Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике - файл n1.doc

приобрести
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике
скачать (3829.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3830kb.10.09.2012 14:34скачать

n1.doc

1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   32

§ 3.7. Собственные значения матрицы Леонтьева



Понятие собственного значения, а также понятие вектора Фробениуса неотрицательной матрицы А позволяют по-новому подойти к вопросу о продуктивности модели Леонтьева.

Прежде всего еще раз заметим, что если А — квадратная матрица, а АТ транспонированная к ней матрица, то характеристические уравнения для А и АT совпадают. Таким образом, собственные значения матрицы АT те же, что и для А. В частности, числа Фробениуса матриц А и АT тоже совпадают.

Пусть А — неотрицательная квадратная матрица порядка n. Вектор Фробениуса A матрицы А назовем левым вектором Фробениуса матрицы А.

Представляя A как вектор-столбец, можем записать

или, после транспонирования,

Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.
Теорема. Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы.
Доказательство. Пусть матрица A (?0) — продуктивна. Тогда для любого вектора (? 0) существует решение (? 0) системы

Пусть > 0, тогда, очевидно, > 0. Умножив равенство (3.31) слева на матрицу-строку TA, получим с учетом (3.30)

или

Так как TA ? 0 и > 0, > 0, то TA > 0, TA > 0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что ?A < 1.

Обратно, пусть матрица А (?0) имеет число Фробениуса ?A < 1. Покажем, что она продуктивна. Зададим (?0) и покажем, что у системы (3.31) существует решение ? 0.

Рассмотрим следующую неотрицательную матрицу размера (n + 1) х (n + 1):

где aij — элементы матрицы А и у1,..., уn координаты вектора . В более компактной форме матрицу можно записать так:

Умножая эту матрицу слева на (п + 1)-вектор T, где T = (0, ..., 0, 1) легко убедиться, что

Следовательно, одним из собственных значений матрицы является ? = 1.

Пусть вектор Х= (x1, ..., xn, хn+1) = (, хn+1) является собственным вектором матрицы , т. е. Х = ?Х. В силу определения матрицы это равносильно тому, что


или

Если ? ? 1, то из (3.33) следует, что хn+1 = 0, в силу чего (3.32) примет вид A = ?. Следовательно, ? собственное значение матрицы А и, по нашему предположению, |?|<1. Таким образом, ? = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно, является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы существует неотрицательный собственный вектор = (хА, хn+1), соответствующий ? = 1. Очевидно, что хn+1 ? 0, так как в противном случае из (3.32) следовало бы, что А = . А это противоречит тому, что число Фробениуса ?A < 1. Поэтому мы можем считать, что хn+1 = 1 (очевидно, что вектор /xn+1 также является вектором Фробениуса). В силу того, что хn+1 = 1, равенство (3.32) принимает вид:

Поскольку = A, хn+1) ? 0, то A ? 0.

Следовательно, матрица А продуктивна.
Пример. Выяснить, при каких значениях а > 0 матрица

будет продуктивной.
Решение. Характеристический многочлен матрицы А будет

а характеристическое уравнение:

Корни этого уравнения (собственные значения):

Для продуктивности А согласно теореме необходимо и достаточно, чтобы было 9а < 1, т. е. a < . Например, при а = получим продуктивную матрицу


Глава 4. Элементы аналитической геометрии




§ 4.1. Арифметическое точечное пространство Аn



Мы уже знакомы с понятием арифметического векторного пространства Rn. Элементы пространства Rn это арифметические векторы с п координатами, т. е. последовательности 12, ..., аn) из п чисел. Возможна, однако, и другая точка зрения на пространство Rn — когда элементы Rn истолковываются не как векторы, а как точки. Чтобы понять причину такой двойственности, следует учесть, что в случае обычного трехмерного пространства любой набор из трех чисел a1, а2, а3 можно истолковать двояко:

(предполагается, что в пространстве введена система координат). В соответствии с этим рассмотрим следующее определение.
Определение 1. Любую последовательность (а1, а2, ..., an) из п чисел будем называть арифметической точкой, а сами числа a1, а2,..., an координатами этой точки.
В отличие от арифметических векторов, которые мы обозначали , и т. д., будем обозначать арифметические точки А, В,.... Например,

— арифметическая точка, имеющая четыре координаты.

Точку (0, 0,..., 0) будем называть началом координат и обозначать О.
Определение 2. Пусть А и В — две арифметические точки с одним и тем же числом п координат:

Будем называть вектором арифметический вектор

и говорить, что точка A есть начало, а точка В — конец вектора .

Иначе говоря, координаты вектора равны разностям между соответствующими координатами конца и начала вектора.

Очевидно, какова бы ни была точка А, координаты вектора совпадают с координатами самой точки А.
Определение 3. Множество всех арифметических точек с п координатами, в котором каждым двум точкам А и В указанным выше способом сопоставлен вектор Rn, называют п-мерным арифметическим точечным пространством и обозначают Аn (п-мерное аффинное пространство).
Теорема. Для любых трех точек А, В, С из Аn справедливо равенство

Доказательство. Имеем:

Одним из важнейших «геометрических» понятий, связанных с пространством Аn, является операция, называемая «откладывание вектора от точки».
Определение 4. Пусть A = (a1, ..., an) точка из Аn и = 1,…, pn) — вектор из Rn. Отложить вектор от точки А означает найти такую точку B An, чтобы выполнялось равенство (рис. 4.1)


Таким образом, имеем:

или в координатах: координаты точки В получаются из координат точки А прибавлением соответствующих координат вектора .
Обозначение. Если точка В получена откладыванием вектора от А, то будем писать: B = А + .

1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   32


§ 3.7. Собственные значения матрицы Леонтьева
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации