Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике - файл n1.doc

приобрести
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике
скачать (3829.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3830kb.10.09.2012 14:34скачать

n1.doc

1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   32

§ 5.2. Применение метода наименьших квадратов



Метод наименьших квадратов широко используется при анализе статистических данных для выявления функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами. Для применения метода наименьших квадратов количество наблюдаемых величин не имеет принципиального значения. Однако, поскольку нашей задачей является знакомство с методом, а не изложение теории анализа данных, мы ограничимся случаем, когда наблюдаются всего две величины х и у, между которыми предполагается наличие функциональной связи у = Р(х), где


— многочлен степени k.

Пусть всего произведено п наблюдений величин х и у и (xi, уi) результат i-го наблюдения (i = 1, 2 ,..., n). Естественно принять, что число п наблюдений не меньше, чем k + 1 — число неизвестных коэффициентов р0, р1,…, рп. Указанные коэффициенты должны являться приближенным решением системы линейных уравнений

Найдем р0, р1,k, применяя метод наименьших квадратов. Пусть

— матрица коэффициентов системы (5.9). Если столбцы матрицы А линейно независимы, то по теореме 1 предыдущего параграфа получаем, что вектор-столбец р = (p0, p1,…, pk)T коэффициентов «наилучшего» многочлена Р(х) является единственным решением системы

где Y = (y1, у2,n)T вектор-столбец, составленный из последовательных значений величины у.

Докажем, что в случае, когда все наблюдаемые значения величины х различны (xi ? xj при i ? j), столбцы матрицы А линейно независимы.

Предварительно докажем лемму.

Лемма. При любом k > 1 справедливо равенство

Доказательство. Обозначим указанный определитель через D(k). При k = 1 лемма очевидна:

Для вычисления определителя

преобразуем его следующим образом:

1) вычитаем из третьего столбца второй столбец, умноженный на x1;

2) вычитаем из второго столбца первый столбец, умноженный на x1.

В результате получаем определитель

Разлагая определитель (5.13) по первой строке, получим

Элементы первой строки определителя (5.14) имеют общий множитель 2 - х1); элементы второй строки имеют общий множитель (x3x1). Вынесем общие множители. Получим

Таким образом, в случае k = 2 лемма доказана. Для определителя D(3), проделав аналогичные преобразования, получим:

Определитель, расположенный в правой части равенства (5.15), отличается от D(2) лишь заменой xi ? хi+1 (i = 1, 2, 3). Поэтому

Следовательно,

Итак, лемма доказана и для k = 3. Отметим, что при доказательстве леммы для k = 2 и k = 3 мы сводим вычисление определителя D(k) к определителю вида D(k - 1). Аналогичным образом лемма доказывается и для k ? 4.

Продолжим доказательство независимости столбцов матрицы А (см. (5.10)). Вычеркнем в этой матрице все строки с номерами больше k + 1, полученную матрицу обозначим А'. По лемме определитель матрицы А' равен произведению всех разностей вида хj хi (j > i). Так как все хi различны, то |А| ? 0. Следовательно, столбцы матрицы А' линейно независимы; тем самым линейно независимы и более «длинные» столбцы матрицы А. Поэтому вектор р = (p0, p1,…, pk) коэффициентов «наилучшего» многочлена Р(х) действительно является единственным решением (5.11) и может быть найден по формуле

В качестве применения изложенных выше результатов найдем главную квадратичную тенденцию (тренд) изменения некоторой величины y по ее временному ряду y1, у2, ,yп. Для определенности будем считать, что величина у измеряется ежемесячно в течение одного года (таким образом, п = 12). Мы хотим найти приближенную зависимость вида

где х — время. Пусть единицей измерения времени будет один месяц, положим, x1 = 12 = 2, ...,х12 = 12. Тогда условие (5.17) приводит к системе (5.9), в которой k = 2, п = 12. Соответственно система (5.7) § 5.1 приобретает вид


где

Находим коэффициенты системы (5.18):

Таким образом, система (5.18) имеет вид

где

Вычислив обратную матрицу* для матрицы коэффициентов системы (5.19):

находим искомые коэффициенты р*0, р*1, р*2:


* Далее числовые данные приводятся с округлением.
Пусть, например, уi курс доллара США на последних торгах ММВБ i-го месяца 1992 г. (i = 1,..., 12). Тогда

Вычисляя по приведенным выше формулам, находим:

Итак, мы установили, что квадратичная тенденция изменения курса доллара на торгах ММВБ в 1992 г. имеет вид

Рассчитывая по формуле (5.20) «сглаженные» значения курса доллара, получим

Запишем эти 12 чисел в виде вектора

Отметим, что Y* можно рассматривать как точку трехмерной плоскости П, образованной всеми линейными комбинациями векторов A1, A2, A3 ближайшую к точке Y.

Соответственно Y* можно найти по формуле

что (при наличии матричного калькулятора) проще, чем последовательная подстановка двенадцати чисел 1, 2, ..., 12 в формулу (5.20). Изобразим векторы Y и Y* в виде ломаных линий с вершинами в точках (1; y1), (2; y2), ...,(12; y12) и (1; y1*), (2; y2*), .. , (12; y12*) (рис. 5.1).

При анализе рис. 5.1 возникают следующие вопросы. Будет ли тенденция формулы (5.20) действовать хотя бы в январе 1993 г.? Можно ли таким образом строить прогнозы на будущее? Подставив х = 13 в формулу (5.20), найдем у13*= 580, тогда как на самом деле курс доллара в конце января 1993 г. составил только у13 = 572. Полученный прогноз оказался относительно удачным, однако следует ясно понимать, что прогнозирование любого экономического показателя только лишь по его прошлым значениям без учета других, связанных с ним индикаторов, крайне ненадежно.

1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   32


§ 5.2. Применение метода наименьших квадратов
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации