют системой векторов.
Определение 1. Пусть даны векторы 1, 2, …, s из Rn. Любой вектор вида

где k1, k2,..., ks какие угодно числа, называется линейной комбинацией векторов 1, 2, .... s.

При наличии равенства (1.4) также говорят, что вектор линейно выражается через векторы 1, 2, ..., s или что разлагается по векторам 1, 2, …, s, Например, если

то

Таким образом, вектор (0, 0, 0) является линейной комбинацией векторов 1, 2, ­3.
Определение 2. Система векторов 1, 2, …, s называется линейно зависимой, если существуют такие числа c1, с2, ..., cs, неравные одновременно нулю, что справедливо равенство

В частности, система 1, 2, 3 из предыдущего примера линейно зависима.
Определение 3. Если система векторов 1, 2,..., s такова, что равенство (1.5) возможно только при с1 = с2 =... = cs = 0, то эта система называется линейно независимой.
Перечислим ряд свойств линейной зависимости.
1. Система из одного вектора линейно зависима <=> = .
Доказательство. Пусть система {}, состоящая из одного вектора , линейно зависима. Тогда найдется число с ? 0, такое, что с = .

Умножим обе части этого равенства (оба вектора) на число с-1. Получим, c-1(с) = с-1 ∙ или -1с) = . Таким образом, 1 ∙ = или = . Обратно, если вектор равен , то очевидное равенство 1 ∙ = показывает, что система {} линейно зависима.
2. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима в том и только в том случае, когда среди данных векторов имеется такой, который линейно выражается через остальные.
Доказательство. Пусть среди данных векторов 1, 2, …, s имеется такой, например, вектор а, который линейно выражается через остальные:

Прибавляя к обеим частям равенства вектор –1, получим:

т. е. линейная комбинация векторов 1, 2, …, s равна нулю, причем среди коэффициентов имеются коэффициенты, не равные нулю (коэффициент при 1 равен -1). Следовательно, система 1, 2, …,

s линейно зависима.

Обратно, пусть векторы 1, 2, …, s линейно зависимы, т.е. имеет место равенство (1.5) с не равными нулю одновременно коэффициентами c1, c2, …, cs. Пусть, скажем, с1 ? 0. Перепишем равенство (1.5) в виде

и, умножив обе части на –с1-1, получим равенство

означающее, что вектор 1 линейно выражается через остальные векторы системы.
3. Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
Следствие: система, включающая вектор , линейно зависима.

Доказательство. Пусть дана система, например, из трех векторов 1, 2, 3, причем часть системы, состоящая из двух векторов 1, 2, линейно зависима, т. е. справедливо равенство

где с2 или c3 отличны от нуля. Добавив к обеим частям вектор = 0 ∙ 1 получим равенство

означающее линейную зависимость всей системы 1, 2, 3.
4. Если система {1, 2, ..., s} линейно независима, но при добавлении к ней еще одного вектора становится линейно зависимой, то вектор линейно выражается через 1, 2, ..., s.
Доказательство. По условию справедливо равенство вида

где не все числа с1, с2,..., сs, с равны нулю. Нетрудно видеть, что именно с ? 0. В противном случае мы получили бы равенство c11 + c22 + …… + css = 0, означающее линейную зависимость системы 1, 2, ..., s . Пользуясь тем, что с ? 0, можно из равенства (1.6) выразить через векторы 1, 2, ..., s .
Пример. Рассмотрим систему из векторов


где ?i, ?j, ?k, ….. обозначают какие-то числа.

Причем ?1, ?2, ?3, ….. — (числа, стоящие на пунктирной «диагонали») отличны от нуля. Такая система векторов называется лестничной. Понятно, что число векторов в лестничной системе не превосходит п (число координат в каждом векторе).

Докажем, что любая лестничная система векторов линейно независима.

Предположим противное. Тогда один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные. Пусть, например, линейно выражается через , ...:

Но такое равенство невозможно, поскольку первая координата вектора отлична от нуля, а первая координата вектора k + l +... равна нулю. Полученное противоречие доказывает, что система ,

, ,... линейно независима.
Определение 4. Векторы и называются коллинеарными, если = k или = k.
Если один из векторов или равен нулю, то такие векторы заведомо коллинеарны: если, например, = , то имеем = 0 ∙ .

Практически распознать коллинеарность совсем просто: координаты 1, ..., n вектора должны быть пропорциональны координатам 1 ..., n вектора .

Пример коллинеарных векторов дает любая таблица обменных курсов валют. Каждую пятницу в финансовом приложении к газете «Известия» печатается таблица обменных курсов валют, условный фрагмент которой приводится ниже:

Каждый столбец этой таблицы выражает курсовую стоимость единицы соответствующего вида валюты. Так, второй столбец показывает, что за 1 DM можно получить 68 центов или 82 сантима.

Любые два столбца и любые две строки этой таблицы пропорциональны, т. е. любые векторы-столбцы и любые векторы-строки коллинеарны, причем в этой же таблице легко найти коэффициент пропорциональности.

Чтобы лучше «прочувствовать» смысл понятия линейной зависимости, обратимся к векторам из R3.

1. Пусть дана система из двух векторов и . Если система линейно зависима, то один из векторов, допустим , линейно выражается через другой:
= k.
Два вектора, связанные такой зависимостью, как уже сказано, называются коллинеарными. Итак, система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны. Заметим, что такое заключение относится не только к R3, но и к любому Rn.

2. Пусть система в R3 состоит из трех векторов , , . Линейная зависимость означает, что один из векторов, скажем , линейно выражается через остальные:

Если считать, что все векторы , , имеют общее начало, то из (1.7) следует, что все три вектора лежат в одной плоскости.
Определение 5. Три вектора , , в R3, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными (рис. 1.1, где слева указаны векторы , , из одной плоскости, а справа те же векторы отложены от разных начал и лишь параллельны одной плоскости).


Итак, если три вектора в R3 линейно зависимы, то они компланарны. Справедливо и обратное: если векторы , , из R3 компланарны, то они линейно зависимы. Доказательство предоставим читателю провести самостоятельно.

Пусть теперь дана система из s векторов в R3, где s > 3. В этом случае система обязательно линейно зависима. Это вытекает из следующей общей теоремы.
Теорема. В пространстве Rn любая система из s векторов, где s > п, линейно зависима.
Доказательство будет дано в § 1.5 данной книги.
Пример. Векторы из R3:

линейно зависимы, так как их число больше 3.

Если дана конкретная система векторов, то установить, будет ли эта система линейно зависима, вообще говоря, не так просто (исключая разве лишь тот случай, когда число векторов больше числа координат в каждом векторе, т. е. s > п).

Например, в системе

при поверхностном рассмотрении трудно заметить какие-либо зависимости, хотя на самом деле эти векторы связаны соотношением

Практический способ решения вопроса о линейной зависимости будет указан в §1.5.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32


§ 1.2. Скалярное произведение векторов
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации